CC BY
33
УДК 514.763.8, 514.747.3, 517.956.3
ПРОБЛЕМА ТОЧЕЧНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
О.И. МОРОЗОВ 1
Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.
Мы применяем метод Э. Картана для решения задачи эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сводимых к уравнениям Ли-Лиувилля-Тресса, относительно псевдогруппы точечных преобразований.
Ключевые слова: псевдогруппы Ли, обыкновенные дифференциальные уравнения.
В данной работе, являющейся продолжением статьи [2], мы рассматриваем проблему эквивалентности для класса уравнений
ихх = А3(х, и) иАх + А2(х, и) и2х + А]_(х, и) их + А0(х, и) (1)
относительно псевдогруппы точечных преобразований. Обозначения в данной работе соответствуют обозначениям из [2].
Решение проблемы эквивалентности в случае Fuxuxuxux = О
После нормализации Ь3 = Ьф4 и применения процедуры продолжения структурные уравнения форм uii для уравнения (1) приобретают вид
duii = îji A Wi + % Л и)2, ckü2 = щ A u)2 + и) 1 А и3, du3 = (щ — щ) А ui3 + щ А ш2,
(2)
dr]3 = -Щ A Wi + 2 щ А ш2 + г]2 А ш3, = щ А щ + щ А ш3 - | 1 (Ьх + Ь2 их) А ш2,
где
¿1 = 3 (A0yltu + A3AqîX — A2AQyU) — 2 AitXU + . l2..r.r — Ai (3 A^u + A2îX) — 3 Aq{A2^u — 2 A3tX), L2 = AitUU — 2 A2îXU + 3 (A3tXX — As {A^x — 2 AqîU) + AiA3tX — AqA3îU) + 2 A2{Ai^u — A2îX).
Дальнейший анализ зависит от выполнения или невыполнения условия L\ = L2 = 0.
В случае , когда , после применения процедуры продолжения структурные
уравнения имеют вид
duj 1 = t]i A u>i + t]2 A u)2, d,u)2 = Щ A u2 + u>i A uj3, du3 = (t]3 - t]i) Аш3 + щА ui2,
dru = -2 774 Л wi + % Л ш2 - % Л u3, dri2 = % A Wi + (Vi ~ %) Л Ш,
dt]3 = -щ A u>i + 2щ A u)2 + t]2 A uj3, dr^ = щ А щ + щ A uj3, drj5 = щ А щ + щ A t]3.
1 Работа выполнена при частичной поддержке совместного гранта 09-01-92438-КЭ_а РФФИ (Россия) и
Consortium E.I.N.S.T.E.IN (Италия)
Непосредственная проверка показывает, что такие же структурные уравнения имеет любое линейное уравнение второго порядка ихх = а2(х) их + ах{х)и + а$(х), в частности, уравнение ихх = 0. Поэтому уравнения (1) с Ь\ = Ь2 = 0 эквивалентны уравнению ихх = 0, что совпадает с результатом С. Ли и Р. Лиувилля.
Перейдем к анализу случая ^2, в котором одна из функций или Ь2 не равна нулю. Полагая коэффициент при и>1 А ш2 в последнем уравнении (2) равным |, получаем = Ь±3 (Ь\ + Ь2 их). После этого получаем
¿оо 1 = 7]1 А + т]2 А ш2,
йи)2 = ^2 щ А и>2 + и>1 А и>2 + Ь\ + Ь2 их) 2 (Ь2 + Ь2 мж) — Ь2) ш2 А Шз,
Приравнивая нулю коэффициент при в последнем уравнении, получаем
1^2их)^1- Теперь форма шх приобретает вид оо\ = Ь\ {Ь\ + Ь2мж)-1 {Ь\ ¿х + Ь2с?и), причем с1ш! = ^Ашь Поэтому и>1 удовлетворяет теореме Фробениуса, и существуют функции Х(х, и), Ь\ (х, и, их,Ъ\, Ьь), такие что оо\ = Ь\ ¿X. Пусть и(х, и) — любая функция, для которой ¿X А (Ш ф 0. Тогда в переменных х = Х(х, и), и = и(х, и) получаем оо\ = Ьхйх. При этом в новых переменных должно выполняться равенство . Следовательно,
= 0, то есть получается упомянутый во введении результат Тресса: для нелинеаризуемого уравнения (1) существует замена переменных
X = (р(х,и), и = ф(х,и), (3)
такая что в координатах х,и выполнены условия Ь\ ф 0 и = 0. Совершая, если нужно, эту
замену, мы будем считать, что для уравнения (1) имеют место соотношения , .
Теперь структурные уравнения приобретают вид
¿00 1 = 7]1 А 00 1, с],и)2 = —2 7]1 А Ш2 + А 003,
с!ооз = щ А оо2 — 3 Щ А оо%
+| Ьг 1Ьг 1 (5 Ъ\Ьъ + 6 А^Ь\и1£ + (4 А2Ь\ — ¿1,«) их + 2 А\Ь\ — ¿1,^) оо\ А оо%.
Мы можем положить Ь5 = —| Ь^3(6 А^Ьхи2х + (4 А2^ — Ь1>и)их + 2А1Ь1 — Ь^х). Тогда мы получаем
¿001 = ??1 АЫ1, ¿002 = —2 7]! А ш2 + Ш1 А ш3,
¿003 = ^3 Т]1 А 0)% + | Ь\Ь1 2 (3 . I IIх + :\ >1. | + /-1) 0)2 А 0)% + , , , 00\ А 002■
Дальнейший анализ разделяется на два случая: случай ^2ь такой что ф 0, и случай ^22,
такой что .
В случае 3§ч\ полагаем
61=^1 |3 А^Ьхих + А2Ьх + ¿1^1 1/<2 , (4)
Мы получаем ¿,оо\ = | М| оо\ А оо% + ... оо± А ш2, где М0 = А^5Ь^5 |3 А?.,Ь\их + А2Ь\ + Ха^р1^2,
причем
001 = М0 А3 Ш2 = Л/0 2.1 ^ ' /, [ ' (¿и — их11х).
Шз = Мо 3А3/< ^ {¿мх — | (б Азм2 + (4 А2 — Ь\^иЬ1 х) их + 2А1 — Ь\^ХЬ1 ¿и
+| (Ази^ ~ (^2 + 1и2 — (3 Ах + Ь1^ХЬ11)их ^ 5 А0) ¿х) . (5)
В силу инвариантности форм и функции относительно диффеоморфизма без ограничения общности мы можем умножить правые части форм , и на , и соответственно. Полученные формы мы обозначим снова через и)\, Ш2 и Шз. Они удовлетворяют следующим структурным уравнениям:
= Л /1 Л Ш2, ¿СО2 = ^ (¿*5 “Ь 5 Л /1 -Р5 + М2) С(^1 А С(^2 + ^1 А Ш3,
с1ш3 = - ^5 (2 Р54 + 25 л/,/':' + 3(10 М2 - Л/;!) Р| - Л/,/'-, - Л/-,) Шг А ш2 + | (-^5 ^ + М2) Ш1 А ш3 + |(4 Р5 + 15 Мх) ш2 А и>з,
где — единственный инвариант, зависящий от , и ,
причем с1Р§ = (10 Р§ +90 М\Р2-\-(з (3 М2+М3) /'5+15 .Мб) Ы1+Зшз+|- (2 .Р|?+15 М\Р§-\-М%) ш2,
а зависящие от х и и инварианты Мь ... , М6 имеют вид
Мх = ¡А-7/5Ь-6/5 (Ь1А3,и^2А3Ь1,и),
М2 = —А3 ^5Ьг 7,5 (ь2и + (2 А2 + 5 Л/, .1. | /.| /-1+ /*2(Л;! — 3 . 1|. I;-, — 3 .
~5 Л/, Л2ЛН Л/.| л)) ,
М3 = А-4/51-7/5 (5 ^ 12 /., 1 /;[(( - (9 ,12 - 25 Л/, ,1Г/.;/г>) - 3 Л3/-..,
(2,1^0 Л, -1.3 - 5 А2,и + 25 Л/,,12.1Г/-!")) ,
М4 = Аз1/5£-8/5 (90 - 8 ,1. 1 /., 2/.;'(( - 3 ,1. 1 /., 1 (8 ,1, - 25 Л/, Лр/.^) //7,,
— 18 /,, 1 (6 + ,12/ч) /п.,- + 135 - 180 /,,. 12., + 6 ,1;! 1 (4 А?2 + 6
+25 Л /1+ (Ю М2 - Л /..) А^Ч]15) 11уи + ,1.4, (8 А3 + 36 ,1,,12.1з
— 510 А0А1 + 6 (10 М2 - Л/3) А2А\/ъ1$ъ + 75 Л/(. 1Н. \Н *'/, [ *',
М5 = А2/5Ь-9/5 (135 - 2 ,1.% :Ч.\М - Л;!2/,, ! (8 ,1, - 25 Л/, ,1р/.р) - 27
+3 .1.% ' (4 А2 + (10 .]/■> - М.;) А^/512/5 + 25 МгА2А23/5 Ь{/5) 121и - 162 /,, 1//¡.г +А3 2(8 ,1:1 + 135 ,1„,12 + 6 (10 М2 - Л/3) А2^/5Ь2/5 + 75 Л':2Л., Г' 1.\ г'
^М4Аз/5Ь3/5) - 270 /,, Л, ,.г + 675 /ч.Ьи, + 2 Л.] Л;! 2/,, + 25 Л/,,111.8/5 Л,"
+3 (10 М2 - Л/3) ¿¡А36/ь 17/ь + ,12 М-1/,,1. 1 V;, '' + 540 Л„) + 162 ,12/ч) ,
Л/„ = ^А3Ч5ЦШ/Ъ (2 //,'• „ + 3 (2 Л2/-1 + 5 Л/,. 1:| V/; г>) Ь2и + 6Ь2 (А2 + Л/(. 12лН '/.[ '
+М2А35ь/ь) 1^,, + 9 .1;;(Ах>и — 2 .12..г) + 2 /- 'С Л:5 — 27 ЛЛН) + 15 Л/| Л:2Л:. Г'1,1>' Г%
+6М2А2А43/5Ь\7/^ .
Операторы инвариантных дифференцирований = А^Ь^2^5 ^ — А34^Ь^7^5(Ь1^и + А2Ь{) ^
и 02 = А32^Ь±1^5 задаются условием выполнения равенства дУ = | (Ох(У) + Р502(У))+ Ю2(У) ш2 для любой функции У(х, и). Классифицирующее множество порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
С^п(со, V) = (0г10^(Мто(я:,м)) | 0 ^ г + ^ ^ 2, 1 ^ т ^ 6, (1,и)еУ}, (6)
где — открытое множество, такое что во всех его точках.
Случай ^22, определенный равенством А% = 0, разделяется на два подслучая — подслучай соответствует условию , а подслучай — условию .
В случае нормализация (4) имеет вид . После нее получаем структур-
ные уравнения
с!и)1 = N1 00\ А оо2, с1и)2 = (5 N2 6) Р(5 Л2) 001 Л ОО2 001 А 00%,
с/ш3 = (5 N1 + 6) Р% + | (2 N2 + 3 N4) Ра + ЛГз) шх Л Ш2 + § (5 + 4) о>2 Л шз
+ ^ (2 (5 N1 + 6) Ра + 15 Лу шх Л Шз,
причем инвариант л? ЬГ1 имеет дифференциал йРа = | ((5 + 4) Р6 — АГ5) ш2 + 3 ш3 +
((АГХ + 1) _Р| + ^ (15 Ж2 — 2 АГ5) Р6 + _/У6) Ш1, остальные инварианты
= З.\п;! (/., Ж2 = 2^1(Лго,^^о)^|Ж5,
Ж3 = | Л^1 + Л'2/., | Л,'!/,, !,1„ (Ж02 - 5 А
N4 = М0 1 (А^и — 2 А2,ж) , -ЛГ5 = 2 (Ьх,ж — 2А1Ь1), .,0
зависят от и , операторы инвариантных дифференцирований 01 = ]Уо^^,и02 = Ж0-%^ задаются равенством . Классифицирующее множество
порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
С^До^У) = {©^(Л^Д^и)) | 0 ^ г + .7 ^ 2, 1 ^ т ^ 6, (х, и) е V} , (7)
где — открытое множество, такое что и во всех его точках.
В случае , определяемом тождествами и , мы получаем структурные
уравнения
с1и)1 = Г11 Л 0)1, (к02 = —2 7]1 Л Ш2 + Со!1 А Шз,
с1а!3 = ^3 г/1 А | 2 (3 (Ах>и — 2 А2гГ) + 5 ¿1 2) ^1 Л и>2,
где введено обозначение
Яо = | (¿1^1,ж,ж — 2Л.15ЖЬ2) + ^ (6 А2Ь2 — АхЬхЬх^ — 6 Ь\ х) + Ь2 (.Ао,и — А0А2).
Далее мы рассматриваем два случая: случай определяется условием
, а случай — условием .
.1/0
В случае нормализация дает структурное
уравнение = —^ Р^2 Л Ыг + ■■ ■ ^х Л ш3, с инвариантом Р7 = | (3 % + 5 фо)-
При этом
Ш1 = | /7 2 /-1 \ 1 <1х. 002 = ^ 1’т ' 1 ' I о (с/и - их <1х)
= 375^7 ^ ¿Ло® (^1 ^их ~ I (^ ^2^1 + 2 — Ьх,ж) с/и
д ((3 + 1а,я) их + 5 Д)1а) с/ж) ,
В силу инвариантости форм и функции без ограничения общности мы можем разделить правые части форм шх^2 и шз на | Р^2, ^ Р7-1 и ^ Р7 3/<2 соответственно. Полученные формы удовлетворяют структурным уравнениям
С"1,001 = 0 С1002 = 00\ А ОО2 00\ Л Ш3, с/сс^з = Р700\ Л Со*2 “Ь 2 С/1 ^1 Л ОО3,
25 ^5 — хо ^2^5; /V, = Д„АГ4Тг‘а
причем дифференциал инварианта Р7 имеет вид dP7 = ^ ((31 Qi +10) Р7 +18 Q2) + Yg (2 Qi +
5)ш2 + |w3, где инварианты Qx = 2VQyXL^1 - § VqL^2 (3 LiyX - AiLi), Q2 = \AqVqL^a + | VqL^6 (5 Li Q0yX _ 2 Q0 (AiLi + 7 LiyX)) — ^ QqVqL(13 Qi + 10) зависят от x и и. Тождество dY = (Di(F) + § P7 D2(F)) u)\ + D2(F) uj2 определяет операторы инвариантных дифференцирований Di = V0L^1 ^ — | VqL^3 D2 = VqZLi Классифицирующее множество порядка 2, ассоциированное с формами со, в случае ^222i имеет вид
4?!21 (w’ v) = {D1 Щ(Ят(х, и)) I 0 ^ i + j ^ 2, 1 ^ т ^ 2, (i,u)6V}, (8)
где V С J0(7r) — открытое множество, такое что Аз = АГ0 = 0 и Vo ф 0 во всех его точках.
В случае ¿$2222, таком что AiyU — 2А2уХ = 0, существует функция Б(х, и), для которой
Ai =2 Вх, А2 = Ви, то есть уравнение (1) в этом случае имеет вид
Hxx — Ви их + 2 Вх их + Aq , (9)
Мы воспользуемся следующим результатом работы [1].
Лемма 1: Всякое уравнение (9) можно перевести в уравнение вида
ихх = А0(х,и), (10)
преобразованием из Conto(J2 (тт)).
Доказательство: Пусть функция U = U(х, и) удовлетворяет условию Uu = ехр(—В). Тогда непосредственная проверка показывает, что замена переменных , приводит
уравнение (9) к уравнению (10). QED
Для уравнения (10) структурные уравнения принимают вид
duii = t|i Awi, dui2 = ^2 г/i A ui2 + ui\ Л и>з,
duj3 = ^3 щ Л uj\ + ... uj\ Л uj2 + | b\ A0y1luu A02u uj2 Л CO3.
Дальнейший анализ зависит от выполнения условия A0yUUU ф 0.
В случае , определяемом этим условием, нормализация дает
структурные уравнения
duj\ == R\ u)i Л uj2, dui2 == (5 R\ -\- 2) Pg -(- i?2) uii Л u>2 -Ь uii Л соз,
duj3 = (5 R\ + 2) Pg + I R2 P% + Д3) ui\ Л ui2 + yjj (2 (5 Д1 + 2) P% + 5 Д2) ui\ Л Ш3
— (•') R\ — I) uj2 Л CO3,
с инвариантом зависящим от , , , причем
dPs = ((3 Д1 + 1) P% + (Д4 + I R2) P% + Д5) COi + ((З R\ + |) Ps + -R4) w2 +
и инвариантами Pi = | 2ИИ - 1, Д2 = (5 RA + 1) P4 - 5 R4yUAoyUUA^luu, R3 =
АоуиАоуиииА0^и — R4yX ^ Aq^uu + I Д5 + I R4 (R2 + 2 -R^ #4 = _ | Ао,таи | Д)5ИИИ| ^ A0J2И,
, зависящими от , . Тождество
задает операторы Di = \A0yUUU\l/2 А$2и и D2 = A^JUUA0yUU Классифицирующее множество
порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
CS2221 (W>V) = {Di3i(Rm(x,u)) \0^i + j ^2, (i,«)eV|, (11)
где V С </0(/т) — открытое множество, такое что А0уиии ф 0 во всех его точках.
В случае ^22222, когда А0уиии = 0, вид уравнения (10) можно конкретизировать.
Лемма 2: Всякое нелинеаризуемое уравнение (10) с А0уиии = 0 можно перевести в уравнение вида
ихх = и2 + а0(х) (12)
преобразованием из псевдогруппы (3).
Доказательство: при А0у1ши = 0 нелинеаризуемое уравнение (10) имеет вид ихх = а2{х) и2 + а\{х)и + ао(х) с а2 ф 0. Замена переменных х = <р(х), и = (а2(х))2^5 и + Ьо(х), где <р(х)
— любая функция, такая что (рх = а2Ь, а Ь$ = ^ а2Ы^ {Ь а2&2,хх — 6а2х + 25 ), перево-
дит это уравнение в уравнение ихх = и2 + а,о(х) с а,о(^р(х)) = (а2(х))^4:1ъ(ЬоуХХ(х) + оо(ж)) — | (а2(х)У9/5а2уХ(х)Ь0уХ(х) - (Ь0(х))2. рЕБ
Для уравнения (12) получаем структурные уравнения
с1иЗ\ = — ^ СО\ А Ш2, с1ю2 = —Рд СО\ А иЗ2 иЗ\ А Со*з, с!Шз = 2 Ш]_ А и32 — ^ Рд иЗ\ А Со*з — ^ Со*2 А Со*з, где .
В случае <$$222221, таком что оо = 0, то есть когда уравнение (12) имеет вид ихх = и2, мы получаем йРд = (1 — § Рд) ~ \Р%032.
В случае ^222222, таком что Оо ф О, мы имеем ¿Рд = (¿х + 1 — | Рд) иЗ\ — т;РдШ2, где
¿а = оо и^2. Рассмотрим подслучай <$$2222221, при котором оо,ж = 0. В этом случае получаем
63\ = —2 51 (Рдизг + из2). Поэтому все уравнения (12) из этого подслучая имеют одинаковые структурные уравнения и эквивалентны друг другу, в частности, все они эквивалентны уравнению .
Наконец в последнем подслучае ёё2222222, таком что а0уХ Ф 0, мы получаем ^ (Тхб'У4 —
2 Рд) из\ — 2 Б\ из2, Т\ = аоуХа0 5/<4, и сЩ = (Т2 — | Б2) из\, Т2 = аоуХХа0 3/<2. Поэтому классифицирующее множество порядка 1, ассоциированное с формами со, в случае <$$2222222 для уравнения (12) можно взять в виде
^2222222 (^’Х) = {(“О,^) («0 {х))^1 ^ , ЩуХХ(х)(щ(х)У‘А/2) \ X £ X} , (13)
где — открытый интервал, такой что во всех его точках.
Объединяя результаты предыдущих вычислений и применяя теорему 14.24 из [3], мы получаем следующий результат.
ТЕОРЕМА 1: Всякое уравнение (1) с помощью диффеоморфизмов из псевдогруппы точечных преобразований (3) приводимо к уравнению, принадлежащему одному из инвариантных подклассов ёё\,..., ёё2222222.
К подклассу принадлежат уравнения (1) с = Ь2 = 0. Эти уравнения локально эквивалентны уравнению .
Уравнения (1), для которых одна из функций Ьх или Ь2 отлична от нуля, приводимы к уравнениям с , . Эти уравнения разделяются на инвариантные подклассы , ... ,
.
К подклассу принадлежат уравнения (1) с , , . Два уравнения из
этого подкласса локально эквивалентны относительно псевдогруппы (3) тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (6) локально совпадают.
К подклассу принадлежат уравнения (1) с , , . Два уравнения
из этого подкласса локально эквивалентны относительно псевдогруппы (3) тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (7) локально совпадают.
К подклассу ¿$2221 принадлежат уравнения (1) с Lx ф 0, L2 = А% = N0 = 0, V0 Ф 0. Два уравнения из этого подкласса локально эквивалентны относительно псевдогруппы (3) тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (8) локально совпадают.
Уравнения (1) с Li ф 0, L2 = Аз = N0 = Vq = 0 приводимы к виду (10).
К подклассу <$$22221 принадлежат уравнения (10) с A0yUUU ф 0. Два уравнения из этого подкласса локально эквивалентны относительно псевдогруппы (3) тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (11) локально совпадают.
Уравнения (10) с A0yUUU = 0 приводимы к виду (12).
Подкласс Ш222221 содержит одно уравнение ихх = и2.
Подкласс <$$2222221 состоит из уравнений ихх = v2+a, а = const, а Ф 0. Все такие уравнения эквивалентны друг другу, в частности, они эквивалентны уравнению ихх = и2 + 1.
К подклассу <$$2222222 принадлежат уравнения (12) с щуХ Ф 0. Два уравнения из этого подкласса локально эквивалентны относительно псевдогруппы (3) тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (13) локально совпадают.
ЛИТЕРАТУРА
1. Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painlevé equations // J. Diff. Eq., 157 (1999), 452 -485
2. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Статья в данном Вестнике.
3. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995
POINT EQUIVALENCE PROBLEM FOR THE SECOND ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS. II
Morozov O.I.
For the class of the second order ordinary differential equations that are reducible to the Lie-Liouville-Tresse equations we solve the equivalence problem under the action of the pseudo-group of point transformations via E. Cartan’s method.
Key words: Lie pseudogroups, ordinary differential equations.
Сведения об авторе
Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), член Московского математического общества, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 43 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли.
