Аналитическое и численное исследование частот колебаний кремниевого резонансного преобразователя давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

TheDataProcessingModule

Type: char

PipeArea: float

PipeLength: float

ResonantFrequency: float

Density: float

TemporaryDelay: float

FlowRate: float

FilteredSignal: float

AverageValue: float

MassFlow: float

TemperatureSensor a: float

PressureSensor b: float

DataBase d: float

+ read() : void

+ write() : void

+ calculatingTheDensity() : void

+ calculatingTheTemporaryDelay() : void

+ calculatingTheFlowRate() : void

+ filtration() : void

+ calculatingTheAverageValue() : void

+ calculatingTheMassFlow() : void

DataBase

ID: int

DateAndTi m e: i nt

Type: char

ValueMassFlow: float

Report: float

+ read() : void

+ write() : voi d

+ reportCreation() void

Рисунок 4 - диаграмма классов

Класс Sensor содержит классы наследники PressureSensor, в который заносятся значения сигналов с датчиков давления и

TemperatureSensor, в него вносятся значения температуры протекающей жидкости. Между классами ElectromagneticDrive и Sensor существует связь ассоциация, потому что значение резонансной частоты связано с тем, что по расходомерной трубке начинает течь жидкость и датчики, в свою очередь, начинают читывать соответствующие параметры потока. Помимо этого, существует класс DataBase, который является частью класса TheDataProcessingModule, между ними связь агрегация. В базу данных записывается значение массового расхода. По занесённым значениям массового расхода, можно сгенерировать отчёт о расходе протекающего вещества [10].

Заключение

Смоделирована подсистема обработки информации в кориолисовом расходомере посредством языка иМЪ. За счет моделирования можно лучше представить процессы, которые происходят в системе и алгоритмы их работы. На основании разработанных иМЪ-моделей возможен синтез подсистемы обработки информации в кориолисовом расходомере на основе объектно-ориентированного подхода на языке С++ и с использованием среды моделирования МаЦаЬ. Синтез иМЪ-моделей позволит существенно сократить время на разработку информационной системы и провести её всесторонний анализ ещё на стадии моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гудкова Е.А., Макарова Е.Ю. Обработка информации в кориолисовых расходомерах // Сборник статей международной конференции «Методы и средства измерений в системах контроля и управления». ПензГТУ. - 2016. - С. 146-154.

2. Арлоу, Д. UML 2 и унифицированный процесс. Практический объектно-ориентированный анализ и проектирование/ 2-е изд./ Д. Арлоу.- М.: Изд-во Символ-Плюс, 2013.- 624 с.

3. Гудков, К.В. Синтез имитационной модели кориолисова расходомера с гибкими участками // Современные информационные технологии. ПензГТУ. - 2011. - №13. - С. 42-47.

4. Гудков, К.В. Анализ тенденций развития обобщенных структур кориолисовых расходомеров // Современные информационные технологии. ПензГТУ. - 2009. - №9. - С. 64-68.

5. Юрманов, В.А., Гудков, К.В. Анализ некоторых погрешностей кориолисовых расходомеров // Современные информационные технологии. ПензГТУ. - 2006. - №4. - С. 48-50.

6. Юрманов, В.А., Кирин, Ю.П., Гудков, К.В. Анализ конструкций кориолисовых расходомеров // Современные информационные технологии. ПензГТУ. - 2005. - №2. - С. 58-61.

7. Жашкова Т.В., Михев М.Ю., Роганов В.Р. Интеллектуальные системы и технологии. Учебно-методическое пособие. - Пенза, -2015. - Том Часть 1.

8. Михеев М.Ю., Новиков А.В., Сёмочкина И.Ю. Использование систем поддержки и принятия решений для моделирования профессиональной деятельности специалиста в процессе практико-ориентированного обучения // Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2009. - Т. 1. - С. 174-175.

9. Михеев М.Ю., Юрманов В.А., Пискаев К.Ю. Интегрирующие АЦП с частотно-импульсной модуляцией // Труды международного симпозиума Надежность и качество. - 2014. - Т. 1. - С. 315-318.

10. Гудков К.В., Михеев М.Ю., Юрманов В.А., Юрков Н.К. Способ автоматической поверки кориолисовых расходомеров на месте их эксплуатации // Измерительная техника. - 2012. - № 2. - С. 29-32.

УДК 615.035.4

Кудрявцева Д.А., Беляева Е.В., Кудрявцев А.А.

АО «Научно-исследовательский институт физических измерений», Пенза, Россия АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ КРЕМНИЕВОГО РЕЗОНАНСНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ДАВЛЕНИЯ

Проведен анализ существующих конструкций резонансных преобразователей давления. Предложена конструкция резонансного преобразователя давления с кремниевой струной, изготовленная с применением МЭМС-технологий. Данное техническое решение позволяет улучшить воспроизводимость и управляемость метрологических характеристик. Обоснованы, преимущества изготовления кремниевой струны интегральным способом из монокристаллического кремния. Проведен расчет относительных погрешностей частот колебаний струны в плоскости ширины и толщины струны. Выбраны оптимальные геометрические параметры, позволяющие создавать резонансные системы с минимальной погрешностью измерения. На основе метода конечных элементов в программе CAESolidWorks проведено численное моделирование кремниевой струны для точного определения характеристик резонатора. Проведенные математические расчеты и численное моделирование однородной балки показали, что для данных соотношений размеров струны (диапозон от 20^120 мкм) отклонения от линейного закона наблюдались при малых размерах струны. В связи с этим появляется необходимость учета особенностей построения конечноэлементной сетки.

Ключевые слова:

резонансный преобразователь давления, МЭМС-технологии, чувствительный элемент, относительная погрешность измерения

При разработке многофункционального измерительного устройства потребность в качественных и надежных первичных измерительных преобразователях (ПИП) крайне высока. Современный ПИП должен иметь малые габариты и массу, высокую чувствительность, хорошую температурную стабильность и возможность предоставления выходной информации в цифровом виде.

Данным требованиям соответствуют ПИП, основанные на резонансно-частотном принципе. Преимуществом резонансных ПИП является высокая точность и стабильность характеристик, которая зависит от качества используемого материала. К недостаткам можно отнести индивидуальную характеристику преобразования, значительное время отклика, невозможность проводить измерения в агрессивных средах без потери точности показаний прибора [1].

Наиболее развитой областью, связанной с созданием ПИП на основе технологии микросистемной техники, являются МЭМС-технологии. Принцип работы широкого ряда измерительных МЭМС-устройств основан на механическом резонансе. В таких устройствах индуцируют колебания чувствительного элемента с резонансной частотой, которая определяется свойствами материала и геометрии элемента. Использование новых материалов в сочетании с МЭМС технологиями позволяют создавать качественную и надежную датчико-преобразующую аппаратуру. Анализ различных конструкций ПИП [2] показал, что использование монокристаллического кремния оказывается наиболее предпочтительным с точки зрения получения высоких характеристик резонатора. Благодаря монокристаллической структуре кремний имеет высокую упругость и хорошую временную стабильность механических свойств. Кроме того, монокристаллический кремний не имеет внутренних механических напряжений, и это свойство сохраняется в процессе формирования резонатора, что с учетом высокой тензочувствитель-ности обеспечивает хорошую воспроизводимость параметров резонатора.

Рассмотрим кремниевую струну как упругий элемент, представляющий собой балку (см. рис. 1), а именно параллелепипед, два размера у которого

существенно меньше третьего, т.е. 1 < Ь,Ь (в

исследуемом случае 1 = 5 000 мкм, Ь< 2 0 мкм ,

Ь < 120 мкм) . Это позволяет достаточно точно аналитически описывать динамику данного упругого элемента с применением теории механических колебаний балки.

Рисунок 1 - Конструкция кремниевой струны с жесткой заделкой

д2 | ^ Т-Т д2и ) д2

EJ—г-

дх21 , дх2 1 дх2

Рассмотрим уравнение гармонических поперечных колебаний балки, учитывающее наличие постоянной удельной растягивающей силы Ы:

(1)

где и - перпендикулярное перемещение относительно средней (нейтральной) плоскости балки вдоль толщины или ширины; р - объёмная плотность; 5=И■Ь - площадь поперечного сечения; ш - собственная частота гармонического колебания; Е - модуль Юнга; 3 - момент инерции поперечного сечения.

Так как величины Е , 3 и N в рассматриваемом случае являются постоянными, то уравнение (1) можно переписать в следующем виде:

д4и " я2-

N д2и 2 рБ

. ,---- + ш2 — и = 0 .

дх4 Е3 дх1 Е3

Если положить N=0, то уравнение приведёт к классическому виду для прогиба гармонически колеблющейся балки с частотой ш :

Из соотношения видно, что если а - характерный размер поперечного сечения упругого элемента, так что Б ~ а2 и J ~ а4, то при уменьшении сечения струны частота будет изменяться линейно

с характерным размером, т.е. ш ~ \/5 ~ а.

Такая же линейная зависимость будет наблюдаться, если уменьшать площадь поперечного сечения только лишь за счёт одного из размеров И или Ь . Частота, соответствующая фиксированному размеру, должна оставаться неизменной [3,4].

При условии N Ф 0 выражение для частоты существенно усложнится. Но в случае 3 — 0 , который выполняется, если площадь поперечного сечения также устремить к нулю (5 — 0 ) , второе слагаемое со второй производной в (1) начнёт существенно превышать первое слагаемое с четвертой производной, поэтому частота в этом пределе будет стремиться к выражению

\pS v р

Здесь учтено, что NjS = T является напряжением в поперечном сечении струны, т.е. является натяжением струны, которое и используют при описании классической математической струны. При уменьшении поперечного сечения струны, представленной в виде балки, при отсутствии растягивающего усилия (натяжения) частота должна изменяться линейно с характерным размером данного сечения q - a, либо не превышать значения по этой зависимости [5].

Рисунок 2 - Колебания кремниевой струны в плоскости толщины (а) и в плоскости ширины струны (б)

u

q ~

q ~

Данные математические выражения позволяют рассчитать частоту колебаний струны и сравнить полученные результаты с численным моделированием кремниевой струны с жесткой заделкой. Для численного моделирования на основе метода конечных элементов в качестве программной среды выбрана система CAESolidWorks как наиболее распростран-ненная среди начинающих разработчиков. Проведенное численное моделирование кремниевой струны

позволяет оценить влияние частоты колебаний на геометрические параметры струны. В таблице для наглядности представлены значения проведенного эксперимента, выбраны результаты при ширине струны в диапазоне от 20^120 мкм и толщины Ь = 80 мкм, аналогичным образом проведены исследования с другими геометрическими параметрами.

Таблица

Ширина, Ь мкм Толщина, h мкм Частота колебаний в плоскости ширины, кГц Частота колебаний в плоскости толщины, кГц Частота колебаний в плоскости ширины, кГц (математический расчет) Частота колебаний в плоскости толщины, кГц (математический расчет)

20 80 5,876 15,963 5,712 22,846

40 11,464 22,864 11,423

60 17,187 22,884 17,134

80 22,872 22,872 17,134

100 28,551 28,551 17,134

120 28,548 34,256 17,134

На рисунках 3-4 представлены графики зависимостей относительных (с сохранением знака) погрешностей частот колебаний в плоскостях ширины

и толщины от ширины струны, определенных в результате сравнения аналитических значений, найденных на основе выражения (1) и результатов численного моделирования.

Рисунок 3 - Зависимость относительных (с сохранением знака) погрешностей частоты колебания струны (в плоскости ширины Ь) от Ь для разных толщин Ь (1 - квадрат, 2 - 40 мкм, 3 - 60 мкм, 4 - 80 мкм,

5 - 100 мкм, 6 - 120 мкм)

Рисунок 4 - Зависимость относительных (с сохранением знака) погрешностей частоты колебания струны (в плоскости толщины ^ от Ь для разных толщин h (1 - 40 мкм, 2 - 60 мкм, 3 - 80 мкм, 4 - 100

мкм, 5 - 12 0 мкм)

Судя по тому, что относительная погрешность для минимальной ширины струны при увеличении её толщины постепенно уменьшается (см. рис. 3), основная причина такого несоответствия кроется в ограниченной плотности конечных элементов в сечении модели струны. Всплеск относительной погрешности для максимальной ширины одной из струн прямоугольного сечения (рис. 3, ломаная «2») яв-

ляется случайностью построения конечно-элементной сетки с плохо обусловленной матрицей, что ещё раз подтверждает важность топологии структуры конечных элементов у численной модели струны. Причём тот факт, что данная погрешность уменьшалась при увеличении отношения толщины к ширине, в то время как в перпендикулярной плоскости наблюдалось увеличение относительной погрешности собственной частоты, говорит о том,

что имеет место существенное влияние топологии конечных элементов численной модели струны. Наличие одного значительного выброса погрешности вычисления указывает на то, что при расчётах собственной частоты колебаний однородной балки необходимо проводить серию вычислительных экспериментов с разными топологиями сеток.

Результат исследования показывает, что при соблюдении вышеперечисленных условий целесообразно применение численного моделирования методом конечных элементов для исследования колебаний струнных резонансных преобразователей со струной сложной формы, для которой затруднено нахождение аналитического решения уравнения колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Седалищев В.Н. Физические основы использования в измерительных устройствах колебательных и волновых процессов: Учебное пособие. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2008. - 175 с.

2. Клементьев А.В., Петров А.Ю., Дурчева В.Н., Загрядский И.И. Вторичный прибор для струнных датчиков // Датчики и системы. - 2004. - № 6. - С.63-70.

3. Лабутин С.А., Пугин М.В. Анализ сигналов и зависимостей: Учебное пособие Нижегор. гос. техн. ун-т - Н. Новгород. Изд-во НГТУ. - 2001. - 158 с.

4. Кучумов Е.В., Баринов И.Н., Волков В.С. Струнный автогенераторный измерительный преобразователь на основе пьезоструктуры // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 2 (8).

5. Милохин Н.Т. Частотные датчики систем автоконтроля и управления: Библиотека по автоматике -М.: Книга по требованию. - 2013. - № 310 - 131 с.

6. Баринов И.Н.,Волков В.С. Применение высокомных кремниевых тензорезисторов для повышения долговременной стабильности высокотемпературных полупроводниковых датчиков давлений // Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2011. - № 2. - с.243-245.

7. Баринов И.Н., Цибизов П.Н., Кривулин Н.П. Использование микропленочных геттеров в технологии вакуумирования чувствительных элементов датчиков абсолютного давления// Труды международного симпозиума надежность и качество. - 2008. - №1. - с.501-503.

УДК 539.4 Иванов Г.А.

ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (национальный исследовательский университет) (МГТУ им. Н.Э. Баумана), Мытищинский филиал, Московская обл., Мытищи-5, Россия

ТРЕТЬЯ СОБСТВЕННАЯ ФОРМА КОЛЕБАНИЙ СТВОЛА ДЕРЕВА

В статье приведен вывод уравнений для вычисления собственных частот форм колебаний стволов деревьев и уравнений для описания первой и второй и третьей собственных форм колебаний. В графической форме показано влияние параметров ствола дерева: диаметра на уровне груди, высоты дерева, коэффициента формы ствола, плотности древесины ствола и модуля упругости первого рода древесины стволов деревьев на характер зависимости частоты от параметра. Зависимость частоты от параметра показана на примере ствола ели с конкретными параметрами

Ключевые слова:

ствол, собственная частота колебаний ствола дерева, первая и вторая и третья форма колебаний ствола дерева

Из теории колебаний известно, что колебания, которые поддерживаются только силой упругости, называются свободными или собственными колебаниями. При этом отсутствует подвод энергии из вне [1,2,3].

При рассмотрении колебаний упругой консоли ствола дерева будем полагать, что материал однороден, изотропен и следует закону Гука. При этом массу кроны и ее взаимодействие с воздухом из рассмотрения исключаем. Рассматриваем только ствол. Для определения положения такой системы требуется бесконечно большое число координат, и поэтому она имеет бесконечно большое число степеней свободы, так как за возможное перемещение можно принять любые малые перемещения удовлетворяющие условию непрерывности, то есть отсутствию разрывов в нем. Именно поэтому консоль может иметь бесконечно большое число форм собственных колебаний.

Предполагая, что стержень имеет плоскость симметрии и что колебания происходят в этой плоскости, воспользуемся дифференциальным уравнением кривой изгиба, известным из сопротивления материалов [4,5,6].

EJ

d 2 y dx2

-M ,

(1)

изгибающий

d (шЦ

dx 1 dx

d

d 2 y

2 1 EJ ,

dx 1 dx

dx

_dQ_ dx

= q

(2)

Второе уравнение системы (2), представляющее дифференциальное уравнение изгиба стержня, нагруженного распределенной нагрузкой интенсивности д, которое можно использовать для получения уравнения поперечных колебаний. Для этого необходимо лишь применить принцип Даламбера и представить себе, что колеблющийся стержень нагружен силами инерции, интенсивность которых изменяется вдоль стержня.

Сила инерции на единицу длины стержня равна:

q=-p■ F

д2 y dt2

(3)

Рассматриваются только свободные колебания стержня, когда возмущающая сила отсутствует. Подставляя выражение (3) в дифференциальное уравнение изгиба стержня (2), получим дифференциальное уравнение движения:

d2 ( d2y I d2y —71 EJ ^\ + pF ^ = 0 ,

dx21 dx2 dt2

(4)

где: EJ - изгибная жесткость, а М момент в произвольном сечении.

Направления осей и положительные направления изгибающих моментов и поперечных сил 0 для ствола дерева показаны на рис.1.

Дважды дифференцируя уравнение (1), получаем:

где: J и Г - момент инерции и площадь поперечного сечения ствола, функции аргумента х.

Поскольку точные решения при колебаниях можно получить только в некоторых специальных случаях, часто прибегают к приближенным методам. При решении нашей задачи применяем приближенный способ, известный как метод Рэлея-Ритца.

При использовании этого метода нужно взять уравнение кривой изгиба, представляющее форму колебаний с несколькими параметрами и величины последних выбрать так, чтобы обратить в минимум уравнение (8).

Выбор определенной формы для изогнутой кривой консоли ствола эквивалентен введению дополнительных связей, которые приводят систему колеблющегося дерева к системе, имеющей одну степень свободы.