CC BY
31
ДЕРЕВООБРАБОТКА
представляющая собой плотность распределения напряжений в точке Х1 при условии, что в этой точке находится компонент (n).
Условная плотность распределения (21) позволяет вычислить в компоненте n средние значения напряжений
о
ij (n)
\0yf (о(1)|(1«У0
(22)
а также дисперсии напряжений
! (■
0ij \0j'(n)
)2 f (o*;>)dOj
(23)
Если прочность компонента n при простом нагружении обозначить Rn, то вероятность его разрушения определяется функцией
F (R) = 1 -! f (о
“П^о™ (24)
0
Часто вычислить условную плотность распределения напряжений весьма трудно и приходится оперировать только условным математическим ожиданием напряжений или средними напряжениями в компоненте. В этом случае условием начала разрушения компонента будет равенство
к«)=А <25>
Если прочность заполнителя и вяжущего, а также связи между ними заранее определены, то увеличить несущую способность древесно-минерального композита можно путем уменьшения напряжений в менее прочном компоненте за счет увеличения напряжений в более прочном компоненте. Для этого необходимо определить зависимость напряжений в компонентах от геометрических параметров структуры с тем, чтобы, варьируя ими, найти максимальную несущую способность древесно-минерального композита.
Определение напряженного состояния в компонентах древесно-минерального композита связано с решением уравнений теории упругости. Зернистость структуры приводит к тому, что напряжения являются трехмерными. В связи с этим необходимо привлекать трехмерные уравнения теории упругости для кусочно-однородной среды. Решение задач теории упругости для кусочно-однородной среды в общем случае можно строить двумя методами. Первый метод основан на решении уравнений с постоянными коэффициентами для каждого компонента и сопряжении решений на границе раздела компонентов. Второй метод основан на решении уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами для всей области.
Первый метод можно применить лишь для древесно-минерального композита с регулярной структурой. Если структура материала нерегулярная, то применяют второй метод, причем коэффициенты уравнений будут случайными функциями координат.
Библиографический список
1. Хорошун, Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. - 1978. - Т 14. - № 2. - С. 3-17.
2. Хорошун, Л.П. О принципах построения теории механической прочности арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков // Научные труды МЛТИ. - 1982. - Вып. 2. - С. 36-40.
3. Щербаков, А.С. Арболит (повышение качества и долговечности) / А.С. Щербаков. - М.: 1979. - 160 с.
4. Щербаков, А.С. Некоторые вопросы теории прочности и деформативности / А.С. Щербаков // Научные труды МЛТИ. - 1980. - Вып. 127. - С. 5-20.
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
тРЕхслойных деревянных конструкций с материалом среднего слоя из фиброцементной МАССЫ
В.И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук, А.С. ЩЕРБАКОВ, проф. каф. безопасности жизнедеятельности МГУЛ, д-р техн. наук
В малоэтажном домостроении получили распространение трехслойные несущие конструкции стен (панели), у которых обшивки выполнены из древесноплитных материа-
zaprudnov@mgul.ac.ru; scherb@mgul.ac.ru
лов (ДСП, ДВП, ЦСП, фанеры и др.), несущий каркас из древесины хвойных пород, а материал среднего слоя из фиброцементной массы [1].
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
99
ДЕРЕВООБРАБОТКА
Рисунок. Расчетные схемы панелей при продольном сжатии: а - схема действия нагрузки; б - расчетная схема панели по варианту 1; в - расчетная схема панели по варианту 2; {I}, {2}, {3} - номера выделенных элементов
У панелей с несущим деревянным каркасом, обшивками из древесноплитных материалов с теплоизоляционно-конструкционным средним слоем из фиброцементной массы, связанной с материалом обшивки и каркаса, эксплуатационная нагрузка воспринимается деревянным каркасом. Обшивка и материал среднего слоя воспринимают лишь часть эксплуатационной нагрузки и служат для придания всей конструкции жесткости, перераспределяя напряжения, возникающие в ребрах панелей.
Теоретически исследовать напряженное состояние таких панелей возможно методами теории упругости. Однако решение данной конкретной задачи со сложным характером напряженного состояния на основе трехмерных уравнений теории упругости связано с весьма существенными математическими трудностями. С учетом этого в работе приводится достаточно точное для практических целей решение задачи. В решении использованы некоторые результаты ранее выполненных исследований многослойных пластин [2, 3].
При теоретическом исследовании работы конструкций руководствовались следующими предпосылками:
1) нормальные усилия, возникающие в конструкциях, воспринимаются продольными ребрами, обшивками и материалом среднего слоя;
2) деформации продольных ребер, обшивок и материала среднего слоя одинаковы;
3) расстояние между обшивками при нагружении не меняется.
Рассмотрим два варианта конструктивного решения стеновой панели с материалом среднего слоя из фиброцементной массы (рисунок).
Для описания линейного напряженного состояния панели, находящейся под воздействием продольных статистических нагрузок, с помощью аналитических зависимостей разделим поперечное сечение на элементы {1}, {2}, {3}.
Оси декартовых координат Х1 , Х2 расположим в срединной плоскости панели, а ось Х3 направим по нормали к ней. Будем считать, что главные оси слоев совпадают с осями координат.
Трехслойная панель по варианту 1. В данной схеме конструктивного решения отношение шага продольных ребер к пролету панели равно В/L =0,4 (рис., б).
100
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
ДЕРЕВООБРАБОТКА
При продольном сжатии параметры напряженного состояния панели зависят от одной координаты, в качестве которой выберем Х3 .
Тогда изгибная жесткость элементов (1) и (2) трехслойной панели в плоскости Х2 Х3 может быть определена в результате интегрирования по координате Х3 в пределах (-h
- §2, h + 5^,
h+5
D = f EX32dX3,
(1)
—h—5-,
В соответствии с зависимостью (1) запишем выражения для определения изгибной жесткости элементов {1} и {2} для трехслойной панели с обшивками из разных материа-
лов и разной толщины
—h
D{i} = f E„2X32dX
+
—h 52 h+51
+ f EcpX;dX, + f E01 X?dXs, (2)
—h
—h
D{2} = f E02X3 dX'
+
—h—52 h+51
+ f EpX3dX3 + f E01 X32dX3,
(3)
—h h
Интегрируя зависимость (2) и (3) по координате Х3 в пределах (-h - 52, h + 51), получим выражение для определения изгибной жесткости элементов {1} и {2}
1 3
D{1} = 3 E02[3h52(h + 52) + 52] +
+2 Eh3 +1 Eoi[3h5i (h + §1) + 51 ]; (4)
3 + 1 ^ n,S ,, . ^ . ^з-3 ср 3
1 3
D{2} = T E02[3h52 (h + 52 ) + 52 ] +
3
+ 3 Ep h + 3 E01 [3h§i (h + 5i) + 53 ]. (5)
Интегрируя зависимость (1) по координате Х1 в пределах (- a - b/2, a + b/2), получаем выражение для определения средней изгибной жесткости панели на единицу ее ширины
1 a+b/2 h+§!
D = 37,7 f dXi f «32dX3 . (6)
za-l-У— a—b /2 — h—52
Подставляя (4), (5) в (6) и интегрируя, получаем выражение для средней изгибной жесткости панели при 51 * 5 2
D§,*5p = ■
1
{[ E02 [3h52 (h + 52) + §2 ] +
3(2a + b)
+E01 [3h51 (h + 51) + 53 ]](2a + b) +
+2h3(2aEpp+ bE )}. (7)
В случае однородных по материалу и одинаковых по толщине (51 = 52) обшивок панели выражение (7) примет вид — 2
D§1 = §2 = —---77 {E0[3h5(h + 5) +
3(2a+b)
+§3 ](2a + b) + h3 (2aEp + bECp )}. (8)
Усредняя закон Гука (a = sE) по площади поперечного сечения (AF), получим выражение для определения приведенного модуля упругости панели в направлении оси Х2
1 Г
E =----- f EdF .
cp AF J
(9)
AF
Для определения приведенного модуля упругости панели при 51 * 52 интегрируем выражение (9) по AF и получим
= [(2a + b)(51E01 +52 E02 )]
E
”P§1^§2
+ -
(2a + b)[(51 + 52) + 2h]
2h(2aEp + bEcp)
+
(10)
(2a + b)[(51 +52) + 2h]
При однородных по материалу и одинаковых по толщине (51 = 52) обшивках имеем
E
2(2a + b)5E0 + 2h(2aEp + bEcp )
. (11)
2(2a + b)(5 + h)
Трехслойная панель по варианту 2. В данной схеме конструктивного решения отношение шага продольных ребер к пролету панели равно B/L=0,2 (рис. в).
Проведем аналогичные рассуждения и выведем формулы для определения средней изгибной жесткости и приведенного модуля упругости сечения панели.
Используем зависимость (1) для записи выражений изгибной жесткости элементов {1}, {2}, {3} трехслойной панели с обшивками из разных материалов и разной толщины
—h
D{1} = f E02X3 dX3 +
h -h-52h+51
f EcpX]dX, + f E01X3VX3; (12)
+
—h
—h
D{2}= f E02X?dX.
+
-h-5-,
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
101
ДЕРЕВООБРАБОТКА
h+5.
+ J EpX]dX, + J E01 XldX, ; (13)
h
-h
+
D{3} = J E02 X3 dX3 h -h-52 h+51
+ J Ep X]dX3 + J E01 X]dX3 ; (14)
-h h
Интегрируя зависимость (12-14) по координате Х3 в пределах (-h - 52, h + 51), получаем выражения для определения жесткости элементов {1}, {2}, {3}
1 3
D{1} = 3 E02[3h52(h + ^2) + 52] +
+ 2 Eh3 +1 Eo1[3h51 (h + §2) + 53 ]; (15)
3 cp 3
1 3
D{2} = “E02[3h52(h + 52) + 52] +
2,1
+3 Eph + 3 Eoj[3h5j (h + 5X) + 53 ]; (16)
1 3
D{3} = 3 E02[3h52 (h + 52 ) + 52 ] +
2
1
+3 Ep h + 3 EoX[3h5x (h + 5X) + 51 ]; (17)
Для определения средней изгибной жесткости панели на единицу ее ширины интегрируем зависимость (1) по координате Х в пределах (- a - b - c/2, a + d + c/2), получим
a+b+c/2 h+5j
D =
1
2a + 2b + c
J dX1 J EX32dX3 . (18)
-b-c/2 -h-52
После подстановки (15-17) в (18) и интегрирования получим выражение для определения средней изгибной жесткости панели при 51 ф 52.
{{E02[3h52 (h + 52) +
Db, ф52 =------
1 2 3(2a+2b+c)
+53 ] + E01 [3A5j (h + 5X) + 53 ]}(2a + 2b + c) +
+2h3 (2aEp + cEp + 2bEcp )}. (19)
При 51 = 52 выражение (19) примет
вид
Dsi =5, = 2 [Ec [3h5(h + 5) + 53 ](2a +
3(2a + 2b + c)
+2b + c) + hh (2aEp + cEp + 2bEcp )} . (20) Приведенный модуль упругости панели при 51 ф 52 определим, интегрируя выражение по площади поперечного сечения (ЛЕ), получим
j? _ [(2д+ Ь+ с)(51-Ё,01 + 52-Ё'02)] | "V52 ~ (2а + Ь + сЖб! + 52) + 2h\
+-
2h(2aED + cED+2bEcp)
(2а + b + c)[(6j +82) + 2h]
При 51 = 52 имеем
_ 2(2а + Ъ + с)8Е0
(21)
пр\=\ 2(2a + b + c)(8 + h)
| 2h(2aEp+cEp+2bEcp)
2(2a + b + c)(8 + h) '
Для определения нормальных приведенных напряжений, возникающих на единице ширины панели при 51 ф 52, разделим значение величины продольной нагрузки на площадь поперечного сечения панели, получим
P
о- = - - - , (23)
пр
при 51 = 52
2h + (5! +52) P
о =
пр
(24)
2(h+5)
Нормальные напряжения, возникающие в элементах трехслойных панелей по вариантам 1 и 2, определяются по формулам: в продольных ребрах
°p E
о
пр ’
в обшивках
пр
■* 01(2)
"01(2)
пр 3
(25)
(26)
(27)
пр
в материале среднего слоя
ср
о°р = E °пр;
пр
Для получения расчетных значений нормальных напряжений в элементах панели (продольных ребрах, обшивках, материале среднего слоя) по формулам (25-27) необходимо подставить в них соответствующие значения приведенного модуля упругости (10), (11) или (21), (22), а также значения приведенных нормальных напряжений по формулам (23), (24). Для представления полученных формул в виде таблиц или номограмм проведем их анализ, для чего возьмем одну из них и выпишем все входящие в нее переменные
^/г + ^+бз) x(2a + 2b + c)[(81+82) + 2h] р 2(2 а + 2 b + c)(8jEQ2 + 82Ео2) +2h(2aEp +сЕр+2ЬЕср)
ст =
. (28)
102
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012
