Влияние параметров дерева на собственную форму и частоты колебаний ствола дерева Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Из приведенной формулы следует, что напряжение Gp является функцией одиннадцати переменных, то есть g = f(a, b, c, 8 8 h,

E , E E E , P).

Построение таблиц или номограмм для одиннадцати переменных является нецелесообразным.

Полученные выражения для определения нормальных напряжений при продольном сжатии не представляют особых трудностей для вычислений и могут быть использованы в расчетах при проектировании трехслойных стеновых конструкций с материалом среднего слоя из фиброцементной массы.

Условные обозначения: а - ширина крайних продольных ребер, см; с - ширина среднего продольного ребра, см; в - шаг продольных ребер или ширина материала среднего слоя, см;

51,52 - толщины обшивок, см;

2 h - высота ребер или сплошного среднего слоя, см;

D - изгибная жесткость сечения панели, Н см;

E - модуль упругости продольного ребра, МПа;

Еоцг) - модуль упругости обшивки (в главном направлении), МПа;

Ecp - модуль упругости материала среднего слоя, МПа;

Епр - приведенный модуль упругости сечения панели, МПа;

р - продольная нагрузка на единицу ширины, Н/см;

Gp - нормальные напряжения в продольном ребре, МПа;

g01()) - нормальные напряжения в обшивках, МПа;

Gcp - нормальные напряжения в материале среднего слоя, МПа;

Gp - приведенное нормальное напряжение сечения панели, МПа.

Библиографический список

1. Запруднов, В.И. Прочность и деформации древесно-цементных материалов и трехслойных конструкций на их основе / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2004. - 283 с.

2. Хорошун, Л.П. Прочность и деформативность арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков. - Киев: Наукова думка, 1979.

3. Вольмир, А.С. Устойчивость деформативных систем / А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1967.

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЕРЕВА НА СОБСТВЕННУЮ

ФОРМУ и частоты колебаний ствола дерева

ГА. ИВАНОВ, доц. каф. теории и конструирования машин МГУЛ, канд. техн. наук,

A. А. ШИПОВСКИИ, асп. каф. теории и конструирования машин МГУЛ,

К.А. ИВАНОВ, инж. НПП «Мера»,

B. В. ШУМБАСОВ, инж. ООО «БЕКО»

Свободными или собственными называют колебания, которые поддерживаются только силой упругости без подвода энергии извне [1-3]. Аналитическое выражение этих колебаний может быть получено из дифференциального уравнения Лагранжа, которое, в свою очередь. может быть записано, если известны действующие на движущееся тело силы. Вместе с тем следует иметь в виду, что упругая консольная балка, которая моделирует отдельно растущее дерево или дерево в насаждении, представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, и

caf-tkm@mgul.ac.ru

может совершать колебания различной формы. При этом совокупность амплитуд изогнутого ствола, соответствующих определенной собственной частоте, называется собственной формой колебаний.

При рассмотрении колебаний упругой консоли (ствола дерева) будем полагать, что материал однороден, изотропен и следует закону Гука. При этом массу кроны и ее взаимодействие с воздухом из рассмотрения исключаем. Рассматриваем только ствол. В случае консоли будем иметь систему из бесконечно большого числа частиц, между которыми

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

103

ДЕРЕВООБРАБОТКА

действуют силы упругости. Для определения положения такой системы требуется бесконечно большое число координат, и поэтому она имеет бесконечно большое число степеней свободы, так как за возможное перемещение можно принять любые малые перемещения, удовлетворяющие условию непрерывности, то есть отсутствию разрывов в нем. Именно поэтому консоль может иметь бесконечно большое число форм собственных колебаний. Для тонких стержней, какой является консоль древесного ствола растений, математическое описание можно существенно упростить.

В качестве исходного используем дифференциальное уравнение кривой изгиба, известной из сопротивления материалов, предполагая, что ствол имеет плоскость симметрии и что колебания происходят в этой плоскости [4, 5]. Направления осей и положительные направления изгибающих моментов и поперечных сил Q показаны на рис. 1. и2

EJ=-M, (1)

dx

где EJ - изгибная жесткость;

М - изгибающий в произвольном сечении момент.

Дважды дифференцируя уравнение (1), получаем

d2

f

dx

-2 y1 dQ

EJ-

V

dx2

dx

=q.

(2)

Получили уравнение, представляющее дифференциальное уравнение изгиба стержня, нагруженного распределенной нагрузкой интенсивности q, которое можно использовать для получения уравнения поперечных колебаний. Для этого необходимо применить принцип Да-ламбера и представить себе, что колеблющийся стержень нагружен силами инерции, интенсивность которых изменяется вдоль стержня.

Сила инерции на единицу длины ствола дерева равна

q=-pF

з>

dt2 ’

(3)

где p - плотность древесины ствола, кг/м3;

F - площадь поперечного сечения ствола, м2, при координате х. Рассматриваются только свободные колебания консоли, когда возмущающая сила

отсутствует. После внесения выражения (3) в дифференциальное уравнение изгиба стержня (2) получим дифференциальное уравнение движения

д2

f

dx2

з2 У^32 y

EJ-

V

dx2

+pF—-=0

dt2

(4)

где J и F - некоторые функции аргумента x.

Из-за того, что представление нормальных функций через известные функции возможно лишь в частных случаях, для решения нашей задачи определения собственных частот колебаний применяем приближенный способ, известный как метод Рэлея-Ритца. Для применения этого метода необходимо сделать некоторые предположения о форме кривой изгиба колеблющейся консоли. Тогда соответствующая частота найдется из рассмотрения энергии системы. Выбор определенной формы кривой изгиба в этом методе эквивалентен введению дополнительных связей, которые приводят заданную систему к системе с одной степенью свободы. Такие дополнительные связи могут только увеличить жесткость системы и тем самым несколько повысить получаемую по методу Рэлея частоту колебаний по сравнению с ее истинным значением. Лучшие приближения для основной частоты, а также частот высших форм колебаний можно получить методом Ритца, который является дальнейшим развитием метода Рэлея.

104

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

При использовании этого метода нужно взять уравнение кривой изгиба, представляющее форму колебаний, с несколькими параметрами и величины последних выбрать так, чтобы обратить в минимум уравнение для частоты колебаний (6).

Используя метод Ритца, возьмем прогиб стержня при колебаниях в виде

y=Xcosrot, (5)

где Х - назначаемая функция аргумента х определяет форму колеблющегося ствола дерева;

ш - угловая частота колебаний.

При таком описании движение всех точек определяется одной функцией времени cos rot, а перемещение у зависит от координаты х и времени t. Подставляя (5) в (4), получим выражения для наибольшей потенциальной энергии (ствол находится в крайнем отклоненном положении и cos rot = 1) и наибольшей кинетической энергии (ствол находится в среднем положении и cos rot = 0). Предполагая, что рассеяние энергии отсутствует, можно приравнять потенциальную и кинетическую энергии V = T, получим квадрат собственной частоты

ш2 =

I •'l

22

d2 X dx2

dx .

Р

| FX 2dx

(6)

Поскольку форма изогнутой оси ствола при колебаниях заранее неизвестна, то вид функции Х(х) задается более или менее произвольно, естественно, что и решение будет приближенным. Точному решению для частоты основной формы колебаний соответствует минимум выражения (6). Чтобы получить приближенное значение частот, примем форму кривой изгиба в виде двухчленного ряда, который удовлетворяет условиям на концах стержня

X=-'"-H Ьн(н I

(7)

Из-за того, что мы берем только два члена в выражении ряда (7), мы налагаем определенные ограничения на возможные формы кривой изгиба ствола, и поэтому

вычисленная из (6) частота будет незначительно больше действительного значения частоты.

Для удобства описания ствола начало координат поместим в вершине. Для консольно-закрепленного стержня ствола с началом координат в вершине концевые условия имеют вид

1.

J dx2

J х=0

=0;21

г

EJ

\

d2X dx2

=0;

/ х=0

3. (*U=0;4.

dX^

dx

=0.

Jx=H

Легко видеть, что каждый член ряда (7) и его производные по х обращаются в ноль при х = Н. Это будет соответствовать выполнению условий на концах 3 и 4. Соответственно условия 1 и 2 при х = 0 так же будут выполняться в силу равенства J = 0 и dJ/dx = = 0 при х = 0.

Подставляя ряд (7) в выражение (6) после дифференцирования по коэффициентам аг и а2 и соответствующего преобразования, получим условие минимума в виде

д

да

n 0

2 vY

J

d1X dx2

_^Fp X 2 E

dx=0.

(8)

Таким образом, задача приближенного вычисления частот собственных форм колебаний сводится к определению таких значений постоянных а' и а2 в выражении (7), которые обращают в минимум интеграл

н

S=I

J

d2 XЛ dx2

2

ш2 Fp

E

X2 dx

(9)

Уравнения (8) однородны и линейны относительно а' и а2 и их число равно числу членов в выражении (7). Чтобы получить отличные от нуля решения для а' и а2 необходимо, чтобы определитель этих уравнений был равен нулю. Приравнивая к нулю определитель системы этих уравнений, получим условие, которое дает частотное уравнение, из которого можно вычислить частоты различных форм колебаний.

Рассмотрим ствол дерева, растущего в лесу, и используем для геометрического описания его профиля, при совмещении начала

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 4/2012

105

ДЕРЕВООБРАБОТКА

координат с вершиной, аппроксимирующую формулу для радиуса ствола, предложенную Ивановым Г.А. в [6]

r = ахц, (10)

где а - постоянный коэффициент для данного ствола, М'А

ц - показатель степени, как правило, дробная величина; х - абсцисса сечения, м; r - ордината образующей профиля ствола (радиус сечения с координатой х), м.

Момент инерции и площадь поперечного сечения ствола при задании его образующей формулой (10) будут j=пг4 _п(ахц )4

_ 4 _ 4

F_пг2 _п(ахц)2.

ц\2

(11) (12)

Подставляем Х, задаваемый выражением (7), а так же J формулой (11), а F формулой (12) в интеграл (9) преобразуем его и получим решение интеграла, которое следует сделать минимальным:

S _а4 H

4тт(1+4|а)

п

H4

Ц -2a2 )2_+3a Ц -2a2 )

(1+4ц)

+9-

(1+2ц) (3+4ц)

-бш2а 2прН(

(16a2а^+4а2а1ц2 + a2 + 21a,2+3а2 ц+7a2a, + 2а2 ц2 +13а(ц+2а(ц ) E-(1+2ц)(3+2ц)(5+2ц)(2+ц)(1+ц)(3+ц)(7+2ц)

(13)

2

a

2

х

x

Теперь из условий

—S _0, — S _0 (14)

da, ’ da2

получаем два линейных уравнения, которые преобразуем группируя относительно а, и а2:

2 а2 6ю2р#(4-ад(26ц+4ц2+42)’

6ш2рН( (2+6ц+4ц2)

EK

a _0.

(16)

7ia

!^(4ц-3)

(1+4ц)

EK

Уравнения (15) и (16) однородны и линейны относительно постоянных а, и а2 ,и их число равно числу членов в выражении (7). Приравниваем к нулю определитель системы этих уравнений

xa, +па2H(4ц 3)

6ш2рН (4~2ц)(7+16ц+4ц2)

|- [ -4 3 ] + (1+4ц) (1+2ц)_ [ 2па4 Н(4ц-3) 6ш2 а2 прН(1+2ц) (26ц+4ц2+42)"

а2 - [ (1+4ц) EK

EK

а2 _0,

(15)

4 ЕГ(4М)

па H

8

-+-

18

(1+4ц) (1+2ц) (3+4ц)

где

6ш2 а2 прН(1+2ц) (2+6ц+4ц2)

K _(1+2ц)(3+2ц)(5+2ц)х х(2+ц)(1+ц)(3+ц)(7+2ц)

па Н

^/(4ц-3)

a

-4

+

3

(1+4ц) (1+2ц)

4тт(4ц-3)

па Н

EK

~ -4

-+-

3

6ш2рН (4~2ц)(16ц+4ц2 + 7)

+па Н

2 0-(4ц-3)

а

EK

8

а, +

(1+4ц) (1+2ц) 6ш2 а2 прН(1+2ц) (16ц+4ц2 +7) EK

_0. (17)

12

+

18

Из этого уравнения определяем квадраты частот ш,2 и ш22 для первой и второй форм, которые после их преобразования из радиан в герцы будут

(1+4ц) (1+2ц) (3+4ц)

1 _fn _ 210 х[-[-52ц2 —8ц—51+2(596ц4 -192ц3 +867ц2 + 4ц+624)1/2 ]

ха2 E

2т7(90+261ц+290ц2 +155ц3 + 40ц4 + 4ц5) Н(2ц-4)

(32ц3 + 48ц2 + 22ц+3)

-х-

р

(18)

х

х

2

х

106

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Л

2п

■^х[[52 д2 +8 д+51-2(596д4 -192д3 +867д2 + 4 д+624)1/2 ]х

_2 г (90+261д+290д2 +155д3 + 40 д4 + 4д5) H ха & •

(32д3 + 48д2 + 22д+3)

(2Д-4)

1/2

Р

(19)

Подставляя полученные из уравнения (17) последовательные корни ш12 и ш22 в уравнения (15) и (16), определим отношение aja^ для соответствующих форм колебаний в

предположении, что а1 = 1. Таким образом, с точностью до постоянного множителя определяем коэффициенты в уравнении кривой изгиба ствола первой и второй формы

а11

а11

а12

а22 а 21

а 22

"76 д3 +352д2 -6(596д4 -192 д3 +867д2 + 4 д+624)1/2 ( д+3)+145 д+444] [76Д3 + 22д2 +160д-3(596д4 -192 д3 +867д2 + 4д+624)1/2 (2д+1)+84]

76 д3 +352д2 +6(596д4 -192 д3 +867д2 + 4 д+624)1/2 (д+3)+145 д+444]

76 д3 + 22д2 +160 д+3(596д4 -192 д3 +867д2 + 4 д+624)1/2 (2д+1)+84]

(20)

(21)

Подставляя полученные в (20) значе- (7), получим кривую изгиба первой формы

ния коэффициентов а\1 = 1 и а12 в уравнение колебаний

А 1=-( х - H )

76 д3 ( х - H )+22 д2 (16 х - H )

H3 (1+2 д)[38 д2-8д-3(596д4 -192д3 +867д2 + 4д+624)1/2 +84 [6д( H - х)+3( H-6 х)](596д4-192 д3 +867д2 + 4д+624)

H3 (1+2 д)[38 д2 -8 д-3(596д4 -192 д3 +867д2 + 4 д+624)1/2 +84 (160H-145х)д-84Н+444х

ч 1/2

+

(22)

H3 (1+2д)[38д2-8д-3(596д4-192д3 +867д2 + 4д+624)1/2 +84] '

Подставляя полученные в (21) значе- (7), получим кривую изгиба второй формы

ния коэффициентов а21 = 1 и а22 в уравнение колебаний

76 д3 ( х - H )+22 д2 (16 х-H )

А 2=-( х-H )

+

H3 (1+2д)[38д2 -8д+3(596д4 -192д3 +867д2 + 4д+624)1/2 +84 [6д( х - Н )-3( H-6 х)](596д4-192 д3 +867д2 + 4д+624)1/2

+

H3 (1+2 д)[38д2 -8д+3(596д4 -192д3 +867д2 + 4д+624)1/2 +84

______________(160H-145х)д-84 H+444х______________

H3 (1+2д)[38д2 -8д+3(596д4-192д3 +867д2 + 4д+624)1/2 +84] .

(23)

2

Кроме того, для принятой для описания формы колебаний при х = 0 получаем, что коэффициент а1 численно равен величине отклонения вершины в метрах как для первой, так и для второй формы колебаний при совмещении начала координат с вершиной.

Для березы и ели с параметрами, представленными в таблице, по формулам (22) и (23) были построены кривые первой и второй форм колебаний (рис.2), а по формулам (18)

и (19) - графики изменения частот в зависимости от параметров стволов деревьев.

Рассмотрим с помощью полученных многопараметрических зависимостей влияние коэффициента формы q2 на форму кривой колебаний ствола и на частоты его колебаний; таксационных параметров ствола диаметра на высоте груди d} 3 и высоты ствола Н, а также механического параметра Е - модуля упругости 1-го рода древесины ствола, физического пара-

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 4/2012

107

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Таблица

Параметры стволов березы и ели

Параметры Береза Ель Параметры Береза Ель

Плотность р, кг/м 402 833 Высота дерева Н, м 3 22

Модуль упругости Е, Па 8-109 14,5-109 Диаметр корневой шейки d0, мм 36,3 428

Показатель степени ц 0,769 0,622 Диаметр на середине высоты d1/2, мм 13,5 270

Постоянный коэффициент для данного ствола а, м1-ц 4,985-10-3 0,03 Диаметр на высоте груди d13, мм 13,6 400

-3

-0,5 0 0,5 1

Отклонение ствола, м

Рис. 2. Диапазон изменения форм колебаний ствола от коэффициента формы ствола

Рис. 5. Зависимость частоты колебаний ствола дерева от его плотности

Рис. 3. Влияние модуля упругости на частоту колебаний ствола дерева

Рис. 4. Влияние диаметра на высоте груди на частоту колебаний ствола дерева

Рис. 6. Зависимость частоты колебаний ствола дерева от коэффициента формы ствола

108

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

метра р - средняя плотность древесины ствола на частоты колебаний первой и второй форм.

Из таксации известно, что с увеличением коэффициента формы q2 растет его полно-древесность, т.е. ствол становится все ближе по форме к цилиндру. Влияние коэффициента полнодревесности на 1-ю и 2-ю формы колебаний показано на рис. 2, установлено, что с ростом полнодревесности первая форма колебаний ствола менее изогнута, тогда как вторая форма более изогнута при большей величине полнодревесности. Таким образом, заключаем, что конический ствол изгибается по первой форме более сильно, чем цилиндрический. Тогда как изгиб по второй форме у цилиндрического ствола выражен более выпукло, чем у ствола с коническим профилем.

На рис. 3 можно отметить, что с ростом модуля упругости древесины нелинейно увеличивается частота. Например, одинаковые стволы дуба и березы будут иметь разные частоты; березовый ствол будет иметь колебания с большей частотой. Колебания подроста обеих форм имеют большую частоту во всем диапазоне значений модуля упругости.

На рис. 4 показано, чем больше диаметр ствола на высоте груди при одной и той же высоте ствола, тем больше будет частота колебаний ствола первой и второй форм. Частота зависит линейно от диаметра, однако темп нарастания частоты определяется высотой дерева: дерево выше - темп нарастания частоты колебаний ниже.

На рис. 5 показано, что влияние плотности древесины на частоту колебаний нелинейное, убывает с увеличением плотности. Причем колебания второй формы больше, чем первой, во всем диапазоне плотности для обоих деревьев. Например, два одинаковых ствола у дуба будут иметь более высокие частоты колебаний в сравнении с осиной или с ольхой. В то же время ствол березы даурской с р =570 кг^ будет иметь ту же частоту колебаний, что и дуб черешчатый с р =570 кг^ при одинаковом профиле ствола.

На рис. 6 показано, что дерево высотой 22 м имеет более низкие частоты колебаний для обеих форм, чем ствол высотой 3 м. У обоих стволов частоты второй формы име-

ют большие величины и носят ярко выраженный нелинейный характер. К тому же минимальные частоты колебаний у второй формы приходятся как раз на область средних величин коэффициентов формы. А это значит, что большинство деревьев в лесу имеют минимальные колебания второй формы.

На рис. 7 показано, что крупное дерево имеет частоты колебаний обеих форм выше, чем подрост и частоты второй формы обоих деревьев выше, чем первой формы. При этом частоты обеих форм нелинейно уменьшаются с увеличением высоты дерева; изменение высоты дерева с 5 до 20 метров приводит к уменьшению колебаний в тринадцать раз. Следует иметь в виду, что более крупное дерево имеет коэффициент формы q2=0,675, а меньшее q2=0,628.

Изменение малых значений высот дерева, например с 5 до 10 метров, ведет к интенсивному падению частоты колебаний ствола дерева, тогда как дальнейшее увеличение высоты незначительно влияет на убывание частоты колебаний ствола дерева для обеих форм колебаний.

В результате проведенной работы теоретически установлена многопараметрическая зависимость между диаметром на уровне груди, высотой дерева (dl 3, Н- таксационные параметры дерева), коэффициентом формы ствола (q2 = d0 5/d13), плотностью древесины ствола (р - физический параметр), модулем упругости первого рода древесины стволов деревьев (Е - механический параметр) и ви-

Высота, м

Рис. 7. Влияние высоты дерева на частоту колебаний ствола

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2012

109