CC BY
42
фйстД
материале необходимо привлекать методы теории случайных функций [3-5].
Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов [3].
В работе [1] дана формулировка и приведено решение задачи о прогнозировании напряженно-деформированного состояния древесно-цементных материалов с минеральным наполнителем, трансверсально-изотропным заполнителем и изотропным вяжущим с учетом пористости вяжущего вещества, базирующаяся на модели стохастической неоднородной упругой среды. Схемы механических моделей структуры древесно-цементных материалов представлены на рисунке.
Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке [2, 5] сводится к уравнениям сохранения импульса
о. +F = Р Ч; (1)
соотношениям упругости
о = X.. 8 ;
у ijmn mn7
и Коши
(2)
8 = и
ij ОЛ
.... S 1/2(“у + « j) (3)
Здесь о.. - тензор напряжений, Па;
ij
8.. - тензор деформаций; X - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па; F - вектор объемных сил, Н/м3; и - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.
Уравнения (1-3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т. е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров. Характеристики X р древесно-цементного матери-
ала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элементов. При этом внутренняя энергия в микроточке определяется выражением U = 1/2 о 8.. = 1/2 X.. 8.. 8 = 1/25.. о.о , (4) где 5 = X.. 1 - тензор упругих податливостей.
Решение уравнений (1-3) в общем случае связано с серьезными математичес-
кими трудностями. Однако для практической задачи, в которой изучается изменение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т. е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид
<оЛ + <F> = <р> <ч>; (5)
<оу) = ^mn^ (6)
<8.> = <UJ. (7)
При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой
<U> = 1/2 <о..> <8..> = 1/2 X.. <8..> <8 > =
= 1/25*.. <о..><о >, (8)
ijmn x .y ' mn 7 v y
Л * * Л *1
где X .. , 5 = X 1.. - соответственно тензо-
ymn .jmn .jmn
ры эффективных модулей упругости и упругих податливостей.
Согласно уравнениям (5-8), эффективные постоянные упругого древесно-цементного композитного материала могут быть определены на основе решения простейшей задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т. е.
<о > = const, <8 > = const.
В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношений Коши (7) следует
<и> = У- (9)
Постановка задачи. Пусть макрообъем линейно-упругого древесно-цементного композитного материала стохастической структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений <о..> или макродеформаций <8..>. Задача о напряженно-де-.j
формированном состоянии в микроточках
168
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
тела сводится к уравнениям [2] равновесия
с... = 0;
соотношениям упругости
с = X.. 8 ;
ij ijmn mn
и соотношениям Коши
(10)
(11)
8= U ...
lJ (iJ)
где тензор упругих модулей X.
ijmn
(12)
является заданной случайной функцией координат.
В уравнениях (10-12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.
Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений
(X.. и ). = 0, (13)
при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид и ,| = <8. ,}х.. (14)
Из соотношений Коши (3) следует уравнение совместности микродефомаций
e e e = 0, (15)
где е..р - единичный антисимметричный тензор [5].
Если соотношения (11) подставить в уравнение совместности деформаций (15), то приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно напряжений
(16)
e e (s. с ), = 0,
ijp mnq v j nrs rs/:>pq 7
удовлетворяющим граничным условиям
с., n. | = <c. }n, (17)
где n - направляющие косинусы нормали к поверхности.
Тензорное поле модулей упругости X принимаем статистически однородным, поэтому микронапряжения с. и микродеформации 8ij будут также статистически однородными. Так как масштаб корреляции слу-
чайных полей X.. , с , 8 пренебрежимо мал по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т. е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со статистическим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства
<X.. (')} = <X.. }; <с.Я>} = <с. .};
i mn i mn i i
<8i «} = <8i.}; <X. . (Й8 (1)} = <X.. 8 }; (18)
<s. . (1) с (1)} = <s. . с }.
ijmn pq ijmn pq
ДфЭст
Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.
Методы решения краевых задач (13), (14), (16-18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случай-
ные поля X.. , с., 8 в виде сумм математичес-
ijmn ij ij J
ких ожиданий и флуктуаций
X.. = <X.. } + X0.. , с = <с..} + с0., 8.. = <8. .} + 80... (19)
i 4 г] j г]. г] 4 г]' г] 47
Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем
<с. .} = <Х. . «8 (1)> =
' ij' ' ij mn mn '
= <X.. }<8 } + <X.. ^ 0(1)}. (20)
Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка <Х (1)8 (1)}
1 А ' ijmn mn '
= <X.. 8 } или <X.. 0(1)8 0(1)} = <X
' птп тп' ' птп тп ’ ' j
0} как
ij mn mn ' ij mn mn ' ' ij mn mn
функции математических ожиданий деформаций <8г](1)} = <8..}.
Представляя вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и флуктуации
иг = <и) + < (21)
и учитывая, что для статистически однородных деформаций имеет место равенство
<и) = <8ij}Xj, (22)
получаем
и. = <8. ,}х. + и0. (23)
Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду
XX и0 + [(X.. - XX )8 ], = 0. (24)
Здесь Xc - некоторый тензор моду-
лей упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.
Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль
<1 = °. (25) Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала сущес-
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2012
169
фйстД
твенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие
U | = 0. (26)
Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
X. G t (x,(1) - x ®) + 5(x(1) - x.®)5.. = 0, (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению
U0) = j Gip (x(l)-),qd u(2) ;
x(X =X2i-X'
c
pqmn'
(28)
Подставим (28) в соотношения Коши (12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций
е..(1) = <8.) + K (x(1) - x(2))X(2) s(2) (29)
ij ' ij ijpqx г г у pqmn mn v y
или флуктуаций деформаций
е,0(1) =K (x(1) - x(2)) (<8 > + 80(2) ). (30) Здесь действие интегрального оператора K. определяется равенством
Kqpq (xf ) - x(2)) Ф(2) = j G{4j )q (xf ) - x(2)) Ф(2) Х
u(2)
xdо(2) + j G(p,.)(x(1) - x(2))nf\(2)ds(2\ (31)
где s - бесконечно удаленная граница области и; nq - направляющие косинусы нормали к ней.
Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду
Kjpq (x(l)- x(2)) Ф(2)= j G(гр, j)q (x(l)-
u(2)
- x(2)) ф0(2Х u(2), ф0(2) = ф(2) - ^. (32)
Метод условных моментов. Статистическая нелинейность уравнений в дифференциальной (24) или интегральной (29), (30)
формах не позволяет построить их решения в замкнутом виде в общем случае. Поэтому для упрощения решения задачи воспользуемся методом приближенного решения - методом условных моментов [5].
Используемый в трехслойных конструкциях древесно-цементный материал представляет собой трехкомпонентный композит n = 3, состоящий из цементного камня, древесного заполнителя и пор. Состав такого композита характеризуется следующими объемными концентрациями компонентов и тензорами модулей упругости соответственно ck = Дц/Ди, Xk (k = 1, 2, 3). Одноточечная плотность распределения упругих характеристик такого материала имеет вид
/(X)=ficjm-it), (33)
k=i
где 5(X - Xk) - дельта функция Дирака.
Совместная плотность распределения упругих характеристик и деформаций, согласно теореме умножения вероятностей, определяется равенством [3]
/Де) = /Х)/е|Х), (34)
где /(е|Х) - плотность распределения упругих деформаций в некоторой точке древесно-цементного композита при условии, что в ней тензор модулей упругости принимает определенное значение. Усредняя закон Гука (11) и учитывая (33), (34), получаем
(°) = Е ckXk (ek ^ (35)
k=l
где <ек> - математическое ожидание тензора деформаций в точке при условии, что она находится в компоненте k. Вследствие эргодичности системы <ек> равно среднему по компоненту k тензору деформаций. Из (35) следует, что для определения тензора эффективных модулей упругости необходимо найти <ек> как функцию <е>.
Запишем уравнение (30) в безиндекс-ной форме
е0(1) = K(x - x/2))X,(2)(<8> + е0(2)). (36)
Представим уравнение (36) в виде е(1) = <е> + K(x1(1) - x/2))8(2)X,(2) (37)
и усредним его по условной плотности /(е(1), е(2), X(2)|v(1)) (плотность распределения деформаций в точках x(1), x(2) и модулей упругости
170
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
в точке x(2) при условии, что в точке x(1) находится v-компонент). В результате получим систему уравнений
(е.)=(е)+K (x<l) - x<2)) Z f Ч |!|)) х
хх;. (е<2)|« V1'
;=1
(V = 1, 2, 3), (38)
где _X;(2)|V(1)) - вероятность нахождения точки x(2) в k-компоненте при условии, что точка x(1) находится в v-компоненте; (s2|;(2),v(1)) - математическое ожидание тензора деформаций в точке x(2) при условии, что точка x(2) находится в ^компоненте, а точка x(1) - в v-компоненте.
Для определения условных двухточечных моментов (s2|;(2),v(1)) усредним уравнение (37) по условной плотности_Дб(1), s(2), X(2)|k(2)v(1)). В результате получим
<Р) = {е) + K(x<l)-
- x<3) )Z f av°, !}ж( e<2)ir2), v°, <3)),
(;, v = 1, 2, 3). (39)
Продолжая этот процесс, получаем систему уравнений относительно условных моментов
е<1)|<1) <2) & а 5
е<1)|<1) <2) <3)
lvl , v2 , v3
S
v
(V|, V2, V3 = 1, 2, 3). (40)
Замыкание этой системы может быть осуществлено путем обрыва процесса на некотором шаге. Можно взять, например, одно из условий
<1)|<1) <2) <3)\ = 0 /е<1)|<1) <2) <3)\ = /\ lV v^ v3 \ & v^ v3 \&/ 5
е<1)|<1) <2) <3A . е Ь |v| , v2 , vj \A|
(41)
8
Для решения полученной системы необходимо задать условные многоточечные плотности распределения компонентов древесно-цементного композита fvl(1)|v2(2)), f(vl(1)lv2(2)v3(3)), которые могут быть найдены либо экспериментально по фотографиям сечений композита, либо теоретически, задавая распределения размеров структурных элементов в различных сечениях.
Если ограничиться двухточечным приближением, т.е. считать известными только
ДфЭст
условные плотности fvl(1)|v2(2)), то достаточно рассмотреть уравнение (38). Для его замыкания целесообразно принять третье условие из (41), что соответствует пренебрежению флуктуаций деформаций в пределах каждого компонента. В этом случае приходим к системе алгебраических уравнений относительно средних по компонентам деформаций
(е„Не} + !K;-х;(е„) (v = 1, 2, 3), (42)
;=1
где матрица Kk определяется равенством
кк = K(x(1) - x(2))pvk(x(1) - x(2)),
Pvk(x(1) - x(2)) = f(k(2)lv(1)). (43)
Система уравнений (42) является более точной по сравнению с выражениями одноточечного приближения [4, 5]. Действительно, положим K(x)pvk(x) = 0, где К(х) определяется соотношением
K (x0)-x<2)^ X°<l)n (Х°<2)+(Х>-ХС )((е)+е°<2))^=
=К (0)^ х °<l)n (X °<°+(Х)-Х С )(( е+е°<1))+
+K (^ X°<l)n) ((Х°<2)+(Х)-ХС )((е)+е°<2)))+ +i:(x(1)-x(2))(x0(1>' (Х0(2)+(Х)-ХС )((е}+е0(2))). (44)
Тогда уравнение (42) примет вид
<е, > = (е> + K(0)Z (S* - С )(Х; - Xc) {е<) .
k =1
(V = 1, 2, 3). (45)
Умножив (45) на c\vm и проведя суммирование по v, придем к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно одноточечных моментов
(Х°”8°) = K(0)[<X°n+1)<8) + <X°n+1+8°) +
+ (<Х) - Xc) <X°”8°) - <X°nXX°8°)],
(n = 1, 2, 3). (46)
Наряду с более высокой точностью и возможностью описывать эффективные свойства древесно-цементных композитов метод условных моментов позволяет также вычислять средние деформации их компонентов, что является основой для прогнозирования прочности древесно-цементных материалов.
Для решения уравнений (42) необходимо задать условную двухточечную плотность распределения pvk(x(1) - x(2)) = f(k(2)|v(1)), которая в среднем характеризует форму и расположение структурных элементов, а также тензор модулей упругости тела сравнения
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
171
