Нелокальные модели элементарн ых частиц в дискретном пространстве-времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ В ДИСКРЕТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

Н.В. ЗВЕРЕВ, доц. каф. физикиМГУЛ, канд. физ.-мат. наук

caf-physics@mgul. ac. ru

Модели элементарных частиц - фермионов - в дискретном пространстве-времени (на решетке) используют для расчетов физических характеристик частиц во всей области их параметров [2]. Для необходимой инвариантности характеристик фермионов относительно операции изменения знака времени у волновых функций этих частиц используют нелокальную дискретную производную [3].

Но прямая замена непрерывных производных на нелокальные дискретные приводит к несогласию дискретной и непрерывной моделей в случае бесконечного дискретного пространства-времени [4]. Для устранения этого несогласия в таком пространстве-времени предложено добавить вспомогательные нефизические частицы [5]. Однако исследования моделей в конечном дискретном пространстве-времени (на конечной решетке) не были выполнены.

В данной работе приведены результаты исследований [1] векторной и киральной нелокальных моделей фермионов со вспомогательными частицами на двумерной (2d) конечной решетке на согласие с непрерывными теориями.

Векторная модель фермиона на решетке без вспомогательных частиц в однородном внешнем поле

Фундаментальная величина данной модели - действие - имеет вид [4]

Svs = s [y,U,0].

Здесь

S [ВД m] = E Amx,[U,ш]Чу, M [U, m]

X у

- фермионная матрица

M xy[U, m] = ZYA(x - y)UxU » ■■U » + m5xy.

ц Х+Ц,Ц у-ц,ц

x, у - узлы 2d решетки пространства-времени с координатами x ;

у = -N/2 +1, -N/2+2, ..., N2-1, N;

N - четное число узлов решетки по одному направлению; направление про-

странства-времени ц = 1, 2; шаг решетки a = 1; у

Y2 - матрицы Дирака в двумерном пространстве-времени

' 0 1 2 ' 0 -i2

Yi = v 1 0 у , Y 2 = v 1 0 у

Ux ц = exp(i Лхц ) - внешнее поле с вещественным потенциалом Лх ц; у - волновая функция фермиона.

Граничные условия для Uxц и yx имеют вид

U ,

x± N v,^,

U , У «

x,\tf x±N v

yx, ц, v = 1, 2.

A^x) - нелокальная дискретная производная фермиона

=—5 N

xJ-H,0

p

N/2 2ni

E "тг

- N12+1 N

A(x) =

(P - V2)exp

Интегрирование exp(-SVS) по всем волновым функциям у приводит к детерминанту фермионной матрицы

Jexp(-SVs) [dy dy] = det M[U,0] = DVS.

Этот детерминант является производящей функцией всех фермионных корреляционных функций.

В однородном внешнем поле с потенциалом [6]

Л = — И , w n ц

где вещественные числа И не зависят от x, данный детерминант имеет вид [1]

DJh] =

N/ 2

п

B2 (P, И)+В22 (р, И )

л,p2=-N2+1 B12 (р, 0)+B22 (р, 0) Здесь обозначено

П N 2

вц (Ph = N E (-1)г

N z=-N/ 2+1

sinf(Pn - Иц - V2)Z

sin

Аналитические исследования и численные расчеты показали [1], что в пределе

N^-<x>

д2k

дИА

ln DVS [И]

~ N.

=И2 =0

122

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Поэтому DVS[h] не согласуется с детерминантом непрерывной 2d векторной модели, равным в однородном внешнем поле [6]

DJh] = | D+C[h]|2, где обозначено

ад

D+C[h] = exp(inh2(h+ih2)) п F [n, h]F [n, -h],

n=1

F[n, h]

1 + exp (-2n(n -1/2) + 2in(h + ih2) ) 1 + exp (-2n(n -1/ 2))

и векторная модель на 2d решетке требует усовершенствования - введения вспомогательных частиц.

Векторная модель фермиона на решетке со вспомогательными частицами в однородном внешнем поле

Действие модели имеет вид [1]

Sm = S[y,U,0] + щ,и№] +

+ Зд2, um + s^,u, MV2].

Здесь ф ф2, ф3 - волновые функции трех нефизических частиц: 2 бозонов и одного фермиона соответственно, M - массовый параметр вспомогательных частиц.

Интегрирование exp(-SVR) по у и фр k = 1, 2, 3, приводит к детерминанту, равному в однородном внешнем поле DJh] = Dvs[h] х

х П2 G 2[ p,0, M ]G[ p, h, МУ2]

p1,p2=-n/2+1G2[p,h,M]G[p,0,M>/2] ’ где введено обозначение

G[p,h,m] = B2(p,h) + B22(p,h) + m2.

Аналитические исследования и численные расчеты показали [1], что детерминант модели на решетке D^[h] согласуется с детерминантом непрерывной модели DVC[h] при массовом параметре M в интервале M <M<M2 , где M1 ~ N-09, M2 ~ N-05 (рис. 1). В этом интервале параметра M детерминант DVR[h] согласуется с DVC[h] при |h | < h* (рис. 2), где 1/2 - И* ~ (MN)1/3. При этом в пределе N—ад и*—>1/2.

Киральная модель фермионов на решетке в однородном внешнем поле

Действие модели без вспомогательных частиц имеет вид [1, 6]

SCS = I S[P+v+k,U,0] + S[Py, U2,0].

k=i

1,0

0,8

Q

0,6

0,4

Рис. 1. Детерминанты DV векторных моделей в зависимости от массового параметра M в однородном внешнем поле с И = И2 = 0,2: 1 - DVC непрерывной модели, 2 - Dvr модели на решетке при N = 160

^—|—1—1—1—1—|—1—г ~~ \ - \ - \ - 1 - 1 - \ - N __ н—1—|—1—~ 1—1—|—1—1—1—1—|—1—1—1—1—|—

- ; Г~ 1 -_

- ! •ч. Ч* -S _

_ : Ч -

- М1 м2 2 -

О О О 0,2 0,3 0,4 0,5

M

Рис. 2. Детерминанты DV векторных моделей в зависимости от И2 однородного внешнего поля при И1 = 0,2: 1 - DVC непрерывной модели; 2, 3 - DVR модели на решетке при N = 160: 2 - M = M1 = = 0,04; 3 - M = M2 = 0,2

Здесь P± = (1 ± iy2Y1)/2 - киральные проекторы; y+k - волновая функция положи-тельно-кирального фермиона с безразмерным зарядом 1, k = 1,2,3,4; - волновая функция

отрицательно-кирального фермиона с безразмерным зарядом 2.

Интегрирование exp(-SCS) по у+к, k = 1, 2, 3, 4, и приводит к детерминанту мо-

дели на решетке DCS : DCS = | DCS | Arg DCS. При этом аргумент детерминанта Arg DCS не зависит от добавления вспомогательных частиц.

Аналитическими исследованиями и численными расчетами установлено [1], что в однородном внешнем поле аргументы детерминантов модели на решетки и непрерывной теории не согласуются

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

123

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ArgDcs Щ * ArgDcc Щ.

Здесь Dcc[h] - детерминант непрерывной киральной теории в однородном поле D^h = D\c [h] D\c [2h].

При этом введение вспомогательных частиц не изменит данного отличия детерминантов.

Киральная модель фермионов на решетке со вспомогательной частицей в неоднородном внешнем поле

Действие этой модели на решетке имеет вид [1]

ScR = Scs + зд, и M

Здесь ф - волновая функция вспомогательной бозонной частицы с массовым параметром M и безразмерным зарядом 2.

Интегрирование exp(-SCR) по y+k, к = 1, 2, 3, 4, и ф приводит к детерминанту модели

D

= det ‘В[У ]

def BE!idet. В*[1]В[1]

В[1] В[1] В+ [U 2]B[U2] + M2'

Здесь B[U] _ матрица положительно-кирального фермиона

BJU = A,(x _у) Ux,-U . +

У-1,1

+ i A2(x _ у) U

x,2

U

y-2,2

B[1] _ матрица B[U] во внешнем поле c Ax^ = 0, + _ операция эрмитова сопряжения.

Потенциал неоднородного внешнего поля имеет вид [6]

. 2% 2п

A = —h cos—(k,x, + Lx„ + к / 2),

x,ii n ^ n 11 22 ^ ’

где вещественные величины h не зависят от

xx и x2; x k|i = -N/2 + 1, ..., N/2 ; |д = 1, 2; k2

+ k22 * 0.

В данном неоднородном внешнем поле детерминант модели DCR = DCR [h, k].

Детерминант непрерывной киральной модели в неоднородном внешнем поле имеет вид [6]

Dcc[h, k]

exp -j-dn^- ^

К + k2

где k и k2 _ целые числа, причем k2 + k22 *0.

Аналитические исследования и численные расчеты показали [1], что DCR [h, k]

согласуется с Dcc [h, k] при массовом параметре M = M0(N) ~ N~0,28 . Значения M0(N) находят из соотношения

nCR (k)/ nCC (k)

M =M 0( N )

= max,

где

f d2 d2 ^

nc (k) = 2 + 2 v 5h[2 dh2 j ln\Dc [h, k ]

Пс (k) = nCR (k), Псе (k) при Dc [h, k] = DCR [h, k], Dcc [h, k].

Заключение

В данной работе приведены результаты аналитических и численных исследований векторной и киральной нелокальных моделей фермионов со вспомогательными частицами на двумерной конечной решетке.

Показано, что векторная нелокальная модель фермионов на решетке с тремя вспомогательными частицами согласуется с непрерывной теорией во внешнем однородном поле. Киральная нелокальная модель фермионов на решетке со вспомогательными частицами не согласуется с непрерывной теорией во внешнем однородном поле. Но во внешнем неоднородном поле данная модель на решетке с одной вспомогательной частицей согласуется с непрерывной теорией.

Полученные результаты целесообразно использовать при исследованиях моделей фермионов методом решетки.

Библиографический список

1. Зверев, Н.В. Регуляризованные U(1) модели фермионов на решетке / Н.В. Зверев. _ М.: Прометей, МПГУ _ 2004. _ 126 с.

2. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. V. 10. P. 2445-2459.

3. Drell S., Weinstein M., Yankielowicz S. Strongcoupling field theory: Fermions and gauge fields on a lattice // Phys. Rev. D. 1976. V. 14. P. 1627-1647.

4. Karsten L., Smit J. The vacuum polarization with SLAC lattice fermions // Phys. Lett. B. 1979. V 85. P. 100-102.

5. Slavnov A.A. A proposal for chiral fermions on the lattice // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1995. V. 42. P. 166-170.

6. Narayanan R., Neuberger H. Anomaly free U(1) chiral gauge theories on a two dimensional torus // Nucl. Phys. B. 1996. V. 477. P. 521-548.

124

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009