CC BY
24
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль
«а=°. (25)
Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие
и\ = 0. (26)
Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
к.. G t (x- x®) + 5(x- x(2))5.. = 0, (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению
и
0(1) = \g (хЯ> - х®)(к (2)’ е (2)) du(2);
* гp4 г г /v pqmn mn /,q 5
к (2)’ = к (2) - к с. (28)
Подставим (28) в соотношения Коши
(12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций
е.(1) = <е.) + K (х(1) - х(2))к (2) е (2), (29)
j j jpq pqmn mn
pqmn
или флуктуаций деформаций
е,0(1) = K (x(1) - x(2))«е..> + е 0(2)). (30)
ij ijpq i i ij mn
Здесь действие интегрального оператора K определяется равенством
K (x(1) - x(2))ф(2) = G л (х(1) - х(2))ф(2)х ijPqK г г у т •?. (iv.i)qK г г у т
X du(2) + G .(х.™ - x/2))n ®ф(2Ш2), (31)
/г> (lVJ) 1 1 q
где s - бесконечно удаленная граница области и; nq - направляющие косинусы нормали к ней.
Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду
K (x.(1) - x (2))ф(2) = G ,(x(1) - x (2))ф0(2)
г ipq' г г ' ' (iv.i)q' г г ' т
(2) (ipj)qv г
xdu(2), ф°0(2) = ф(2) - <ф>. (32)
Библиографический список
1. Хорошун, Л.П. Вычисление упругих свойств арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков // Научные тр. Московский лесотехнический институт. - 1976. - Вып. 93 - С. 161-166.
2. Щербаков, А.С. Арболит / А.С. Щербаков, Л.П. Хорошун, B.C. Подчуфаров. - М.: Лесная пром-сть, 1979. - 200 с.
3. Запруднов, В.И. Прочность и деформации древесно-цементных материалов и трехслойных конструкций на их основе / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2004. - 283 с.
ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ КОМПОЗИТОВ
В.И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук.
zaprudnov@mgul.ac.ru
Используемый в трехслойных конструкциях [1] древесно-цементный материал представляет собой трехкомпонентный композит n = 3, состоящий из цементного камня, древесного заполнителя и пор. Состав такого композита характеризуется следующими объемными концентрациями компонентов и тензорами модулей упругости соответственно ck = Аик / Аи, кк (к = 1, 2, 3). Одноточечная плотность распределения
Статистическая нелинейность уравнений в дифференциальной (1) или интегральной (2), (3) формах не позволяет построить их решения в замкнутом виде в общем случае [1]. Поэтому для упрощения решения задачи воспользуемся методом приближенного решения - методом условных моментов [2].
0 + [(к - к.. с)-е ]. = 0.
LV nmn umn s mn-1,j
(2) е (2).
к cu L4.... .... . - .
гJmn m,nj LV ijmn ijmn ' mn
ег(1) = {е.> + K (x(1) - х(2))к U) е
ij ' гу ijpqX г г ' pqmn mn
е 0(1) = K (x« - x (2))«е > + е 0(2)).
ij ijpqK г г y v \ mn' mn '
(1)
(2)
(3)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
203
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
упругих характеристик такого материала имеет вид
Ж) = 5>до, - \), (4)
где 5(А, - A,k) - дельта функция Дирака.
Совместная плотность распределения упругих характеристик и деформаций согласно теореме умножения вероятностей определяется равенством
Ж 8) = ЖМ8|Д (5)
где f(8|^)- плотность распределения упругих деформаций в некоторой точке древесно-цементного композита при условии, что в ней тензор модулей упругости принимает определенное значение. Усредняя закон Гука (2.11) [1] и учитывая (4), (5), получаем
<а> = 1ЖЖ (6)
где <8k> - математическое ожидание тензора деформаций в точке при условии, что она находится в компоненте k.
Вследствие эргодичности системы <8к> равно среднему по компоненту k тензору деформаций.
Из (6) следует, что для определения тензора эффективных модулей упругости необходимо найти <8к> как функцию <8>.
Запишем уравнение (3) в безиндекс-ной форме
80(1) = K(x(1) - Х(2Ж(2)«8> + 80(2)). (7)
Представим уравнение (7) в виде 8(1) = <8> + K(x(1) - Х(2)>8(2)Г(2) (8)
и усредним его по условной плотности f(8(1), 8(2), Жу(1)) (плотность распределения деформаций в точках x(1), х(2) и модулей упругости в точке x(2) при условии, что в точке x(1) находится v-компонент). В результате получим систему уравнений
<8v> = <8> + K(x(1)
x(!)£ ХЛ0’)^0!121,'1’) (9)
(v = 1,2,3),
где Xk2|v(1)) - вероятность нахождения точки x(2) в k-компоненте при условии, что точка x(1) находится в v-компоненте;
<82|k(2),v(1)> - математическое ожидание тензора деформаций в точке x(2) при условии, что точка x(2) находится в к-ком-поненте, а точка x(1) - в v-компоненте.
Для определения условных двухточечных моментов (82|k(2),v(1)> усредним уравнение
(8) по условной плотностиf(8(1), 8(2), ^(2)|k(2),v(1)). В результате получим
<8(1V4k(3)> = <8> + K(x(1) - x(3))£ f(r(2)|v(1),k(3))x
k=l
(10)
(k, v = 1, 2, 3).
Продолжая этот процесс, получаем систему уравнений относительно условных моментов
<8v1>, <8(1)|vt(1),v2(2)> , . . . , <8(1)|vj(1),v2(2),v3(3)>, (11) (vj, v2, V3 = 1, 2, 3).
Замыкание этой системы может быть осуществлено путем обрыва процесса на некотором шаге. Можно взять, например, одно из условий
<8(1)|vj(1),v2(2),v3(3)> = 0, <8(1)|vj(1),v2(2),v3(3)> = <8>, <8(1)|vj(1),v2(2),v3(3)> = <8vj>. (12)
Для решения полученной системы необходимо задать условные многоточечные плотности распределения компонентов древесно-цементного композита f(kj(2)|v2(1)), f(vj(1)|v2(2),v3(3)), которые могут быть найдены либо экспериментально по фотографиям сечений композита, либо теоретически, задавая распределения размеров структурных элементов в различных сечениях.
Если ограничиться двухточечным приближением, т.е. считать известными только условные плотности /(vj(1)|v2(2)), то достаточно рассмотреть уравнение (9). Для его замыкания целесообразно принять третье условие из (12), что соответствует пренебрежению флуктуаций деформаций в пределах каждого компонента. В этом случае приходим к системе алгебраических уравнений относительно средних по компонентам деформаций
<8v> = <8> + ZKvA\<8k> (v = 1,2,3), (13)
где матрица Kvk определяется равенством
Kvk = K(x(1) - x(2))pvk(x(1) - x(2)),
Pvk(x(1) - x(2)) = f(k(2)|v(1)). (14)
Система уравнений (13) является более точной по сравнению с выражениями одноточечного приближения [2]. Действительно, положим K(x)pvk(x)=Q, где £(х) определяется соотношением [2]
204
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
K(x(1) - x(2))<X0(1)n(X0(2) + <X> - Xc)(<8> + s0(2))> = = K(0)<X0(1)n(X0(1) + <X> - Xc)(<8> + 80(1))> +
+ K^)<X0(1)n><(X0(2) + <X> - Xc)(<8> + 80(2))> +
+ K(Xl) - y2))<X0(1)n(X0(2) + <X> - Xc)(<8> + 80(2))>. (15) Тогда уравнение (13) примет вид
<8,> = <8> + K(0£(8, - c,)(lf - Ще)
А=1
(v = 1,2,3). (16)
Умножив (16) на c\vm и проведя суммирование по v, придем к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно одноточечных моментов
<X0n 80> = K(0)[<X0n+'><8> + <Х0Ш + 80> +
+ (<X> - X0<X0n 80> - <X0n><X080>] (п = 1,2,3). (17) Наряду с более высокой точностью и возможностью описывать эффективные свойства древесно-цементных композитов метод условных моментов позволяет также вычислять средние деформации их компонентов, что является основой для прогнозирования прочности древесно-цементных материалов.
Для решения уравнений (13) необходимо задать условную двухточечную плотность распределения pvk(x(1) - x(2)) = f(k(2)|v(1)), которая в среднем характеризует форму и расположение структурных элементов, а также тензор модулей упругости тела сравнения Xе. Наличие последнего в уравнениях двухточечного (13) и одноточечного (17) приближений обусловлено пренебрежением моментов более высокого типа.
Условная плотность распределения pvk(x(1) - x(2)) может быть найдена либо экспериментально по фотографиям сечений
древесно-цементного композита, либо теоретически по заданным распределениям размеров структурных элементов в различных сечениях.
Выбором тензора Xе во многом определяется близость вычисленного тензора эффективных модулей упругости X* к его истинному значению. В работе [3] показано, что при Xе = 0 приходим к приближению Рейсса, при Xе = да - приближению Фойх-та. Полагая Xе равным тензору модулей упругости компонента древесно-цементного композита с максимальной и минимальной жесткостью, приходим соответственно к верхней и нижней границам Хашина - Штрикмана.
Физические соображения и сравнение с результатами, полученными нами другими методами, показывают, что в случае матричной структуры древесно-цементного композита, когда жесткость заполнителя меньше жесткости матрицы (цементного камня), целесообразно принять Xе = <X>.
Библиографический список
1. Запруднов, В.И. Трехслойные конструкции с древесно-цементными теплоизоляционными слоями / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2006. - 322 с.
2. Хорошун, Л.П. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов / Л.П. Хорошун, Б.П. Маслов, П.В. Лещенко.
- Киев: Наук. думка, 1989. - 206 с.
3. Савин, Г.Н. К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов / Г.Н. Савин, Л.П. Хорошун // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972.
- С. 437-444.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
205
