CC BY
55
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2010. Вып. 1
УДК 517.938 Ю. В. Терешонков
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВЫХ ПОЛЕЙ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПУЧКАМИ ЧАСТИЦ
1. Введение. Бурное развитие ускорительной физики во многом связано с расширением области применения пучков частиц, что приводит к необходимости построения систем управления пучками с достаточно уникальными характеристиками. Среди подобных систем следует, прежде всего, упомянуть установки, предназначенные для исследований в таких классических областях как физика высоких энергий, физика твердого тела, биология, медицина, дефектоскопия материалов. В последние годы область использования подобных установок постоянно расширяется. Среди наиболее перспективных областей можно отметить нано- и биотехнологические исследования и неразрушающий анализ. Дадим следующее достаточно общее определение системы формирования и фокусировки пучка частиц.
Определение 1. Под ионно-оптической системой (ИОС) будем понимать такую систему транспортировки и формирования пучков, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) система предназначена для «перевода» пучка из одной части пространства в другую («транспортировка»);
2) основное внимание уделяется формированию поперечных фазовых характеристик пучка («фокусировка»);
3) аппроксимирующие модели описания эволюции пучка допускают иерархическую структуру уравнений движения (при этом в качестве низшей рассматривается так называемая линейная модель);
4) линейная модель допускает оптические аналоги критериев качества;
5) нелинейные модели строятся как возмущающие по отношению к линейной и описываются с помощью понятия аберраций различной природы.
Среди подобных систем особое внимание в последние годы уделяется так называемым зондоформирующим системам (см., например, [1]), определение которым можно дать следующим образом:
Определение 2. Будем называть зондоформирующей системой (ЗФС) ионнооптическую систему, в которой размеры множества пучка на мишени на один или несколько порядков меньше исходных размеров.
Под системой управления в подобной установке будем понимать устройства, генерирующие электромагнитные поля, обеспечивающие выполнение поставленных задач.
Терешонков Юрий Владимирович - аспирант кафедры компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. С. Н. Андрианов. Количество опубликованных работ: 9. Научное направление: математическое и компьютерное моделирование сложных динамических систем с управлением. E-mail: yury.tereshonkov@gmail.com.
© Ю. В. Терешонков, 2010
Сами устройства, создающие поля, распределены вдоль опорной траектории пучка (так называемой «оптической оси системы»), которая также может быть и криволинейной. Ее выбор определяется как предназначением, так и специальными требованиями к установке (например, длина, размеры элементов). Изготовление, установка управляющих элементов и условия их эксплуатации с неизбежностью вызывают различного рода неустранимые ошибки, которые существенно влияют на характеристики пучка. Системы с высокой чувствительностью к отклонению параметров системы от «идеальных» называются высокопрецизионными (см., например, [2]).
Высокая чувствительность такого рода установок приводит к необходимости тщательного предварительного анализа и синтеза системы с учетом влияния возможных конфигураций управляющих систем и неустранимых искажений в их технологических характеристиках. Подобный анализ необходимо проводить на основе содержательных математических моделей, с проведением серии вычислительных экспериментов с обязательным этапом верификации с учетом известных экспериментальных данных.
В настоящей работе одним из важнейших факторов, влияющих на характеристики пучка, является краевое поле управляющих элементов (см., например, [3-5]).
Определение 3. Краевым полем называется непостоянная часть электромагнитного поля, генерируемого управляющей ИОС.
Исходя из особенностей управляющих элементов, следует различать входное и выходное краевые поля. Информация о краевых полях может быть получена либо с использованием экспериментальных данных из различных источников или карт поля, либо из численного решения краевых задач для уравнения Лапласа.
Все экспериментальные данные и специальные работы по краевым полям связаны с конкретными магнитными линзами или некоторыми типами линз, выпускаемых серийно. Однако подобные работы (и экспериментальные, и теоретические) могут дать только некоторую предварительную информацию о распределении поля в управляющем элементе. Массовые измерения поля (с использованием специальных стендов) достаточно дороги и обычно осуществляются для «пробных» элементов. Исследование влияния особенностей краевого поля на характеристики пучка в настоящий момент практически отсутствуют, несмотря на достаточно обширный список публикаций по данной теме (см., например, [3-5]).
Структура управляющей ИОС может быть установлена в рамках линейной модели при описании пучка частиц в терминах огибающих [2]. На первом этапе эта структура определяется в терминах так называемой «прямоугольной модели» (кусочнопостоянная аппроксимация) управляющего поля. Здесь производится отбор оптимальных (в определенном смысле) структур, подробное изучение которых осуществляется на следующих этапах моделирования.
На втором этапе проводится исследование влияния краевых полей на базовые характеристики пучка в линейном приближении. В пунктах 4.3, 4.5 и 4.8 рассматривается некоторое множество аппроксимирующих модельных функций для краевых полей. Возможность моделирования с использованием некоторого набора модельных функций позволяет выбрать наиболее подходящие из них и тем самым дать некоторые рекомендации «изготовителям» управляющих элементов.
На третьем этапе рассматриваются вопросы влияния краевых полей с учетом аберраций третьего порядка, присущих системам управления, предназначенным для транспортировки и фокусировки пучка с прямолинейной осью.
В настоящей работе описана методология конструирования модельных функций распределения краевых полей, проанализированы множества подобных функций,
с точки зрения их реализуемости и адекватности экспериментальным данным, и изложены базовые принципы включения краевых полей в расчетную схему моделируемой системы управления. Предлагаемая методология предоставляет необходимый инструментарий для дизайнеров подобных систем и позволяет выбирать подходящие модельные функции краевых полей для аппроксимации реального управляющего поля. Соответствующие модельные функции должны быть кусочно-гладкими и удовлетворять некоторому семейству ограничений, которые вытекают из условий физической реализуемости (см. п. 4.3). Цель процесса аппроксимации - подготовить набор подходящих функций в некотором приемлемом классе, где будет осуществлен поиск оптимальных конфигураций. Другими словами, решается «обратная задача»: по необходимым конечным характеристикам пучка осуществляется поиск возможных вариантов управляющих полей.
2. Этапы процесса моделирования ИОС. Сложность систем управления пучками частиц, значительное число управляющих параметров, а также наличие семейства критериев качества приводит к необходимости тщательного построения процесса моделирования. В этой работе рассматривается задача моделирования ИОС, когда краевые магнитные поля влияют на характеристики пучка частиц и без учета собственного заряда пучка. Непосредственно из назначений ИОС следует, что задача моделирования заключается в формировании пучка частиц на мишени с некоторыми заданными характеристиками, а ее решение может быть разбито на следующие этапы:
1. Линейная модель для уравнений движения и кусочно-постоянная модель управляющего поля. В рамках данного этапа решаются задачи оптимизации, которые позволяют осуществлять отбор параметров систем по некоторым критериям качества (см. п. 4.10).
2. Линейная модель для уравнений движения и гладкая модель управляющего поля. На этом этапе исследуется раздельное и совокупное влияние различных аспектов формы и длины краевого управляющего поля на характеристики пучка частиц.
3. Линейная модель уравнений движения с учетом допусков на параметры системы. Здесь рассматривается влияние допусков на характеристики пучка с учетом краевых полей и без него.
4. Нелинейная модель уравнений движения. В этом случае проводятся исследования влияния нелинейных эффектов высшего порядка на базовые характеристики пучка.
Выделение эффектов, вызванных краевыми полями, связано с тем, что они обычно недостаточно подробно и обоснованно учитываются при численном моделировании систем управления пучками частиц. Автору не известны работы, в которых проводится аккуратное и последовательное исследование влияния различных аспектов (формы и длины) краевого поля на характеристики пучка. Однако краевые поля являются неотъемлемым атрибутом любого типа магнитных элементов, они не могут быть полностью устранены. Экспериментальные данные демонстрируют существенное влияние краевых полей на динамику частиц и их характеристики [3-5].
3. Математическая модель динамики пучка частиц. Математическая модель ИОС строится с помощью алгебраических методов Ли [6], реализованных в рамках матричного формализма [2]. Это позволяет использовать преимущества матричной алгебры, а также методы теории групп и алгебр Ли для построения пропагато-ра пучка, с целью изучения различных эффектов на базовые характеристики пучка. В динамике пучков традиционно применяются два подхода для моделирования. Первый
из них - трассировка (tracking) - основана на моделировании отдельных траекторий частиц, второй, в англоязычной литературе известен под термином «mapping», -на представлении о пучке как о динамической системе, для которой строится отображение (оператор эволюции - пропагатор).
В настоящей работе используется второй подход, а оператор эволюции строится в виде бесконечномерной верхнетреугольной матрицы, состоящей из блочных матриц в соответствии с представлением в базисе Пуанкаре-Витта (см., например, [2]). С учетом сделанных предположений матричный пропагатор не зависит от начального состояния пучка (при пренебрежении собственным зарядом пучка), что позволяет сократить временные затраты при расчетах.
Будем базироваться на аналитической интерпретации *) матричного формализма [2, 7], который предоставляет необходимые гибкость и точность вычислений.
Уравнение динамики частиц в окрестности опорной траектории**) в общем случае имеет вид
^M = F(X,S), F(0, s) = 0. (1)
ds
Хорошо известно (см., например, [2]), что решение задачи Коши (1) может быть представлено как бесконечномерный ряд Тейлора. В окрестности опорной траектории этот ряд сходится и может быть записан в базисе Пуанкаре-Витта. Запишем уравнение и его решение в терминах матричного формализма
/-JX ( ^ ^
= X(S) = ^Rlfc(S|So)x[,fcl. (2)
k=1 k=1
Здесь X[k](s) - вектор, являющийся кронекеровской степенью фазового X(s), Xo = X(so) - начальный фазовый вектор, so - начальная точка, P1k(s) - матрицы с элементами, равными к-й производной компонент вектор-функции F(X(s),s). Матрицы М1к(s|so), к ^ 2, называются аберрационными матрицами к-го порядка и аккумулируют в себе влияние всех нелинейных эффектов к-го порядка.
ИОС можно рассматривать в виде некоторой последовательности участков управляющего воздействия, а полный матричный пропагатор может быть точно (см., например, [2]) представлен в виде произведения частичных пропагаторов, в силу группового свойства. Для блочных матриц, входящих в пропагатор, можно записать следующее рекуррентное равенство:
к
Rifc(s2|so)= Rij(s2|si)Rk(si|so), j > 1, к > 2, (3)
j=i+1
где Mij(s|so) - вспомогательные матрицанты для построения М1к(s|so), которые являются основными. Выражение (3) есть точное представление матричного пропагатора для любого числа участков разбиения, любой функции распределения управляющего поля k(s) вдоль электрической оси системы и не зависит от способа разбиения оси на интервалы.
Элементы соответствующих матриц ищутся в аналитическом (символьном) виде как «вручную», так и с помощью пакетов компьютерной алгебры, например Maple, Mathematica.
++) Траектория, к которой привязана натуральная система координат, либо равновесная (связанная с траекторией реальной частицы), либо сконструированная (design orbit), которой не соответствует траектория какой-либо реальной частицы.
Разбиение на участки прежде всего порождается структурой установки и позволяет выделять участки с различным поведением управляющего поля. К сожалению, существует чрезвычайно узкий класс функций, для которых имеется аналитическое представление линейного пропагатора (для кусочно-постоянного поля см., например, [8]). Поскольку одной из целей настоящей работы является исследование влияния вариативности формы краевых полей на характеристики пучка, то особое внимание уделяется представлению краевых полей в некоторых классах функций. В этом случае в качестве базового набора управляющих параметров выступают параметры аппроксимирующих функций для краевых полей, местоположения магнитных линз, их длина и градиенты, а также свободные промежутки между ними. На участках с переменным полем (участки, соответствующие краевым полям) характер изменения поля может быть достаточно произвольным (см. п. 4.4). Поскольку на стенде можно проверить только конкретный управляющий элемент, то подобной информации недостаточно при моделировании всей системы в целом. При синтезе новой системы дизайнер должен сформулировать рекомендации, например какие именно краевые поля управляющих элементов следует реализовать, чтобы достичь необходимых характеристик пучка. Выбор интервалов разбиения и их количество определяется набором управляющих элементов и формой представления поля вдоль оси.
Ца) Цз)
Рис. 1. Приближенная модель магнитного Рис. 2. Аппроксимация краевого поля
поля управляющего элемента
Схематическое представление поля, генерируемого управляющим элементом, дано на рис. 1. Влияние этого элемента определяется системой входного и выходного участков краевых полей, а также центрального участка. Существует ряд работ, в которых рассматриваются различные формы представления краевых полей и исследуется их влияние с учетом конкретных экспериментальных данных [3-5]. В данной работе моделирование краевых полей осуществляется в классах некоторых функций с целью нахождения их влияния на характеристики пучка в произвольных ЗФС. Это позволяет дать рекомендации дизайнерам подобных систем по целенаправленному выбору характеристик управляющих элементов в зависимости от решаемых задач.
Для определения пропагатора на одном из участков с управляющим элементом можно аппроксимировать генерируемое поле в классе подходящих функций [2]. В общем случае можно аппроксимировать управляющее поле с помощью кусочно-постоянных (рис. 2), кусочно-линейных или более гладких функций, для которых известно аналитическое решение. Для некоторых классов управляющих полей удается подобрать модельные функции (в том числе составные), для которых известно
аналитическое решение, и они мало отличаются по норме от управляющих полей. Применение таких функций сокращает время вычислений и дает возможность увеличить точность численного моделирования.
Более того, аналитические решения для некоторых классов функций можно хранить в некоторой специализированной базе данных для использования в расчетах, что здесь и предлагается. Подобный метод позволяет использовать естественные методы распределенных и распараллеленных вычислений [7], в силу того, что решения будут находиться с помощью методов линейной алгебры.
На заключительных этапах моделирования необходимо использовать численные расчетные схемы для проверки и уточнения результатов (с учетом экспериментальных данных), полученных аналитически. Приоритетом в данной работе являются аналитические вычисления, в силу их гибкости, легкости варьирования параметрами и многократного использования для подобных классов задач. Это позволяет принимать решение о принципиальной возможности создания ИОС с учетом технологических особенностей изготовления и юстировки для достаточно широкого класса систем.
4. Линейная модель. Характер рассматриваемых задач накладывает на управляющие поля следующие условия: стационарность, отсутствие токов и зарядов, генерирующих поле, в области движения пучка частиц, представление управляющих полей в виде разложения в ряд по мультипольным компонентам. Последнее означает, что мы используем не уравнения Максвелла для нахождения магнитного поля, а хорошо известные представления разложения поля по мультипольным моментам и рассматриваем только магнитостатические управляющие поля (см. [2]).
4.1. Уравнения движения. В линейном приближении уравнения движения частиц имеют следующий вид для квадрупольных линз и для прямолинейной оси [8]:
Здесь к (в) = дС/ (тос/З'у), с - скорость света, /3 = [о\/с, 7 = 1/\Д — /З2, С = дБх/ду\х=у=о = дВу/дх\х=у=о - градиент магнитного поля, в - длина, измеряемая вдоль некоторой опорной траектории. Скалярные уравнения (4) можно переписать в векторном виде
где Хо = Х(во) - вектор начальных данных. Суть линейного приближения состоит в том, чтобы для всей системы (4) построить линейный матричный пропагатор (матри-цант системы) М11 (в\во), с учетом модельных или реальных управляющих полей вдоль оси.
Для работы со строгими математическими моделями необходимо обезразмерить уравнения (4). Это можно сделать, выбрав характерную длину системы. В качестве такой длины могут выступать, например, длина магнитного элемента, длина всей системы, длина периода для циклических ускорителей или любая другая единица длины.
4.2. Управляющие функции и параметры. В этой работе структура ЗФС позволяет представить управляющую функцию к(в) в виде кусочно-гладких функций
х" + к(в)х = 0, X = дх/д,в, У - к(в)у = 0, у' = йу/йв.
(4)
к(в) = <
' 0, в € [во,в1), Дв1 = в1 - во,
к2(в), в € [в1,в2), Дв2 = в2 - в1,
0, в € [в2,вз), Двз = вз - в2,
(5)
кп(в), в € [в„_1,в„), Дв
„ 0, в € [вп,вп+1), Дв.
Двп+1 = вп - вп+1.
В (5) к*(в) - поле г-го управляющего элемента, которое, в свою очередь, тоже можно разбивать на участки. В математической модели входное и выходное краевые поля являются управляющими функциями. Введем дополнительное разбиение, которое позволяет интерпретировать краевое поле как виртуальное управление в процессе моделирования для поиска оптимальных решений.
В результате такого разбиения задача оптимизации ЗФС может быть сформулирована в терминах как управляющих функций, так и управляющих параметров. Правая часть в (1) может быть представлена как Е(Х, и, В,в), где и(в) = (и1(в),...,ип(в))* = (0,к2,...,кп)* - вектор управляющих функций, В = (Дв1,..., Двп+1)* - вектор управляющих параметров, операция (•)* означает транспонирование. Разбиение системы на участки осуществляется по управляющим элементам. Представление к*(в) в виде входной и выходной частей краевого поля, а также центральной части приводит к расширению набора управляющих функций и параметров. Другими словами, И(в) = (к™,к2^и1 ,...,к1гП,к<01и1)*, где к\п,к°и1 - модельные функции для входной и выходной частей краевого поля г-го управляющего элемента соответственно. Вектор управляющих параметров в этом случае В = (Дв;[,к2ах,Ь2,...,ктах,^п, Двп+1 )*, где ктах,Ьго - максимальное значение градиента поля и длина центральной части поля г-го управляющего элемента. Вводя виртуальные модельные функции, переходим от управления в виде функций и параметров к полностью параметрическому управлению, где параметры Дв*, к^Х, ^)+1 и А*+1, А°+1 - векторы параметров, характеризующие г + 1 входную и выходную модельные функции краевых полей. Полностью параметрическое управление удобнее, в силу того, что оно является более гибким, чем функциональное.
4.3. Проблема формирования краевого поля. Ряд частных вариантов краевых полей приводятся, например, в [3, 4, 9], однако, с точки зрения сформулированных задач, этого не достаточно. Математические и компьютерные модели краевых полей не полностью проработаны в общем случае. Поэтому в данной работе уделяется особое внимание тщательной и последовательной проработке математического аппарата и компьютерного моделирования краевых полей. Кроме того, предложенные подходы позволяют вычислять матрицанты для достаточно широкого класса модельных функций и осуществлять привязку формы описания краевых полей к конкретным экспериментальным данным. Матрицанты для всех используемых модельных функций найдены аналитически заранее и хранятся в символьном виде в специальной базе матриц.
Топология и геометрия управляющих полей может существенно различаться даже для однотипных управляющих элементов, потому исследование их влияния на динамику пучка чрезвычайно важно, что и является основной целью данной работы.
Все стандартные магнитные элементы генерируют поле, симметричное относительно их центра (вдоль электрической оси по продольной координате в), что позволяет
рассматривать только симметричные краевые поля (см., например, [3]) относительно центра вс = (в2 _ «1)/2 каждого элемента (см. рис. 1). Возможные отклонения от серийных параметров магнитных линз можно изучать с помощью методов теории возмущения или включая в рассмотрение новые модели краевых полей. В настоящей работе предполагается, что при близкорасположенных линзах (дуплетах, триплетах) краевые поля одной линзы не влияют на другие, и суммарное поле рассматривается как линейная суперпозиция соответствующих краевых полей.
В соответствии с законами электродинамики и экспериментальными данными управляющее магнитное поле является гладкой функцией, которую удобно представить в следующем виде:
/ш(«), « е [«о, «1),
/(в) /0 ^ kmax, в е [«Ъ в2^
/сиг(«), « е [в2,«э]-
Функции /;п(в) и /о^(в) описывают входное и выходное краевые поля соответственно.
Для того чтобы /(в) была гладкой в местах соединения, потребуем дополнительно ряд
условий:
Ыв0) = /оигЫ = /4(«0) = /0и1(в1) = ЛпЫ = /0и1(в3) = 0, = /ои1(в2) = 1 (6)
где /'(в) = (I/(s)/ds. Далее вычисляются /;п(в) при помощи аппроксимации различными модельными функциями. Выходное краевое поле /оиг(в) находится автоматически симметричным отражением относительно оси, проходящей через вс перпендикулярно оси, на которой располагаются управляющие элементы. С учетом условий (6), будем рассматривать аппроксимации краевых полей полей для их моделирования достаточно простыми функциями в смысле их построения и анализа.
Вместо условий (6) можно ввести их асимптотические аналоги, которые позволяют рассматривать более широкий класс модельных функций распределения:
Иш /п(в) = 0, Иш /п(в) = 1, Иш /П(в) = 0, Иш /'п(в) = 0,
Иш /ои1 (в) = 1, Иш /оиг(в)=0, Иш /0иг(в)=0, Иш /О^Ы = 0.
С точки зрения топологии функций /;п(в), /оиг(в) можно рассмотреть два предельных случая. Первый случай резких границы поля - прямоугольное представление (кусочно-постоянная функция формы), второй случай соответствует колоколообразной функции формы. Все остальные варианты являются в некотором смысле промежуточными. Выбор того или иного представителя для /;п(в), /^(в) дает возможность осуществить процесс вариации краевых полей с целью исследования и оптимального выбора формы краевых полей. При этом подобная процедура должна основываться на изучении динамики пучка как линейной, так и нелинейной.
Учет данных карт поля может помочь более целенаправленно выбирать модельные функции распределения краевых полей. Кроме того, часто существует некоторая эмпирическая информация, которая позволяет «настраивать» процедуру поиска функций, аппроксимирующих краевое поле.
Используя предложенный в [10] подход, можно предложить схему поиска классов решений возмущенного уравнения по решению невозмущенного уравнения. Это дает возможность целенаправленно находить аналитические выражения для матричных пропагаторов (см. п. 4.8).
В случае, если краевое поле может быть представлено аналитически, то параметры функции к (в) могут выступать в качестве управляющих. В противном случае краевое поле можно аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных, кусочно-линейных и более гладких функций. Тогда в качестве управляющих могут выступать параметры, в терминах которых задаются те или иные аппроксимирующие функции (например, для кусочно-постоянной аппроксимации - высота и длины «ступенек»). Это позволяет сформулировать соответствующие задачи оптимального управления как задачи нелинейного программирования [11].
4-4- Учет краевых полей в линейной модели. В отсутствие краевых полей в рамках линейного приближения уравнений движения можно найти множество оптимальных параметров ИОС в смысле необходимого коэффициента фокусировки.
Проведенные численные эксперименты (см., например, [3, 4, 9]) показали, что наличие краевых полей в линейной модели всегда ухудшает коэффициент фокусировки пучков на мишени. Другими словами, найденные оптимальные параметры не являются таковыми при наличии краевых полей у магнитных элементов. Однако предложенная методология позволяет определить множество оптимальных значений параметров системы управления с учетом краевых полей. Несмотря на это, в линейной модели достичь пиковых значений фокусировки, полученных без учета краевых полей, невозможно, когда магнитные элементы обладают краевыми полями. Другими словами, идеальная модель без краевых полей дает лучшие выходные характеристики пучка.
4-5. Моделирование краевых полей. На начальном этапе, исходя из набора минимального количества параметров, который обеспечивает решение задачи, целесообразно использовать кусочно-постоянную аппроксимацию управляющих полей (с помощью которой легко варьировать количество интервалов разбиения). На ее основе синтезируется первый вариант системы (см., например, [1, 2]). Именно таким образом и поступают авторы большинства работ по моделированию ИОС. Хорошо известно, что подобный вариант - только начальный шаг процесса моделирования до создания реальной ИОС. Может возникнуть необходимость для более тонкого учета эффектов, связанных с существованием краевых полей. С этой целью можно применять кусочнолинейную (трапециевидную) аппроксимацию управляющих полей, которая является более точной, чем кусочно-постоянная [8]. В таком случае матрицант М11 (в|во) будет содержать функции Эйри. Для реальных расчетов с использованием символьных мат-рицантов можно ограничиться несколькими членами разложения в ряд функций Эйри. Подобные модели адекватны лишь небольшому классу задач; нас интересует более широкий класс функций, которые можно пополнять, например колоколообразные функции, функция Энге [3] и т. п.
На следующем этапе осуществляется подбор модельных функций, аппроксимирующих краевое поле либо на всем участке, либо на его части. Модельные функции для краевых полей могут быть составлены из двух и более частей. При этом «сшивка» различных модельных функций позволяет наиболее адекватно учесть специфику реальных магнитных полей (см. п. 4.6). Модельные функции удовлетворяют как условиям сшивки, так и обычным условиям (6), (7), которые накладываются на модельные функции краевых полей. Желательно выбирать эти функции со свободными параметрами, чтобы осуществлять не только аппроксимацию с максимальным приближением к экспериментальным данным, но и поиск оптимальных решений. Несимметричные относительно центра краевого поля (вдоль продольной координаты в, см. рис. 1) функции и более сложные функции можно аппроксимировать сплайнами или составлять модельную функцию из некоторого количества частей.
Отличие данного подхода от ранее опубликованных в том, что модельные функции краевого поля представляются в виде аналитических формул, включающих в себя параметры, выступающих как управляющие. Такой подход полезен на этапе моделирования для проведения исследований. Например, входное краевое поле /;п(в) представляется как функция от в: /;п([/тоа, А],в), где /тоа - вид модельной функции, а А - вектор параметров, характеризующий все особенности и специфику модельной функции краевого поля.
Выбор модельной функции определяется описанными выше условиями и параметрами, от которых можно отказаться полностью или частично по мере необходимости или потребности. Варьируя параметры выбранной модельной функции для краевого поля, можно изменить ее форму и длину для получения наиболее подходящего варианта.
4-6. Преобразования аппроксимирующих функций. Рассмотрим преобразования модельных функций, необходимые для конструирования составных модельных функций.
Сдвиг. Если некоторая функция Г. (в) определена на интервале (в1, в2), то функция ^2(в) = Г. (в — во) характеризует сдвиг функции Г. (в) вдоль оси в в положительном направлении. Область определения Г2(в) - интервал (в1 + в0, в2 + во).
Отражение. Если некоторая функция Г(в) определена на интервале (в1,в2), то функция ^2(в) = Г ( — в + в1 + в2) характеризует отражение функции Г(в) относительно оси в. Область определения ^(в) - интервал (в1, в2).
Склейка. Если некоторая функция Г(в) определена на интервале (в1, в2), то функции Г (в) = Г(2в)/2, в е (в1, (в1 + в2)/2); ^2(в) = —Г(2(—в + в2 — в1))/2 + Г(в2), в е
((в1 + в2)/2, в2) образуют новую функцию на том же интервале.
4.7. Оценка качества модельных функций. Близость модельных функций краевых полей и реальных управляющих полей можно оценить при помощи метрик из теории аппроксимации функций [8]. В задачах физики пучков все экспериментальные данные получаются в дискретном виде. Обычно данных по реальным краевым полям нет (известны не вполне точно), есть только аппроксимированное поле. В работающих системах реальное измерение краевого поля практически невозможно (систему надо или разбирать, или такая процедура требует значительных финансовых и временных затрат).
В задачах физики пучков для оценки качества модельных функций краевых полей наиболее ценно сравнение не модельной функции с реальным управляющим полем, а матрицантов для модельной функции и аппроксимирующей ее функции. Аппроксимированный матрицант получается путем использования группового свойства, где на каждом участке электрической оси ИОС производится замена модельной функции краевого поля. Например, в качестве приближения модельной функции могут выступать кусочно-постоянные или кусочно-линейные функции либо другие функции некоторой степени гладкости (дважды непрерывно дифференцируемые, сплайны). На подобные функции накладывается условие: для них должен быть известен аналитический матрицант. Применение этой метрики предпочтительнее, в силу того, что по элементам полного матрицанта и начальным данным можно найти информацию о реальных размерах пучка частиц. Реальному измерению поддаются только характеристики пучка, а не сам матрицант.
Для аппроксимации управляющего поля кусочно-постоянными функциями разобьем промежуток краевого поля одного элемента на п частей, выберем внутри каждого интервала [в*_1 ,в*] (в = 1, 2,...,п) величину о* = (в*_1 + в*)/2, будем считать, что на этом интервале функция краевого поля принимает значение /(о*). Групповое
свойство матрицанта позволяет найти полный матрицант для промежутка. При n получится искомый полный матрицант.
В силу сложности вида реальной функции краевого поля, задача вычисления матрицанта от нее также очень сложная и трудоемкая. Рассмотрим последовательность матрицантов Rn(sK|so), где n - количество интервалов разбиения. Матрицант - непрерывная функция, такая последовательность будет сходиться к искомому матрицанту R(sk|so) для данного промежутка [so,sk] при n ^ ж. По критерию Коши эта последовательность будет фундаментальной. Точность будет определяться матричными нормами, т. е. необходимо найти N(е), чтобы для любого заданного е выполнялось соотношение
2||Rn(sK|so) - Rm(sK|so)H/(||Rn(sK|so)|| + ||Rm(sK|so)H) < e, 'in, m > N(e). (8)
Точность зависит от специфики задачи, а также от технической возможности измеряющих приборов (обычно проценты или доли процентов). Вопросы сходимости матрицантов подробно рассмотрены в работе [12].
Матрицант непрерывно-дифференцируемым образом зависит от параметров функции краевого поля. По теореме Рисса модельная функция краевого поля может быть аппроксимирована с любой степенью точности кусочно-постоянными функциями. Исходя из этого, можно получить точность по «матрицантам» (модельному и аппроксимирующему). С помощью измерений можно восстановить матрицант для реальной системы Rmod. С учетом вышесказанного можно найти аппроксимирующий матрицант Rapp. Выражение (8) можно применять для Rmod и Rapp для оценки точности приближения. В силу эквивалентности норм и удобства ||f||max, для экспериментальных расчетов предпочтительнее использовать именно эту норму.
Аналогично с использованием группового свойства строится полный матрицант для нескольких линз. При проектировании новой системы можно использовать различные аппроксимирующие функции.
4.8. Классы функций, имеющих аналитическое решение. Применяя методологию [10], приведем, например, три класса функций, а также несколько их представителей, для которых можно найти аналитическое решение (матрицант):
fi(s) = ф(s)eLp(s), f2(s) = ^(s)cosф(s), f3(s) = фп'фт.
Примерами функций первого класса могут быть функции
(a + bs) 4 , a2 + (a sin as + b cos as]-4, 1 + 2n — s2 + (e2s )/[Hn(s)]4, (9)
где Hn(s) - полином Эрмита степени n. На рис. 3 представлены примеры нормированных первой и последней функций из (9), где Fi и F2 построены при помощи преобразования «склейка» (см. п. 4.6), на основе базовых функций из (9). Примерами второго класса могут являться следующие функции: n2s2n~2 — (n2 — 1)/(4s2), 1/2 —
cos2 as + 3/4 tg2 as. Наконец, к третьему классу можно отнести, в частности, n — n(n — 1) tg2 as, n(3 — s2) — n(n — 1)(s — 1/s)2, (1 + 4s2 — 4n2)/(4s2) — 2Jn(s)/ (sJn+i(s)), где
Jn(s) - функция Бесселя порядка n. В отличие от существующих моделей (см., например, [3, 4, 8]) предложенные модели более гибкие, при помощи их можно более точно описать реальное краевое поле. Более того, для них можно получить аналитическое решение.
Рис. 3. Примеры кусочно-гладких модельных функций для краевого поля
4.9. Концепция ЬЕОО-объектов. Благодаря предложенному подходу, можно учитывать различные эффекты при моделировании ИОС: эффекты краевых полей, нелинейные эффекты, неточную расстановку управляющих элементов, ошибки при изготовлении управляющих элементов и др.
В компьютерных моделях, построенных на базе матричного формализма, можно использовать так называемые LEGO-объекты в качестве управляющих элементов и эффектов различной природы. Такие объекты являются независимыми и автономными. С их помощью можно конструировать системы управления с точки зрения как высокоуровневого, так и низкоуровневого моделирования, что означает полную унификацию и возможность использования для различных задач, а также эффектов произвольной природы. При изменении модельной функции для соответствующих LEGO-объектов остается прежний интерфейс, это позволяет пересчитывать результаты с другими модельными функциями, не разрушая при этом логических связей между компонентами.
4.10. Задачи оптимизации в терминах функционалов. Задача оптимизации в физике пучков является многокритериальной. Некоторые критерии могут противоречить друг другу, например для увеличения светимости установки требуется увеличивать апертуру, а для работы с пучками микронных и наноразмеров необходимо ее (апертуру) уменьшать. В настоящей работе ставится задача поиска оптимальной структуры системы управления ЗФС с учетом краевых полей. В рамках подобной задачи учитываются и технологические ограничения на изготовление магнитных линз, и возможности их расстановки. Рассмотрим задачу получения наноразмеров пучка на мишени при помощи стандартных линз серийного производства. Она сводится к минимизации функционала, описывающего изображение пучка на мишени. В рамках линейной
модели можно выбрать функционал вида Мшах^ир х, вир у), где х,у - размеры пучА мм
ка частиц в {х, в} и {у, в} плоскостях соответственно, М - фазовое множество пучка, А - вектор параметров модельной функции. Остальные требования, являющиеся определяющими для ЗФС, могут быть выбраны в виде равенств (например, г 12 = 0, что означает условие перехода «из точки в точку») и неравенств (в частности, технологические ограничения). В рамках линейной модели по идеологии матричного формализма можно разделить две фазовые плоскости, т. е. представить матрицант для всей системы размерности 4 х 4 в виде двух матрицантов размерности 2 х 2. Тогда получится два соотношения: г^ = 0 и гХ2 = 0. В качестве примера системы управления будем использовать хорошо известный в литературе «русский квадруплет» (см., например, [2]).
В ней появляются дополнительные ограничения, связанные с тем, чтобы, например, «круглый» пучок переходил в «круглый» (сохранялась конфигурация пучка).
Одной из основных задач в физике пучков является фокусировка частиц. Эта задача может быть описана при помощи различных функционалов, например минимальными размерами радиуса пучка частиц на мишени, минимальной площадью описанной вокруг пучка или вписанной в пучок на мишени окружности и т. д. В рамках линейной модели все эти функционалы можно свести к минимизации размеров пучка в {х, s} или {у, s} либо в обеих плоскостях одновременно.
В терминах матричного формализма размеры пучка в {x, s} и {y, s} плоскостях могут быть вычислены с использованием \тц \ и |гзз| (где r j - элемент полного матри-цанта R(sn\so) в г-й строке и j-м столбце). Они характеризуют уменьшение размеров пучка на мишени относительно исходных в плоскостях {x, s} и {y, s} соответственно.
Задача фокусировки может быть представлена в виде min \гц \ и/или min \гзз \. В ней есть ряд естественных ограничений, например амплитудные (рассматриваются только реализуемые на практике магнитные поля), технологические ограничения на все магнитные линзы (размеры, поля и т. д.), допуски (существуют нижние границы ошибок на установку линз вдоль оси системы, повороты и на наклоны линз).
5. Нелинейные модели.
5.1. Проверка корректности аналитических матрицантов. Одним из способов проверки правильности аналитических матрицантов является предельный переход к матрицанте при к ^ 0. В пределе все элементы матрицанта должны быть тождественно равны нулю. Для матричных пропагаторов высших порядков все аналитические вычисления можно производить в системах компьютерной алгебры (для данной работы использовался пакет Maple) с использованием рекуррентных формул (см., например, [2]).
5.2. Задачи оптимизации в рамках нелинейной модели. Для квадруполь-ных линз следующим порядком искажений после первого является третий, что соответствует сферическим и геометрическим аберрациям. Основные искажения характеристик пучка вносятся сферическими аберрациями, отвечающими коэффициентам при х/3 и х'у'2 элементах соответствующих пропагаторов. Пропагатор R13(sn \so) с учетом аберраций третьего порядка может быть вычислен по формуле (см., например, [2])
SN
R13 (sN\so) = J R11(sn\s)P13 (s)R33(s\so)ds, (10)
so
в которой so и sn - положения источника пучков и мишени соответственно. Чтобы аналитически найти интеграл в (10), необходимо выбирать определенные аппроксимирующие функции управляющего поля или использовать разложения в ряды. С увеличением сложности выбранных аппроксимирующих функций элементы пропагатора Ri3(sn\so) становятся более громоздкими. Например, для кусочно-линейной модельной функции элемент матрицанта при х/3 для фокусирующей квадрупольной линзы имеет вид L (36wcosш + 13 (3sinw — 4sin3 w) — 75sinw) /(192w), где L - длина линзы, k - магнитное возбуждение, ui = L\f\k\. Таким образом, зная пропагаторы необходимого порядка, можно найти аберрации такого же порядка.
6. Описание множества начальных данных.
6.1. Фазовое множество. Применяя матричный формализм, представление решения (2) позволяет исследовать динамику частиц в терминах фазового портрета или функции распределения. Пучок частиц можно представить как множество частиц,
занимающих начальное фазовое множество, и описать при помощи следующей матрицы М(М; в):
О
М(М; в) = £М1к(в|во)Мк(М; в), Мк(М; в) = Х^^!) .
к = 1
6.2. Матрицы огибающих. Известно, что для линейных уравнений движения можно описывать множество частиц благодаря так называемой матрице огибающих -<т-матрицы: сгет = {ст^} , г, к = 1,4. В данной работе используются два варианта такой матрицы. Первый может быть определен в виде выражения а?}™ = хг(к — тах(М)) Хк(г — тах(М)), где хг(к — тах(М)) - г-й элемент фазового вектора X с максимальным к-м элементом фазового множества М. Второй вариант для 7-матрицы - это хорошо известная среднеквадратичная матрица огибающих
агт8(в) = J I(Х,в)ХХ*(IX,
Ш(в)
где I(X, в) - функция распределения.
Для линейной модели уравнений пропагатор 7-матрицы определяется следующим выражением (одновременно для ает и стгтй):
а (в) = М(в|во)ст(во)М*(в|во). (11)
В случае нелинейных уравнений движения вместо (11) можно использовать такое соотношение (см., например, [2]):
О ОО
^к (в) = ЕЕ Ки(в|во)^У (во) (КУ (в|во)) * . (12)
1=г з=к
Начальное значение для а1^ (во) в (12) может быть найдено с помощью выражения
агк(во)= / I(Х,во)Х[г (Х[к1) * IX. (13)
МЫ
7. Заключение. В работе подробно описана методология для моделирования краевых полей магнитных элементов как виртуальных элементов, что предоставляет возможность перейти от управляющих функций к полностью параметрическому управлению. Кроме этого, приведены классы модельных функций, для которых можно найти аналитические матрицанты. Для функций, которые не имеют аналитических матри-цантов, описана процедура получения аппроксимированного аналитического матри-цанта в общем виде. Данная процедура может быть применена для любой модельной функции. Получены элементы матриц в рамках линейной и нелинейной моделей для некоторых модельных функций. Это позволяет на основе предложенной методологии искать оптимальные режимы работы ЗФС и исследовать влияние краевых полей на характеристики пучка.
Символьные матрицанты предлагается хранить в специализированной базе матриц. Кроме необходимой точности, получаемой при использовании предлагаемого подхода,
несомненным достоинством является возможность применения параллельных и распределенных вычислений. В рамках матричного формализма все вычисления сводятся к алгебраическим операциям над матрицами. Подобные операции естественным образом распараллеливаются и дают максимальный (линейный) выигрыш производительности при увеличении количества процессоров (ядер).
В работах [7, 9] были рассмотрены некоторые вопросы, связанные с влиянием краевых полей на характеристики пучка, здесь основное внимание уделяется методологии с учетом нелинейных моделей.
Предложенный подход апробирован на ряде тестовых систем и опубликован, например, в трудах конференций EPAC’08, ICNMTA’08, HPC’08, BDO’08, CPS’09, Pyscon’09. Работа выполнена в рамках проекта Тематического плана СПбГУ № 12.2.09 «Создание комплекса методов, алгоритмов и программ для моделирования и оптимизации систем управления ЗФС».
Литература
1. Лебедь С. А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда // Журн. техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 1. С. 92—95.
2. Андрианов С. Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПб.: С.-Петерб. ун-т, 2004. 368 с.
3. Berz Martin, Erdelyi Bela, Makino Kyoko. Fringe field effects in small rings of large acceptance // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2000. Vol. 3. 11 p.
4. Мартиросян Ю. Л. Исследование эффектов краевых магнитных полей в накопительных кольцах // Журн. техн. физики. 2003. Т. 73, вып. 10. С. 113—115.
5. Venturini M., Abell D., Dragt A. Map Computation from Magnetic Field Data and Application to the LHC High-Gradient Quadrupoles // Proc. of the 5th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. 1998. P. 184-188.
6. Dragt A. J. Lectures on Nonlinear Orbit Dynamics // Proc. of the AIP Conf. 1982. N 87. P. 147-313.
7. Андрианов С. Н., Терешонков Ю. В. Параллельное и распределенное моделирования динамики частиц // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Труды 8-й междунар. конференции / под ред. Б. Н. Четвертушкина, В. П Гергеля, В. А. Райхлина. Казань: Изд-во Казанск. гос. техн. ун-та, 2008. С. 285-290.
8. Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии / пер. с англ.; под ред. С. Я. Явор. М.: Мир, 1969. 223 c.
9. Tereshonkov Yu., Andrianov S. Load Curves Distortion Induced by Fringe Fields Effects in the Ion Nanoprobe // Proc. of the 11th European Particle Accelerator Conference. 2008. P. 1514-1516.
10. Antone T. A., AL-Maaitah A. A. Analytical solutions to classes of linear oscillator equations with time varying frequencies // J. of Math. Physics. 1992. Vol. 33, Issue 10. P. 3330-3339.
11. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / пер. с англ. И. Н. Быховской, Б. Т. Вавилова; под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975. 534 c.
12. Андрианов С. Н. Метод погружения в пространство фазовых моментов // Управление в динамических системах. Вып. 2. Л., 1981. С. 98-103. - Деп. в ВИНИТИ, № 2916-816.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 24 сентября 2009 г.
