Фермионный детерминант модели нейтрино на конечной решетке пространства-времени Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

F^iy) = jЛ Д)-ехр(- nnt, / a)-d^, F2(y) =

0

= jf1n(^)'exp(nn^ / a)-dE,.

0

Известно, что смешанные начально-краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений могут иметь решения, не обладающие непрерывной зависимостью от начальных данных. Этот факт подтверждается примером Адамара, дающим решение уравнения Лапласа (3.1) в полуполосе

D = {(х; у) | - п/2 < х < п/2; 0 <у} при смешанных начально- краевых условиях и(- п/2; у) = и(п/2; у) = и(х; 0) =

= 0, ди./ dy|y = 0 = exp (- n1/2) ' cos (n-х); и(х; у) = n- ' exp (- n1/2) - cos (n-х) x x (exp(n'y) - exp(- n-у)) / 2, где n - нечетное натуральное число.

Если n будет неограниченно возрастать, то поставленные начально-краевые условия будут мало отличаться от нулевых, тогда как решение Адамара при ненулевых значениях аргумента у будет сколь угодно далеко отходить от тривиального. Другие справочные сведения об отыскании аналитических решений классических уравнений математической физики можно найти в [1, 2].

Работа была доложена на научно-технической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.П. Королева.

Библиографический список

1. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 684 с.

2. Араманович, И.Г. Уравнения математической физики / И.Г. Араманович, В.И. Левин. - М.: Наука, изд-е 2-ое, 1969. - 288 с.

ФЕРМИОННЫЙ ДЕТЕРМИНАНТ МОДЕЛИ НЕЙТРИНО НА КОНЕЧНОЙ РЕШЕТКЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Н.В. ЗВЕРЕВ, доц. каф. физики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук

В основные задачи квантовой теории поля входят разработка и исследование математических моделей элементарных частиц для изучения физических свойств этих частиц. В модель частиц входят определенные зависимости для матричных волновых функций - квантовых полей, зависящих от координат непрерывного пространства-времени, а также для действия этих полей. Действие является скалярной функцией данных полей, которая для описания наблюдаемых законов сохранения должна быть инвариантной при конкретных преобразованиях волновых функций. Для обеспечения такой инвариантности модель строят на определенной группе матричных преобразований над волновыми функциями, например на группе U(1).

При исследовании моделей частиц находят многочисленные корреляционные функции, которые используют как вспомогательные величины для последующих расчетов физических характеристик частиц. Каждую корреляционную функцию вычисляют обычно методом континуального интеграла по всем волновым функциям от произведения конкретного оператора волновых функций на экспоненту действия. В результате такого интегрирования только по фермионным полям возникает весовой множи-

тель - детерминант фермионного оператора, или фермионный детерминант, который в наибольшей степени характеризует свойства фермионных частиц [1].

Главный недостаток таких моделей элементарных частиц в непрерывном пространстве-времени заключается в том, что из-за непреодолимых математических трудностей корреляционные функции этих моделей, кроме нескольких двумерных теорий, удается найти лишь приближенно и только при малой константе связи полей. Для устранения этого недостатка в работе [2] предложен математический метод моделирования частиц - метод решетки. Этот метод основан на аппроксимации непрерывного пространства-времени дискретной совокупностью точек - решеткой с заменой непрерывных волновых функций дискретными величинами. При этом величины и характеристики на решетке имеют физический смысл только в пределе стремления шага решетки к нулю.

Одним из отличий нейтрино от других частиц является его возникновение в процессах слабого взаимодействия, для которых нарушаются определенные законы сохранения. Эту особенность нейтрино учитывают введением в его модель киральных фермионных полей.

184

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Хотя в киральных моделях на решетке устранен указанный выше недостаток непрерывных моделей, но на решетке появился новый недостаток в виде нефизических эффектов. В работе [3] показано, что в корреляционных функциях ки-ральных моделей на бесконечной решетке нефизические эффекты устраняются при введении в действия этих моделей вспомогательных слагаемых - контрчленов с определенными значениями их коэффициентов. Однако практически изучают модели не на бесконечной, а на конечной решетке, и в этом случае целесообразность введения контрчленов не является очевидной и требует исследований.

Целью данной работы являются аналитическое и численное исследования фермионного детерминанта киральной U(1) модели нейтрино с контрчленом в действии на двумерной конечной решетке пространства-времени и выяснение вопроса согласия этого детерминанта в разных полях с детерминантом непрерывной теории.

Выбор группы U(1), фермионного детерминанта, определенных полей и двумерной решетки вызван тем, что, во-первых, при этих условиях известно точное решение для детерминанта непрерывной модели [4, 5], с которым будет выполнено сравнение полученных ниже результатов на решетке, а во-вторых, расчеты для указанных условий на конечной решетке являются достаточно точными и реальными по продолжительности.

1. Детерминант модели с контрчленом на решетке в однородном поле

1.1. Действие модели с контрчленом на решетке

В работе [5] получено соотношение для фермионного детерминанта киральной U(1) 11112 модели нейтрино в непрерывном пространстве-времени. Эта модель состоит из четырех по-ложительно-киральных фермионных частиц с безразмерным зарядом 1 и одного отрицательно-кирального фермиона с зарядом 2. Однако переход к конечной решетке для данной модели приводит к нефизическим эффектам и неправильным результатам. Поэтому исследуем фермионный детерминант такой модели на решетке, но уже с контрчленом в ее действии. Это действие на решетке имеет вид [3]

где SCW

S = S +

°CK °CW ~

(2п>

■ у А’

2 Z.J х,ц х,ц

действие модели без контрчлена [2]

(1)

scw = - X (Z (№,ц + Р ) V+M+A -

-V+m(v+m+a“V+m)]} +

+ -УГш 7 (Р +PU2 W • -

^ LT_’X'^V + - д:,ц/т-,л:+ц

^ х,ц.

-у-,х(у-,^-У-,*)] + кс-

Здесь у+кх - поле, описывающее поло-жительно-киральный фермион с безразмерным зарядом 1; у - поле, описывающее отрицатель-но-киральный фермион с зарядом 2; массы этих полей т0 = 0; х - узлы двумерной конечной решетки с целочисленными компонентами хц = - N / 2 + 1, ..., N / 2; ц = 1,2; N - четное число узлов решетки вдоль одного направления ц; уц - эрмитовы матрицы Дирака размером 2 х 2; Р± - киральные проекторы

р± = 1/2(1 ± Уз);

где у3 - киральная матрица Дирака в двумерном пространстве

Уз = - №

U - решеточное внешнее U(1) поле

их,ц = еХР (/Ах,Д

где Ахц - вещественный потенциал внешнего поля;

KC - вещественный коэффициент контрчлена;

h.c. - эрмитово сопряжение.

Шаг решетки выбран равным a =1. На конечной решетке внешнее поле удовлетворяет периодическим граничным условиям, а фермионные поля - антипериодическим [5]

=А ,ч/ -ш ,v = 1,2.

я.ц3 т x±Nv т i’ 7

1.2. Однородное поле и детерминант

Получим выражение для фермионного детерминанта рассматриваемой модели на конечной решетке во внешнем однородном поле, потенциал которого взят из [5] в виде

Ах,ц=(2п / (2)

где h - вещественные числа, одинаковые для всех узлов решетки х;

ц = 1,2. Подставляя выражение (2) в действие

(1), переходя в импульсное пространство и используя представление матриц у в виде

(0 1 ^ (0 -i ^

Ь =

V1 0У

, 72 =

Vi 0 У

выполним необходимое интегрирование по фермионным полям в континуальном интеграле. В результате получим выражение для фермионного

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

185

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

детерминанта в однородном поле, нормированного на 1 при h = h2 = 0

DCK[h] = Dc^[h]exp{Kc(h12 + h22)}, (3)

где

DcW[h] = D+w4[h] D+w*[2h],

N/ 2

D+w№] = П

p=-N 2+1

G [P,h]

G [p,0\

G[p, h] = [B1(p, h) + iB2(p, h)]x x[B1(p, 0) + iB2(p, 0)] + W2(p),

Bto, h) = sin(2n / N)(p - й - 1/2),

r 2 r r

W(p) = ^(1 - cos(2n / N)p - 1/2).

M

Произведение сомножителей в (3) выполнено по всем целочисленным компонентам pц двумерного импульса pц = -N / 2, ..., Л / 2; ц = 1, 2.

Детерминант (3) является комплексной величиной

DcK[h] = DcK[h]|exp{i ArgDc#]}.

Видно, что введение контрчлена с вещественным коэффициентом Kc затрагивает только модуль детерминанта |DcK[h]|, не изменяя его аргумента

ArgDcJh] = ArgDcw[h].

Значения решеточного детерминанта по

(3) будем сравнивать в пределе N ^ да со значениями детерминанта этой теории в непрерывном пространстве-времени. Выражение для такого непрерывного детерминанта Dcc[h] имеет вид [5]

Dcc[h] = D+c4[h] D+c*[2h], (4)

где

D+c [h] = e**2(h+h}ПF [n, h]F [n, -h],

n=1

1 -2л(п-1/2)+2n/(h1 +h )

F [n, h]= ^ + -2n(n-1j 2)-.

1 + e y ' ’

Решеточный (3) и непрерывный (4) детерминанты удовлетворяют свойствам симметрии в виде

D[\, h2] = D*[h2, h] = D*[- h1, h2]. (5)

Непрерывный детерминант (4) также обладает свойством периодичности

DCC[hP h2] = Dcc[h1 + n^ h2 + n2],

n1, n2 = 0, ± 1, ± 2, ...

1.3. Оценки корреляционных функций модели на решетке

Из свойств симметрии (5) следует, что выражения для ln|DcK[h]| и ln|Dcc[h]| состоят из суммы соответствующих выражений для однопетлевых фермионных корреляционных функций

(диаграмм) второго, третьего и более высоких порядков, а выражения для ArgDcK[h] и ArgDcc[h] являются суммой выражений для диаграмм третьего и более порядков. Аналитические оценки с учетом аппроксимаций B (p, h) « 2n(p - h - 1/2) / N и W(p) « 0 в (3) приp << N и |h | << N показывают, что решеточные выражения (д3 / (dh цdhjdhx)) ln|DcK[h]| в пределе N ^ да отличаются от непрерывных зависимостей (д3 / (dhцdh^dh) ln|Dcc[h]| на величины порядка O(1 / N). Аналогичные оценки показывают отличие ArgDcK[h] и ArgDcc[h] на величины O(1 / N). Таким образом,

(d3 / (dhdhdhj) ln(|DcK[h]| / |Dcc[h]|) = O (1 / N), ArgDcK[h] = ArgDcc[h] + O (1 / N). (6)

Поэтому согласие детерминантов DcK[h] и Dcc[h] достигается при согласии выражений для фермионных диаграмм второго порядка. Эти решеточные и непрерывные выражения в силу (5) имеют вид - 1/2 nc(0) (h12 + h22), где nc(0) - решеточный или непрерывный поляризационные операторы при нулевом импульсе k = 0

д2

nc (0) = - —ln Dc [h]

dh

(7)

Здесь nc(0) = ncK(0), ncw(0) или ncc(0) при Dc[h] = DcK[h], Dcw[h] или Dcc[h], соответственно.

Учитывая (6) и (7), получаем, что согласие решеточного детерминанта (3) с контрчленом и непрерывного детерминанта (4), т.е. равенство DcK[h] = Dcc[h] в пределе N ^ да достигается при выполнении в этом пределе соотношения с коэффициентом контрчлена Kc

ncw(0) = ncc(0) + 2 Kc, (8)

где ncc(0) = (12 + 12 + 12 + 12 + 22)п = 8п [5].

1.4. Численное значение коэффициента контрчлена

h =kj =0

Найдем численно значение коэффициента Kc контрчлена, при котором в пределе N ^ да выполняется равенство DcK[h] = Dcc[h]. Из этого равенства, с учетом (3) и (4), а также, согласно (6) равенства ArgDcK[h] = ArgDcc[h] при N ^ да получим в этом пределе соотношение

5c = ln(|Dcc[h]|/| Dcw[h]|) = KJh^ + h22).

Нами с использованием формулы для Dcw[h] в (3) и формулы (4) были вычислены значения величины 5c в зависимости от h12 + h22 при разных, достаточно больших значениях числа узлов N. Результаты таких численных расчетов даны на рис. 1.

186

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рис. 1. Значения 5с в зависимости от h;2 + h22 для модели нейтрино на решетке в однородном поле: 1 - N = 160, h; = 0,2; 2 - N = 32, \ = 0.

Эти зависимости оказались практически прямо пропорциональными с угловым коэффициентом KC, имеющим значение при N = 160 KC = 5C / (h12 + h22) = 6,4005 1.5. Аналитическое значение коэффициента контрчлена

Сначала найдем величину ncw(0) по формуле (7) с учетом соотношения DCW[h] по (3)

N/ 2

Пcw (0 )= 8 X

p=-N/ 2+1

б;2 (p,0)[ 2B2 (p,0)+ w 2 (p)]

[Bб (p,0)+ W2 (p)]

_ Bj (p,0) b;( p,0)+b;2 (p,0)J (9)

b2 (p, 0)+w 2 (p) J, ()

где B (p, h) и W(p) определены в (3); B2(p, h) = = B;2(p, h) + B22(p, h); символ ' обозначает операцию дифференцирования B (p, h) по h ; суммирование выполнено по всем целочисленным компонентам p двумерного импульса

p = -N / 2 + 1, ..., A / 2; ц = 1, 2.

Теперь, подставляя (9) в (8), переходя к пределу N ^ да и заменяя суммирование интегрированием по непрерывным компонентам p1 и p2 от -пдо п, получим выражение для коэффициента контрчлена

K =

j j dpjdp2

d I _Ч (p) 5;(p)

Ф;

A2 (p ) + w (p X

_ 4п +

fb j 4si'(p )w (p )[ s;( p )w (p )-2s2 (p )] ,im I I Ф1Ф2------------F^----------------------------- , (10)

-п-п [s2 (p)+ w2 (p)]

f -f

где ^ (p) = sinp^, ^ '(p) = cosp, ц = 1, 2;

2

s2(p) = s;2(p) + s22(p), w(p) = X (1 - cosp).

ц=1

Первый интеграл в (10) после преобразования в одномерный интеграл по окружности бесконечно малого радиуса с центром в точке p1 = p2 = 0 дает значение, равное 4п. Второй интеграл вычис-

ляем явно последовательным интегрированием. В итоге после громоздких преобразований получим значение коэффициента KC контрчлена в действии рассматриваемой модели нейтрино на решетке

(

Кс = 4

5 2 64п

— п + п-----1=

3 27V3

2

= 6,3948. (11)

Это аналитическое значение коэффициента KC практически совпадает с найденным численным значением Кс = 6,4005.

1.6. Сравнение детерминантов модели на решетке и непрерывной теории

Нами выполнены численные расчеты зависимости модуля |DCK[h]| и аргумента ArgDCK[h] решеточного детерминанта от однородного поля h2 при постоянных значениях h; и различных N по формуле (3) при полученном аналитическом значении KC по (11). Типичные результаты расчетов для случая h1 = 0,2 даны на рис. 2. С учетом свойств симметрии (5) на этом рисунке продолжим по h2 полученные данные в область h2 < 0. В результате получим, что при N = 32 как модуль, так и аргумент детерминанта модели нейтрино с контрчленом на решетке хорошо согласуются с модулем |DCC[h] | и аргументом ArgDCC[h, k] детерминанта непрерывной теории по (4) в интервале |h2| < 0,7. При N = 160 интервал согласия расширяется до |h2| < 1,5.

Рис. 2. Модули |DC| и аргумента: ArgDC детерминантов модели нейтрино на решетке и непрерывной теории в зависимости от однородного поля h2 при h; = 0,2: 1 -|DCC| и ArgDCC по (4) непрерывной теории; 2, 3 - |DCK| и ArgDCK по (3) модели с контрчленом на решетке: 2 - N = 32, 3 - N = 160.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

187

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таким образом, найденное значение коэффициента контрчлена в действии рассматриваемой модели нейтрино на решетке в случае однородного поля приводит к правильным результатам.

2. Детерминант модели с контрчленом на решетке в неоднородном поле 2.1. Неоднородное поле и детерминант

Получим выражение для фермионного детерминанта рассматриваемой модели на конечной решетке во внешнем неоднородном поле с постоянным импульсом. Потенциал такого поля имеет вид [4]

Ax, p = (2п / N) hpcos(2n / N)(kx + kp / 2), (12) где h - вещественные величины, не зависящие от узлов решетки; kx = k1x1 + k2x2; xp и kp принимают целочисленные значения x , k = -N/ 2 + 1, ..., N / 2;

p = 1, 2; k12 + k22 Ф 0.

Подставляя потенциал (12) в действие (1), используя то же представление матриц у что и при выводе формулы (3), и интегрируя по фермионным полям, получим выражение для фермионного детерминанта модели нейтрино на решетке в неоднородном поле при k12 + k22 Ф 0

DCK[h, k] = Dcw[h, k]exp{1/2Kc(h12 + h22)}. (13) Здесь Kc - постоянный вещественный коэффициент в контрчлене действия (1), DCW[h, k] - нормированный на 1 при h1 = h2 = 0 комплексный детерминант данной модели без контрчлена в неоднородном поле (12). Для этого детерминанта при получении (13) нами найдено выражение при произвольном потенциале A внешнего поля Dcw = (detD[V]D_1[1]4) (dStD^W)*, (14) где блочная матрица

D [V ]

' W [1]

v B [V ]

-B' [1]].

W Mj ’

где W[1], B[U] - матрицы, определяемые на узлах двумерной решетки по формулам

Здесь 5^ - символ Кронекера для узлов решетки x иy; B[1] и D[1] - матрицы B[U] и D[U] при Vxp = 1 для всех x и р; D[U2] - матрица D[V] при замене всех V на V 2 = exp(2/A ). Как и

г x,p x,p г v x,p/

в случае однородного поля, в силу вещественности коэффициента Kc справедливо равенство ArgD^h, k] = ArgDcw[h, k].

Значения решеточного детерминанта (13) будем сравнивать в пределе N ^ да со значениями

детерминанта этой теории в непрерывном пространстве-времени. Выражение для такого непрерывного детерминанта имеет вид [4]

Dcc [h, k] = exp < -4n

(k1h2 - k2 h1 )2 k2 + k22

(15)

причем k12 + k22 Ф 0. Особенностью данного непрерывного детерминанта является его вещественность, т.е. ArgDcc[h, k].

2.2. Оценки корреляционных функций модели на решетке

Оценки выражений однопетлевых фермионных корреляционных функций (диаграмм), дающих вклад в |lnDcK[h, k]| и ArgDcK[h, k], показывают, что выражения решеточных диаграмм третьего и более высоких порядков в пределе N ^ да стремятся к соответствующим выражениям диаграмм непрерывной теории, которые, согласно [4], при k12 + k22 Ф 0 равны нулю. Выражения решеточных диаграмм второго порядка для ArgDcK[h, k] при N ^ да пропорциональны выражениям непрерывных диаграмм с киральной матрицей Дирака у3, которые для рассматриваемой модели сокращаются. Итак, при N ^ да и k12 + k22 Ф 0 имеем

(d3 / (dhdhdhj) ln(|DcK[h]| ^

^ 0, ArgDcK[h, k] ^ 0. (16)

Из данных оценок следует, что согласие детерминантов DcK[h, k] и Dcc[h, k] достигается при согласии выражений диаграмм второго порядка для ln|DcK[h, k]| и ln|Dcc[h, k]|. Эти выражения имеют вид

12

— У hhn (k),

ry p v pv \ /’

^ p,v=1

где П (k) - решеточный или непрерывный поляризационные операторы при k12 + k22 Ф 0

n„(k ) = -

dhrdh.

ln |dc [h, k]|

(17)

Здесь npv(k)=npvcK(k), npvcw(k) или npvcc(k) при Dc[h, k] = DcK[h, k], Dcw[h, k] или Dcc[h, k], со-

2

d

h=«2=0

ответственно.

С учетом (16) и (17) получаем, что согласие детерминанта (13) модели с контрчленом на решетке и детерминанта (15) непрерывной теории, т.е. равенство DcK[h, k] = Dcc[h, k] в пределе N ^ да достигается при выполнении в данном пределе соотношения

П cw(k) = П cc(k) + Kc5 . (18)

где 5pv - символ Кронекера; p, v = 1, 2.

188

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2.3. Аналитическое значение коэффициента контрчлена

Найдем значение коэффициента контрчлена, при котором в пределе N ^ да и к2 + к22 Ф 0 справедливо равенство (18). Сначала из (17) с учетом (14) в неоднородном поле (12) получим выражение для П^с^(к)

Nj 2

ПСТ (к) = 4 £ \p„(p.к)-8,„у1(р)], и»)

p=-N/ 2+1

где

GJp, к) = BJ(p, - к / 2)Bv'(p, - к / 2)L(p)x xL(p + k)[Bi(p, 0)Bv(p + к, 0) + Вц (p + к, 0)x

xBv(p, 0) - Siv £ Bx(p + к, 0)Bx(p, 0)],

KJp) = Bi(p, 0)B" (p, 0)L(p), L(p) = [B2(p, 0) + W»]-1.

Здесь B2(p, h) = B12(p, h) + B22(p, h); B^(p, h) и W(p) определены в (3); символ ' означает операцию дифференцирования B (p, h) по h ; суммирование выполнено по всем целочисленным компонентам p двумерного импульса, принимающим значения p = -N / 2 + 1, ..., А / 2.

Далее, из (17) с учетом (15) находим выражение для П сс(к)

П“ (к) = 8п

Г

S -

к к

1 v

iv к,2 + к2

V "д Нами были выполнены

Л

. (20)

2 J

аналитические

оценки величины П ^(к) по (19) в пределе N ^ да с использованием вычитания из выражений под знаком суммы в (19) соответствующих выражений при к1 = к2 = 0. Подставляя в соотношение (18) полученное оценочное выражение для П ^(к), а также П^СС(к) по (20), и переходя в пределе N ^ да от суммирования к интегрированию, получим для коэффициента контрчлена Кс в случае неоднородного поля формулу (10). Поэтому аналитическое значение коэффициента Кс, обеспечивающее в пределе N ^ да согласие решеточного и непрерывного фермионных детерминантов D[h, к] и D[h, к], при переходе от однородного поля к неоднородному не меняется и равно по (11) Кс = 6,3948.

2.4. Сравнение детерминантов модели на решетке и непрерывной теории

В случае внешнего неоднородного поля с потенциалом (12) матрица D[U] в фермионном детерминанте Dсж по (14) не диагонализуется. Это приводит к значительному усложнению и увеличению продолжительности вычислений. Поэтому нами выполнены численные расчеты величин D^h, к]| и ArgD^h, к] по формуле (13) с

учетом (14) только при относительно небольших числах узлов N = 8, 12, 16, 20 и 24 и в неоднородном поле только с одним набором величин h1 = 0,2, h2 = 0,4 и к1 = к2 = 1 при полученном аналитическом значении Кс по (11). Результаты расчетов представлены на рис. 3. Видно, что в пределе N ^ да решеточные величины |D[h, к]| и ArgD^h, к] стремятся к соответствующим непрерывным значениям |D [h, к]| и ArgD^h, к], вычисленным по формуле (15).

Рис. 3. Модули |DJ и аргументы ArgDt, детерминантов модели нейтрино на решетке и непрерывной теории в зависимости от 1 / N в неоднородном поле при h = 0,2, h2 = 0,4 и к1 = к2 = 1: 1 - Рсс| и ArgD^ по (15) непрерывной теории; 2 - Рск| и ArgD по (13) модели с контрчленом на решетке.

Таким образом, найденное значение коэффициента контрчлена в действии рассматриваемой модели нейтрино на решетке приводит к правильным результатам и в случае неоднородного поля.

Заключение

В данной работе выполнены аналитическое и численное исследования фермионного детерминанта киральной U(1) 11112 модели нейтрино с контрчленом в действии на двумерной конечной решетке пространства-времени во внешних однородном и неоднородном полях. Для каждого из этих полей получено аналитическое и численное значение коэффициента контрчлена, при котором детерминант модели на решетке согласуется с детерминантом непрерывной теории. Итак, рассматриваемая модель на решетке с таким значением коэффициента приводит к правильным результатам. Все найденные значения этого коэф-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

189