CC BY
39
Заключение
Рассмотрено применение гипотезы АС в механике столкновения составных частиц при высоких энергиях. Показано, что АС обусловливает (как и модель Фейнмана) двухэтапный механизм взаимодействия: упругое рассеяние групп конституентов на первом этапе с последующей их адронизацией на втором; сами группы конституентов xg совпадают с партонами Бьёркена х.
Показано, что упругий характер столкновения партонов позволяет, в свою очередь, определить инвариантные переменные (xa, xb и переданный 4-импульс Q ), аналогичные используемым в ГНР, через параметры двух регистрируемых адронных ливней.
Предложенный подход может представлять интерес для КХД-обработки совместных данных ГНР и адронных взаимодействий (global fit), для развития концепции кумулятивных событий, поиска кварк-глюон-ной плазмы и промежуточной фазы на №СА (здесь требуется дополнительное изучение).
Автор выражает благодарность В.В. Кух-тину, О.В. Рогачевскому, А.П. Чеплакову и Н.Д. Джавадову за полезные обсуждения и помощь в работе.
Список литературы
1. Тэйлор Р.Э. Глубоконеупругое рассеяние: Ранние годы // УФН. 1991. Т.161. C.39-73.
2. Кендалл Г. У. Глубоконеупругое рассеяние: Эксперименты на протоне и наблюдение скейлинга // УФН. 1991. Т.161. C.75-106 .
3. Фридман Дж.Ф. Глубоконеупругое рассеяние: сравнение с кварковой моделью // УФН. 1991. Т.161. C.106-128.
4. Feynman R. Very High-Energy Collisions of Hadrons // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol.23. P.1415-1417.
5. Bjorken J.D., Paschos E. Inelastic Electron-Proton and y-Proton Scattering and the Structure of the Nucleon // Phys. Rev. 1969. Vol.185. P.1975-1982.
6. Gross D.J., Wilczek F. Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories // Phys. Rew. Lett. 1973. Vol.30. P.1343-1346.
7. Politzer H.D. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? // Phys. Rew. Lett. 1973. Vol.30. P.1346-1349.
8. Гросс Д.Дж. Открытие асимптотической свободы и появление КХД // УФН. 2005. Т.175. C.1306-1318.
9. Балдин А.М. Физика релятивистских ядер // ЭЧАЯ. 1977. Т.8. C.429-477.
10. Балдин А.М., Балдин А.А. Релятивистская ядерная физика: пространство относительных 4-скоростей, симметрии решений, принцип ослабления корреляций, подобие, промежуточные асимптотики // ЭЧАЯ. 1998. Т.29. C.577-630.
11. Черников Н.А. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика // ЭЧАЯ. 1973. Т.4. C.773-810.
УДК 537.533.9+51-73
ПОЛУЧЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ
И.П. Юдин
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна E-mail: [email protected]
Приведены алгоритмы решения неоднородных дифференциальных уравнений с помощью метода функции влияния. Исследуются неоднородные дифференциальные уравнения нелинейной динамики заряженных частиц в соленоидальном магнитном поле.
В работе используются алгоритмы замены нелинейных членов на разложение их по начальным, известным значениям вектора состояния. Приведены формулы для аберрационных коэффициентов нелинейной оптики. Получены результаты для рассматриваемого приложения (канал инжекции синхротрона для адронной терапии).
Ключевые слова: функция влияния, неоднородные дифференциальные уравнения, нелинейная динамика пучков заряженных частиц, соленоидальное магнитное поле.
Solution Method of the Nonlinear Equations of Mathematical Physics by the Influence Function
I.P. Yudin
The nonhomogeneous differencial equation was investigated by means of a method of the influence function for the problems of nonlinear beam dynamics in the solenoid magnetic field up to the third order. The algorithms within the matrix formalism to obtain the solution of nonlinear equations by the influence function method, are described. Formulas - a view of the influence function and the solution of the nonhomogeneous differencial equation are received for the potentials responsible for the nonhomogeneity in the investigated differential equation. The program is written for analytical and numerical solutions (results for the considered application are given). Key words: influence function, nonhomogeneous differential equation, nonlinear beam dynamics, solenoidal magnetic field.
1. Метод функций влияния
Приведем обоснование применения метода функций влияния как одного из действенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, являющихся уравнениями движения заряженных частиц во многих известных конфигурациях электрических и магнитных полей.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами
L(u) = и»' + p1u^"-n +... + pn_,um + pnu = f (s)
(и »' =|U'
d s
и начальными условиями
и(i '(0) = 0, (i = 1,2,..., n —1). Его решение дается формулой
s
u(s) = J U (s-X) ■ f (X) • dX (0 < X < s),
0
где функция влияния U (s — X) есть решение однородного уравнения
L(U) = U(n) + pUU(n—1) +... + pn—1U(1) + pnU = 0
с начальными условиями U(i)(0) = 0, (i = 0,1....,n — 2), U(n—1)(0) = 1.
2. Нелинейные уравнения движения
Выберем цилиндрическую систему координат (r, J, z) с осью Z, направленной вдоль оси соленоида. Запишем уравнение Лоренца для силы, действующей на частицу с зарядом q и массой покоя ж, находящуюся во внешнем осесимметричном поле. Положив Er = Ez = EJ = BJ = 0, получим следующие исходные уравнения движения в магнитном поле соленоида по проекциям:
d
— (gmr )—gmJ2 — qrJB = 0, (1a) dt
— dt
r
gmr2 J + qJ Bzr dr
Л
= 0, (1б)
d
— (gnz)+ qrJBr = 0. (1в) dt
где у = (1 - Ь2) 1/2, Р = V / с, V — скорость частицы, с — скорость света, Вг и Вг — компоненты магнитного поля.
Нетрудно получить разложение скалярного магнитного потенциала по степеням г
j( r, z ) = 2 Ф 2 n ( z )-
n=0
r
2n
(n!)2
(2)
удовлетворяющее условию симметрии р( г, г ) = р( — г, г ). В данной геометрии ограничимся членами разложения компонент поля до третьего порядка включительно:
Bz (r, z) = B( z) —1 B"( z )r 2 +..., z 4
(3a)
Br (r, z) = —1B' (z)r +1B"'(z )r3 —..., (3б) 2 16
где В(г) — аксиальное магнитное поле, производные от В(г) берутся по г. Интегрируя уравнение движения частицы с начальным условием в = 0, получим уравнение для угловой скорости в в любой точке внутри поля линзы:
( В''
Ъ = ю,-11
где w
qB (z)
2 gm
-r
8 B
ларморова частота.
Отбрасывая члены выше третьего порядка, нелинейное уравнение для радиальной траектории частицы запишем в виде
г' = — к 2/1 — — г 2 + / 2 + к 2 г 2 — ВгД(4) I 2В В )
где к =
qB(z) _ qB(z)
- фокусирующая
2утсР 2 р сила линзы, р - импульс частицы. Выбрав среди частиц пучка «равновесную» с импульсом р0 , можно для любой частицы с
импульсом р = р0 (1 + д) после разложения
в ряд по отклонениям д записать окончательное траекторное уравнение:
" 1 2 r = —к 0 r
Т>"
1 — 25 — — r2 + r'2 +
2B
B'
+ к2 r2 — — rr + 35 0 B
(5)
0
2
где к0 =
дБ(г) _ дБ(г)
2ушф 2 р 0 Можно заметить, что аберрации второго порядка для соленоидального поля являются хроматическими (т.е. зависящими только от 8).
При малых значениях г, г и 8 получаем линейное уравнение движение для параксиальной частицы
г = -к о2( г )г.
(6)
3. Линейная оптика соленоидальной линзы
Выберем вектор состояния с независимыми переменными г, г , I и 8. Здесь I -различие в длинах траекторий между равновесной и выбранной частицы. Выбрав центральную траекторию в качестве равновесной, можно определить переменную I как
I = | (V1 + г'2 + г V2
0
1^г.
(7)
На интервале АI = (г,, г,+1) постоянства к известно решение линейного уравнения:
к-^тк1 А 0 0Уг-1Л
соъкА 0 0
0 1 0
0 0 1
ГгЛ (
8J
ооък, А
- к, 8тк,- А 0 0
г-1
I 8
(8)
А у
Матрица перехода на всем интервале действия поля вычисляется путем перемножения N матриц Я' из (2.1):
N
Я(Б) = ^Я' = ^ ■ ^-1 •... • Я1. (9)
¿=1
4. Уравнение второго порядка
Уравнение второго порядка здесь
г" = -к2г ■ (1 - 28), (10)
а вектор начального состояния есть X 0 = (г0, г0', 1, 8) . Вектор состояния X = (г, г', 1,8) предлагается искать в виде
X' (г) = £Я (г)X0 + £ £Гщ (г)X]х0к +
} =1 } =1 к=}
4 4 4
+ £££ит (г) XJ0Xk0 X», (11)
}=1 к=л=к
где Я, и иуЫ определим как аберрационные коэффициенты соответственно первого, второго и третьего порядка.
Будем использовать следующие соотношения:
Я2} = ;' Я4 ; = Я3 ;>
Ч Р "4 }
13
/тт гтт/ лтт /тт/
т2}к = т1 }к ' т4}к = т3}к '
и = и' и = и'
и 2 }к1 и 1 }к1, и 4 }к1 и 3 }к1 •
(12)
Нетрудно получить дифференциальные уравнения для коэффициентов Я,}:
Я,} + к2= 0, ' = 1,2, } = 1, ...,4. (13)
с начальными условиями Яп(0) = 1, Я12 (0) = ^13 (0) = Я14 (0) = 0,
Я}(0) = 0, } = 1, ...,4, (14)
Я21 (0) = 1, Я21 (0) = Я23 (0) = Я24 (0) = 0, Я}(0) = 0, } = 1, ...,4.
Из формулы (8) следует, что Я33(г) = 1 и
Я 44 (г) = 1.
Вычисляя функцию влияния и (г, X) для (10), получим:
и (гX) = ~8ш(к(г -X)). (15) к
Теперь можно записать соотношение для г( г) во втором порядке как
г (г) = Яп г0 + Я12 г0 + ^13 / + Яи8 + +т г2 + т г/ + т г1 + т г 8 +
+т г2 + т /I + т /8+
+т133102 + т134108 +т1448' . (16)
Подставим (16) в (10). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, легко определим, что все аберрационные коэффициенты второго порядка являются решениями уравнений гармонических колебаний с «вы-
нуждающими силами», равными произведениям аберрационных коэффициентов первого порядка:
fT (X) =
т x = 22
m n
EimnRmi X)Rnk (X). (17)
(18)
с начальными условиями:
Тцк (0) = т;]к (0) = 0, T2Jk (0) = T2ik (0) = о, TV (0) = Tijk (0) = fiTk (0).
Действительно,
Till + к 2тш = 2 к2 Rii R41,
T112 + k 2T112 = 2 k 2( R11R42 + R12 R41)
и т.д.
Из общего вида R-матрицы (8) и последних уравнений следует, что
T111( z) = T112( z) = т11э( z) = T122( z) =
= T123( z) = T133( z) = T134( z) = T144( z) = 0-
Учитывая (15) и (12), легко определить ненулевые элементы Т-матрицы, удовлетворяющие условию (18):
T114( z) = kz sin kz,
T124(z) = —sin kz - zcos kz, (19) k
T214 (z) = k sin kz + k2 z cos kz, T224 ( z) = kz sin kz.
С учетом членов второго порядка интеграл (7) запишется как
l =-2
1 í (k
2r2 + /2) dz -... (20)
Ненулевые матричные элементы 3-й строки Т-матрицы имеют вид
T311( z) = ,
z
T322( z) = 2
(21)
5. Уравнение третьего порядка
Ограничиваясь членами третьего поряд-
ка, можно записать, что
г ( г ) = ^11г0 + Я12 го' + Т114 г0д + Т124 го'д + + С/1111 г03 + С/ 1211г02 г0 + И 1311 г0210 + И 1411 г02 д +
+ U 1122 Г0 Г0 + U 1123 Г0 Г0 l0 + U 1124 Г0 Г0 8 +
+ и rl2 + и rl 8 + U r 82 +
^ U 1133 r0l0 ^ U 1134 '0l0u ^ U 1144 '0U T
+ U r 3 + U r'2l + U r'28 +
~ U 1222'0 ~ U 1223'0 l0 ~ U 1224'0
+ u r l2 + U rl 8 + U r 82 +
~ U 1133'010 ~ U 1134,0i'0UT^ u 1144'0u ~
00 3
00 2
+ и /3 + и /21 + с/ /2 д +
1222 '0 1223 '0 10 ~ и 1224'0
+ И1133 г0102 + И1134 г010 д + И1144 г0 д 2 + + И1333!0 + И1334^0 д + ИщД^б + И14443 • (22)
Теперь подставляем (22) в (5). Все коэффициенты Иуи, также как и Т]к, являются решениями уравнений гармонических колебаний с «возбуждающими силами»
= X"1 X"1 Е Я Т +
ик! / , / , ¡тн т] пк1 т п
+ ^^ ^^ Е Т Я + ^^ ^^ ^^ Е Я Я Я
¡тп т]к п1 ¡тпр п] тк р1
т п т п р
и начальными условиями:
ГИщк! (0) = И" ]И (0) = и 2 ]к! (0) = 0,
| и ] (0) = /1% (0).
Для разложения (22) нетрудно получить следующие (не равные нулю) коэффициенты строки и1 к! из уравнений:
и" + k2U = k2 U1111 ^ k U1111 — k
r BB -k 5} R131 -
B'
-k Яц R21 + k — R11R
U" + kLU = 3k2
U1211 ^ k U1211 3k
B ll"^
2b - k 2 ^RnR12
- 2k R11R21Я22 - k R12 R21 +
2 B 2 B 2
+ 2k — R11R12 R21 + k — R11R
11 22
В В
и т. д.
Окончательный вид искомых коэффициентов разложения г(г) и г'(г), учитывая (12), таков:
1 Г 3В"
U1111 =-
- 4 k I kz cos kz +
8 I 2 B
1 B' , , ,B'
+ k—kz cos kz - k—sin kz + 8B 4B
0
+-B— cos kz sin kz + k-B— sin kz sin2kz, 32B 16B
9 Г B" , B' . , V o,
--T7\ -cos kz--sin kz I sin2kz,
16 i 2kB B J
1 Г 3B" ,_2
^1211 = -8k\"2B_k Ikzc0skz+
1 Г 3B" ,2 V , b'
+ -11--k I sin kz +--(kz sin kz +
2k i 8B J 8B
3 • , • 3B" . 3,
sin kz sin2kz) +--sin kz,
2 16kB
U1122 = —| — - 4k2 |kz sin kz -
1122 8k2 i 2B J
3B B
--r— sin kz sin 2kz +--kz cos kz -
32k2B 8kB
B' . , 3B' . 3,
--sin kz +--sin kz,
8kB 8kB
U1144 = -1 kz sin kz -
1 2 2 1
- 1 k z cos kz - 1 kz cos kz sin 2 kz,
U2222 =-2k^Ib" " k2 Jkz sin kz +
B B
+--kz cos kz +--sin kz +
8kB 4kB
3 Г B B J
+ —г I -sin kz--cos kz I sin2kz,
16k i 2kB B J
U2144 = -k sin kz - 2k z cos kz +
+ k z sin kz + — sin kz sin 2kz, 24
U2244 = - 2 (sin kz + kz cos kz).
Подставляя разложения для r(z) и r'(z) до второго порядка в (7), получим следующие ненулевые элементы строки U3jk¡:
U1
1
3 B"
2 k3 i 8 B
k2 I(kz cos kz - sin kz) +
B' . B" . 3
+--;— kz sin kz +--5— sin kz -
8k2B 16k3B
B sin kz sin 2 kz,
U3114 (z) = -k(1 - cos kz),
1 2
U3214(z) = — sin kz,
1
1
16k2B
U1244 = - 2 z sin kz, U2111 = k I —— 4k2 |kz cos kz +
2111 8 i 2B J
+ k i — - 4k2 - k—kz I sin kz + 8 i B B J
3k Г B" ,
+--1 — cos kz - kB sin kz I sin2kz,
16B i 2 J
и3224(г) = — ^кг - ^т 2кгу.
Для дальнейших вычислений величин г(г) и г'(г) можно привести следующую удобную формулу:
Í
] = [r + T4 d + Un • r02 + U22 • r0'2 +
+
U44 -52]•Г^
V r0 ,
R =
Г R11 r2 J
V R21 R22 J
T =
T4
ít T Л
T114 T124
,T T
i Г IB! k 2
2k { 8B
U2122 = -1 - k \kz cos kz +
Un =
fU U I U 1111 U 1211
VU 2111 U 2211J
, U2 =
fU U I U1122 U1222
VU 2122 U————J
1 Г 3B" ,2 ,2 — J . ,
+ 7Ц--k2 - k1 z- I sin kz -
2k i 4B 4B J
U
U U I
U 1144 U 1244 VU2144 U2244J
Физика
29
Заключение
Для получения решения нелинейных уравнений представление (11) оказалось продуктивным. Результат прохождения пучка
Радиус Я, см
------- к
к?
\ \
Z, м
через реальную соленоидальную линзу с учетом аберраций второго и третьего порядков представлен на рисунке (величина отклонения д= 0.05).
Угол Я, рад х-| 0 3 3 - угловые координаты
о -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
1 ч
\
V
> V
;
1
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
б
0,5
1,0
1,5 Z, м
Траектории частиц пучка (а) и угловые координаты частиц вдоль пучка (б) в реальном магнитном поле соленоида.
Приближение третьего порядка.
Внешние частицы пучка пересекают осевую линию намного раньше места предполагаемого фокуса линзы. Это приводит к существенному искривлению фазовых прямых. Уже к г = 0.2 м движение пучка перестает быть ламинарным, формируется трубчатая структура плотности тока. К г = 0.4 м
образуется довольно отчетливое гало вокруг центральной плотной области. В дальнейшем подобная структура сохраняется. Отметим большое влияние аберрации третьего порядка в приведенной линзе, тогда как хроматическая аберрация существенна лишь до г = 0.4 м.
а
