CC BY
24
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
калибровочном поле без однородных составляющих позволяют найти значения фермионной массы и критического параметра кДР). Расчеты для каждой из указанных трех корреляционных функций приводят к одному значению параметра кДР), совпадающему с известными данными.
Указанные математические методы и полученные этими методами результаты целесообразно использовать при исследованиях моделей элементарных частиц методом решетки.
Автор выражает благодарность за плодотворные дискуссии доктору физ.-мат. наук И.Л. Боголюбскому и кандидату физ.-мат. наук В.К. Митрюшкину. Особую благодарность автор выражает за полезные обсуждения и активную поддержку профессору М. Мюллеру-Пройскеру.
Библиографический список
1. Кройц, М. Кварки, глюоны и решетки / М. Кройц. - М.: Мир, 1988.
2. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. V 10. P. 2445-2459.
3. DeGrand T. and Toussaint D. Topological excitations and Monte Carlo simulation of Abelian gauge theory // Phys. Rev. D. 1980. V 22. P. 2478-2489.
4. Hoferichter A., Mitijushkin V.K. and Mbller-Preussker M. On the chiral limit in lattice gauge theories with Wilson fermions // Z. Phys. C. 1997. V 74. P. 541-548.
5. Hoferichter A., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Stbben H. Dynamical Wilson fermions and the problem of the chiral limit in compact lattice QED // Phys. Rev. D. 1998. V 58. P. 114505-114510.
6. Montvay I. and Mbnster G. Quantum Fields on a Lattice. Cambridge University Press, 1994.
7. Nakamura A. and Sinclair R. Fermion propagators in U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1990. V 243. P. 396-402.
8. Nakamura A. and Plewnia M. Gauge fixing ambiguity and photon propagators in compact U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1991. V 255. P. 274-278.
9. Mitrjushkin V.K. Gauge fixing, zero-momentum modes and the calculation of masses on a lattice // Phys. Lett. B. 1997. V 390. P. 293-297.
10. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Peter P. Lorentz gauge and Gribov ambiguity in the compact lattice U(1) theory // Phys. Lett. B. 1999. V 458. P. 102-108.
11. Mandula J. and Ogilvie M. Efficient gauge fixing via overrelaxation // Phys. Lett. B. 1990. V 248. P. 156-158.
12. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M., Peter P. and Zverev N.V. Fermionic correlators and zero-momentum modes in quenched lattice QED // Phys. Lett. B. 2000. V. 476. P. 448-454.
13. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Zverev N.V. Zero-momentum modes and chiral limit in compact lattice QED // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2001. V 94. P. 661-664.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
В.А. ШАЧНЕВ, проф. каф. высшей математикиМГУЛ, д-р физ.-мат. наук
Запишем систему уравнений Механики сплошной среды в виде
d1S1 + d2dS,2 + d3S,3 = Pdv/d^ =
= P(dV, + V151V, + V2d2V, +
Sji = Sif ^ J = 1,2,3
где sj(x1, x2, x3, t) - компоненты тензора напряжений;
v i(x1, x2, x3, t) - компоненты вектора скорости; p(x1, x x t) - плотность среды; x1, x2, x3 - координаты точки, t = время, д. = d/dx, j = 1, 2, 3, d, = 5/5,.
Используя закон сохранения массы (уравнение неразрывности)
dp/dt + p(d1v1 + d2v2 + d3v3) = 0, систему уравнений можно записать в дивергентной форме [1]
д^,1 + д2Р,2 + д3Ргэ - дР, = 3 i = 1 3 3 где Pj = sf - PVVj = Pjf p, = Pvi.
Введем внешние дифференциальные формы
а = (pi1dx2Adx3 + padx3Adx1 + pBdxlAdx 2) Adt +
+ pdx, Adx„ Adx„,
i 1 2 3
так что система уравнений запишется в виде
да = 0, i = 1, 2, 3,
i
где д - внешний дифференциал. Локальными решениями этих уравнений будут формы = д% i = 1, 2, 3,
где ф,. - произвольные внешние дифференциальные формы второй степени, которые представим в виде
ф. = (F,dx, + Fdx„ + F„dx„ )Adt + Vdx„ Adx +
i i1 1 i2 2 i3 3 i1 2 3
+ Vdx, Adx + Vdx, Adx, i = 1, 2, 3.
i2 3 1 i3 1 2
Подставляя в уравнения а = дф, получим
p,1 = дЛ + д/3 - pi2 = дУ,2 + 53F.1 - ^
p,3 = дУв + 51F,2 - ^ p, = ^1 + д2 V2 + д3^
Условия симметрииp.. = p.. приводят к со-
отношениям
д F + дF + д F - д (V - V ) = д (F + F + F )
1 11 2 21 3 31 t 23 32 1 11 22 33
д F + д F + д F - д (V - V ) = д (F + F + F ),
1 12 2 22 3 32 t 31 13 2 11 22 33
д F + д F + д F - д (V - V ) = д (F + F + F ).
1 13 2 23 3 33 t 12 21 3 11 22 33
Если теперь ввести формы
т1 = ((- F22 - F33)dx2Adx3 + F21dx3Adx1 +
+ F31dx1Adx2)Adt + (V23 - V32)dx1Adx2Adx3,
138
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
т2 = (F12dx2Adx3 + (- F11 - F33)dx3Adx1 +
+ F32dx1Adx2)Adt + (V - Vl3)dxAdxAdx, т3 = (F13dx2Adx3 + F23dx3Adxx + (- Fn -- F22)dx1Adx2)Adt + (V - V21)dx1 Adx2Adx3, то соотношения симметрии запишутся в виде 5т. = 0, i = 1, 2, 3.
Локальное решение этих уравнений будут
формы
тг = дуг, г = 1, 2, 3,
где у. - произвольные внешние дифференциальные формы второй степени
у. = (G.1dx1 + Gadx2 + GBdx3)Adt + W.1dx2Adx3 +
+ W„dx, Adx, + W,dx, Adx.
i2 3 1 i3 1 2
В результате, получаем представления
F21 = d3G11 - d1G13 + W F12 = d2G23 - d3G22 + W F32 = d1G22 - d2G21 + W F23 = d3G31 - d1 G33 + W F13 = d2G33 - d3G32 + dtW3H F31 = d1G12 - d2G11 + W
соотношения
V - V = d W + d W + d W V - V =
23 32 1 11 2 12 3 13 31 13
= d W + d W + d W
1 21 2 22 3 23
V - V = d W + d W + d W
12 21 1 31 2 32 3 33
и систему уравнений
F22 + F33 = d3G12 - d2G13 - W F11 + F33 =
= d1G23 - d3G21 - dt W22,
F + F = d G - d G - d W
11 22 2 31 1 32 33
Решая систему, получим
2F11 = d1(G23 - G32) + d2(G31 + G13) -- d3(G12 + G21) + d (W11 - W22 - W33),
2F22 = - d1 (G23 + G32) + d2(G31 - G13) +
+ d3(G12 + G21) + d(W22 - W33 - W„X 2F33 = d1(G23 + G32) - d2(G31 + G13) +
+ d3(G12 - G21) + d (W33 - W11 - W22).
Подставим F. в представления для p Так как в эти представления функции G.. войдут в виде G + G , то без потери общности можно положить, что
G.i = Gi..
С учетом этого получим следующие представления
Р11 = d^1 + d22G33 + d32G22 - 2д2^
Р22 = dtU22 + d32G11 + d12G33 - 2d3d1G3V
Р33 = dtU33 + d12G22 + d22G11 - ^AAt
Р12 = dtU12 - 5AG33 + + d2G31 - d3G12X
Р23 = dtU23 - d2d3G11 + d1(- d1G23 + d2G31 + d3G12) Р31 = dtU31 - d3d1G22 + d3(d1G23 - d2G31 +
Здесь введены обозначения
U = V + d W - d W U = V + d W - d W
11 11 2 31 3 21 22 22 3 12 1 32
U33 = V33 + d1W23 - d2W1.
U12 = V12 - d1 W31 + (1/2)d3(W11 - W22 - W33),
U21 = V21 + d2W32 - (1/2)d3( W22 - W11 - W3з),
U23 = V23 - d2W12 + (1/2)d1(W22 - W33 - W1l),
U32 = V32 + d3W13 - (1/2)d1(W33 - W22 - W„X U31 = V31 - d3W23 + (1/2)d2(W33 - W11 - W22^
U13 = V13 + d1 W21 - (1/2)d2(W11 - W33 - W22).
В силу соотношений для V.. и V.. имеем
U.. = U...
л я
Определяя из последних соотношений V. через U. . и W . и подставляя в представления для Р, получим
Pi = № + d2U.2 + d3U3, . = 1 2, 3.
Подстановкой в исходные уравнения движения непосредственно проверяется, что уравнения удовлетворяются при произвольных функциях U.. = U.. и G.. = G , которые будем называть компонентами тензора скоростей и тензора напряжений.
Решения для скоростей и для напряжений определятся как
v = р~% s. = р-1рр, + р— j= 1 2, з.
Получим представление для плотности среды. Так как
dp/dt = dtp + v151p + v2d2p + v3d3p, то закон сохранения массы перепишется в виде
dP +51(v1P) + d2(v2p) + ^p) = 0.
Подставляя сюда представления для p. = pv, получим уравнение
dtP + d12U11 + d22U22 + d32U33 + 2d1d2U12 +
+ 2d2d3U23 + 2d3d1 U31 = 0.
Разрешим это уравнение, введя новые функции
i. t i. i. .i
В результате получим для плотности представление
p = Po - d12F11 - д22Н22 - д32Н33 -
- 2д1д2Н12 - 2д2д3Н23 - 2д3д1Н31,
где p0 = p0(x1, х2, х3) - произвольная функция координат.
Для скоростей и напряжений имеем теперь следующие представления
pv. = dt(d1H.1 + d2H.2 + dHX i = 1, ^ 3,
S11 = pv12 + AH11 + d22G33 + d32G22 - 2д2д3G23, ------ 2_u d24 + d 2G + d 2G33
S22 = pv22 + dt2H22 + d32G11 + d12G33 - 2д3д1G31,
s33 = pv32 + AH33 + d12G22 + d22G11 - 2d1d2G1V S12 = S21 = pv1v2 + dtH 12 - d1d2G33 +
+ d3(d1G23 + d2G31 - d3G12X S23 = S32 = pv2v3 + AH23 - d2d3G11 +
+ d1(- d1 G23 + d2G31 + д3G12),
S31 = S13 = pv3v1 + dH31 - d3d1G22 +
+ d3(d1G23 - d2G31 + d3G12).
Получено решение уравнений динамики, содержащее 12 произвольных функций. Это ре-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
139
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
шение содержит различные формы общего решения уравнений динамики, и потому назовем его полным решением уравнений динамики. Другая форма полного решения получена в работе [2].
В частном случае, когда функции скоростей и функции напряжений зависят только от двух переменных,
H = H..(x х2), G = G..(x х2),
i. j P 2' ’ i. j P 2' ’
. ip P 2” ij ij' P 2'’
представления распадаются на два плоской задачи:
у, = pV + dfHn + d22G3y
решение
11
s22 = pv22 + d2Hy + д, 2G
S12 = S21
22
1
33’
PV1V2 + dfH12 -
и решение антиплоской задачи:
Узз = PV32 + AH33 + d12G22 + ^11 - 2dAG1P
S23 = S32 = PV2V3 + dfH23 + д1(- d1G23 + д2^
S31 = S13 = PV3V1 + AH31 + -
где
PV = —(—H + W 1 = 1, 2, 3,
P = Po(XP X2) - d12H11 - 2d1d2H12 - d22 H22.
В общем случае в представлении плотности функция p0 = p0(x1, x2, x3) без потери общности может быть принята равной нулю. Вместе с тем рассмотрим случай, когда p = p т.е. когда
^1 + ^2 + ^3 = 0 Ki =
= d1Hi1 + дД2 + dHx 1 = 1, 2 3.
Это условие можно записать в виде div(K1, K2, K3) = 0.
Тогда существует такой вектор (Lp L2, L3),
что
(K1, K2, K3) = rotL L2, L3), или в координатной форме
K1 = d2L3 - ^ K2 = дА - d1LP K3 = d1L2 - d2L1.
С учетом определения K получим системы уравнений, которые можно записать в виде div(Hn, H12 - L3, H13 + L2) =
= 0, div(H21 + L3, H22, H23 - L1) = 0, div(H31 - L2, H32 + L1, H33) = 0.
Решениями этой системы будут
Hn = 5R13 - d3R12;
H22 = ^R21 - d1R23; H33 = дА2 - ЗДр H 12 - L3 = ^11 - d1R1V H21 + L3 = d2R23 - ^ H23 - L1 = d1R22 - ЗДр H32 + L1 = d3R31 - ^ H31 - L2 = d2R33 - д3R32, H13 + L2 = d1R12 - д2R11,
где R - произвольные функции.
j
Условия симметрии H . = H.. дают дополнительные соотношения, из которых следует определение функций L
2L1 = - d1(R22 + R33) + d2R21 + d3R31,
2L2 = d1R12 - d2(R33 + R11) + д3R32,
2L3 = d1R13 + d2R23 - d3(R11 + R22).
В результате, получим
H 12 = (1/2)(- d1R13 + d2R23 + d3(R11 - R22)) = H2P H23 = (1/2)(d1(R22 - A) - d2R21 + d3R31) = H32.
H31 = (1/2)(d1R12 + d2(R33 - R11) - d3R32) = H13.
Для скоростей имеем теперь такие представления
P0V1 = (1/2)dt(d1(d2R13 - d3R12) +
+ d22R23 - d32R32 + d2d3(R33 - АД P0V2 = (1/2)dt(d2(d3R21 - d1R23) +
+ d32R31 - d12R13 + d3d1(R11 - R33)X p0V3 = (1/2)dt(d3(d1R32 - d2R31) +
+ d12R12 - d22R21 + d2d3(R22 - R1l)),
Подстановкой в уравнения движения непосредственно проверяем, что получено решение, представленное через девять произвольных функций R.., Заметим, что в этом случае div(v1, v2, v3) = 0.
Получим представление решения уравнений динамики в криволинейной системе координат, задаваемых функциями
Xi = Xi(A А ^ 1 = 1 2, 3, для которых g = detG = det[dx . / дД] > 0.
Эта система образует локальный базис г. касательно к линиям пересечения координатных поверхностей Д(хр x2, x3) = const, j = 1, 2, 3 который связан с исходным (декартовым) базисом е i = 1,2,3, соотношениями
3 3
г. = V — xe, д. = д / дЕ; е. = V д Ег, д. = d/dx..
J ^ J i i J У’ i ^ iy f i i
i=1 i=1
Здесь матрица перехода [дД] = [Д] обратна к матрице перехода G = [х.] = [дх.]. Отсюда следует, что
дА=dJg,
где d.. - алгебраические дополнения соответственно элементов дx . матрицы G. Компоненты тензора напряжений и вектора скоростей в криволинейной и декартовой системах координат связаны соотношениями
ДД дД дД = VV s. —L —-; s
i=1 .=1 Сх- дХ •
-г V „ —A —x.
у VVCT kl „ „
k=1 i=1 дД дД
V дA v —x
и. = V V —L; V. = Vuk —-.
; k k дХк 1 k k дЕк
Представим решение уравнений динамики единой формулой, а именно,
д 2G
qt
S.. = pV.V. + дЗЯ. + V Vе ivaeiSt
iJ iJ t iJ Jpq ist дх дх
p,q k,l
p s
е.к = 1, если yk = 123, 231, 312, = -1, если yk = 321, 213, 132, и равен нулю в остальных случаях.
140
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007
