Однородные составляющие поля и фермионные функции в Кулоновской фазе u(1) модели на четырехмерной решетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Библиографический список

1. Зверев, Н.В. Нелокальные решеточные модели фермионов на двумерном торе / Н.В. Зверев, А.А. Славнов // Теор. Мат. Физ. - 1998. - Т. 115. - С. 93-105.

2. Славнов, А.А. Введение в квантовую теорию калибровочных полей / А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев. - М.: Наука, 1988. - 272 с.

3. Nielsen H.B. and Ninomiya M. A no-go theorem for regularizing chiral fermions // Phys. Lett. B. 1981. V. 105. P. 219-223.

4. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. V 10. P. 2445-2459.

5. Drell S., Weinstein M. and Yankielowicz S. Strong-coupling field theory: Fermions and gauge fields on a lattice // Phys. Rev. D. 1976. V 14. P. 1627-1647.

6. Karsten L. and Smit J. Axial simmetry in lattice theories // Nucl. Phys. B. 1978. V 144. P. 536-546.

7. Karsten L. and Smit J. The vacuum polarization with SLAC lattice fermions // Phys. Lett. B. 1979. V 85. P. 100-102.

8. Slavnov A.A. A proposal for chiral fermions on the lattice // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1995. V 42. P. 166-170.

9. Schwinger J. Gauge invariance and mass // Phys. Rev. 1962. V. 128. P. 2425-2429.

10. Alvarez-Gaume L., Moore G.W. and Vafa C. Theta functions, modular invariance and strings // Comm. Math. Phys. 1986. V 106. P. 1-40.

11. Narayanan R. and Neuberger H. Anomaly free U(1) chiral gauge theories on a two dimensional torus // Nucl. Phys. B. 1996. V 477. P. 521-548.

12. Narayanan R. and Neuberger H. A construction of lattice chiral gauge theories // Nucl. Phys. B. 1995. V 443. P. 305-385.

ОДНОРОДНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОЛЯ И ФЕРМИОННЫЕ ФУНКЦИИ В КУЛОНОВСКОЙ ФАЗЕ U(1) МОДЕЛИ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Н.В. ЗВЕРЕВ, доц. каф. физики МГУЛа, канд. физ.-мат. наук

Одной из основных задач вычислительной математики и математической физики применительно к квантовой теории поля является численное исследование математических проблем, возникающих при изучении математических моделей элементарных частиц. Для исследования моделей частиц вне рамок теории возмущений К. Вильсоном [2] предложен эффективный математический подход - метод решетки. В этом методе непрерывное пространство-время аппроксимируют дискретной совокупностью точек, а полевые и корреляционные функции модели зависят от координат этих дискретных точек - узлов решетки.

При исследовании методом решетки свойств элементарных частиц часто применяют модель по К. Вильсону на четырехмерной решетке, построенную на калибровочной группе U(1) [2, 3]. Частицы по данной модели имеют различные свойства в разных областях ее параметров [3, 4, 5]. Такие области называют фазами. В квантовой электродинамике эту U(1) модель на решетке рассматривают в области Кулоновской фазы, в которой потенциал взаимодействия статических заряженных частиц имеет Кулоновский вид [3]. Для правильного описания свойств частиц в пределе нулевого шага решетки параметры U(1) модели следует выбирать вблизи линий раздела фаз [1]. На этих линиях решеточные корреляционные функции имеют определенные сингулярные свойства, а получаемые с помощью этих функций массы и энергии частиц в единицах шага решетки равны нулю.

Однако при численном исследовании U(1) модели в Кулоновской фазе было обнаружено [7, 8], что некоторые зависящие от калибровки корреляционные функции неверно описывают свойства как фотонов, так и несоставных фермионов. В работах [9, 10] было показано, что причиной неверного описания свойств фотонов фотонным коррелятором является влияние однородных составляющих калибровочного поля на решетке. В то же время осталась невыясненной актуальная и представляющая математический интерес проблема влияния этих однородных составляющих поля на другие важные корреляционные функции, прежде всего на фермионные корреляционные функции.

Целью данной работы является исследование влияния однородных составляющих калибровочного поля на фермионные корреляционные функции в Кулоновской фазе U(1) модели по

К. Вильсону на четырехмерной конечной решетке. Из фермионных корреляционных функций ниже рассмотрены фермионный коррелятор, «пи-онная» норма и скалярный конденсат. Эти функции используют для вычисления характеристик частиц и для нахождения линий раздела фаз модели [4, 5, 7].

1. U(1) модель по Вильсону на решетке

Действие 5[^,у, у ] U(1) модели по Вильсону на четырехмерной конечной решетке состоит, согласно [2], из суммы действия компактного калибровочного поля У0[^] и действия фермио-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

133

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

нов по К. Вильсону S^U^, у ]. Эти действия определены формулами

SG [U ]

- U U

x ,Д

U „ U

x+^,v Х+V, Д

)

Д<Ч_ Nf -----

SF[U,у,у] = ууу fM[U]xyуf .

f=1 x, у

Здесь Uxд = exp(iAx|^) - решеточное калибровочное поле; Лхд - вещественный потенциал калибровочного поля в интервале (-п,п]; Р = 1/e02 - обратный квадрат затравочного заряда; yf и уf - фермионные поля, являющиеся антикоммутирующими переменными; M[U] - фермионная матрица

M[U] =5 -кЯ

l J xy xy

Д

(1 -Уд)Ux,5 . +

x+Д, у

+(1+Уд )u;.u5

У+Д,х

где к = 1/(8+2m0) - хоппинг-параметр;

т0 - затравочная фермионная масса;

у - эрмитовы матрицы Дирака размером 4x4;

f - индекс поколения фермионов;

Nf - число поколений фермионов;

5xy - символ Кронекера;

x, y - узлы четырехмерной конечной решетки с целочисленными координатами n = 0,1,...,N -1;

д ’ ’ ’ д ’ ^

д,у = 1,2,3,4 - направления решетки; д - единичный вектор в положительном направлении д;

N - четное число узлов решетки вдоль направления Д.

Полное число узлов, называемое объемом решетки, равно V = N1N2N3N4. Здесь принята система естественных единиц измерения, в которой квантовая постоянная Й, скорость света c и шаг решетки а выбраны равными Й = c = a = 1.

Для полей на конечной решетке принимают одно из следующих граничных условий (со знаком + или -): f „ = ±f

Для поля UNj выбирают периодические граничные условия (знак +) по всем направлениям v. Для полей у^ и уtx принимают периодические граничные условия (знак +) по пространственным направлениям V = 1,2,3 и либо периодические, либо антипериодические (знак -) условия по направлению времени V = 4.

В модели на решетке рассматривают корреляционные функции, усредненные по полям U, у и у с весом exp(-S[U^, у ]) [1, 2, 6]. При этом фермионные корреляционные функции

выражают через элементы обращенной фермионной матрицы Mrl[U], После интегрирования только по фермионным полям у и у усреднение производят по калибровочным полям U с весом exp(-SG[U])det fM[U]. Такое усреднение называют подходом динамических фермионов [6]. Наряду с данным подходом применяют также приближение статических фермионов, когда пренебрегают вкладом фермионных петель и полагают detNf M[U] = const.

Для усреднения калибровочно-неинвариантных корреляционных функций необходимо выполнять фиксацию калибровки поля U, а при вычислении средних значений калибровочно-инвариантных функций такая фиксация не требуется [5].

2. Однородные составляющие калибровочного поля

Потенциал калибровочного поля на конечной решетке имеет Фурье-разложение

Лх,д = У Л,д еХР 1 2тоУ кДХД/ NД Г .

к

Д

Здесь Лк Д - комплексные коэффициенты разложения, хд - целочисленные координаты узла решетки x, а к - целочисленные проекции импульса к: x , к = 0, 1, ..., N-1.

Видно, что потенциал калибровочного поля Лх состоит из суммы неоднородных по узлам решетки x с оставляющих с ненулевыми импульсами к Ф 0 и однородных составляющих фд с нулевыми импульсами к = 0

ф = - У Л .

ТД V х,д

V Д

Эти однородные составляющие фд не влияют на действие SG[U], но влияют на фермионную матрицу M[U]. Следовательно, они могут искажать правильное поведение фермионных корреляционных функций.

В работах [9, 10]было показано, что влияние составляющих фд на фотонный коррелятор приводит к неправильному его поведению. После устранения из поля U только составляющих фд, т.е. при фд = 0 для всех д = 1,2,3,4, правильное поведение фотонного коррелятора восстанавливается.

Для устранения однородных составляющих фд предложен способ калибровки ZML (Zero-Momentum Lorentz) [10]. Этот способ заключается в следующих чередующихся преобразованиях: «вычитаний» фд из Лх д для всех x и д по формуле

134

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

U ^ Ux цехр(^фц), и фиксации нелинейной калибровки Лоренца.

Фиксация данной калибровки [11] состоит в последовательных по каждому узлу решетки x и направлению ц преобразованиях поля U

U ^ g U , U „ ^ U „ gx,

х,ц °х х,ц ’ °х 7

х-ц,ц х-ц,ц

максимизирующих функционал

— У Re U ,

4V хц х,ц

где g;c - произвольные комплексные числа с модулем g = 1.

3. Фермионный коррелятор и фермионная масса

Фермионный коррелятор используют для вычисления важных характеристик несоставных фермионов, таких как масса фермионной частицы m [7]. Этот коррелятор Г(т,Ц) является следующей зависимостью от целочисленного интервала т координаты времени и от калибровочного поля U

r(T,U) = V У M-1[U ],

^ х, у

где х, у - узлы решетки, у = (у, х4+т);

Mrl[U] - обращенная фермионная матрица.

Нами выбраны для фермионных полей антипериодические граничные условия по направлению времени v = 4 и периодические условия по остальным направлениям [12].

Из коррелятора Г(т,Ц), являющегося комплексной матрицей, выделяем вещественную часть ГДт,Ц) в виде [12]

Tv (т, U) = 4 Re tr [у4Г(т, U) ],

где след tr взят в пространстве матриц Дирака. Затем находим зависимости от т эффективных масс теДт) по формуле

mf т) = ехрЕ(т) - 1, где Е(т) - величина, определяемая как

ch [Е(т)(т +1 - N /2)] _(Гу (т +1)) ch [Е(т)(т- N4 /2)] (rv (т)) .

Здесь <Г V(т)) обозначает величину Г Дт, U), усредненную по всему бесконечному количеству калибровочных полей U с определенным весом при фиксации калибровки. По полученным зависимостям теДт) находим значения mf как равные теДт) на горизонтальных участках данных зависимостей [6].

Нами выполнены численные расчеты зависимостей (ГДт)) и теДт) в приближении стати-

ческих фермионов с весом ехр(-^е[^) в калибровочных полях как с однородными составляющими в калибровке Лоренца (см. п. 3), так и без этих составляющих при их устранении ZML калибровкой [12]. Были выбраны разные значения в и к в Кулоновской фазе и разные объемы решетки V=N/xN4, где N = N2 = N3 = N < N4.

Для получения калибровочных полей U, распределенных с таким весом, был использован метод «тепловой бани» [1, 6], который является разновидностью статистического метода Монте-Карло. В методе «тепловой бани» последовательно по каждому узлу решетки х и направлению ц генерируют случайные комплексные числа U,ц с модулем |U | = 1, распределенные с весом ехр^е^ F (G))}, где комплексная величина " " F,« BSa [U ]

^ =-~U~

х,Ц

зависит только от соседних с U переменных поля U.

Вычисление средних значений (ГДт)) осуществлялось нами методом «точечных источников» [4, 5]. Этот метод заключается в вычислении для всех возможных значений s = 1,2,3,4 «фермионных» векторов ^(s) = Mrl[U]r(s), где каждый исходный вектор n(s) имеет 4V составляющие 5^ 5rs. Здесь х0 - некоторый фиксированный узел решетки; r - индекс элементов матриц Дирака: r = 1,2,3,4. Нахождение векторов ^(s) выполнено методом сопряженных градиентов [6]. Данный метод представляет собой следующую итеративную схему построения векторов х , сходящихся к ^(s)

n II II2

хп+1 = хп + ГП = У - А» an _ ,

gn Agn

rn+1 = rn - anAgn, Pn _ ^fjjr ’ gn+1 = rn+1 + Pngn.

где n = 0,1,‘--; xn, gn;

rn - комплексные векторы с 4V составляющими;

go = ro;

||a|| - модуль вектора а; символ t обозначает операцию эрмитова сопряжения в пространстве матриц Дирака и в пространстве узлов решетки х.

И наконец, при вычислении средних по полям U значений фермионных корреляционных функций были использованы составляющие полученных векторов ^(s), а также была учтена инвариантность U(1) модели на решетке относительно дискретных сдвигов.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

135

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1,2 1,0 0,8 S 0,6 0,4 0,2 0,0

0 2 4 6 8 10

т

Рис. 1. Зависимость эффективной массы meff (т) при р = 2 и к = 0.122 на решетке 63х12 [12]: 1 - в калибровке Лоренца в поле с однородными составляющими, 2 - в ZML калибровке в поле без однородных составляющих

0,4

0,3

0,2 х S

0,1 0,0 -0,1

7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4

1/к

Рис. 2. Зависимость фермионной массы mf от обратного хоп-пинг-параметра 1/к в ZML калибровке при р = 2 на решетке 63х12 [12]. Значок в виде кружка - точка с координатами (1/к, , 0)

Типичные результаты расчетов представлены на рис. 1 [12]. Видно, что значения meff(T) в поле без однородных составляющих практически постоянны и равны meff(T) = m, что отличает их от зависимостей meff(T) в поле с однородными составляющими.

Полученные значения mf в поле без однородных составляющих представлены на рис. 2 в зависимости от 1/к [12]. Эти значения хорошо аппроксимирует зависимость в виде

mf = С(Р)(1/к - 1/кф)),

где к(Р) - критическое значение хоппинг-пара-метра к на линии раздела Кулоновской и соседней фаз.

При Р = 2 получено значение кДР) = = 0,1307 ± 0,0001, которое совпадает со значением к(Р) = 0.131±0.001 другим, более сложным методом [4, 5].

Полученная нами зависимость m^/к) удовлетворяет требуемому, согласно [1, 6], усло-

вию в виде mf ^ 0 при к ^ кДР). В работе [7] также была вычислена зависимость mf от к для U(1) модели. Но не были устранены однородные составляющие калибровочного поля, и полученные результаты не удовлетворяли данному условию.

4. «Пионная» норма и скалярный конденсат

«Пионную» норму П(и и скалярный конденсат у у(? используют [4, 5] для определения значения кДР) линии раздела фаз. Эти корреляционные функции определяют по формулам

п(и) = 4V-Tr (у5м 1[u ]Ум l[v ]),

уу(и) = — TrM l[U ],

4V

где y5 = Y1Y2Y3Y4 - киральная матрица Дирака; след Tr взят в пространстве матриц Дирака и в пространстве узлов решетки х; остальные обозначения даны выше. Физический смысл имеют значения этих функций (П) и (у у), которые усреднены по всему бесконечному числу калибровочных полей u либо с весом exp(-^G[U])detNf M[U] в подходе динамических фермионов, либо с весом exp(-SG[U]) в приближении статических фермионов. Для фермионных полей были выбраны, согласно [3, 4], периодические граничные условия по всем направлениям v = 1,2,3,4 [13].

Нами выполнены численные расчеты зависимостей (П) и (у у) от к в Кулоновской фазе U(1) модели в калибровочном поле как с однородными составляющими без фиксации калибровки, так и в поле без этих составляющих при их устранении ZML калибровкой [13]. Расчеты проведены как в приближении статических фермионов, так и в подходе динамических фермионов при числе поколений фермионов N, = 2. Были выбраны разные значения р и разные объемы решетки V = N4, где N = N = N2 = N3 = N4.

Вычисление средних значений (П) и (у у) выполнено методом «точечных источников» с применением метода сопряженных градиентов (п. 4). Калибровочные поля U, распределенные с весом в приближении статических фермионов, получены вышеуказанным методом «тепловой бани».

Для получения полей U с весом в подходе динамических фермионов нами использован метод гибридного Монте-Карло [4, 5, 6]. В данном методе требуемый вес калибровочных полей U получают путем генерации этих и вспомогательных полей P и х с весом exp(-H[UP,x]).

136

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

< W > < п >

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

35 30 25 20 15 10 5 0

0,120 0,125 0,130 0,135 0,140

к

Рис. 3. «Пионная» норма (П) и скалярный конденсат ( у у) в зависимости от к при р = 2 на решетке 44 [13]: 1, 2 - в ZML калибровке в поле без однородных составляющих: 1 - подход динамических фермионов, 2 - приближение статических фермионов; 3 - без фиксации калибровки в поле с однородными составляющими, подход динамических фермионов

Здесь

1

H [U, P, х] = SG [U ] + - X О

^ x,p

Nf /2

+ Xxf (Mf [U ]M [U ])-1 х f;

f=1

где Pxp - вещественные компоненты поля P, называемого сопряженным импульсом;

Xf - вектор с 4V комплексными составляющими, называемый псевдофермионом.

Поля U, P и х, распределенные с указанным весом, получают по следующей схеме. Сначала генерируют случайным образом сопряженный импульс P с весом

exp {■ 2X P’-} и псевдофермионы х с весом

1N f i2

-Xxf (M] [U]M[U])

f=i

Затем получают новые поля U и P' путем численного решения «уравнений движения» в виде

P(1/2) = P + — F [U];

x,p x,p ~ Х,Р L J ’

Ат

x,p

Х,Р 2 Х,д L

exp(At Р,(Г/2) )

Uu) = U°-1)

x,m x,m

p (J+1/2) = p (J-1/2) + At F [j{J) 1

x ,m x,m x,mt"y _r

U' = U

(NT -1)

exp (/'AxP^N 1/2))

P’ = P(NT-1/2) +

Ат r

7 F“[U]'

M-

p

p

Здесь Ат - шаг «времени», Nt - число шагов «времени»; J = 1,..., N— 1; Ux p(0) = Ux p;

Fx,p [U ]

dH

dA

x,p

И наконец, полученное поле U принимают за новое U с вероятностью min{1, exp(H[U,P,x]-H[U',P',x])}. В результате выполнения этих действий поля U, P и х оказываются распределенными с весом exp^HUP^]). После интегрирования только по полям P и х получается необходимый вес распределения полей U в подходе динамических фермионов exp(-SG[U])det NfM[U].

Типичные результаты расчетов представлены на рис. 3 [13]. Видно, что зависимости (П) и ( у у) от к в поле без однородных составляющих имеют необходимое сингулярное поведение при к ^ кДР), что отличает их от монотонных зависимостей, полученных в поле с однородными составляющими. При р = 2 в поле без однородных составляющих как в случае (П), так и для ( у у) получены одинаковые значения к(Р) = 0,1307 ± 0,0002, которые совпадают со значениями к(Р), найденными с помощью фермионных масс, а также в работах [4, 5].

Заключение

С использованием вычислительных методов «тепловой бани», «точечных источников», сопряженных градиентов, калибровок ZML и Лоренца для калибровочного поля, а также метода гибридного Монте-Карло выполнены численные исследования влияния однородных составляющих калибровочного поля на фермионные корреляционные функции в Кулоновской фазе U(1) модели по Вильсону на четырехмерной конечной решетке. Установлено, что эти составляющие нарушают правильное поведение данных функций. После устранения однородных составляющих поля расчеты фермионного коррелятора, «пионной» нормы и скалярного конденсата дают правильные значения этих корреляционных функций. Полученные зависимости фермионного коррелятора в

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

137

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

калибровочном поле без однородных составляющих позволяют найти значения фермионной массы и критического параметра кДР). Расчеты для каждой из указанных трех корреляционных функций приводят к одному значению параметра кДР), совпадающему с известными данными.

Указанные математические методы и полученные этими методами результаты целесообразно использовать при исследованиях моделей элементарных частиц методом решетки.

Автор выражает благодарность за плодотворные дискуссии доктору физ.-мат. наук И.Л. Боголюбскому и кандидату физ.-мат. наук

В.К. Митрюшкину. Особую благодарность автор выражает за полезные обсуждения и активную поддержку профессору М. Мюллеру-Пройскеру.

Библиографический список

1. Кройц, М. Кварки, глюоны и решетки / М. Кройц. - М.: Мир, 1988.

2. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. V 10. P. 2445-2459.

3. DeGrand T. and Toussaint D. Topological excitations and Monte Carlo simulation of Abelian gauge theory // Phys. Rev. D. 1980. V 22. P. 2478-2489.

4. Hoferichter A., Mitijushkin V.K. and Mbller-Preussker M. On the chiral limit in lattice gauge theories with Wilson fermions // Z. Phys. C. 1997. V 74. P. 541-548.

5. Hoferichter A., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Stbben H. Dynamical Wilson fermions and the problem of the chiral limit in compact lattice QED // Phys. Rev. D. 1998. V 58. P. 114505-114510.

6. Montvay I. and Mbnster G. Quantum Fields on a Lattice. Cambridge University Press, 1994.

7. Nakamura A. and Sinclair R. Fermion propagators in U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1990. V 243. P. 396-402.

8. Nakamura A. and Plewnia M. Gauge fixing ambiguity and photon propagators in compact U(1) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1991. V 255. P. 274-278.

9. Mitrjushkin V.K. Gauge fixing, zero-momentum modes and the calculation of masses on a lattice // Phys. Lett. B. 1997. V 390. P. 293-297.

10. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Peter P. Lorentz gauge and Gribov ambiguity in the compact lattice U(1) theory // Phys. Lett. B. 1999. V 458. P. 102-108.

11. Mandula J. and Ogilvie M. Efficient gauge fixing via overrelaxation // Phys. Lett. B. 1990. V 248. P. 156-158.

12. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M., Peter P. and Zverev N.V. Fermionic correlators and zero-momentum modes in quenched lattice QED // Phys. Lett. B. 2000. V. 476. P. 448-454.

13. Bogolubsky I.L., Mitrjushkin V.K., Mbller-Preussker M. and Zverev N.V. Zero-momentum modes and chiral limit in compact lattice QED // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2001. V 94. P. 661-664.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

В.А. ШАЧНЕВ, проф. каф. высшей математикиМГУЛ, д-р физ.-мат. наук

Запишем систему уравнений Механики сплошной среды в виде

d1S1 + d2dS,2 + d3S,3 = Pdv/d^ =

= P(dV, + V151V, + V2d2V, +

Sji = Sif ^ J = 1,2,3

где sj(x1, x2, x3, t) - компоненты тензора напряжений;

v i(x1, x2, x3, t) - компоненты вектора скорости; p(x1, x x t) - плотность среды; x1, x2, x3 - координаты точки, t = время, д. = d/dx, j = 1, 2, 3, d, = 5/5,.

Используя закон сохранения массы (уравнение неразрывности)

dp/dt + p(d1v1 + d2v2 + d3v3) = 0, систему уравнений можно записать в дивергентной форме [1]

д^,1 + д2Р,2 + д3Ргэ - дР, = 3 i = 1 3 3 где Pj = sf - PVVj = Pjf p, = Pvi.

Введем внешние дифференциальные формы

а = (pi1dx2Adx3 + padx3Adx1 + pBdxlAdx 2) Adt +

+ pdx, Adx„ Adx„,

i 1 2 3

так что система уравнений запишется в виде

да = 0, i = 1, 2, 3,

i

где д - внешний дифференциал. Локальными решениями этих уравнений будут формы = д% i = 1, 2, 3,

где ф,. - произвольные внешние дифференциальные формы второй степени, которые представим в виде

ф. = (F,dx, + Fdx„ + F„dx„ )Adt + Vdx„ Adx +

i i1 1 i2 2 i3 3 i1 2 3

+ Vdx, Adx + Vdx, Adx, i = 1, 2, 3.

i2 3 1 i3 1 2

Подставляя в уравнения а = дф, получим

p,1 = дЛ + д/3 - pi2 = дУ,2 + 53F.1 - ^

p,3 = дУв + 51F,2 - ^ p, = ^1 + д2 V2 + д3^

Условия симметрииp.. = p.. приводят к со-

отношениям

д F + дF + д F - д (V - V ) = д (F + F + F )

1 11 2 21 3 31 t 23 32 1 11 22 33

д F + д F + д F - д (V - V ) = д (F + F + F ),

1 12 2 22 3 32 t 31 13 2 11 22 33

д F + д F + д F - д (V - V ) = д (F + F + F ).

1 13 2 23 3 33 t 12 21 3 11 22 33

Если теперь ввести формы

т1 = ((- F22 - F33)dx2Adx3 + F21dx3Adx1 +

+ F31dx1Adx2)Adt + (V23 - V32)dx1Adx2Adx3,

138

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007