CC BY
27
ДЕРЕВООБРАБОТКА
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАТИВНОСТИ ДРЕВЕСНО-МИНЕРАЛЬНОГО КОМПОЗИТА
A. С. ЩЕРБАКОВ, проф. каф. безопасности жизнедеятельностиМГУЛ, д-р техн. наук,
B. И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного дела МГУЛ, д-р техн. наук
Обеспечение максимальной несущей способности конструкции из древесно-минерального композита требует изучения зависимости прочности древесно-минерального композита от ряда факторов физико-химического и механического характера. Можно выделить три основных элемента, наличие которых необходимо для обеспечения высокой несущей способности древесно-минерального композита. Это высокая прочность заполнителя, затвердевшего и вяжущего, высокая прочность связи между ними и низкий уровень напряжений в слабых местах композиции. Прочность связи зависит от факторов физико-химического характера, например, вида вяжущего, химической обработки органического заполнителя, способа формования и т.п. Напряженное состояние зависит от чисто механических факторов, таких, как деформативные свойства компонентов, объемное их содержание в материале, форма, размеры и ориентация частиц заполнителя.
Теория механической прочности древесно-минерального композита ставит своей задачей исследование напряженного состояния в композиции в зависимости от деформативных свойств заполнителя и вяжущего, объемного содержания компонентов, пористости, форм включений, их размеров и ориентации с целью выбора оптимальных параметров структур, обеспечивающих минимальные напряжения в опасных местах материала. Экспериментальное решение этих вопросов связано с большими материальными и временными затратами. В связи с этим существенное значение приобретает прогнозирование физико-механических свойств древесно-минерального композита, позволяющее свести к минимуму экспериментальные работы.
В настоящей работе в основу теории деформативности и прочности древесно-мине-
scherb@mgul.ac.ru; zaprudnov@mgul.ac.ru
рального композита положена модель механической смеси или композиционного материала.
Суть ее состоит, в том, что древесноминеральной композит представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить, распределение напряжений и деформаций в материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с огромными математическими трудностями. Прежде всего, сказывается нерегулярность расположения включений и их формы в реальном материале, что не позволяет воспользоваться хорошо разработанным классическим аппаратом решения задач сопряжения кусочно-однородных тел. Исключение составляют только слоистые материалы и материалы, армированные непрерывными волокнами, Для слоистых материалов, находящихся под воздействием однородной нагрузки, решение задачи находится в замкнутом виде. Если материалы армированы непрерывными волокнами, вводится предложение о регулярности расположения волокон, в результате чего задача сводится к нахождению, двоякопериодических решений плоской теории упругости.
Характерными особенностями структуры древесно-минерального композита являются дискретность включений, неправильность их формы, а также хаотичность расположения. Это исключает возможность применения методов регуляризации. Постановка и решение задач механика для таких структур возможны только на основе методов теории случайных функций.
Ниже дается постановка и приводится решение задачи о прогнозировании
130
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012
ДЕРЕВООБРАБОТКА
напряженно-деформированного состояния древесно-минерального композита и его жесткостных и прочностных свойств. Предлагается схема расчета упругих свойств древесно-минерального композита с учетом пористости вяжущего, базирующаяся на модели стохастически неоднородных упругих сред.
цать компонент симметричных тензоров напряжений и деформаций
а11, а22, а33 , а23 = а32 а13 = а31, а12 = а21,
S11, S22, S33 , S23 — S32, S13 — S31, S12 — S21 ,
а также три компоненты вектора перемещений Uv U2, U3.
Пользуясь тензорной символикой, уравнения (1-3) можно записать в более ком-
Будем рассматривать древесно-мине- пактной форме
ральной композит как линейно-упругое ста- а j,. + Fi—0; (4)
тистически изотропное тело, для которого справедливы общие уравнения теории упру- Sj —2 (U,,, + U.,.,); (5)
гости. аи —Аг pp д j + 2Gs j (i.j — 1,2,3). (6)
ного тела может быть описано тремя группами уравнений [1]. Первая группа представлена уравнениями равновесия
дап да,9 да
дх1
да
+ -
12
+ -
-’13
21
+ -
дх2 дх3
да22 да
дх1 дх2
да31 да
+ -
23
дх
+ F — 0,
+ F2 = 0
+ -
32
дх1 дх2
+ -
да
33
дх
+ F3 = 0 ,(1)
где а.. - компоненты тензора напряжений,
F. - компоненты вектора массовых сил. Вторая группа уравнений определяет тензор деформаций г., через вектор перемещений U
г11 =
dUt
дх1
S22 =
S33 =
S23 = S32 =
S13 — S31 —
S12 — S21 —
д_Щ дх2
dU + dU
U
дх
(2)
дх дх
dU dU - + -
2
\
У дх3 дх1 j Гдф + dU 2Л
дх2 дх1
j
В третьей группе уравнений формулируется закон состояния упругого тела. Для изотропных материалов при изотермических или адиабатических процессах этот закон записывается в форме
а 11 — As о + 2^j01 1, а 23 — 2^js 23,
а 22 — As о + 2^j-022 , а13 — 2^j-S13, а33 — As о + 2GS33, а12 — 2^j-S12,
S0 — S11 +S22 +S33 . (3)
Пятнадцать уравнений трех групп содержат такое же число неизвестных: двенад-
8j — ■
а«п
Индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате. По повторяющимся индексам выполняется суммирование. Символом 8 обозначена дельта-функция Кронекера
I1 при i— j , (7)
[0 при i Ф j К системе уравнений (4-6), определяющей поведение линейно-упругого тела в точках его объема, добавляются условия на ограничивающей поверхности. Задаются внешние поверхностные силы, действующие на тело,
, — 1 , (8)
или перемещения точек поверхности
_ _ Ui|, — U,, (9)
гдеf,U , - заданные функции координат поверхности S,
п - компоненты вектора нормали к поверхности S.
Рассмотрим решение системы (4) - (6) для случая неограниченной упругой среды. Подставляя уравнения (5), (6) в систему (4), получаем
(А + G)UPp. + GUpp —-F. (10)
Пусть вектор перемещения убывает на бесконечности как Rl ,
где R — (хрхрУ2.
Тогда из (10), воспользовавшись тензором влияния Кельвина-Сомильяно U.., найдем
U(х(1)) — JU .(х(2) - х(2))А. (х(2))йх(2), (11) где
(А + G)
U ,, (х) —
8nG(A + 2G) R
А + 3G_ х - х. 8,, +-
А + G
R
(12)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012
131
