CC BY
21
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
О ПРОГНОЗИРОВАНИИ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В.И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук
Свойства древесно-цементного материала, сочетающие такие качества, как высокая прочность, низкая деформированность, малая средняя плотность, трещиностойкость и другие, определяются его структурой [1].
Прогнозирование физико-механических свойств древесно-цементного композита позволяет свести к минимуму экспериментальные работы по выбору оптимального состава компонентов и геометрических параметров структуры. Для этого модель механической смеси древесно-цементного композита представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с серьезными математическими трудностями.
Древесно-цементный композит имеет случайную, или стохастическую структуру, характерными особенностями которой являются дискретность включений частиц древесного заполнителя, цементного камня и пор, их хаотичное расположение в пространстве, а также случайная форма. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния в древесноцементном материале необходимо привлекать методы теории случайных функций.
Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов.
Схемы механических моделей структуры древесно-цементного материала представлены на рисунке.
Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке сводится к уравнениям сохранения импульса
о . + F. = р й .;
v, j i ’
соотношениям упругости и Коши
о = X.. в ;
J ijmn mn
в = й ч = 1/2(й. . + й. ),
V (i, J) v i, J J, i7’
(1)
(2)
(3)
где о - тензор напряжений, Па;
Bv - тензор деформаций;
Хутп - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па;
F - вектор объемных сил, Н/м3; й. - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.
Уравнения (1-3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т.е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров.
Характеристики X. , р древесно-цементного материала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элементов. При этом внутренняя энергия в микроточке определяется выражением
U = 1/2о в . = 1/2X в . в = 1/2s.. о о , (4)
j j ijmn iy тп iymn iy тп 4 '
где s.. = X.. _1 - тензор упругих податливостей.
Решение уравнений (1-3) в общем случае связано с серьезными математическими трудностями. Однако для практической задачи, в которой изучается изменение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т.е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид
(5)
(6)
<о.>. + <F> = <р>< й. >;
у у 1 , i
<о.> = X.. *<в >;
iy iymn mn 7
<в.> = й д.
V (i, у)
(7)
126
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Рисунок. Схема механической модели структуры древесноцементного материала: а - с минеральным наполнителем; б - с разориентированными частицами; в - с однонаправленными (ориентированными) частицами
При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой
<U> = 1/2<с.><s.> = 1/2Я.. *<s.> <s > =
ij ij ijmn ij mn
= 1/2s.. *<c.><a >, (8)
ijmn ij mn ’ v '
где Я.. *, s.. * = Я.. *-1 - соответственно тензоры
ijmn ’ ijmn ijmn г
эффективных модулей упругости и упругих податливостей.
Согласно уравнениям (5-8), эффективные постоянные упругого древесно-цементного ком-
позитного материала могут быть определены на основе решения простейшей задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т.е. <а. > = const, <s > = const.
j j
В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношений Коши (7) следует
<и > = <s. >x.. (9)
Постановка задачи. Пусть макрообъем линейно-упругого древесно-цементного композитного материала стохастической структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений <а. или макродеформаций <Sj>. Задача о напряженно-деформированном состоянии в микроточках тела сводится к уравнениям равновесия
а . = 0;
^J, j ’
соотношениям упругости
а. = Я.. s ;
ij ijmn mn
и соотношениям Коши
(10)
(11)
s = U v
j (i, j)
(12)
где тензор упругих модулей я.. является заданной случайной функцией координат.
В уравнениях (10) - (12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.
Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений
(Я и ) = 0, (13)
при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид
и | = <s.>x.. (14)
Из соотношений Коши (3) следует уравнение совместности микродеформаций
e..e s = 0, (15)
где e..p - единичный антисимметричный тензор.
Если соотношения (11) подставить в уравнение совместности деформаций (15), то приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно напряжений
e ..e (s а ) = 0, (16)
удовлетворяющим граничным условиям
a n | =<а.>n, (17)
где n. - направляющие косинусы нормали к поверхности.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007
127
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Тензорное поле модулей упругости \..mn
принимаем статистически однородным, поэтому
микронапряжения а и микродеформации в.. бу-i. i. дут также статистически однородными. Так как
масштаб корреляции случайных полей X.. , а ,
i.mn i.
в. пренебрежимо мал по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т.е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со статистическим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства
<X.. (1)> = <X.. >; <а.(1)> = <а.>;
i.mn i.mn i. i.
<в.(1)> = <в..>; <X.. (1)в (1)> = <X.. в >; (18)
ij ij ’ ijmn pq ijmn pq ’ v '
<s.. (1)а (1)> = <s.. а >.
. mn pq . mn pq
Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.
Методы решения краевых задач (13, 14,
16-18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случайные поля X а. , в. в виде сумм математических ожиданий и флуктуаций
X.. = <X.. > + X.. 0, а.. = <а.> + а 0, в.. = <в.> + в.0. (19)
Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем
<а..> = <Х.. (1)в (1)> = <Х.. в > + <Х. . 0(1)в 0(1)>. (20)
. . mn mn . mn mn . mn mn
Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка <Х (1)в (1)> = <Х в > или <Х 0(1)в 0(1)> = <Х.. 0в 0> как функции математи-
. mn mn . mn mn
ческих ожиданий деформаций <в.(1)> = <вл.
Представляем вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и флуктуации и. = <u > + и0 (21)
и учитываем, что для статистически однородных деформаций имеют место равенства
(22) (23)
Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду
X. . си 0 + [(X. . - X. . с) в ] . = 0. (24)
утп т, п. Lv утп утп ' mnJ,. 4 '
<и > = <в. >х, ..jj и. = <в. >х. + и0.
V . i
Здесь X.j
некоторый тензор модулей
Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль
иХ = 0. (25)
Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие
и-\т = 0. (26)
Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
X .. G . . (х Р - х <2>) + 5(х (1) - х (2))5k = 0 (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению
и0(1) = [ G . (х (1) - x(2))(X (2)'в (2)) du(2);
i J ip' i i '' pqmn тп 7, q ’
упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.
X (2)' = X (2) - X с. (28)
Подставим (28) в соотношения Коши (12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций
в ,(1) = <в ..> + K (х (1) - х (2))X (2)в (2) (29)
р р Ppqx i i / pqmn тп 4 '
или флуктуаций деформаций
в.0(1) = K (х(1) - х(2))(<в > + в 0(2)). (30)
Здесь действие интегрального оператора K .pq определяется равенством
K (х (1) - х (2))m(2) = [ G( . (х (1) - х (2)W2)du(2) +
vpqx i i J (ip,})qx i i ' ~
U<2)
+ j Giip,Рг(1) - х(31)
s2
где s - бесконечно удаленная граница области и; п - направляющие косинусы нормали к ней. Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду
K (х Р - х <2))ф2) = j G. . .) (х (1) -
vpqx i i J (ip, .)q\ i
(2)
U
-х.(2))ф(2)^и(2), ф0(2) = ф(2) - <ф>. (32) Библиографический список
1. Запруднов, В.И. Трехслойные конструкции с древесно-цементными теплоизоляционными слоями: Монография - 2-е изд. - М.: МГУЛ, 2006. - 322 с.
с
128
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007
