Термомеханическая расстраиваемость светозащищенных диоптрических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

290 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №6(65).

УДК 539.37, 536.3

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ РАССТРАИВАЕМОСТЬ СВЕТОЗАЩИЩЕННЫХ ДИОПТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2008 А.Е. Романов1

Приведена постановка задачи термоупругости с нелинейными граничными условиями уравнения теплопроводности для оптических элементов диоптрических систем, эксплуатируемых на борту космических аппаратов. Определены точные формы представления граничных условий в одномерном приближении с учетом функционирования неизотермической светозащитной бленды. Описаны проявления термомеханической расстраиваемости в диоптрических системах.

Ключевые слова: квазистатический, термоупругость, деформация, светозащищенная диоптрическая система.

Введение

С развитием космических исследований в оптическом приборостроении появились новые задачи, связанные с получением снимков оптическими системами высокого разрешения. На борту космического аппарата на оптическую систему оказывает влияние множество факторов естественной и искусственной природы [1], что приводит возникновению термомеханической расстраиваемости. Наиболее значимыми инициаторами влияния являются Земля и Солнце, тепловое излучение которых по совокупности переменно по амплитуде и продолжительности воздействия.

Во избежание появления температурных деформаций в оптических элементах [2] необходимы меры по их защите от теплового воздействия Земли и Солнца. Ввиду первостепенности качества изображения оптической системы осуществление термомеханической защиты не должно его ухудшать. Одним из вариантов решения проблемы, позволяющих не только сохранить, но и улучшить качество изображения, является использование светозащитных бленд, эффективный вариант конструкции которой исследован в [3,4].

1 Романов Алексей Евгеньевич (rom-alex@mail.ru), кафедра физики твердого тела и неравновесных систем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Однако из-за высокой теплопроводности материала бленды (тонкий листовой металл) и малой ее массы (несколько килограмм) светозащита сопровождается усилением термомеханической расстраиваемости в виде изменений относительного показателя преломления линз, геометрической формы оптических поверхностей, толщин линз и межлинзовых расстояний, а также сопровождается возникновением термооптических аберраций [5].

В рамках статьи под оптическими диоптрическими системами подразумеваются несклеенные линзовые рефракционные оптические системы, предназначенные для фотографирования поверхности Земли (ТА) и для фотографирования звездного неба (ЗА) [6]. Перед каждой из них располагается светозащитная бленда, наружная боковая поверхность которой закрыта от теплового воздействия Земли и Солнца корпусом космического аппарата. Широкодиаметральная часть бленды направлена к поверхности Земли (ТА) или на звездное небо (ЗА). Вблизи узкодиаметральной части находится защитное стекло (ЗА) или первая линза диоптрической системы (ТА), примерное местоположение которых показано на рисунке в виде круглой мишени. Поскольку защитное стекло имеет поверхности, близкие к сферическим при бесконечно большом радиусе кривизны, то оно в дальнейшем моделируется так же, как и линзы объектива.

Термомеханическая расстраиваемость ЗА и ТА определяется из решения задачи термоупругости с нелинейными граничными условиями. Решение показывает возможность возникновения термомеханической расстраи-ваемости в первую очередь на основе сравнения с величиной волновой аберрации Д»: изменения поля перемещений и = и (г, г) оптической поверхности характеризуют изменения качества изображения на основе критерия Рэлея Д» ^ ^/4, где —длина световой волны [7]. Волновая аберрация вдоль главного луча параксиального пучка, преломляющегося через К поверхностей, выражается через перемещения в виде

К

Д» (г) = ^ [п (гк) - «о] [и (гк, г) - и (гк, 0)],

к=\

где п (гк) — показатель преломления стекла линзы деформированной поверхности, «о — показатель преломления воздуха. Если Д» ^ ^»/4, то термомеханическая расстраиваемость оказывает незначительное воздействие на качество изображения диоптрической системы.

1. Постановка нелинейной задачи термоупругости

Область решения задачи термоупругости для одиночной линзы представляет собой объем, образованный пересечением двух сферических , F2)

2В противном случае для выявления всех особенностей необходимо решать задачу термоупругости с нелинейными граничными условиями в трехмерном приближении.

и одной цилиндрической3 (£) поверхностей, имеющих общую ось симмет-

рии — оптическую ось. Поверхности, разделяющие материал линзы и окружающей среды, где происходит преломление света, называются оптическими. В дальнейшем под оптическими будем подразумевать только сферические поверхности Fl и F2.

Классы связанных и несвязанных задач термоупругости и соответствующие уравнения движения и теплопроводности для канонических областей рассмотрены в [8,9]. Поэтому постановка начально-краевой задачи в перемещениях и для одиночной линзы с вектором нормали М к поверхности линзы в общем случае имеет вид

где . = 1,2; Х, ц — изотермические коэффициенты Лямэ; Тт$ — референциальная температура; 0 = Т—Тг^ — избыточная температура; у = ат (ЭХ + 2ц) — термомеханическая постоянная; ат — коэффициент линейного теплового расширения; р — плотность; х, а — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности; От — постоянная Стефана—Больцмана; ц — плотность теплового потока, излучаемого на поверхность оптического элемента либо со стороны бленды и доступных участков при съемке поверхности Земли, либо от соседних линз объектива и защитного стекла; ¥ — коэффициент облученности. Степень черноты оптической поверхности примем равной единице [10].

Из приведенной системы уравнений видно, что граничные условия (1.4) для уравнения движения (1.1) определяют перемещение оптических поверхностей при температурных деформациях и линейны относительно избыточной температуры. Цилиндрическая поверхность £ не участвует в распространении света, т.к. условие (1.5) определяет в данном случае зону жесткого контакта линзы с оправой объектива. Граничные условия (1.6) для уравнения теплопроводности (1.2) с начальным условием (1.3) на каждой оптической поверхности учитывают теплообмен в форме Стефана—Больцмана [10,11], а граничное условие (1.7) определяет теплоизоляцию поверхности £ контакта в оправе объектива.

цУ2и + (Х + ц) УУ ■ и — уУ0 = ри,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6) (1.7)

х

0 (г, г)|г=о = 00 (г) , ц [Уи + (Уи)*]|^. • М +М ■ (ХУ ■ и — у0)|^ = 0,

и|£ = 0,

х М ■ У0Ц. = ¥ [от (0 + тм)4 — д\| ,

М ■ У0|£ = 0,

3При изготовлении линз с малыми радиусами кривизны профиль может иметь более

сложную форму.

Нелинейность условия (1.6) обусловлена наличием 4-й степени избыточной температуры, а также тем, что плотность теплового потока ц в общем случае является нелинейной функцией координат и времени. Зависимость ц ~ 04 здесь появляется в случае зависимости от температуры поверхности соседних линз (например, при теплообмене между первой и второй линзами диоптрической системы). Рассматриваемую задачу при определенных условиях можно линеаризовать. Чаще всего для линеаризации (1.6) используется преобразование к граничному условию конвективного теплообмена в форме Ньютона [11], а также осуществляется поиск асимптотических решений [12,13] или оценок решений на основе теоремы сравнения [14]. При линеаризации имеется выбор среди двух определяющих факторов: 1) предел изменений функции / (0) ~ 04 по 0 за время активного существования оптической системы г е [0, та]; 2) промежутки времени между достижением локальных экстремумов плотности теплового потока ц.

В первом случае из построения зависимости / (0) ~ 03 в пределах 10% изменений относительно тт$ = 293°К следует относительная погрешность порядка 16%, что является неприемлемым, т.к. при априори заданной меньшей погрешности необходимо решать задачу термоупругости таким образом, чтобы контролировать эту погрешность на основании результатов расчета поля температур в промежуточные моменты времени.

Второй случай по своей природе в контексте нелинейности ц = ц (г, г) характеризует независимость функции от термоупругого состояния оптической системы и потому может быть взят за основу линеаризации. Собственно, он предоставляет возможность решения линеаризованной задачи термоупругости в квазистатической постановке. Учитывая малую теплопроводность бесцветного оптического стекла (х ~ 1Вт/(мК) [15]), наиболее удобным представляется путь решения задачи на равных промежутках времени при постоянном значении / (0) ~ 03 на них.

Предположим, что время активного существования оптической системы N

та = и (тп, хи+1) есть совокупность промежутков [тп, Хи+1], тп = Дг (п — 1), где

п=1

Дг — диаметр разбиения. Если записать коэффициент радиационного теплообмена как комбинацию функций из разложения (1.6) в виде

|3 = ог(© + Г + л4/^)(02 + 2Г0 + Г2+ л[^), (1.8)

\ \ От /\ У От /

то объединение последовательности решений линеаризованной с помощью (1.8) задачи (1.1)—(1.7) в квазистатической постановке

цУ2и + (Х + ц) УУ ■ и — уУ0 = 0, (Э = аУ20, (1.9)

0 (г, г)|г=0 = 00 (г), (1.10)

ц [Уи + (Уи)*]| • М +М ■ (ХУ ■ и — у0)|^. = 0, и|£ = 0, (1.11)

х М ■ УЩ = ¥|3 [0 — 0г]|^., М ■ У0|£ = 0 (1.12)

на каждом из п промежутков (тп ^ г ^ тп+\) позволяет представить решение начально-краевой задачи в виде непрерывных во времени функций

N

где Н — функция Хэвисайда, г — радиус-вектор точек деформированной поверхности. Следует заметить, что в рамках статьи функция Хэвисайда применяется лишь для объединения всех решений в одну непрерывную функцию и никакой смысловой нагрузки в смысле обобщенной функции [16] не несет.

Вблизи оптической оси качество изображения оптической системы считается наиболее важным. Поэтому для определения возможности возникновения и развития термомеханической расстраиваемости задачу термоупругости (1.9)—(1.12) ниже рассмотрим в одномерном приближении, где моделью одиночной линзы является отрезок г £ [0, Ь], где Ь — толщина линзы вдоль оптической оси. Тогда постановка задачи термоупругости за время активного существования светозащищенной диоптрической системы примет вид

(1.13)

п=1

(1.14)

|3(п) = сош1:, 0(п)

(1.15)

а в выражении (1.13)

Уп (0 = Н (г - тп) - Н (г - тп + 1) >

д2и у <90 <901'"'1 <920(”)

дг2 X + 2[1 дг ’ дг дг2 ’

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

2. Решение линеаризованной системы уравнений термоупругости

Для произвольного за время Ta момента времени и начального условия (1.10) в виде 0 (г)|(=о = ©о (г) найдем решение одномерной задачи термоупругости (1.16)- (1.20) с помощью метода конечных интегральных преобразований Фурье для граничных условий 3-го рода с ядром [11]

Ki(z) = n,-cos^^-j + fiz'osin^Y^, (2.1)

l) *°sin(L

где Bіо = воL/x, BiL = PlL/x — критерий Био, Fo(t) = at/L2 — число Фурье, Ці — положительные корни спектрального уравнения

со,(і1і)=вїТГЙіГ-— )■ (22)

Решение при i > 1 есть

1 то

|ii = я а - 1) + ——-----— V Г". (2.3)

п (Bi0 + Bil)

n=1

Здесь первое слагаемое является его асимптотическим решением, а второе позволяет аппроксимировать со 2-го по 4-й корни с точностью <0.012% и корни с 5-го и более с точностью <10-8%. Заметим, что при i = 1 корень уравнения приближенно (с точностью <0.07%) можно найти из разложения функции tan (ц) в ряд Тэйлора, ограничиваясь первыми двумя слагаемыми. Подставляя их в (2.2), получаем биквадратное уравнение

+ (3 - Bi0BiL) - 3 (Bi0BiL + Bi0 + BiL) = 0.

Его корни равны ±^^. Выбирая и извлекая из него квадратный корень,

получаем

BioBii — 3 + sj(BioBii)2 + 6lii()liii + 12 (Ш() + Bii) + 9 . .

[ii =------------------------------------------------------. (2.4)

Более точно все корни могут быть получены численными методами. Таким образом, совокупность (2.3) и (2.4) полностью определяет ядро (2.1). Соответствующее интегральное преобразование

L

0i(t) = J' 0 (z, t)Ki (z) dz о

приводит уравнение теплопроводности к следующему виду:

L

J 0 (z, t)Ki (z) dz (2.5)

L L

d@i dt ’

оо

L L

C\ Л

—Ki(z)dz = — J Q(l)K;(-)d- =

L

I

д2в

dz2

■Ki(z) dz =

Bio (ц2 + Bz'2) [¥0W]I sin (цг)

------------;--------—---------+

L (Bio + Bib)

№

BiL [Т0«]

(2.6)

I / \ 2

lz=0 / И-г \ 7л

L

- Г.1 0i

Обозначим

A; =

Bio (ц2 + Bi^ [¥0(r)|l sin (Ц,) ЦiBiL [¥0W]

-------------------—-------- + ------------

z=0

L

(2.7)

L

L

А,- 1^0,

(2.8)

L (Bio + BiL)

Подставляя (2.7) в (2.6), получаем уравнение теплопроводности в Фурье-образах

Л©; _ л ,

— С1 А; — I

L

Поскольку в общем случае начальное условие не является однородным, то

L

00 (z)Ki(z)dz = 00(0- (2-9)

o

Система уравнений (2.8) и (2.9) представляет собой задачу Коши для трансформанты температуры. Ее общее решение есть

©г(0 = |©0(0 + aj Aie^^d^e-^K

(2.10)

Формула обращения преобразования (2.5) имеет вид

ТО

®{z,t) = YJC&i(t)Ki{z),

(2.11)

;=i

Ci =

2 ц2 + Bz'2 Bio + Bi0 + ц(- + Bii—---------------------------------—-

ц2 + В^\

Решение системы уравнений упругости по известному температурному полю (2.11), в котором время представляет собой параметр, получим в рамках краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Обозначим V = du|dz. Тогда (1.16) и (1.17) примут вид:

dv у d0 у0 (0) у0 (Ь)

dz ~к + 2ц dz ’ ^ ^ ~к + 2ц

Очевидно, что общее решение есть

, v (L) =

X + 2ц

, ^ у0 (z, t) v(z,t) = -—— + сь X + 2ц

(2.12)

+

а из граничных условий следует, что константа интегрирования е\ = 0. Тогда при интегрировании (2.12) получим

Y

и (z, 0 =

J Є (z, t) dz + С2. (2.13)

X + 2ц

Используя (1.17), в рамках квазистатической задачи получаем С2 = 0 и

Y

и (z, 0 =

J Є (z, t) dz. (2.14)

X + 2ц

При этом поле перемещений также представимо в виде, подобном (2.11), т.е.

то

и 0 = ITT 2 Сг®г (0 0г (г)’ (2Л5)

^ i=1

L [ • (№\ и-

йгптгв'осопт

Таким образом, объединение решений (2.11) и (2.15) согласно формулам

(1.13) и (1.14) определяет непрерывное во времени распределение полей температур и перемещений одиночной линзы. Далее определим решение системы задач термоупругости для коллектива J линз оптической системы

и = hj).

Формирование поля температур (2.11) и перемещений (2.15) обусловлено изменением коэффициентов теплообмена рП1. Учитывая, что на промежутке времени [тп, Tn+i] для каждой поверхности рП = const, решение системы линеаризованных задач термоупругости найдем на основе рекуррентных соотношений между трансформантами температур, вычислив предварительно интегралы в (2.9) и (2.10).

На промежутке времени t е (тп,xn+i] трансформанта поля температур имеет вид (2.10), где Ai = const. Вычисляя интеграл в (2.10), получаем

(?) = |©^} + Щ. \e^Fo(t) - e^Fo{^]] j e-^Fo(t\ (2.16)

где ©о,--) определено формулой (2.9), в которой ©q""1 (z) = @(z,т„). В (2.16) также присутствует интеграл по координате. Обращая внимание на то, что в (2.9) зависимость обеспечена только ядром интегрального преобразования, выражение трансформанты ©О”"1 (z) есть

l l

ег =

О i_ 1 о

L ( Ц2 — Bl^) sin (0\ і Л _

+ Bi0L sin2 (ц) .

fK

J в(п~Г) (z, Гп) Ki iz) dz = J] Сі@(Г1) (T„) J Kf (z) dz,

n i=1 r\

L (\2 — Bi'0)

2 (z) dz =

sin (2ц,-)

2\ i

Тогда имеем

СО

(2.17)

,= 1

р = ь(\$ Вго) Гш1(2ц0 + 1 + ‘ 2 2ц,-

+ 1 + Ы0Ь 8Ш2 (ц,-) .

Подставляя (2.17) в (2.16), получаем

а при подстановке (2.18) в (2.11) для N шагов по времени искомое температурное поле представляется непрерывной в пространстве и времени функцией

Тогда на основе (2.15) и (2.19) перемещения оптической поверхности определяются в виде

Очевидно, что решение нелинейной задачи термоупругости в виде совокупности последовательно решенных на малых промежутках времени линеаризованных задач термоупругости связано, как было указано выше, с вычислением последовательности состояний трансформант на основе рекуррентного соотношения (2.18). Следует отметить, что коэффициенты А,, С,, Р, и собственные числа ц,- связаны с квазистационарным состоянием температурного поля и постоянны в течение каждого промежутка времени [тп, тп+1 ] в зависимости от чисел Био, которые в свою очередь определены соотношением (1.8). Таким образом, последовательность этапов решения задачи термоупругости для одиночной линзы на любом п-м временном шаге осуществляется согласно следующему алгоритму:

1) вычисляются эффективные температуры 0^ для каждой границы;

2) вычисляются коэффициенты теплообмена для каждой границы;

3) вычисляются значения критериев Био для каждой границы;

4) вычисляются А,, С,, К, (г), О, (г), Р, и собственные числа ц,-;

5) вычисляется трансформанта начальных условий (2.17);

6) вычисляется трансформанта температурного поля (2.18);

7) вычисляются поля температур (2.19) и перемещений (2.20);

8) вычисляется поле температур на момент г = тп+1 как начальное состояние для (п + 1)-го шага.

Описанный алгоритм распространяется и на коллектив линз диоптрической системы, но с учетом следующих дополнений. В граничных условиях (1.18) и (1.19) эффективные температуры поверхности определены,

N СО

(2.19)

п=1 ,= 1

N о

“ (г’ ° = Х + 2" 2 2 (0 °1 (г) (?)'

(2.20)

исходя из формы записи Стефана—Больцмана. В том случае, когда теплообмен происходит между двумя линзами, эффективные температуры по определению являются температурами оптических поверхностей, а при описании теплообмена в терминах тепловых потоков (первичные и вторичные внешние источники тепла) эффективные температуры определяются согласно (1.15). Поэтому решение задачи термоупругости для коллектива линз обусловлено наличием парных взаимодействий между четными (г = и нечетными (г = 0) оптическими поверхностями, что в некоторой мере упрощает решение задачи. В данном случае последовательность этапов решения полностью соответствует этапам вышеприведенного алгоритма, но требует дополнений по пункту 3, которые представлены в примере для /-линзового объектива ТА (/ > 2). Обозначим Пи) = ©П + ©(” ^. Тогда система критериев Био на момент времени г = тп для коллектива линз и защитного стекла имеет следующий вид:

1-я линза

Д.(Л) Хі£г

(і) и

п(я) +

(я)!2

П.(п) _ XIОг

®‘ь'> - ~

П

(я)

7=1ч

+ П

(я)

7=0

+

+

7=0

(я)

ки

2-я линза

п/п) _ Х2^1 Дї0(2)

Х1 ^2

Ві

(я)

1(1)’

(п) _ Хгог

ШЦ2) Ьг

п?"

7=Ь?

+ П

(я)

7=0

Ни2+ки

/-я линза

д .(я) _ Х£Ог

защитное стекло

Ві

.(п) _ X./ I

0(/)

Ві

(я)

Х/-1 ьГ1(/-1)’

П/я)

7=Ь/

+ П

(я)

/+1

7=0

Ни2

Ві

(я)

Х./+1 і'111

0(/+1) х/Ь/+Г 7

Ві

.(/+1) _ Х/+1°г

Ця)

£/+1

П(я) + П/+1 +

П

(я) 2

7+1)

7=Ц+1

Здесь Ві'0’(1) определяйся тепловыми потоками от поверхности Земли и бленды для ТА (см. (3.4)) и от бленды для ЗА (см. (3.13)), а В^/+^ зависит от температурного поля вблизи фокальной плоскости и в ряде случаев может быть реализована ситуация у[(У^~вт- Заметим, что для ЗА порядок следования записанных уравнений теплообмена сохраняется: меняются местами только названия ”1-я линза” и ’’защитное стекло”.

2

2

2

+

3. Неизотермическая светозащитная бленда

Эксплуатация диоптрических систем на борту космического аппарата, в отличие от светозащитной бленды, не предусматривает прямого попадания солнечных тепловых потоков на поверхность первой линзы ТА или защитного стекла ЗА. При этом интенсивность теплового воздействия определяется оптическим коэффициентом отражения рабочих поверхностей бленды, который для осуществления эффективной светозащиты должен быть величиной < 0.1 [3]. При диффузном рассеянии между спектральным распределением степени черноты и коэффициента отражения идеальной диффузной поверхности имеется зависимость Єу = (1 - р^)/л [17], откуда при ^ 0 имеем Єу < 0.318. Из этого следует, что доля тепла ~ (1 - Єу) изменяет температурное поле бленды и формирует тепловой поток плотностью ду. Плотность теплового потока записывается в соответствии с законом Стефана—Больцмана, а для первой линзы ТА или защитного стекла ЗА согласно нелинейной зависимости в (1.6) от координат и времени в одномерном приближении имеет вид

где правая часть определяется плотностью суммарной плотности теплового потока дь, излучаемого неизотермическими поверхностями диафрагм светозащитной бленды в телесный угол, определяющий видимость осевой точки первой поверхности линзы ТА или защитного стекла ЗА коэффициентом облученности ¥^. В связи с этим определим закономерности теплообмена, при которых плотность теплового потока (3.1) приводит к термомеханической расстраиваемости диоптрической системы.

Одной из самых простых моделей бленды является полый усеченный конус с полууглом раствора п. Для выполнения оценок, показывающих возможность возникновения и развития термомеханической расстраиваемости, замена коллектива диафрагм одной диафрагмой вполне приемлема, т.к. Солнце представляет собой точечный источник, а при воздействии излучения с больших расстояний на тело сложной формы поверхность теплообмена определяется миделевым сечением. В отношении Земли требуется точный расчет плотности тепловых потоков ввиду неравнояркости излучающей поверхности. В связи с этим для околополярных орбит космического аппарата при плановой съемке и постоянных параметрах орбиты плотность поглощающегося теплового потока от поверхности неравнояркой Земли приближенно может быть представлена функцией

д (г) = Чъдъ (г),

(3.1)

д®(г) = (1 - єу) [Тф + Т0^ф (г) соя (П {г'(г) - гз})],

(3.2)

где Т0 = 1378Вт/м2 —солнечная постоянная, Тф = 225Вт/м2 — постоянная Земли, dф — функция, определяющая моменты пересечения космическим аппаратом терминатора Земли, ¥ф — коэффициент облученности входного зрачка бленды поверхностью Земли, П — угловая скорость движения космического аппарата вокруг Земли, ?1,?2 — моменты пересечения космическим аппаратом терминатора Земли, 13 — момент прохождения космического аппарата вблизи зенитной точки. При этом справедливо равенство Та = 2лЖ/П, где W — количество витков космического аппарата за время активного существования диоптрической системы.

Осесимметричная форма бленды способствует тому, что геометрическое место точек области прямого попадания солнечного потока имеет серповидный профиль, максимальная толщина которого зависит от значения угла а между оптической осью и направляющим вектором теплового потока от Солнца. Наибольшая ширина серповидной области вдоль оптической оси и ее площадь соответственно равны

где r (а) = Г1 - l (а) tan (п) — радиус бленды на высоте l от входного зрачка, Lb = (Г1 - Г2) cot (п) — высота конуса, п, Г2 — радиусы оснований.

На часть площади S1 с S попадает прямой тепловой поток от Солнца, причем именно на ту, внешние нормали к внутренней стороне которой обращены в сторону Солнца. Обозначая 0 угол широты в плоскости входного зрачка и принимая во внимание, что площадь S1 ограничена, получим

Мощность теплового потока, приходящегося на площадку $ 1 с учетом диффузного рассеяния, равна

— геометрический фактор распределения плотности излучения. В единицу времени количество тепла, которое будет поглощено в области солнечного пятна, равно

l (а) = (rl - r2) tg

О.5п

О

P1 (а) = Y01 (а) S1 (а),

где

2 + п

1(а)

sin а

п

где

P0(t) = (1 - Ет) P1 [а(0] d0(t), d0(t) = 1 — H [t?(t) — й] + H [^(0 — t5]

(З.З)

— функция, определяющая моменты времени захода КА в тень Земли (г = = £4) и выхода из тени (г = £5). Таким образом, применительно к задаче (1.16-1.20) в течение каждого промежутка Дг суммарное количество поглощенного тепла будет зависеть от изменений во времени функций (3.2) и (3.3):

тп+1

Qn = J' [Р© (t) + Sbq® (t) + Yey] dt. (3.4)

Здесь у — коэффициент облученности точки линзы г = 0 непосредственно от поверхности Земли. С другой стороны, по формуле объема сплошного усеченного конуса массы ть, имеющего габариты бленды, при толщине стенок к его объем равен разности объемов двух сплошных конусов, разность радиусов оснований которых равна Дг = к/ со8(п). Количество тепла, которое будет поглощено блендой, равно

0п = сть(гп+1 - Гп), (3.5)

где с — теплоемкость, Гп+1, Тп — средние температуры бленды соответственно в моменты времени тп+1 и тп. Приравнивая (3.4) и (3.5), и учитывая, что Т1 = Тт$ и температуры неизотермической поверхности бленды идентичны своим средним значениям, их можно выразить на каждом интервале времени. Тогда изменение плотности теплового потока на поверхности защитного стекла ЗА или первой линзы ТА есть

д(г) = От К(0 [етТ„4 (г) - Т4 (щ)], (3.6)

п

где Т — температура на оптической поверхности линзы. Коэффициенты облученности Ту и у имеют вид [10]

1 Г COS (ft) COS (к)

^—ds• (37)

S

где d — расстояние между точками взаимодействующих поверхностей, fr, к — углы между внешними нормалями взаимодействующих поверхностей и линией расстояния. Ввиду осевой симметрии бленды и необходимости расчета облученности поверхностью S единственной точки z = 0 линзы коэффициент облученности вычислим как облученность от линии вдоль образующей конуса и проинтегрируем полученный результат по широте 0. Тогда в системе координат линз бленда имеет координаты z < 0. Поэтому

2п Lb

1 Г Гг cos (fr) cos (к)

JJ “Ш• (38)

0 0

d = yjr2 + z2, r = Г2 + Zsin(r|), z = |zol + I cos (r|), (3.9)

fr = arccos(z/d), к = arccos(r/d) + n, (3.10)

где I е [0, Ьь], zo — расстояние от плоскости выходного зрачка бленды. Преобразуя (3.8) с помощью (3.9) и (3.10), получаем следующее выражение:

Ьь

Коэффициент облученности у в соответствии с представлением (3.7)

Подстановка (3.11) в (3.6) и (3.12) в (3.4) полностью определяет это граничное условие для одномерной задачи термоупругости. Следует отметить, что характерной особенностью функционирования бленды ЗА в отличие от бленды ТА является то, что действие тепловых потоков с поверхности Земли отсутствует. Поэтому для нее у = 0 и = 0, в результате чего выражение (3.4) для ЗА приобретает более простой вид

4. Проявление термомеханической

расстраиваемости в диоптрических системах

Проявление термомеханической расстраиваемости диоптрических систем приводит к возникновению термооптических аберраций: при наличии температурных деформаций и градиентов в толще линзы стекло становится неоднородным, вследствие чего пучок лучей распространяется не прямолинейно, а по кривым линиям — траекториям лучей [5]. Криволинейное распространение лучей в любой оптической системе может быть описано на основании решения уравнения эйконала [18] и построено геометрическими методами. Полное исправление всех аберраций в оптической системе невозможно, т.к. условия исправления одних видов аберраций противоречат условиям коррекции аберраций других видов. Поэтому при коррекции ищется некоторое компромиссное решение, которое определяется областью применения оптической системы. Одновременное исправление многих видов абер-

(3.11)

о

и (3.9) есть

2п г(Ьь)

оо

о = агссо8 [г (Ьь) /сР],

откуда после преобразований

г(Ьь)

(3.12)

о

(3.13)

раций в оптической системе возможно при наличии в конструкции оптической системы большого числа преломляющих и отражающих поверхностей и/или при использовании таких дополнительных возможностей, как асферические поверхности и материалы с экстремальными значениями показателя преломления и числа Аббе.

В условиях отсутствия термомеханической расстраиваемости линзы имеют идеальную сферическую форму оптической поверхности с радиусом кривизны Rc, описываемую в общем виде уравнением

х2 + у2 + (z - Z)2 = R^, (4.1)

где

Z = Rc + sign (Mz) Pz (4.2)

— расстояние от начала координат до полюса оптической поверхности вдоль оптической оси, Pz — полюс оптической поверхности. В приближении геометрической оптики ход луча в изотропной среде описывается параметрическим уравнением прямой линии [19]. Поэтому в средах с изотропным распределением T и процедура расчета хода лучей с вектором направляющих косинусов g для вычисления некоторых видов аберраций сводится к решению квадратного уравнения относительно длины луча lf между k-й и (k - 1)-й оптическими поверхностями. При этом главными этапами расчета хода лучей являются вычисление координат точек пересечения лучей с преломляющей поверхностью и компонентов вектора нормали в этой точке, что представляет существенные трудности для неоднородно деформированной поверхности. Положение вектора нормали обусловливает зависимость

Mo = M|t=o ^ M |t>o = f (u). Для идеальной сферической поверхности линз орт нормали к поверхности в точке падения луча имеет компоненты

R.I cos (0С) \ дх ду )

F (х, у) = sign (M0(z)) |Pz ~ л]Rc ~ x2-y2^ , (4.4)

где 0c —сферическая широта, Rc — радиус кривизны поверхности. При неуста-новившемся во времени поле температурных деформаций компоненты (4.3) изменятся, т.к. координаты оптической поверхности приобретают вид

х = Хо + их (х, у, z, t),

у = уо + Uy (х, у, z, t), (4.5)

z = zo + Uz (х, у, z, t).

Следовательно, если принять, что они определяют оптическую поверхность в актуальной системе отсчета, уравнение поверхности (4.4) будет содержать измененное значение Rc и координат центров кривизны. Поэтому при расчете хода лучей уравнение (4.4) также изменяется, т.к. деформированная поверхность становится асферической, откуда для k-й оптической поверхности

£[l - if + gfh] = [R®] , (4.6)

•!- [ (к) (к) (к)! где § = х,у,Г; \хс ,ус ,гс [ — местоположение локального центра кривизны

оптической поверхности линзы в термодеформированном состоянии, Я® = = Яс[х(ск\уСк),г®). В итоге уравнение (4.6) содержит 3 неизвестные координаты и радиус кривизны, зависящий от этих координат. При подстановке (4.5) в (4.6) последнее уравнение может быть представлено через координаты референциальной поверхности и компоненты вектора перемещений:

Kf+[P?]2

R

h =

(k)

t=0

(ul - 4c) + 21 (ul - lc)

2Pfgz + £ gl (ul - lc)

(4.7)

При неосесимметричных температурных деформациях местоположение центров кривизны и значения Iк в общем случае будет неопределенными, и поэтому при использовании (4.7) возникают проблемы, связанные с необходимостью поиска эволюты [20],—поверхности нормальной кривизны деформированной поверхности, что также усложняет оптический расчет. Кроме того, при температурных деформациях на момент £ > 0 между векторами нормалей Мо и М, восставленными соответственно в точках референциальной и деформированной поверхности, образуется некоторый отличный от нуля угол ■0'. Он находится из соотношения 008 (0) = Мо ■ М, которое при неоднородных деформациях определяется как

Mi = Mo(i)

11 - M2 I і JWo©

(4.8)

где и = ||и||-1 {их, иу, иг} — орт вектора перемещений. Именно в таком виде вектор нормали используется при вычислении коэффициента пропускания ’т диоптрической системы и при расчете направляющих косинусов преломленных лучей.

Коэффициент пропускания в оптически изотропной среде определяется состоянием поля углов падения g(k-1') и преломления g((k) лучей на границе раздела сред:

os(Uk) = g

= g(k-1)

M

(k)

os (Sk) = g(k) ■ M

(k),

g(k) = gl

(k-1) nk-1 gi

1 - (m®)2

+ M.

(k)

1 - (Mfgf)

nk

По формуле Френеля для неполяризованного света на границе идеально полированных сред коэффициент отражения равен

1

Рк~2

sin2 (vk - Як) tan2 (vk - Як)

sin2 (uk + Як) tan2 + Як).

и может быть выражен через спектральный коэффициент преломления [21].

2

2

При наличии просветленных4 поверхностей коэффициент пропускания

_ 1

Х~ 2

1 +

П(1 - Рк) А'

1к+1 —1к

где Д — коэффициент прозрачности стекла линзы (=0.99). Низкий коэффициент пропускания характеризует большие потери световой энергии в толще линз, которые приводят к снижению контраста изображения, и при определенных обстоятельствах его влияние приводит к потерям информационных свойств основного изображения. Энергетическая связь с коэффициентом пропускания устанавливается яркостью В объекта космической съемки и освещенностью Е его изображения в фокальной плоскости Е = гоВт, где го характеризует свойства оптического тракта ЗА или ТА, включая оптические свойства сред распространения светового потока [7]. Дальнейшее использование координат (4.5) и компонентов (4.8) в приближении геометрической оптики связано с расчетом хода лучей в оптически неоднородной термоградиентной среде и вычислением некоторых термооптических аберраций (например, сферической аберрации и дефокусировки). В этом случае вдоль оптического пути луча В = В (г), а температурные изменения относительного показателя преломления |3у [15]] связаны с градиентом поля температур соотношением

VA = V|3r (T - 7W) + втVT =

^ (Т - 7W) + |3Г

VT.

Литература

[1] Кобранов, Г.П. Внешний теплообмен космических объектов / Г.П. Коб-ранов, А.П. Цветков, А.И. Белов. - М: Машиностроение, 1977. - 104 с.

[2] Frolov, A.A. Thermoelastic deformation of optical elements caused by light absorption in glass/ A.A. Frolov // Glass and Ceramics. - 1992. - №8. -P. 361-365.

[3] Романов, А.Е. Использование бленд с коническими диафрагмами в составе комплекса топографической аппаратуры / А.Е. Романов, Е.В. Исаева // Оптический журнал. - 2005. - Т. 72. - №6. - С. 42-46.

[4] Романов, А.Е. Моделирование многократных отражений в блендах с коническими диафрагмами / А.Е. Романов // Оптический журнал. -2007. - Т.74. - №7. - С. 42-46.

[5] Волосов, Г.С. Фотографическая оптика / Г.С. Волосов. - М: Искусство,

1971. - 672 с.___________

4Просветление — процесс нанесения тонких пленок на поверхности оптических деталей с целью уменьшения отражения света от их поверхностей.

[6] Романов, А.Е. Расчет точности привязки космофотоснимков КТА к планово-высотной основе карт / А.Е. Романов, И.К. Куклев // Геодезия и картография. - 2002. - №11. - С. 25-31.

[7] Бегунов, Б.Н. Теория оптических систем // Б.Н. Бегунов, Н.П. Заказ-нов. - М.: Машиностроение, 1973. - 488 с.

[8] Коваленко, А.Д. Термоупругость / А.Д. Коваленко. - Киев: Вища школа, 1975. - 216 с.

[9] Боли, Б. Теория температурных напряжений // Б. Боли, Д. Уэйнер. -М.: Мир, 1964. - 518 с.

[10] Спэрроу, Э.М. Теплообмен излучением / Э.М. Спэрроу, Р.Д. Сесс. - Л.: Энергия, 1971. - 295 с.

[11] Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. - М: Высшая школа, 2001. - 551 с.

[12] Popovich, V.S. Thermoelastic state of a thermosensitive hollow sphere under the condition of convective-radiant heat exchange with the environment / V.S. Popovich, H.Yu. Harmatii, O.M. Vovk // Materials Science. - 2006. - V. 42. - №6. - P. 756-770.

[13] Choudhury, B.K. Transient temperature and elastic response of a space-based mirror in the radiation-conduction environment / B.K. Choudhury // Quarterly Of Applied Mathematics. - 2006. - V. 64. - P. 201-228.

[14] Даниэлян, Ю.С. Приближенное решение задачи теплопроводности с нелинейными граничными условиями / Ю.С. Даниэлян, Б.Г. Аксенов // Теплофизика высоких температур. - 1982. - Т.20. - №5. - С. 916-921.

[15] ГОСТ 13659-68. Стекло оптическое бесцветное. - М., 1968. - 60 с.

[16] Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

[17] Саяпина, В.И. Влияние шероховатости поверхности на излучательную способность металлов / В.И. Саяпина, Д.Я. Свет, О.Р. Попова // Теплофизика высоких температур. - 1972. - Т. 10. - №3. - С. 528-535.

[18] Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. -720 с.

[19] Кущ, О.К. Оптический расчет световых и облучательных приборов на ЭВМ / О.К.Кущ. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 152 с.

[20] Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашев-ский. - М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 432 с.

[21] Viskanta, R. Transient heating of opaque an semitransparent materials by radiation during processing / R. Viskanta , K.D. Jorgensen // Heat and Mass Transfer. - 2000. - V. 36 - P. 413-421.

Поступила в редакцию 26/VII/2008;

в окончательном варианте — 26/ VII/2008.

THERMOMECHANICAL UPSET OF LIGHT-PROTECTED DIOPTRICAL SYSTEMS

© 2008 A.E. Romanov5

Formulation of the problem of thermoelasticity for optical elements with nonlinear boundary conditions for the heat conductivity equation is given. Exact forms of boundary conditions in one-dimensional approximation taking into account functioning non-isothermal light-protected hood are defined. Features of display thermomechanical upset in dioptrical systems are described.

Keywords and phrases: quasistatic, thermoelasticity, deformation, light-protected dioptrical system.

Paper received 26/VII/2008. Paper accepted 26/ VII/2008.

5Romanov Alexey Eugenievich (rom-alex@mail.ru), Dept. of Solid State Physics and Non-Equilibrium Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.