Научная статья на тему 'Симметричные колебания трехслойной пластины'

Симметричные колебания трехслойной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
96
17
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
ТРЕХСЛОЙНАЯ ПЛАСТИНА / СИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Лопатин Александр Витальевич, Удальцов Ростислав Андреевич

Решена задача определения частоты симметричных колебаний трехслойной пластины с одинаковыми композитными несущими слоями и ортотропным заполнителем. Основное дифференциальное уравнение четвертого порядка получено с помощью принципа Гамильтона. Приведена формула для частоты симметричных колебаний трехслойной пластины с шарнирно-закрепленными несущими слоями.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Лопатин Александр Витальевич, Удальцов Ростислав Андреевич,

WRINKLING VIBRATIONS OF SANDWICH PLATE

The task offrequency test of sandwich plate wrinkling vibrations, when plate is composed of two similar composite bearing layers and orthotropic filler, is solved in this paper. Hamilton's principle was applied to derive a basic differential equation of forth order. Frequency formula for symmetrical vibrations of sandwich plate with pinned bearing layers is given.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Симметричные колебания трехслойной пластины»

Сравнение относительной помехозащищенности разных типов сигналов

^СП 31 63 127 255 511

/тш,МГц 0,298 0,605 1,219 2,448 4,906

KBPSK 241 119 59 29 14

k ^-^ШПС 26 13 6 3 1

4,41 7,49 10,54 13,57 16,58

П0^)ШПС,дБ 13,96 17,04 20,08 23,11 26,13

A. V. Kuzovnikov, V. G. Somov, V. I. Lavrov, A. L. Deryabin, V. А. Anzhina METHOD OF FORMING OF NOISE-STOP SIGNALS

The article considers way of generation of broad-band signals (BBS) with direct expansion of a spectrum at which the pseudo-random sequence (PRS) is modulated not with harmonious bearing but with biorthogonal wavelet-function. It is shown, that this way of modulation PNS leads to considerable dilation of a bandwidth of a spectrum of the received signal. Comparative analysis of relative jam-protection ofPSK BBS and wavelet (W) BBS signals is carried out.

Keywords: pseudorandom sequence, broad-band signal, methods of forming and modulation of signals, jam-protection.

© Кузовников А. В., Сомов В. Г., Лавров В. И., Дерябин А. Л., Анжина В. А., 2010

УДК 539

А. В. Лопатин, Р. А. Удальцов СИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ*

Решена задача определения частоты симметричных колебаний трехслойной пластины с одинаковыми композитными несущими слоями и ортотропным заполнителем. Основное дифференциальное уравнение четвертого порядка получено с помощью принципа Гамильтона. Приведена формула для частоты симметричных колебаний трехслойной пластины с шарнирно-закрепленными несущими слоями.

Ключевые слова: трехслойная пластина, симметричные колебания.

Колебания трехслойных пластин отличаются большим разнообразием форм движения несущих слоев и заполнителя. Наиболее изученными из них являются поперечные изгибные колебания, при которых оба несущих слоя и заполнитель движутся в одну сторону. Вместе с тем трехслойные пластины могут совершать колебания, формы которых отличаются от форм поперечных колебаний. К ним относятся симметричные колебания трехслойных пластин с одинаковыми несущими слоями. При таких колебаниях срединная плоскость пластины не движется, а несущие слои и части заполнителя, лежащие по разные стороны срединной плоскости, движутся в противоположных направлениях. Очевидно, что для моделирования симметричных колебаний трехслойных пластин необходимо учитывать податливость заполнителя. Отметим, что число исследований, в которых рас-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сматривается влияние податливости заполнителя на динамическое поведение трехслойных пластин, невелико. Одним из первых было исследование, выполненное Фростингом и Томсоном [1]. Анализ решенных к настоящему времени вибрационных задач, в которых учитывается влияние податливости заполнителя на динамическое поведение трехслойных пластин, позволяет сделать вывод, что эти исследования далеки от своего завершения и могут быть дополнены новыми результатами.

Уравнения движения. Рассмотрим трехслойную пластину, состоящую из двух одинаковых композитных слоев и ортотропного заполнителя. Введем декартову систему координат х, у, z, связанную со срединной плоскостью трехслойной пластины. Пусть a, Ь - размеры пластины по осям х и у, а t, h - толщины несущего слоя и заполнителя.

*Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Для получения дифференциального уравнения симметричных колебаний трехслойной пластины воспользуемся вариационным принципом Гамильтона [2]. Отметим два положения движущейся пластины -в момент времени Ті и в момент времени т2. При этом т2 > т1. Рассмотрим далее интеграл действия Г амиль-тона

"2

£ =| Ldt,

(1)

Дії тх

ду

дх

+ 2D,

д2w д2w ~дхГ '

+ Dr),

ду2

+ 4Д.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д2 у дхду

(6)

СхСу,

где т - время; V = w(x, у, т) - прогиб несущего слоя; D11, D22, D12, D33 - изгибные жесткости ортотропного несущего слоя; Вр, - инерциальный параметр несущего слоя [3].

Кинетическая и потенциальная энергии заполнителя как трехмерного ортотропного тела определяются следующими выражениями:

л а Ь ./2

я=21II

2

Ръ

0 0 0

ди

дх

( ди х 1 +| у

і дх

( ди, + 1, дх

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

СхСуСі; (7)

аЬ

и=і 11 (

СТхЄх + СТ уЄу + СТіЄі +

+х е + х е + х е | СхСуСі,

ху ху хі хі у уг) у ’

(8)

где ри - плотность материала заполнителя; ых ыг - перемещения вдоль осей х, у, г; сх, оу, ог - нор мальные напряжения; тху, тхг, туг,

х '-'у?

- касательные на-

пряжения; ех, еу, ег - продольные деформации; еху, ехг, еуг - деформации сдвига.

Компоненты напряжений и деформаций в орто-тропном заполнителе связаны между собой законом Гука:

где L - функция Лагранжа, определяемая следующим образом:

L = Т - и, (2)

где Т - кинетическая и и - потенциальная энергии

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

трехслойной пластины, совершающей симметричные колебания.

Кинетическая энергия пластины определяется формулой

Т = Т + Ти, (3)

где Т - кинетическая энергия несущего слоя; Ти - ки-

нетическая энергия заполнителя.

Для потенциальной энергии трехслойной пластины будем иметь

ех = стх / Ех - VхуСТу / Еу - Vх2ст2 / Е,:

еу = у / Еу - VухСТх / Ех - VуіСТі / Еі

е1 = СТі / Еі - VzX СТх / Ех - V іуСТу / Еуі, еху = хху / ^ху ,

ехг = ххг / &хг , Єуг = х уг / ^уг ,

(9)

(10)

(11)

(12)

(4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где и - потенциальная энергия изгиба несущего слоя; ии - потенциальная энергия деформации заполнителя.

Определим значения кинетической Т, и потенциальной и энергий несущего слоя, который совершает изгибные колебания. Выражения для Т и и будут иметь следующий вид:

^ а Ь

Т, = - В, 1/ дг)2 dxdy; (5)

где Ех, Еу, Е2 - модули упругости материала; Оху, Охг, Оуг - модули сдвига; vxy, vxz, vyx, vyz, vzx, vzy - коэффициенты Пуассона.

Деформации и перемещения в заполнителе связаны между собой геометрическими соотношениями

е =ды / дх, е =ды / ду, е = ди / сГ,

Х Х у у ь' ' г г '

е =ды / ду + ды / дх, е =ды / дг + ды / дх, (13)

ху Х ^ у ' Хг Х г ' 4 '

еух = дыу / + дыг / ду.

Напряжения, деформации и перемещения, возникающие в заполнителе, являются в общем случае функциями трех координат и времени. Это обстоятельство существенно затрудняет получение как аналитического, так и численного решений рассматриваемой динамической задачи. Однако симметричные колебания обладают особенностью, которая позволит значительно упростить исходные уравнения для заполнителя. Дело в том, что при таких колебаниях перемещение ыг значительно больше перемещений ыХ и ыу, появление которых обусловлено только эффектом Пуассона. Поэтому в рассматриваемой задаче можно принять, что в заполнителе тангенциальные перемещения отсутствуют, т. е.

их = 0, иу = 0.

(14)

Отметим, что при симметричных колебаниях допущение (14) будет заметно нарушаться только в небольшой области около краев заполнителя х = 0, а и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

у = 0, ь.

Подставляя равенства (14) в геометрические соотношения (13), будем иметь

(15)

(16)

ег = дыг / Зг, еХг = дыг / Зх, ег = дыг / ду. (17)

г г ^ Хг г ^ уЪ Ъ * ^ ’

ехх = ^ еу = 0,

еху = а

С учетом уравнений (15) и (16) выражение (8), определяющее потенциальную энергию деформации за-

полнителя, примет вид

а Ь ./2

1 ^ ^

и. = — ГГ Г (ст е + х е + х е + х е Хіхйуйі. (18)

.^ЛЛЛ\11 хі хі хі хі уі уір- </ V '

2 0 0 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В^іразим напряжения, входящие в формулу (18), через деформации. Для определения сі воспользуемся соотношениями (9) и (10). Учитывая равенства (15), из уравнений (9) выразим напряжения сх и су через напряжение сі. Подставляя полученный результат в формулу (10), будем иметь

2

2

2

2

2

СТ7 = Егег ,

(19)

где Ег - приведенный модуль упругости материала заполнителя в направлении оси г:

Е = Е |~1 -V (у +у V ) +

г г I гху хг уг ху)

+у (у +у V ) / (1 -V V )! .

гу \ уг ух хг} \ ух ху/ I

(20)

Трансверсальные напряжения тХ7 и туг определим из физических соотношений (12):

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х = G е , х = G е .

хг хъ хъ ’ уг уг уг

(21)

ии = 1Ш [Ег (ды2 / Зг)2 + Gxг (ды2 / дх)2 +

(22)

+Gyz (дыг / ду)2 ^ dxdydz.

f (7 ) = ( 7 / (и/2 ))

(26)

образом, параметр £ позволяет изменять размеры зоны заполнителя, в которой происходит затухание перемещения ых. Величина £ будет вычисляться в процессе определения частоты симметричных колебаний трехслойной пластины.

Подставляя равенства (25) и (26) в выражения (22) и (23) и выполняя интегрирование, получим

dxdy; (27)

Подставим равенства (19) и (21) в формулу (18) и заменим деформации, используя геометрические соотношения (17). Тогда для потенциальной энергии деформации заполнителя будем иметь

(28)

(29)

(30)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подставляя равенства (14) в формулу (7), получим

1 а Ь Л/2

т>=2 111 РЛ (дыг / Зх)2dxdydz. (23)

2 0 0 0

Таким образом, потенциальная и кинетическая энергии заполнителя зависят только от перемещения ы7. При симметричных колебаниях трехслойной пластины функция ы7 должна удовлетворять следующим условиям:

| V (х, у, х), г = Л /2, ы7 (х, у, г, х) = \ (24)

^ ' [0, 7 = 0.

Учитывая эти условия, представим перемещение ы7 в следующем виде

(х, у, г, х) = f (г) V (х, у, х). (25)

Здесь функция АТ) задает характер распределения перемещений ы7 по толщине заполнителя. Из уравнений (24) и (25) следует, что А(Л/2) = 1 и А(0) = 0. При этом зависимость АТ) должна обладать возможностью регулировать закон затухания перемещения по толщине заполнителя. Поэтому зададим А(7) в следующем виде:

Т=1В-11 {%)**■

Здесь

Rz = Е(2/Л)ф(£), Кх = Gxz (Л/2)0(£)

Ку = Gyz (Л/2)0(|),

Врл =рА (Л/2)0(£).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Функции ф(£), 0(£) определяются следующим образом:

ф(£) = £2/(2£-1), 0(£) = 1/(2£ +1). (31)

В равенствах (29) и (30) Rz, Кх, Ку - жесткостные параметры заполнителя; Вр, - инерциальный параметр заполнителя. Выражения (27) и (29) определяют потенциальную энергию деформации и кинетическую энергию заполнителя в соответствии с допущением об отсутствии тангенциальных перемещений при симметричных колебаниях пластины.

При известных значениях потенциальной и кинетической энергий несущего слоя и заполнителя определим функцию Лагранжа для всей пластины. Подставляя уравнения (3), (4) в равенство (2), получим

L = Т, + Тл - (и, + ик). (32)

Учитывая формулы (5), (6), (27) и (28), представим функцию Лагранжа (32) в следующем виде:

г (З2V З^ З2V дw д^ д^ |

L = I I ф| —г,—Г,-------,—, —, —,V Idxdy.

^ I Зх Зу дхду дх ду дх '

00

Здесь

(33)

ф-2 К+Щт! - D■■(

З2^

сХ2"

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+2D1

+

где £ - неизвестный, подлежащий определению параметр, который задает характер затухания нормального перемещения по толщине заполнителя. Изменение параметра £ приводит к изменению характера затухания перемещения от величины прогиба несущего слоя V до 0. При £ = 1 функция А(7) определяет линейный закон затухания ыъ по толщине заполнителя. При £ > 1 основное затухание uz происходит в сужающейся зоне, которая приближается к несущему слою пластины. При £ < 1 зона затухания ыъ увеличивается и смещается к срединной плоскости пластины. Таким

12 дх2 ду2 22 ^ ду2

+ 4 Д.

+Rw2 + К | — | + К„ | —

дх ) у ^Зу

З2у

дхду

2~'

(34)

Подставляя (33) в (1), будем иметь

о хг (З2V З2V З2V дw дw дw |

5 = ШФ| w Iу. (35)

х оо ^ дх Зу СХЗу Зх Зу Зх )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В соответствии с принципом Гамильтона, интеграл действия (35) в промежутке времени т2 - т1 для действительного движения трехслойной пластины

2

+

2

2

+

имеет стационарное значение. Тогда вариация функционала (35) равна нулю, т. е.

5£ = 0. (36)

Уравнение, описывающее симметричные колебания трехслойной пластины, является уравнением Эйлера для функционала (35). Это уравнение имеет следующий вид:

д2 а?

дФ

д(д2w / дх2)

д2

дхду

дФ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д(д2м / дхду)

ду2

дФ д дФ

д(д2 м / ду2) дх д(дм/дх)

(37)

д дФ д дФ

ду 1 )д/у (д 1 дг 1 )гд/ д 1

(41)

где т, п - число полуволн вдоль осей х и у соответственно; Хт = тп/а, Хп = пп/а, мтп - неизвестные числа. Подставляя (41) в (40), получим

Алт+2 (д2+2Dзз )хтх п+D22l п -

2 2 і \ 2 (42)

-КЛт - КуК + К = (Вр1 + ВрН )Ютп ,

где ютп - частота колебаний, соответствующая номерам тп.

Приведем уравнение (42) к безразмерному виду. Для этого умножим его на а2Ь2 и разделим на

фі^22)1/2 В результате преобразований получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Здесь

Птп СтиУти.

(43)

Стп =^4 (ат4 + 2рт2п2 + п4 / а), (44)

У тп = 1/1 + Гр(1 + ^2Гхат2 + ГуП1 / а / Стп + ^ / Стп ) , (45)

а = ^П^ТВ^Ъ2 / а2, р = ( D12 + 2D33)/^ДД2, (46)

гх = Ка2/ D11, гу = КЪ2/ D2,

tz = ^V / Гр = Bph / вр,

Лтп =®mпBPtа2b2^^/D^.

(47)

(48)

+дФ=0.

дм

Подставляя (34) в (37), будем иметь

Д^4 м / йг4 + 2 (Д2 + 2Д3 )д4 м / 5г2ду2 +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+£>22д4м / ду4 - Кгд2м / йг2 - Куд2м / 5у2 + (38) + Rzм + (Вр, + ВрА )д2 м / дг2 = 0.

Уравнение (38) представляет собой основное дифференциальное уравнение симметричных колебаний трехслойной пластины.

Рассматривая свободные колебания трехслойной пластины, представим прогиб несущего слоя в следующем виде:

м (г, у, г) = м (г, у)е'°ж, (39)

где I - мнимая единица; ю - круговая частота колебаний; м(г, у) - функция формы, описывающая моды колебаний несущего слоя.

Получим уравнение для определения формы несущего слоя при симметричных колебаниях. Подставляя (39) в (38), будем иметь

Б11д4м / дг4 + 2 (Д2 + 2Д3 )д4м / дг2ду2 +

+Б22д4м / ду4 - Кгд2м / дг2 - Куд2м / ду2 + (40)

+Ъм -(ВР, + вРн )®2м = 0.

Здесь и далее м = м(г, у).

Трехслойная пластина с шарнирно-закрепленными несущими слоями. Определим частоту симметричных колебаний трехслойной пластины, у которой края несущих слоев шарнирно закреплены. Представим решение уравнения (40) в следующем виде:

Равенство (48) определяет безразмерный частотный параметр цтп несущего слоя как отдельной пластины, не связанной с заполнителем. В формуле (43) величина утп характеризует степень влияния заполнителя на частотный параметр несущего слоя. Величина Стгп при этом определяет частотный параметр только пластины несущего слоя. На самом деле, если заполнитель отсутствует, то из формул (29), (30) и (47) следует, что гх = 0, гу = 0, tz = 0 , гр = 0. В этом случае из равенства (45) будем иметь утп = 1. Тогда Птп = т Используя формулы (29) и (30), представим равенства (47) в следующем виде:

Здесь

Гх = Рх0(5) , ГУ = Ру0(5) ,

tz = ^ф(5) , Гр = Рр0(5)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Gxzha2/(2Dll), ру = GyM2/(2D22), sz = 2Ёа2 b2/(h(D11 D22)1/2),

(49)

Рр = РнН / (2В„* ).

Подставляя (49) в (45), будем иметь

У тп (5) = [1 + 0 (5) '^ ( Рхат2 + Руп / а) / / Стп +ф(5) ^ / Стп ] / (1 + Рр0(5)).

(50)

(51)

Учитывая равенство (51), запишем выражение (43) в следующем виде:

л =С у (5)■

утп ^>тп і тп

(52)

Таким образом, частотный параметр зависит от параметра £, который задает характер затухания нормального перемещения по толщине заполнителя.

Определим частоту симметричных колебаний трехслойной пластины. Из равенства (48) будем иметь

л/АЇА:

В„

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подставляя (52) в (53), получим

тп

1/2

= ^тп (5)(

(53)

(54)

где ^тп(£) = (Утп©) . Величина ю>тм, представляющая собой частоту колебаний только пластины несущего слоя, определяется следующим выражением:

+

2

д

х

Ю =

тп

л/А^:

В_,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(55)

где

ю = Ф

тп т т

Фтп = (1)] ,

(56)

(57)

Оп = Ех1,3 /12, Д2 = Ех1 Vу /12;

А2 = Е/3 /12, ^33 = G!!ytt3 /12, К, = К, / (1 -V г*V у* ) ,

Еу, = Еу, / (1 ^ г*V уг, ) ,

(58)

(59)

где Е„, Еу, - модули упругости; GXу^ - модуль сдвига; VxУt, vухt - коэффициенты Пуассона. Для инерциально-го параметра однородного несущего слоя будем иметь

ВР, = рЛ (60)

где р, - плотность материала несущего слоя. Подставляя (58) и (59) в (46), получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

« = У ЕХ1 / Еу1Ь2/

2 'а2,

Р = (Ег,V^ + 2GхytЕ, /Еу1.

(61)

Определим далее безразмерные параметры рх, ру, sz, рр. Учитывая формулы (58) и (60), из равенств (50) будем иметь

а сруг^Ь

Рг = 6=^ г, Ру = 6-------г,

Ех, , ,2 у Еу, , ,2

Ег а2 Ь2 (ЛЛ

^Ег,Еу, ,2 ,2 V {

= 1 РьЬ Рр 2 р, , '

(62)

Подставляя Би и Б22 из (58) и Вр, из (60) в выражение (55), получим

где ^тп (Стп) .

Из формулы (54) видно, что частота симметричных колебаний трехслойной пластины зависит от величины £. Истинное значение частоты колебаний для каждой комбинации т и п может быть получено с помощью процедуры минимизации по параметру £. В этом случае

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

г

Е*Еу

12р,

(64)

где £г - 4 - диапазон изменения параметра £.

Формула (56) определяет частоту симметричных колебаний трехслойной пластины. Как видно, частота колебаний ютп представляет собой произведение частоты колебаний несущего слоя ютп, и частотного коэффициента фтп, который учитывает динамическое поведение заполнителя. Отметим, что формула (56) оказывается особенно удобной для параметрического анализа, в котором исследуется влияние геометрических, упругих и инерциальных параметров трехслойной пластины на частоты колебаний.

Получим расчетные формулы для трехслойной пластины с однородными ортотропными несущими слоями. Изгибные жесткости такого несущего слоя определяются следующим образом:

Формула (64) определяет частоту колебаний однородного ортотропного несущего слоя.

Если несущие слои выполнены из изотропного материала, то для модулей упругости будем иметь

Е, = Еу, = Е,, (65)

Ег, = Еу, = Е,, (66)

= Е, V,, Gхyt = 0,5 (1 -V,) / Е,, (67)

где Е, = Е1 (1 -V2); Ег - модуль упругости; V, - коэффициент Пуассона.

Подставляя (65), (66) и (67) в равенства (61), получим

а = Ь2/ а2, р = 1. (68)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С учетом соотношений (66), выражения (62), определяющие безразмерные параметры рх, ру и 5г, примут следующий вид:

=6 £у^Ь2

=6

Е, , ,

~Ег а2 Ь2 (* ^ = 24 =—-—-I -

Е, , ,

Е, ,2 ,2

(69)

Подставляя (66) в (64) для частоты колебаний изотропного несущего слоя, будем иметь

Ютп, Хтп аЬ А

I Е, 12р,'

(70)

Структуры трехслойных пластин с композиционными несущими слоями и ортотропным заполнителем обладают большим разнообразием геометрических, упругих и инерциальных параметров. Каждый из этих параметров тем или иным образом может влиять на частоты симметричных колебаний. Исследование такого влияния в общем случае является достаточно громоздкой задачей. Для того чтобы сделать параметрический анализ обозримым и в то же время продемонстрировать возможности разработанной динамической модели, рассмотрим далее квадратную трехслойную пластину с изотропными несущими слоями и изотропным заполнителем. Получим расчетные формулы для такой пластины. Пусть в заполнителе

(71)

(72)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V*, (73)

Е = Е = Е = Е*,

г у г И ’

G = G = G = GИ,

гу гг уг И ’

где ЕИ, Gh, - модули упругости; V* - коэффициент Пуассона изотропного материала заполнителя.

С учетом равенства (71) и (73) выражение (20), определяющее приведенный модуль упругости материала заполнителя, примет следующий вид:

Е* = Е* [1 - 2^ / (1 -V* )]-1.

(74)

СО . =

,

Подставляя (72) в (69) и учитывая, что a = b и Ez = Eh, получим

G^ha2 E, t t2

h

P. = Py = P = 6tT-~7T,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

..Eh a(и'_I

s = s = 24=—-1 —

E, t4 І t

(75)

Определим далее для рассматриваемой пластины параметры ^п, ^тп и утп(£). Из первого равенства (68) при а = Ь будем иметь а = 1. Подставляя а = 1 и в = 1 в уравнение (44), получим

Тогда

1 mn =4^ = ^2 (m + n 2 ).

(77)

Подставляя а = 1, P. = Py = P, sz = s в уравнение (51) и учитывая равенство (76), будем иметь

У mn (I) = [1 + P0(I) / ^ + «ф(і) / Cmn ] /

/ і1 + Pp6(I)).

(78)

Частота колебаний квадратного изотропного несущего слоя может быть получена из формулы (70), если в ней принять а = Ь. Тогда

= i ± LEl.

“mnt mn a 2V 12pt

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(79)

(8О)

= і ± 1 E,

®mt 2 ■*

Ут (£) = [1 + рв (£) / Хт + *ф (£) / Ст ] / (1 + Ррв ф) ,(81)

МП9 (82)

а У12р(

Частота симметричных колебаний рассматриваемой трехслойной пластины может быть найдена из следующих формул (см. уравнения (56), (57):

Ют = ФтЮт,, (83)

Фт = “Ш Ут 00 , (84)

где

(85)

процедуру минимизации функции ут(£) по параметру £ и найдем коэффициент фт согласно формуле (84). Завершая вычисления, определим частоту omt (82) и частоту симметричных колебаний трехслойной пластины ют (83).

Выполним верификацию разработанной модели симметричных колебаний трехслойной пластины. Для этого сравним частоты колебаний, в одном случае полученные с помощью этой модели, а в другом - с помощью метода конечных элементов. Пусть рассматриваемая трехслойная пластина имеет a = 0,2 м;

h = 0,04 м; t = 0,000 5м; Et = 69 ГПа; vt = 0,33;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Eh =165МПа; vp = 0,03125; pt = 2700кг/м3; ph = 30кг/м3.

Определим в примере частоту колебаний fm = ют/2п для т = 1, 3, 5. Результаты расчетов, полученные с помощью разработанной модели, имеют следующие значения: f = 11 800 Гц, f = 13 184 Гц, f = 15 469 Гц.

Для определения частот колебаний с помощью метода конечных элементов был использован пакет COSMOS/M. Пластины несущих слоев моделировались элементами SHELL4, а трехмерный заполнитель моделировался элементами SOLID.

Результаты вычислений частот с использованием конечно-элементного моделирования обозначим fJEM (m = 1,3,5). Были получены следующие значе-колебаний: fjFEM = 11803 Г ц,

ния

частот

Частота колебаний трехслойной пластины определяется по-прежнему с помощью формулы (56).

Сделаем еще одно упрощение при решении рассматриваемой задачи. Будем в дальнейшем отыскивать частоты колебаний только для случая, когда т = п. Получим необходимые расчетные формулы, заменяя при этом получающийся двойной индекс тп на одинарный индекс т. Из уравнений (76), (77), (78) и (79), полагая в них т = п, получим

Рассмотрим порядок определения частоты колебаний для произвольного номера т. Пусть известны размеры а, h, ^ упругие характеристики Еи V*, Ек, V* (или Gh) и плотности рь рк. С помощью формул (63), (75) определим безразмерные параметры рр, р, 5. Затем используя равенства (31), (81), (84), выполним

/3ГЕМ = 13191Гц, //ЕМ = 15 483 Гц .

Сравнение частот колебаний /т и /I™ (т = 1,3,5) показывает, что относительная разница между ними составляет 0,025; 0,054; 0,090 % соответственно. Это дает основание утверждать, что разработанная модель позволяет с высокой точностью определять частоты симметричных колебаний трехслойной пластины. Частотный анализ, выполненный по приведенным выше формулам, требует минимальных вычислительных ресурсов, не сравнимых с вычислительными ресурсами, необходимыми для решения этой задачи методом конечных элементов. Преимущества разработанной модели будут особенно заметны в высокочастотном вибрационном анализе. При высокочастотных колебаниях длина полуволны становится заметно меньше толщины заполнителя. Если такую задачу решать методом конечных элементов, то для реалистичного описания движения трехмерного заполнителя надо будет использовать элементы очень малого размера. Это потребует значительных вычислительных ресурсов и увеличит время решения.

Таким образом, решена задача о симметричных колебаниях трехслойной пластины, структура которой состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. С использованием вариационного принципа Г амильтона получено дифференциальное уравнение, описывающее движение трехслойной пластины. При выводе этого уравнения были использованы два предположения, касающиеся деформирования заполнителя. Согласно

первому предположению, в заполнителе отсутствуют тангенциальные перемещения. В соответствии со вторым предположением нормальные перемещения в заполнителе изменяются от прогиба несущего слоя до нуля по нелинейному закону. Были получены формулы, определяющие частоту симметричных колебаний трехслойной пластины, у которой края несущих слоев шарнирно закреплены. Показано, что частота колебаний трехслойной пластины может быть представлена в виде произведения частоты колебаний несущего слоя и частотного коэффициента, который учитывает динамическое поведение заполнителя. Приведены формулы, определяющие величину частотного коэффициента для трехслойных пластин с ортотропными и изотропными несущими слоями. С помощью метода конечных элементов была выполнена верификация разработанной модели симметричных колебаний трехслойной пластины. Из сравнения результатов вычислений следует, что полученные в работе формулы

позволяют с высокой достоверностью определять частоты симметричных колебаний трехслойных пластин. Разработанная модель дает возможность находить частоты с точностью, сопоставимой с точностью аналогичных расчетов, выполненных в пакетах COSMOS/M, ANSYS. При этом частотный анализ, выполненный на основе представленной модели, требует минимальных вычислительных ресурсов.

Библиографические ссылки

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Frosting Y., Thomson O. T. High-Order Free Vibration of Sandwich Panels with a Flexible Core // Intern. J. of Solids and Structures. 2004. № 41(5-6). Р. 1697-1724.

2. Langhaar H. L. Energy Methods in Applied Mechanics. N. Y. : John Wiley & Sons, 1962.

3. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988.

A. V. Lopatin, R. A. Udaltsov WRINKLING VIBRATIONS OF SANDWICH PLATE

The task offrequency test of sandwich plate wrinkling vibrations, when plate is composed of two similar composite bearing layers and orthotropic filler, is solved in this paper. Hamilton’s principle was applied to derive a basic differential equation of forth order. Frequency formula for symmetrical vibrations of sandwich plate with pinned bearing layers is given.

Keywords: sandwich plate, wrinkling vibrations.

© Лопатин А. В., Удальцов Р. А., 2010

УДК 621.393.3

В. Б. Малинкин, Е. В. Малинкин, Е. Ф. Кураш, О. В. Соболева

ИНВАРИАНТНАЯ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПЕРЕДАЧИ

И ЕЁ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Предложен метод борьбы с искажениями, вносимыми волоконно-оптической линией связи. Метод основан на использовании инвариантного равенства. Определены основные технические характеристики.

Ключевые слова: инвариантный, волоконно-оптическая система передачи, фотоприемник.

В подавляющем большинстве случаев в волоконно-оптических системах передачи (ВОСП) для передачи информационного сигнала используется классическая амплитудная модуляция.

Вероятность ошибочного приема регенераторов составляет 10-10 в соответствии с рекомендациями Международного союза электросвязи (МСЭ) (ITU-T G.707. Network node interface for the Synchronous Digital Hierarchy 2004). В более поздних рекомендациях МСЭ (ITU-T G.975. Forward error correction for submarine systems. 1996) предлагается использовать устройства защиты от ошибок (УЗО), работа которых основана на специальном кодировании сигнала передачи с помощью циклических кодов.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При скорости передачи 10 Гбит/с и выше создать устройства защиты от ошибок, работающие в реальном масштабе времени, сложно.

Между тем уменьшение вероятности ошибки можно достичь другими способами. Один из них предлагается ниже.

Постановка задачи. Имеем ВОСП (рис. 1). В качестве передатчика используется лазер. В качестве приемника используется фотоприемное устройство. Для передачи информационного сигнала используется второе окно прозрачности.

Необходимо синтезировать алгоритм передачи информационного сигнала, основанный на инвариантном способе обработки информации.