Третья собственная форма колебаний ствола дерева Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

что имеет место существенное влияние топологии конечных элементов численной модели струны. Наличие одного значительного выброса погрешности вычисления указывает на то, что при расчётах собственной частоты колебаний однородной балки необходимо проводить серию вычислительных экспериментов с разными топологиями сеток.

Результат исследования показывает, что при соблюдении вышеперечисленных условий целесообразно применение численного моделирования методом конечных элементов для исследования колебаний струнных резонансных преобразователей со струной сложной формы, для которой затруднено нахождение аналитического решения уравнения колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Седалищев В.Н. Физические основы использования в измерительных устройствах колебательных и волновых процессов: Учебное пособие. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2008. - 175 с.

2. Клементьев А.В., Петров А.Ю., Дурчева В.Н., Загрядский И.И. Вторичный прибор для струнных датчиков // Датчики и системы. - 2004. - № 6. - С.63-70.

3. Лабутин С.А., Пугин М.В. Анализ сигналов и зависимостей: Учебное пособие Нижегор. гос. техн. ун-т - Н. Новгород. Изд-во НГТУ. - 2001. - 158 с.

4. Кучумов Е.В., Баринов И.Н., Волков В.С. Струнный автогенераторный измерительный преобразователь на основе пьезоструктуры // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 2 (8).

5. Милохин Н.Т. Частотные датчики систем автоконтроля и управления: Библиотека по автоматике -М.: Книга по требованию. - 2013. - № 310 - 131 с.

6. Баринов И.Н.,Волков В.С. Применение высокомных кремниевых тензорезисторов для повышения долговременной стабильности высокотемпературных полупроводниковых датчиков давлений // Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2011. - № 2. - с.243-245.

7. Баринов И.Н., Цибизов П.Н., Кривулин Н.П. Использование микропленочных геттеров в технологии вакуумирования чувствительных элементов датчиков абсолютного давления// Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2008. - №1. - с.501-503.

УДК 539.4 Иванов Г.А.

ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (национальный исследовательский университет) (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Мытищинский филиал, Московская обл., Мытищи-5, Россия

ТРЕТЬЯ СОБСТВЕННАЯ ФОРМА КОЛЕБАНИЙ СТВОЛА ДЕРЕВА

В статье приведен вывод уравнений для вычисления собственных частот форм колебаний стволов деревьев и уравнений для описания первой и второй и третьей собственных форм колебаний. В графической форме показано влияние параметров ствола дерева: диаметра на уровне груди, высоты дерева, коэффициента формы ствола, плотности древесины ствола и модуля упругости первого рода древесины стволов деревьев на характер зависимости частоты от параметра. Зависимость частоты от параметра показана на примере ствола ели с конкретными параметрами

Ключевые слова:

ствол, собственная частота колебаний ствола дерева, первая и вторая и третья форма колебаний ствола дерева

Из теории колебаний известно, что колебания, которые поддерживаются только силой упругости, называются свободными или собственными колебаниями. При этом отсутствует подвод энергии из вне [1,2,3].

При рассмотрении колебаний упругой консоли ствола дерева будем полагать, что материал однороден, изотропен и следует закону Гука. При этом массу кроны и ее взаимодействие с воздухом из рассмотрения исключаем. Рассматриваем только ствол. Для определения положения такой системы требуется бесконечно большое число координат, и поэтому она имеет бесконечно большое число степеней свободы, так как за возможное перемещение можно принять любые малые перемещения удовлетворяющие условию непрерывности, то есть отсутствию разрывов в нем. Именно поэтому консоль может иметь бесконечно большое число форм собственных колебаний.

Предполагая, что стержень имеет плоскость симметрии и что колебания происходят в этой плоскости, воспользуемся дифференциальным уравнением кривой изгиба, известным из сопротивления материалов [4,5,6].

EJ

d 2 y dx2

-M ,

(1)

изгибающий

d (шЦ

dx 1 dx

d

d 2 y

2 1 EJ ,

dx 1 dx

dx

_dQ_ dx

= q

(2)

Второе уравнение системы (2), представляющее дифференциальное уравнение изгиба стержня, нагруженного распределенной нагрузкой интенсивности д, которое можно использовать для получения уравнения поперечных колебаний. Для этого необходимо лишь применить принцип Даламбера и представить себе, что колеблющийся стержень нагружен силами инерции, интенсивность которых изменяется вдоль стержня.

Сила инерции на единицу длины стержня равна:

q=-p■ F

d2 y dt2

(3)

Рассматриваются только свободные колебания стержня, когда возмущающая сила отсутствует. Подставляя выражение (3) в дифференциальное уравнение изгиба стержня (2), получим дифференциальное уравнение движения:

d2 ( d2y I d2y —71 EJ ^\ + pF ^ = 0 , dx21 dx2 dt2

(4)

где: ЕО - изгибная жесткость, а М момент в произвольном сечении.

Направления осей и положительные направления изгибающих моментов и поперечных сил 0 для ствола дерева показаны на рис.1.

Дважды дифференцируя уравнение (1), получаем:

где: О и Г - момент инерции и площадь поперечного сечения ствола, функции аргумента х.

Поскольку точные решения при колебаниях можно получить только в некоторых специальных случаях, часто прибегают к приближенным методам. При решении нашей задачи применяем приближенный способ, известный как метод Рэлея-Ритца.

При использовании этого метода нужно взять уравнение кривой изгиба, представляющее форму колебаний с несколькими параметрами и величины последних выбрать так, чтобы обратить в минимум уравнение (8).

Выбор определенной формы для изогнутой кривой консоли ствола эквивалентен введению дополнительных связей, которые приводят систему колеблющегося дерева к системе, имеющей одну степень свободы.

Рисунок 1 - Расчетная схема направления осей и положительные направления изгибающих моментов и поперечных сил для ствола дерева

Используя метод Ритца предполагаем, что консоль ствола совершает колебания по одной из нормальных форм, тогда отклонения стержня ствола можно представить уравнением вида:

y = X cos 03t , (5)

где: Х - назначаемая функция аргумента х определяет форму колеблющегося ствола дерева; q -угловая частота колебаний; t - время.

Минимум потенциальной энергии достигается в положении равновесия, тогда как наибольшая потенциальная энергия изогнутого ствола будет при его максимальном изгибе. В этом положении cos rat = 1. Максимум кинетической энергии ствола достигается в положении равновесия, когда cos rat = 0.

Таким образом, получим следующие выражения для наибольшей потенциальной и наибольшей кинетической энергии:

>' = 11EJI£U ,

' 0 2 H

T = — j FpX 2dx

(6)

(7)

E

1J

d2 X dx2

1 FX 2dx

-dx •

(8)

H

1J \d-X

1 \ dx2

dx

Sa„

1 FX 2dx

0

(10)

После дифференцирования получим:

H Я H

1 FX 2dx-f J

I da„{

dx

dx -1J

dx

dx

da.

J FX2dx = 0 (11)

Из выражений (11) и (8) находим условие минимума в виде:

а H

Ar

da J

d2 X dx2

о2 Fpx 2

dx = 0

(12)

Таким образом задача сводится к определению таких значений постоянных а±, аг, аз, ... в выражении (9), которые обращают в минимум интеграл

d 2 X dx2

о2 F p

X2

dx . (13)

Уравнения (12) однородны и линейны относительно а1, аг, аз, ... и их число равно числу членов в выражении (9).

Рассмотрим ствол дерева, растущего в лесу, и используем для геометрического описания его профиля, при совмещении начала координат с вершиной, степенную аппроксимирующую формулу для радиуса ствола, предложенную Ивановым Г.А. в [7, 8].

Г = ОХМ , (14)

где а - постоянный коэффициент для данного ствола, м1- ц - показатель степени, как правило, дробная величина, х - абсцисса сечения м, г - ордината образующей профиля ствола (радиус сечения с координатой х), м.

Момент инерции и площадь поперечного сечения ствола, полученные с использованием функции (14) имеют вид:

кг4 к(ахм)4

J = -

(15)

4 4

В = кг2 =к(ахм)2 . (16)

Для консольно закрепленного в комле стержня ствола с началом координат в вершине концевые условия имеют вид:

1 EJ

d2 X dx2

3.

(X )x

= 0 ,

= 0 ,

2.

4.

d_ dx

EJ

d2 X dx2

= 0 ,

— = 0 •

Предполагая, что рассеяние энергии отсутствует, можно приравнять наибольшие потенциальную и кинетическую энергии V = Т и таким образом получить квадрат собственной частоты:

Чтобы удовлетворить условиям на концах, возьмем кривую изгиба ствола, состоящую из трех членов, представляющую три формы, в виде ряда

X = а {\ - —1 + а2—^-—1 + аъ^Хг {\ - —1 . (17) 1 У Н) 2 Н У Н) 3 Н2 I Н)

Подставляя ряд (9) в выражение квадрата частоты (8) после дифференцирования по коэффициентам а1, аг и аз и соответствующего преобразования, получим, что задача приближённого вычисления частот собственных форм колебаний сводится к определению таких значений постоянных а1, аг и аз в выражении (9), которые обращают в минимум интеграл

Поскольку форма изогнутой оси ствола при колебаниях заранее неизвестна, то вид нормальной функции Х(х) задается кривой изгиба в виде бесконечного ряда

X = афф (х) + а2ф2(х) + а3ф3(х) +... , (9)

где каждая функция ф±(х) удовлетворяет условиям на концах стержня.

Подставляя ряд (9) в выражение (8), получим условие минимума в виде:

Я

s = 1

0

J

d 2 X Л dx2

о2 Fpx 2

dx ,

(18)

где Н - высота дерева, м, J - момент инерции ствола, м4, га2 - квадрат собственной частоты, (рад/с)2, Е - площадь поперечного сечения ствола, м2, р - плотность, кг/м3, Е - модуль упругости древесины ствола, МПа.

Подставляем Х задаваемый выражением (17), а так же J формулой (15), а Е формулой (16) в интеграл (18):

s=1

H8

^ {afl2 - 2a2H2 + 3a2Hx + щИ2 - 6a3Hx + 6a}x2 J

—a2 x2»p E

{x - Н J4 {afl2 + a2xH + ax2

dx.

Преобразуем его и получим решение интеграла, которое следует сделать минимальным. Для этого возьмем три производные от полученного решения

As = о, As = о, —s = о (20)

даг да2 даъ

получаем три линейных уравнения, которые преобразуем группируя относительно ai, а2 и аз:

(a -a2m2 ) а + (аз -а®2) а + -a®2 ) а3 = 0 (21)

(Д -Д2®2) а+(Дз -Д4®2) а2+(д -Дб®2) а = о (22)

H

s

0

0

2

Р

2

л

d

0

0

(ï - ï2(2)al + (ï3 - ïO2)a2 + (/5 " ï6(2)a3 = 0 (23) a = ж а4 H (

224^3 + 30 + 284/"2 + 64/4 +154/

где

L

H (-2/+1) (60/ + 335/2 + 4/4 + 756 + 825/) a =12жа p----

EK

„ - - 13^-15 +140/2 + 64/ +176/

a — ж a п.

L

a — бжа p

H(2^+l) (100/ + 430/ + 8/ + 252 + 695/) '

EK

_ 4 w(4/-3) -20^ + 44p2 + 64/ +128/ a — жа п.

5 L

a6 — 6жа p

H (2/+1) (80/ + 250/2 + 8/ + 72 + 250/)

EK

2 , ..4

д = ха4н<4м-3) 176/3 -15 +140/ + 64/ +13/

— 6жа2 p

H (2/+1) (100/ + 430/ + 8/ + 252 + 695/)

EK

В - ,тд4Я(4/-3) 34/ + 30 + 68/2 + 64/ +128/

Р3 а L '

PA — 12жа p

H (2/+1) (40/ +125/ + 4/ + 36 +125/)

EK

2 , СЛ ..4

p = я.а^(4/-3) 55/+ 44/2 + 64/ + 80/

Д — 6жа p ï — жа 4H'

H (2/+1) (60/3 +130/2 + 8/4 + 27 +105/)

EK

4 „(4/-3) 128/3 - 20/+ 44/ + 64/ L '

H (2/+1) (80/3 + 250/2 + 8/4 + 72 + 250/) ï — 6жа p---

EK 2 , /Г/1 ..4

ï — жа

,я(4/-3) 55/+ 44/ + 64/4 + 80/

L

H (2/+1) (60/3 +130/2 + 8/4 + 27 +105/) ï — бжa2p---

ï — жа H'

EK

4rj(4/-3) 22/ + 92/2 + 64/4 + 32/3 + 6

L

H (2/+1) (20/3 + 35/ + 4/4 + 6 + 25/)

ï — 12жа p----

EK

Здесь Ь = (1 + 2/)(5 + 2/)(1 + 4/)(1 +/)(3 + 4/) , К = (1 + 2/)(3 + 2/)(5 + 2/)(2 + /) х х(1 + /)(3 + /)(7 + 2/)(4 + /)(9 + 2/) '

Уравнения (21), (22) и (23) однородны и линейны относительно а1, а2 и а3 и их число равно числу членов в выражении (17). Чтобы получить отличные от нуля решения для ах, а2 и аз необходимо чтобы определитель системы этих уравнений был равен нулю. Переобозначим ю2 = р и приравниваем нулю определитель системы этих уравнений, получим частотное уравнение, из которого можно вычислить частоты различных форм колебаний:

8р3 + 32 р2 + 83 р + 3А = 0 , (24)

где

81 = («6Л4 "«АТг + («2Л6 -«6Л274 + («4Л2 "«2^4)Гб '

82 = («4Л6 ~абРдГ\ + («2Л5 -«5Л4 + «3Л6 ~абРз)Гг +

+(«6Л2 " «2 Л6 7 + («6 Л1 + «5Р2 " «2Л5 " «Л 7 +

+(«2Д, -«4^2)75 + («Л — «4Л "«3Л + «2^3 7

83 = («5Л4 " «3Л6 " «4Л5 + «6Л3 )71 + («5Л3 " «3Л5 72 + +(«1Л6 + «2Л5 " «5Л2 " «6 А )73 + («1Л5 " «5Л1 )74 + +(«4Л1 " «1^4 " «2Л3 + «3Л2 7 + («3Л1 " «1^3 )76 =

84 = («3Л5 «ъРъ)7\ + («Л "«Л 7 + («Л"«Л 7 •

Получили неприведенное частотное уравнение третьей степени (24). Для его решения используем метод Кардано. Вначале осуществим его приведение

„3

2 ¿3 ¿4 ^ —2/ р + — 0 ,

(25)

приведенное уравнение (25) подстановкой р = у -62/(361) с заменой переменной приводится к неполному виду переменной у

у3 + СУ + q = 0 , (26)

2 /4 + 8 , q = 2^Т-М3-8

где t — -

3¿12 ¿,

'Л ) / ¿1 I .

Корни yi, У2, уз неполного кубического уравнения (2 6) равны:

У1,2

-А+В ±, ;

Уз

А + В,

а—, *—fîlt, е—(3)

1 ^v-î.

Зная корни уравнения (26) определяем квадраты

.,2

.,2

.,2

частот ю и Ю и Ю для первой, второй и третьей форм, которые после извлечений квадратного корня и преобразования из радиан в герцы будут:

2ж

- q+

2 V

3 )3+( q)2+3

2 1

t ) +Î1

- +1-

-1 +

2 V

t)3 +Г1 )2 - 3

Аи

->/3--¿L

(27)

/2

2ж

2 +V

3 )3+( 2 )2

3 )3+( 2 )2

- 2+■

3 )3+( 2 )2

t T+i i т

3J ( 2 ) Г ¿2 3&

у

(28)

/3 —

2ж

-3-- +

+ 31---

Зная частоты можно найти соответствующие им формы колебаний. Для этого подставим полученные

2 2 2

из уравнения (26) квадраты частот fflj , ffl2 и (0^ в

уравнения (21), (22) и (23) определим отношение a-il ai и аз/ai для соответствующих форм колебаний

¿2 3^

/

(29)

в предположении, что а1 = 1. Таким образом, с точностью до постоянног о множителя определяем коэффициенты в уравнении кривой изгиба ствола первой, второй и третьей формы.

3

где

1

В системе из трех уравнений (21), (22) и (23) независимы только два, например (21) и (22). Умножим (21) на (Рь - Рбгаз2) а (22) на (аь - абгаз2) и вычтем из первого второе. Сгруппируем члены

при коэффициентах аз1 и аз2 и определим их отношение в предположении, что а31 = 1.

a32 a3j

= a3n

(«1 - «2®32 ) (05 - ) - (А - ) («5 - «6®32 )

(«3 - «4®32 ) (A - P6®32 ) - (A - P4®32 ) («5 - «6®32 )

(30)

Теперь умножим первое уравнение на (Рз -04Ш32), а второе на (аз - а.4Юз2) и вычтем из пер-

вого второе. Далее сгруппируем члены при коэффициентах аз1 и азз и определим их отношение в предположении, что а31 = 1.

a33 a3.

= a3.

(«1 - «2®32 ) (р3 - Р4®32 ) - (р1 - Р2®32 ) («3 - «4®32 )

(«5 - «6®32 ) (р3 - р4®32 ) - (р5 - р6®32 ) («3 - «4®32 )

(31)

Подставляя a3i = 1, а'3-2 значение коэффициента, полученное из (30) и а33 полученное из (31) в

уравнение (17) получим кривую изгиба третьей формы колебаний:

Х3 = a3,11 - — I + a3 — |l -Х| + я33 Ar |l — 11 H J 2 H l H I 3 H2 l Н

=1-h -

(«1 - «2®32 ) (p5 - p6®32 ) - (p1 - p2®32 ) («5 - «6®32 ) («3 - «4®32 ) (p5 - p6®32 ) - (p3 - p4®32 ) («5 - «6®32 ) («1 - «2®32 ) (p3 - p4®32 ) - (p1 - p2®32 ) («3 - «4®32 )

(«5 - «6®32 ) (p3 - p4®32 ) - (p5 - p6®32 ) («3 - «4®32 )

Xh-X | - .

H l H1

(32)

H2

1-

Н

Заменяя квадрат частоты газ2 на гаг2 в уравнениях (30) и (31) получим коэффициенты а22 и а2з при

а21 = 1 и уравнение (17) даст кривую изгиба второй формы колебаний:

х 2=- H Т+a22 H í1 - H Т+а23 H* Í1 - Н Т=

= 1--

H

(«1 - «2ffl22 ) (p5 - p6«22 ) - (p1 - p2ffl22 ) («5 - «6«22 ) («3 - «4®22 ) (p5 - p6®22 ) - (p3 - p4®22 ) («5 - «6®22 )

X h-X

н l H

(33)

(«1 - «2ffl22 ) (p3 - p4®22 ) - (p1 - p2ffl22 ) («3 - «4®22 ) («5 - «6®22 ) (p3 - p4®22 ) - (p5 - p6®22 ) («3 - «4®22 )

H2

1-

Н

Аналогично заменяя квадрат частоты Ю32 на Ю12 а12 и а13 при а11 = 1 и уравнение (17) даст кривую в уравнениях (30) и (31) получим коэффициенты изгиба первой формы колебаний:

'1 = a4l - H Í + al, HH l1 - f Т + «1, H¡ Í1 - Н Í =

= Я -

(«1 - «2®12 ) (p5 - p6®12 ) - (p1 - p2®12 ) («5 - «6®12 ) («3 - «4®12 ) (p5 - p6®12 ) - (p3 - p4®12 ) («5 - «6®12 ) («1 - «2®12 ) (p3 - p4®12 ) - (p1 - p2®12 ) («3 - «4®12 )

(«5 - «6®12 ) (p3 - p4®12 ) - (p5 - p6®12 ) («3 - «4®12 )

н I н1

(34)

Í1 - х i2

Н

Подобно [6] при принятой для описания формы

Для ели с параметрами, представленными в таб-

колебаний при х = 0 получаем, что коэффициент а1 лице, по формулам (34), (33) и (32) были построены кривые первой, 2-ой и 3-ей форм колебаний (рис.2), а по формулам (27), (28) и (29) графики изменения частот в зависимости от параметров стволов деревьев.

численно равен величине отклонения вершины в метрах для первой, второй и третьей формы колебаний при совмещении начала координат с вершиной.

Параметры ствола ели

Таблица

2

2

2

Параметры Ель Параметры Ель

Плотность р, кг/м3 833 Высота дерева Н, м 22

Модуль упругости Е, Па 14,5-109 Диаметр корневой шейки do, мм 428

Показатель степени ц 0,622 Диаметр на середине высоты dl/2, мм 270

Постоянный коэффициент для ствола а, м1-ц 0,03 Диаметр на высоте груди dl,з, мм 400

Рассмотрим с помощью полученных многопараметрических зависимостей: влияние коэффициента формы д2 на форму кривой колебаний ствола и на частоты его колебаний; таксационных параметров ствола диаметра на высоте груди Л,з и высоты ствола Н, а также механического параметра Е -модуля упругости 1-го рода древесины ствола, физического параметра р - средняя плотность древесины ствола на частоты колебаний первой и второй форм.

Из таксации известно, что с увеличением коэффициента формы д2 растет его полнодревесность, т.е. ствол становится все ближе, своей формой,

к цилиндру. Влияние коэффициента полнодревесно-сти на 1-ю, 2-ю и 3-ю формы колебаний показано на рис. 2, установлено, что с ростом полнодре-весности первая форма колебаний ствола менее изогнута, тогда как вторая и третья формы более изогнута при большей величине полнодревесности.

Таким образом, заключаем, что конический ствол изгибается по первой форме более сильно, чем цилиндрический. Тогда как изгиб по второй и третьей форме у цилиндрического ствола выражен более выпукло, чем у ствола с коническим профилем.

На рис. 3 можно отметить, что с ростом модуля упругости древесины нелинейно увеличивается частота. Например, одинаковые стволы дуба и березы будут иметь разные частоты; березовый ствол будет иметь колебания с большей частотой. Колебания всех форм имеют большую частоту в зависимости от номера формы.

Рисунок 2 - Диапазон изменения форм колебаний ствола от коэффициента формы ствола

у у

■

[ форма

2-ая форма

1-ая форма

5-10'

1-10

ю

1,5-10

ю

Модуль упругости. Па

Рисунок 3 - Влияние модуля упругости на частоту колебаний ствола дерева

более высокие частоты колебаний в сравнении с осиной или с ольхой. В тоже время ствол березы даурской с р =57 0 кг/м3, будет иметь туже частоту колебаний, что и дуб черешчатый с р =57 0 кг/м3 при одинаковом профиле ствола.

На рис. 5 показано, что частоты третьей формы имеют большие величины и носят ярко выраженный нелинейный характер. К тому же минимальные частоты колебаний у второй формы приходятся как раз на область средних величин коэффициентов формы. А это значит, что большинство деревьев в лесу имеют минимальные колебания второй формы. Наиболее высокие частоты собственных колебаний третьей формы имеют деревья, чьи стволы близки по форме к конусу.

Коэффициент формы ствола

Рисунок 5 - Зависимость частоты колебаний ствола дерева от коэффициента формы ствола

На рис. 6 показано, что крупное дерево имеет частоты колебаний трех форм выше, чем подрост и частоты третьей формы выше, чем второй, а второй формы выше, чем первой формы. При этом частоты трех форм нелинейно уменьшаются с увеличением высоты дерева.

150 г

100

50-

1

1 к \ . 1 X''

3-я форма 2-ая форма 1 -ая форма

10

20

30

Высота, м

Рисунок 6

Влияние высоты дерева на частоту колебаний ствола

'400 600 800

Плотность древесины, кг/м-1

Рисунок 4 - Зависимость частоты колебаний ствола дерева от его плотности

На рис. 4 показано, что влияние плотности древесины на частоту колебаний нелинейное, убывает с увеличением плотности. Причем колебания третьей формы больше чем второй, тогда как колебания второй формы больше чем первой во всем диапазоне плотности для обоих деревьев. Например, два одинаковых ствола у дуба будут иметь

Изменение малых значений высот дерева, например с 5 до 10 метров, ведет к интенсивному падению частоты колебаний ствола дерева, тогда как дальнейшее увеличение высоты незначительно влияет на убывание частоты колебаний ствола дерева для трех форм колебаний.

В результате проведенной работы теоретически установлена многопараметрическая зависимость между диаметром на уровне груди, высотой дерева (<А,з, Н - таксационные параметры дерева), коэффициентом формы ствола (д2 = Л,5/<А,з), плотностью древесины ствола (р - физический параметр), модулем упругости первого рода древесины стволов деревьев (Е - механический параметр) и видом форм колебаний ствола и собственными частотами колебаний первых трех основных форм колебаний. На графиках для ели с конкретными параметрами показано, как влияет изменение одного из параметров при замороженных остальных на вид форм колебаний и характер изменения частоты рассматриваемых колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний: Уч. Пособие. - 2-е изд., перераб. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 272 с.

2. Прохоров, В.Ю. Пути реализации эффекта безызносности шарнирных сопряжений / Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2013. - Т. 1. - С. 43-46.

3. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. Перевод с нем. - М.: Мир, 1982, - 304 с., ил.

4. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., 1965г., 856 с., ил.

5. Прохоров, В.Ю. Модернизация транспортных и технологических машин с помощью альтернативных материалов. / В.Ю. Прохоров, И.Г. Голубев // Лесная промышленность. - 2004. - № 4. С. 24-27.

6. Прохоров, В.Ю. Повышение износостойкости шарнирных сопряжений манипуляторов лесозаготовительных машин / Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2011. - Т. 2. - С. 198199.

7. Иванов Г.А. Влияние параметров дерева на собственную форму и частоты колебаний ствола дерева./ Иванов Г.А., Шиповский А.А., Иванов К.А., Шумбасов В.В. // Лесной вестник, - В 4. - М.: МГУЛ, 2012. С. 103...110.

8. Иванов Г.А. Уравнения образующей профиля кроны и дерева в целом. //Лесной вестник, - В 6. -М.: МГУЛ, 2000. С. 197.201.

УДК 629.7.018.3

Яшин А.Г., Алилуев С.В. , Григорусь Е.Н., Сергушов И.В.

АО «Конструкторское бюро промышленной автоматики», Саратов, Россия

ПРОЕКТНЫЙ ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА БЕНЗИНОВОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ФОРСУНКИ ПОРШНЕВОГО АВИАЦИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ В СОСТАВЕ СТЕНДА НЕСУЩЕЙ СИСТЕМЫ МАЛОГО БЕСПИЛОТНОГО ВЕРТОЛЕТА

Проведен проектный гидравлический расчет струйной электромагнитной форсунки поршневого авиационного двигателя, по параметрам которого может быть спроектирован опытный образец. В ходе расчета был определен режим работы струйной жидкостной форсунки, вычислены среднее значение скорости топлива на выходе из форсунки, перепад давления на форсунке, обеспечивающий требуемый расход компонента топлива через форсунку, медианный диаметр образовавшихся капель в факеле распыла форсунки, площадь горящей поверхности. Полученные параметры будут использованы при последующем проектировании Ключевые слова:

форсунка, стенд несущей системы малого беспилотного вертолета, поршневой авиационный двигатель, проектный гидравлический расчет

Топливная форсунка - это устройство, предназначенное для распыла и первоначального распределения топлива в объеме камеры сгорания двигателя.

Процесс распыла есть не что иное, как дробление топливной струи на большое количество капель.

Работа любой форсунки жидкого топлива характеризуется качеством распыла, который оценивается следующими параметрами:

1. Средним диаметром капель (тонкость распыла), получаемых в факеле распыла.

2. Шириной диапазона размеров капель в факеле распыленного топлива (однородность распыла). Чем это значение меньше, тем однороднее распыл.

3. Дальнобойностью распыла - глубиной проникновения распыленного облака в газовой среде.

4. Равномерностью распределения жидкости в факеле распыла.

5. Средним углом распыла, измеряемым у среза сопла форсунки.

В составе стенда несущей системы малого беспилотного вертолета [1-3] используется двигатель (рис. 1), в котором, для распыления топлива внутри цилиндров, применены электромагнитные форсунки струйного типа рис. 2 (слева). Для замены иностранного компонента необходимо выполнить проектирование отечественного аналога.

Рисунок 1 - Стенд несущей системы малого беспилотного вертолета

В общем случае задача проектирования форсунок для жидкого топлива заключается в выборе их размеров, обеспечивающих требуемые расходы компонентов топлива при заданном перепаде давления на форсунках [4, 5].

Проектный гидравлический расчет однокомпо-нентной струйной жидкостной форсунки, расчетная схема которой приведена на рис. 2 (справа), проводится в следующей последовательности:

Выбирается в первом приближении диаметр проходного сечения или диаметр сопла форсунки на выходе Этот диаметр может находиться в пре-

делах 0,2< сС<04. Минимальный диаметр сопла форсунки обусловлен легкостью засорения малых проходных сечений форсунки механическими примесями, попавшими случайно в распыляемый жидкий компонент, или твердыми частицами, образовавшимися в