Устойчивость трехслойных пластин и цилиндрических панелей из композиционных материалов при комбинированном нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IV 1 97 3 "

№ 4

УДК 629.13.014:624.073

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ

К. М. Иерусалимский, Е. Н. Синицын

Решена задача об устойчивости трехслойных пластин и цилиндрических панелей при совместном действии сдвигающих и растягивающих (сжимающих) усилий, приложенных по всем кромкам панели. Несущие слои и заполнитель панели считаются изготовленными из упругих ортотропных материалов. Уравнения устойчивости выведены на основе вариационного принципа [1]. Методом Бубнова—Галеркина получено решение для случая шарнирного опирания пластины.

Даны результаты расчета на ЭЦВМ критических усилий сдвига для панелей, изготовленных из современных композиционных материалов. Программа расчета на ЭЦВМ позволяет также решать задачи об устойчивости плоских однородных пластин.

1. Рассмотрим цилиндрическую трехслойную панель с одинаковыми ортотропными несущими слоями и легким ортотропным заполнителем (фиг. 1). Примем, что деформации несущих слоев и заполнителя описываются следующей системой кинематических и статических гипотез: несущие слои и заполнитель жестко связаны друг с другом; для каждого несущего слоя справедливы

Фиг. 1

5—Ученые записки № 4

65

гипотезы прямых нормалей с упрощениями Муштари —Доннела — Власова; тангенциальные и нормальные перемещения изменяются по толщине заполнителя по линейному закону; заполнитель работает на сдвиг только в поперечном направлении; панель тонкая, так что величина Н\И достаточно мала, и ею можно пренебречь по сравнению с единицей (Н, # — соответственно толщина и радиус панели). При выводе уравнений устойчивости трехслойных цилиндрических панелей следуем методу, который был предложен В. В. Болотиным [1], где формулируется и используется вариационный принцип для вывода уравнений устойчивости многослойных пластин. Применительно к цилиндрическим многослойным оболочкам этот принцип использован в работе [2].

Согласно указанному принципу, вторая специальная вариация полной энергии системы 82 Э для состояния равновесия принимает стационарное значение.

где функционал Д выражает потенциальную энергию панели, а функционал /3 — работу внешних сил при деформации в окрестности недеформированного состояния,

Здесь и» — нормальный прогиб, ;УП, Ы22, Л/12 - постоянные погонные усилия, интегрирование ведется по срединной поверхности панели 2. Будем считать, что при 1//?^0 величина Л/22 равна нулю.

Из сформулированных гипотез следует, что деформированное состояние панели будет полностью определено, если станут известными тангенциальные и нормальные перемещения и*, и»а(а=1, 2)

точек, принадлежащих срединным поверхностям несущих слоев. На основании принятых гипотез имеем следующее распределение перемещений в несущих слоях и заполнителе:

Здесь и в дальнейшем компоненты перемещений, деформаций, напряжений, а также упругие постоянные и расстояния г, отмеряемые по нормали от срединных поверхностей соответствующих слоев, будем выделять для несущих слоев штрихами, для заполнителя — двумя штрихами; индекс „1“ отнесен к нижней обшивке, индекс „2“ — к верхней обшивке; к — толщина одного несущего слоя; 8 — толщина заполнителя.

8(8; Э) = 0.

(1.1)

Функционал 8^Э имеет вид

(1.2)

чю" — т.

Компоненты деформации в несущих слоях и заполнителе определим по формулам классической теории упругости. Существенными компонентами деформации в несущих слоях являются е'хх ,

ди„

хха дх

„ I д2 ТУ

'« дх*

ди„

дv„

. _____ а | а

ду дх

■2г

д2 ни ’« дхду

(1.5)

Для заполнителя существенными компонентами деформации являются поперечные сдвиги :

1 / , . д и< \ _

Т„ = -т(“2-'в1+с 1

дх I ’ дно

■где

Т„ = -г(®2-^ Н-Р-53Г1 .

с = А 4- 8.

(1.6)

Для компонентов напряжений в несущих слоях и заполнителе имеем

, . Е'п ■ \ , , ,

'1,12 £уу<х

'22

ууа

VI , / I / ' \.

' ' I ^21 кхъ)1

12 21

(1.7)

т* —. у' • т" — /7" у" * т* —(~1" у"

хуа 12 »лтуа * дтг *хг 1 .уг уг * )

Потенциальная энергия панели имбёт вид

У = 2 X 0УГ £УУ ~Ь Т-яту Тжг х>'.г Туг) 0 ’®)

где интегрирование распространяется по всему объему панели. Интегрируя, с учетом (1.5) —(1.7) получим:

/,=£/

■Я

, дт \2 , ^уг / , дда

«2-^+С^) +-^ +<7-^-

а=1, 2

да

дх

I У Г л . л (ди* I ди* V ' о л ' ди°- (ди« ™ \

+ Ли(-дг) +Аи[-ду-+--д^) ^2А'^12-дх\1^ + 1т) +

, , /<Ч , «Л2 п / “'а Л2 , о ^ , д* мд^ге, , п / д*т у ,

+ лЦ^Г + 1Г/ +0,1\^г7 +2°ч1/12 к\Щу) ~

■Мж

12 дх2 ду2

йхйу,

(1.9)

где

£,,/г

Ч____ л П' И- А ■

1 I » л 12 — ^12 '*» ^22 ’

£22 Л ;

1 — ^2 ^21 Е'п Й3 12(1 ч[2 ч^)

1 ^12 ^21

VI К

12(1 —^2.421)

0,2 Л3

(1.10)

Функционал 82 Э можно представить в виде

82Э- ГГ/.(и V ^ ^ ^ дт

° 1J ь \м“ ’ дх ' ду ’ дх ’ ду ’ дх > "57 ’

д2 да д2 ® д2 да\ , . .,11ч

Лё2-’ 1Ш7’ ~ду*) I1-11)

; Уравнения Остроградского -- Эйлера для функционала 8’Э имеют вид

«З2<Р1 | ' ^41 , 712 дт \ . /й2<Р] ~

~г^2-^г+-р—л7 Л- ^18 = и> (1Л2)

11' дх2 1 дхду 1 Ц дх ) ^ ■"12 ^ ду2 п дхду

А”(т$ +у +Тг1^) + ^1!(Й + "Я5г)=0’ <1ЛЗ>

Ы^ + <^) + Л^ + Ш-°^{^+сж)-0, (1.14)

11. ду3 дхду I

о и

д1 но дх*

V+-»» О ■+ ££) ■-% (2 * + ■С £■):= ■0; (1.15)

+ 2А2^3^Г2+^22^+^22^ + ^-(^2ЛП^-+^22 57) —

где

с0хг / д<р2 I _£_ д2 да\_с0уг / дфг I _£_ д2 «Л , _1_ д, д2 №

8 ^ 5л: ' 2 дх*) 5 у ду ' 2 ду2 ) 2 11 дх2 +

I у I 1 \т д^ — 0

+ ^>2 дхду + 2 74/22 (?з-2 — и’

^=^2^ + 4-^- 91-^* ^2 = ^^, I

Ф,

«г + г»1 «г — «1

> Т2 = 2

(1.16)

(1.17)

•1~ 2

Граничные условия, соответствующие шарнирному опиранию, для функций ТО, «ре и примут ВИД

д2 да <*Ра

и» =

д*2 дх

•— фа = 0 (х = 0, а);

(1.18)

2. Решение системы уравнений (1.12^ — (1.16) ищем в виде, удовлетворяющем граничным условиям (1.18):

/ \ V* Я 1 тпХ д пкУ

™{Х, У) = 2* Атп*1п — *Ш-Г>

т, п

, ч V* п тъх . ппу

?1(х, У) = 2^ вп,п^ —

т, л

/ ч V1 гч ттел’ . пку

?. (•*. У) = 2* тп СОЭ —

т, п

. , V V4 уо . Юте* /гтсу

■Ь (*> -У) = 2- Ст« МП — С0§ ~Г .

Г71, //

. / ч V4 г- . /яти: пку

Ф* (X, У)= 2л Етп 81п

(2.1)

(2.2)

где А, В, С, О, Е - некоторые постоянные. 68

Подстановка выражений (2.1) —(2.2) в уравнения (1.12) — (1.15) позволяет установить зависимость между постоянными

■г А • Г —п А ■

'' тп ™тп» ^ тп — Гтп^тп'

где

п# тп ’ Ртп Ртп '

лс -* - Т.С -*

2агтп\ 9тп~ 2~а^тп'

тп д

Р тп

4- I а<5> т - а(’2> —

тп 12

«а

атп ~7^ Па ~~ атп ^19 т ) ; тп • тп 12 » 1

12

тл — д {&тп т &тп » ртл — д {&тп &тп №)\

Д = ай? - (а™)2; 5 = (1 + ^ о^) (1 + й2 а<”’) - к, к2 (а{2У\

атп — М2 + Рга3 «2; = —7~~ п2 а2 -|- Р/га2;

ч12

ай? = а£я) = /ялв Кв+Р);

У11) — 1 Л- Ь п<П) * ^(22> — 1 I Ь /7(22> •

и-тп — 1 *т* 1*гпл ’ — А "Т" ^2 ^/пл ?

а’(12) —* а<12>. я1*1'— ь а

итп — ге1 “тп , “тл — «з и,

О Е

7(2').

(12) тп >

<х = а/&, р = ^1(1_у;2у;1),

'и

а2 2 О* ’

д3 А а2 20

(2.3)

(2.4)

(2-£)

уг

В формулах (2.4) и (2.5) использовано соотношение симметрии ортотропного материала Яц >)а = £'22 v21.

Уравнение (1.16) решим приближенно. Подставим выражения <2.1) и (2.2) в уравнение (1.16). Применяя процедуру метода Бубнова — Галеркина, получим бесконечную систему линейных однородных алгебраических уравнений:

Атп (^л - т2 срп - «2 а2 ?и) = ЩЧ*

я2

1 тп

п (тг __ Г2)(И2 _ 52)

(2.6)

{т, п, г, « — 1, 2, 3,...; т + г, га-)-5— нечетные числа), где

/?

тп АиС8

/га4 + 2 (у'2 + 2 3)то2 га2 а2 -4-

'г!

/гар!___|

+

+ 4^[^-.итг*тп-

' 12 . 12

т2 атп + ”2 °2 аш + 2 тлаатя + Д ^ т<г + ^ ”2 а2)

(1 + *1 «(тТ> (1 + *2 а^) - *, к, (а<|2»)2

' . , ! *2 с2 \-1 , Д2

\ дЪ ^11 2 ) ’ ^ ^ ‘

(2.Т)

(2-8)

' Первое слагаемое выражения (2.7) характеризует влияние собственной изгибной жесткости несущих слоев на величину критических усилий. Если собственная изгибная жесткость несущих слоев мала по сравнению с изгибной жесткостью, связанной с переносным моментом инерции, то первым слагаемым можно пренебречь. Второе слагаемое выражает подкрепляющее влияние радиуса кривизны панели. В случае плоской пластины (1/7? = 0) и это слагаемое равно нулю. Третье слагаемое определяет устойчивость плоской трехслойной пластины, изгибная жесткость которой определяется только переносным моментом инерции несущих слоев. Если заполнитель весьма слабый (^г = С"г = 0), то третье слагаемое обращается в нуль. В этом случае устойчивость пластины опре-деляётся только собственной изгибной жесткостью двух изолированных несущих слоев. Собственные числа матрицы системы (2.6) определяют критические значения параметра <р12, а собственные векторы — соответствующую форму потери устойчивости. Нетрудно установить, что система (2.6) распадается на две независимые системы уравнений. Одна из них содержит в качестве неизвестных коэффициенты Атп, у которых сумма индексов т~\-п четная, а другая — коэффициенты, у которых сумма т + п нечетная. ,

Запишем эти системы раздельно в матричной форме:

1ВХ = АХ, сумма т + п четная;

кВ% X* =А% X#, сумма т -1- п нечетная;

32 скр]2 ’ ' ’

где В и В* — диагональные матрицы, элементы которых есть коэф~ фициенты при неизвестных Атп в левой части (2.6); А и А* — симметричные матрицы, элементы которых вычисляются согласно правой части (2.6); X и X* — столбцы неизвестных Атп.

Умножив правую и левую части уравнений (2.9) на обратные матрицы В 1 и В;:1 соответственно, получим:

),ЕХ = В-\АХ, ЩХ^В^АьХь, (2 10)

где Е - единичная матрица.' !

Поскольку потеря устойчивости при сдвиге не связана с направлением сдвигающего усилия, матрицы В~1 А и В~1 А#, очевидно,-

имеют два равных по модулю и противоположных по знаку собственных числа. Это обстоятельство затрудняет отыскание собственных чисел методом итераций [3]. Подстановка Х = Х — а0, где а0 — скалярный сдвиг начала отсчета, позволяет получить собственные числа, существенно различные по модулю [3]. Уравнения (2.10) примут ВИД : ' • >

1 ХЕХ=СХ; \ЕХт = СрХ„' (2.11)

где ,

С = В 1 А + а0£■;. С., = В^А, + а0Е. (2.12)

, - Системы (2.11) бесконечные. Для практического решения следует ограничиться некоторым конечным йислом уравнений в каждой системе. Вопрос о числе уравнений, приводящих к решению с: заданной точностью, является весьма сложным. Здесь предлагается метод последовательных решений, состоящий в том, что

(2.9)

удерживается последовательно увеличивающееся число уравнений, пока отличие последующего решения от предыдущего не станет мал ым.

Для определения одного значения критического усилия сдвига имеем две системы уравнений (2.11). Ответить на вопрос, какая из систем приводит к меньшему значению критического усилия, не решая обеих систем, не представляется возможным. Поэтому приходится решать оба варианта, и в качестве критического брать меньшее из двух полученных значений Расчеты показывают,,

-Э]2=0,г5 I 4 0,1 ' К1 =К2=0>1~ ос.= 1,0

0,5- 1,0 1,5 Е11/Еп

Фиг. 3

что наименьшее значение <р12 для различных комбинаций параметров панели и нагрузки дает то одна система, то другая. Это указывает на тот факт, что при определенных значениях указанных параметров панели происходит замена формы выпучивания, описывающейся рядом, у которого сумма индексов т^п четная, формой, у которой сумма т + п нечетная.

Изложенный метод расчета реализован в программе для ЭЦВМ БЭСМ-3. Некоторые результаты расчетов приведены на графиках. Фиг. 2 иллюстрирует подкрепляющее влияние параметра кривизны панели при различных значениях параметра р, характеризующего

ортотропию материала несущих слоев. Рассмотренный диапазон значений параметра р характерен для современных композиционных материалов. Видно, что увеличение модуля сдвига несущих слоев в12 и параметра кривизны панели приводит к значительному увеличению критического усилия. На фиг. 3 даны зависимости, отражающие влияние отношения модулей упругости в главных направлениях на устойчивость при сдвиге. На фиг. 4 показана зависимость коэффициента устойчивости при сдвиге <р12 от соотношения сторон панели а для ряда значений параметра относительной жесткости заполнителя. На фиг. 5 приведены области устойчивости при комбинированном нагружении панели, имеющей характеристики я—1, [3 = 0,2, и = 0, &! = 0,1, £2 = 0,1.

Коэффициент ср22 связан с <ри соотношением <р22==х?п- Отрицательные значения х соответствуют растягивающему усилию УУ22.

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотин В. В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. Сб. „Расчеты на прочность", вып. 11. М., „Машиностроение", 1965.

2. Синицын Е. Н. Устойчивость упругих и вязко-упругих цилиндрических оболочек из армированного материала. Сб. .Труды VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек". М., „Наука", 1970.

3. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М., Изд. иностр. лит., 1962.

Рукопись поступила 151X1 1972 г.