CC BY
48
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
УДК 514.763.8, 514.747.3, 517.956.3
ЛИНЕАРИЗУЕМОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КАЛОДЖЕРО-ХАНТЕРА-САКСТОНА
О. И. МОРОЗОВ1
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором
Красильщиком И.С.
С помощью метода эквивалентности Картана доказана линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона.
1. Введение
Мы рассматриваем класс обобщенных уравнений Калоджеро-Хантера-Сакстона [2, 24, 13, 1]
иіх ~ Р'(их)') (1)
Уравнения из этого класса имеют многочисленные приложения в теории жидких кристаллов [13], в геометрии пространств Эйнштейна-Вейля [8, 26] и в гидродинамике [1, 12]. Частным случаем уравнений (1) является обобщенное уравнение Хантера-Сакстона
— и У>хх ^ ^х* (^)
Для этого уравнения в случае к = | найдены общее решение [13], три-гамильтонова формулировка [22], а также псевдосферическая формулировка (накрытие с универсальной алгеброй б[(2,К)) и квадратичные псевдопотенциалы [25]. Псевдосферическая формулировка для других частных случаев уравнения (1) найдена в [24]. В работе [23] предложена формула для общего решения уравнения (2). Эта формула использует нелокальную замену переменных. В работе [18] установлена контактная эквивалентность уравнения (2) и уравнения Эйлера-Пуассона
1 2(1 -к) 2(1-к)
П*х к (і + х) Пі + к (і + х) Пх («(£ + ж))2 и’ а также найдена формула для общего решения уравнения (2) в терминах локальных переменных.
В данной работе результаты [18] обобщаются для уравнений (1) — с помощью метода эквивалентности Картана [3-7, 11, 14, 21, 17] мы доказываем, что уравнения (1) эквивалентны относительно псевдогруппы контактных преобразований линейным гиперболическим уравнениям
Щх = Т(Ь,х) щ + Х(і,х) их + и{Ь,х) и, (4)
интегрируемым в квадратурах с помощью метода Лапласа [15], [20, § 9.3].
1 Работа выполнена при частичной поддержке научного гранта МГТУ ГА 2006 г.
2. Контактные симметрии дифференциальных уравнений
Пусть £ : К" х Е —¥ М" - тривиальное расслоение с локальными координатами базы (ж1,хп) и локальной координатой слоя щ ./2(£) обозначает расслоение джетов второго порядка сечений £ с локальными координатами (хг ,и,рг,р^), г, е {1, ...,га}, * ^ 3- Для любого локального сечения (х\/(х)) расслоения £ через ^2(/) обозначим соответствующий джет второго порядка (хг, /(ж), д/(х)/дх1, д2/(х)/дхгдх^). Дифференциальная 1-форма д на /2(£) называется контактной формой, если она равна нулю на джете второго порядка любого локального сечения: ¿2(/)Ч> = 0. В локальных координатах любая контактная форма является линейной комбинацией форм д0 = <1и — рч (¿г1 и^ = с1рг-рг] (¡х*, г, j е {1,га}, р^ = (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна, так что Pi <1хг = ]Г)"=1 Pi с1хг, и т.д.) Локальный диффеоморфизм
А : 72(£) 72(£), А : (х1 ,и,рир^) ^ (®*,й,р,-,ру), (5)
называется контактным преобразованием, если для любой контактной формы т? форма А*г? также является контактной.
Рассмотрим совокупность 1-форм
/ 00 N (ад о ^
0» 5» ©о + а Вк дк
с1 ©0 + ©*, + Ь{ dxk
\ } у ©о "Ь и>^ &к ■—1 "Ь ^ В^ Bj dpkl у
на 72(£) х [К, где 1К С ]£(Г1+1)(Т1+3)(2п+1)/3 — открытое множество с координатами а, ¿г-, сг, д^, /ч, §г;, го-, г,], к € {1,..., га}, удовлетворяющими условиям ;
а ф 0, с!е1;(^ ) ф 0, / * — = 5^, IV ^ — Wj^, %Цк = ^%к — ^к]1
и где через (В*) обозначена матрица, обратная по отношению к матрице (Ц), так что Ц Вк = 8к. Как показано в [19], формы (6) являются формами Маурера-Картана псевдогруппы Соп1;(.72(£)) контактных преобразований на £, то есть преобразование А : 72(£) х 5{ -> </2(£) х [К удовлетворяет условиям
А* ©о = 0О, Д*ё, = ©„ А*Н* = 5*, А* (7)
тогда и только тогда, когда оно проектируемо на ^72(£), и его проекция А : */2(£) —>■ ./2(£) является контактным преобразованием.
Структурные уравнения для форм (6) имеют вид ;
(¿©о — $о А ®о -Ь ^ А ©¿) dQi = Ф° А ©о + Ф? А 0* + 2* А Е«; (8)
¿3* = Фд А Е’ — Ф^. А В*1 + Ф<0 А ©о + Ф** А ©ь (¿Пу = Ф* А 2^ — Фц А + Т“- А ©о + А ©й + Л , где формы Фд, Ф°, Ф*, Фг0, Ф1;, Т?-, Т*- и Лу* определены следующими уравнениями:
Ф° = йа а-1 - Н* + (с* + /*" дт) ©*;
= ^9г “I" 9к dbj В^ (<7> дк “Ь “Ь ^ %1}к) “ С
+ (& С* + & £т /т* “ С7' + /"** в<т) ©¿Г,
Ф* = 5* ¿а а-1 - dbk В\ + (<* 5* - и>£ - }кт г)т) & + /*™ £гт + /*» ©т;
Фг0 = dci + /« Ф° + ск Ф’ + (с' Г4' дт - с* /"*' и/‘у) ©, - ск Г Еад
+Ск {Г гкт> + - дк 6) - 9і 6І) ЕУ;
Ф« = (ІГ + (.Ґ 5’т + Рк 6'т) ФГ + {<* 6І + ¿51- Г 9к + Г р1 гит) Н* +Г (ск + /кт дт) Єк - Гк Рт Ект) т° = - ву б?а а-1 + в*,- Лкт В™ + 5^ <1Ъкт В™ + 8ц Ф£ + г«у Ф° + гцк Ф*0;
+< Ф^ + /г* « 5™' + ¿Г') Ет,то - (с* + Гк дт) Е«;
Лу* = ¿гт - 2 гф сіа а“1 + (1Ь1т В™ + гІІк с1Ъ1т В™ + гЦк ¿Ь1т В™ + гт Ф°
“Ь %і}к 9тп ' "Ь 9г Е^"к “Ь 9] ЕіА; Ч" дк £„■ ^і} ^Ік ^гк ^і к
/ (^гто.? Які “І” %ітк Е^ + ¿¿тк Е^;).
Пусть ^ — дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией и п независимыми переменными. Мы будем рассматривать 3? как подмногообразие в ./2(£)-Через Соп^ЗІ) обозначим группу контактных симметрий уравнения 3?. Она состоит из всех контактных преобразований на ./2(£), отображающих 3? на себя. С помощью метода подвижного корепера [9, 10] мы можем найти инвариантные 1-формы, характеризующие СоМ(Зі) таким же образом, как ограничение поднятого корепера (6) на ./2(£) х 9Ї характеризует Со^(і2(£)).
Пусть ¿о : % </2(£) — вложение, иі = і0хісі:&хЗ-С —» </2(£) х ІН. Инвари-
антные 1-формы группы СоМ(^) являются ограничениями корепера (6) на 31: в0 = ¿*@о, ві — ¿*©г, £’ = ¿*Нг И Оц = І*Еу. Формы в0, #г, £* И <7у являются линейно зависимыми, то есть существует нетривиальный набор функций Е°, Е\ ^ и на 3? х }{, таких что Е° в о + Е1 ві + Еі £г + Єгі <Ту = 0. Эти функции являются поднятыми инвариантами группы Сопі;(&). Приравнивание их подходящим константам позволяет выразить некоторые координаты а, Ьк, Сі, дг, /*■*, гУу, и на !К как функции координат на Л и других координат на !К.
После этих нормализаций часть форм = ¿*Фд, фк = с*Фк, ф° = ¿*Ф®, '0и — 1* ^ > фі0 = ¿*ФІ0, г;?. = ¿*Ту, иг* = и Ау/г = или некоторые их линейные комбина-
ции, становятся полубазисными, то есть они не содержат дифференциалы координат на ¡К. Как следует из вида структурных уравнений (8) (детали в [19]) справедливы следующие утверждения:
1) если фц является полубазисной, то ее коэффициенты при 0к, £к и акі являются поднятыми инвариантами группы Соп^Л);
2) если ф° или фк являются полубазисными, то их коэффициенты при £* и акі являются поднятыми инвариантами Соп1;(31);
3) если грг0, 'фч или \цк являются полубазисными, то их коэффициенты при акі являются поднятыми инвариантами Соп1;(&).
Приравнивая эти инварианты подходящим константам, мы получаем выражения для некоторых новых координат на Л как функций координат на К и оставшихся координат на Л.
Поднятые инварианты могут появиться также в виде существенных коэффициентов кручения в редуцированных структурных уравнениях:
(1во = ф$ А во + £г А ві, йві = ф° А в0 + фк А вк + Ск А аік ,
¿Є = ФІ а Г - ФІ а + ^І0 А Оо + фік А вк-
(1(7ІІ = фк А СГ^ - 00 А СГу + V?- А 00 + и4* А ^ + ЛуА; Л
После нормализации этих инвариантов и повторения процесса возможны два исхода. В первом случае редуцированный поднятый корепер оказывается инволютивным. Тогда этот корепер является искомой совокупностью определяющих форм группы Соп^!£). Во втором случае, когда редуцированный поднятый корепер не удовлетворяет условию инволютивности Картана, необходимо применить процедуру продолжения [21, гл. 12].
3. Контактная эквивалентность обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера—Сакстона и линейного гиперболического уравнения
Применяя метод, описанный в ТТ.2, к вычислению форм Маурера-Картана и структурных уравнений для псевдогруппы контактных симметрий уравнения (1), и сравнивая с результатами работы [19], получаем следущую теорему:
Теорема 1. Обобщенное уравнение Калоджеро-Хантера-Сакстона (1) эквивалентно линейному гиперболическому уравнению (4) относительно псевдогруппы контактных преобразований Со^(72(£)).
Доказательство: введем обозначения х1 = х2 = х, рг = щ, р2 = их, Рп — ии, Рп = Щх, р22 = ихх\ вложение ¿0 : —> ^2(£) определим равенством (1). Формы 0О, 0Х, 02, £2, СГц,
<7x2, <722 являются линейно зависимыми. Мы имеем
_(Ъ\-Ъ\и-Ь\Р)Ъ\ап + {Ъ22Р+ Ъ1и-Ъ\)Ь22а22 {
а12= 2Ь2Ъ\Р + 2Ь2Ъ\и-Ь\Ъ2-Ъ\Ъ\ (шоа0о,0ьО,
поэтому МОЖНО ПОЛОЖИТЬ Ь\ = Щ (и + F) и ¿2 = 0. После этого получим
(^112 (^1) ^2 ^ Ц'хх 'У'х 'М'хх Р ^хх 'М'хх Р Сг а (3" )) ^1
<712
(Ь\)Ч2
(-^122 Ь\ {Ь\)2 + а (их ихх + ихх (7 С + и2хх Р'))£2
(тос10о,0;),
Ъ\ (ь2у
и полагаем г112 = а (и их ихх+их ихх Р— щихх-ихх F/ С?-СС') (Ь})~2 (Ь2)-1> 2122 = -о (ихихх+ иххСС + и2ххР') (Ь})-1 {Ь\)~2. Аналогично приравнивая к нулю коэффициенты формы <712 при 0о, 01 и 02, получаем выражения для и)\2) ги\2 и которые слишком громоздки, чтобы их здесь приводить. После этих нормализаций получаем ои = 0.
На следующем этапе мы анализируем формы 0°, Фг°> 0?, '0г°, и ^к■ Мы получаем ф\ = /12ап + (д1 + (Ь\)~1(С-их))^2 (пк^0о,01,£1), и полагаем /12 = 0 и 21 = - С).
Аналогичные нормализации коэффициентов ф\ при £*, ф\ при £2, ф\ при <7ц, и ф2 при ст22 дают выражения для к;^, д2, и>]2, с1 и с2 соответственно.
Далее мы анализируем редуцированные структурные уравнения. Мы получаем
с?0о = т/1 А 0о + £* А 01 + £2 А 02,
, ((ь\?^ + (су-гч„е + ч1 + са’‘-с) ,г11
а01 — 772 А 01 Н------------------тт-р-т------------------0о А £ +£ А (7ц
(Ь1Г
. и„ (С" - 2) , ,2 . (С" - 2) (И2 - о /22 <*«.) „
и0 А £ н-------------Г—2----------сУ0 А и2,
6} а 6} ^
<¿02 = 77з А 02 + £2 А а22 — -рр 0о А ^^1у2Х А 01 + вгг 0о А £2,
где 771, 772 и 773 - 1-формы на Л х ¡К, зависящие от дифференциалов координат на 1К. Нормализуем существенные (непоглощаемые) коэффициенты кручения в этих уравнениях, полагая
fn == О, «22 = О, и ¿>2 = ихх (Ь\) х. Затем нормализуем коэффициенты при в0 А и 0О Л 02 в структурном уравнении для á0i и получаем
su ■— — ((G^)2 — 2 их G' + и2х + G G" — G) (£>}) 2,’ /22 = (í^)2 а 1 ихх.
После этого структурные уравнения приобретают следующий вид:
de о = t¡i Л во + А $1 + £2 Л #2) ddi = 7?2 Л 0i + (G" — 2) во Л £2 + Л сгц;
<¿02 — 2 ?7i Л #2 — T¡2 Л 02 — во Л ^ + £2 А <Т22 > df1 = (»71 - %) A f1,*
= (V2 - Vi) Л^2;
(7 G'"
dcru = (2 772 - ?7i) A crn + 773 A f1 + —j— 0O Л £2 - 3 (G" — 1) 0i Л £2;
do22 = (3 771 - 2 772) A cr22 + 774 A £2.
Дальнейший анализ зависит от выполнения или невыполнения условия G'" = 0.
Если Gw ^ 0, то мы нормализуем коэффициент при 0О Л£2 в уравнении для dan, положив b\ = G G"'. После этого структурные уравнения приобретают вид :
dd о = Tfi Л во + Л в\ + f2 Л 02", d^i = 771 Л 01 - Р 0О Л £2 - J2 #1 Л - Л 01 Л £2 + Л (Гц;
dd2 = 771 Л 02 — 0о Л £* + J2 $2 Л + J\ 02 Л £2 + £2 Л сг22 5
<^ = ле'ле2;
^2 = ле1ле2; (9)
(¿(Тц = 771 Л сгц + 772 Л — 0о Л £2 + 3 (1 — Р) 0i Л £2 + 2 Ji £2 Л сгц *
с?сг22 = 771 Л (Т22 + 773 Л ^2 - 2 J2 f1 Л а22', dru = (Р - 1) ^ Л £2;
(¿772 = 7Ti Л + 771 Л 772 — 3 Ji 772 Л £2 + J2 во А £2 + 2 (3 J2(P — 1) — 2) 0i Л £2
+2 J2 ЗР ©2(^2) + 4) £2 Л сгц drj3 = 7Г2 Л £2 4- 771 Л 773 + 3 J2 773 Л £* + (2 ©2(^2) — 2 Ji J2 + Р — 1) ^ А ^22,
где инварианты Р, и J2 определяются равенствами:
РК) = 2 - G"(UX); Мих) = —(G(ux) Р'(их)У; J2(ux) = -Р"(их) (Р'(их))-2, (10)
оператор инвариантного дифференцирования ©2 задается формулой
D (И)
а формы 7Гi и 7Г2 появляются в результате применения процедуры продолжения структурных
уравнений.
В случае выполнения условия G"'{ux) = 0, то есть при G{ux) = к и2 + Хих + и с произвольными константами к, А и и, мы получаем структурные уравнения ;
dOo — 771 Л 0о + £* А 0i + £2 А 02)
dB\ = 772 Л 01 — 2 (1 — к) в0 Л £2 + £* Л сгц;
de2 = (2 771 — 772) Л 02 — 0о Л £* + £2 Л а22,‘
d^1 = (771 - 772) Д f1;
di2 = (772 - 771) Л£2,- (12)
da и = (2 772 - 771) Л сгц + 7/з Л f1 + 3 (2 к — 1) 0Х Л £2;
(¿(722 = (3 771 — 2 щ) Л 0-22 + Щ Л
(¿77х = (2к-1)е1ле2',
(1г}2 - (1 - 4 к) С1 л £2; с1г]3 = 7Г1 Л - (2 771 - 3 т?2) А % + 4 (3 к - 1) £2 Л <7ц-¿щ = 7Г2 л £2 + (4 771 - 3 772) А 774 + (2 к - 1) Л сг22.
Сравним структурные уравнения (9) и (12) со структурными уравнениями псевдогруппы контактных симметрий линейного гиперболического уравнения (4).
Как показано в [19], структура псевдогруппы симметрий уравнения (4) зависит от инвариантов:
„ К Л (1п \HDtx т Ри т ЩРг-Н Ри
р=н' я я = Л= яд2 ■ (13)
где Я = —Т4 + ТХ + £7 иХ = —+ ТX + и - полуинварианты Лапласа [20, § 9.3]. При выполнении условий Р(^0иР + ^ = 2 структурные уравнения псевдогруппы симметрий уравнения (4) имеют вид (9) с заменой инвариантов (10) на инварианты (13) и инвариантного дифференцирования (11) на оператор Р2 = Рг Я-1 В случае Р = ки(2 = 2 — к псевдогруппа симметрий уравнения (4) имеет структурные уравнения, идентичные уравнениям (12).
Как следует из структурной теории Картана псевдогрупп Ли ( например, [21, т. 15.22]), совпадение структурных уравнений для псевдогрупп симметрий влечет локальную эквивалентность уравнений (1) и (4) относительно псевдогруппы контактных преобразований на 72(£). При этом уравнение (1) с С'"(их) ф 0 локально эквивалентно уравнению (4) с Р* ф О, а при С(их) = к и2х + А их + V уравнение (1) эквивалентно уравнению Эйлера-Пуассона (3) в случае к Ф 0 или уравнению
Щх = —1щ — 2хих — 21хи в случае к = 0. □
Заметим, что вне зависимости от вида функции (? в уравнении (1) эквивалентное ему уравнение (4) удовлетворяет условию Р + С} = 2. Из этого условия следует, что уравнение (4) интегрируется в квадратурах с помощью ¿-преобразования Лапласа [20, § 9.3]. Действительно, рассмотрим систему
и — их — Ти, щ — Ни + Хи, (14)
определяющую это преобразование. Исключение и из этой системы дает уравнение (4), а исключение и — уравнение
Щх = (т + (1п I Я |)х) щ + X их + (Хх + и - Г, - X (1п IЯ |)ж) и
с полуинвариантами Лапласа Я = 2 Я — К + (\п\Н |)4х = (2 — Р — С}) Н и К = Я. Из условия Р + С} = 2 для уравнения (4) следует, что Я = 0. Поэтому, как легко проверить, функция
ш ^ йх - (Т + (1п | Я |),) и (15)
удовлетворяет уравнению
Юг = X и). (16)
Интегрируя уравнение (16), находим функцию и), а затем функция и находится интегрированием уравнения (15). Тогда из второго уравнения системы (14) функция и выражается
через и. Таким образом, при выполнения условия Р + <5 = 2 уравнение (4) интегрируется в квадратурах. Поэтому для эквивалентного ему уравнения (1) мы получаем следующую теорему:
Теорема 2. Обобщенное уравнение Калоджеро-Хантера-Сакстона (1) интегрируется в квадратурах.
Явный вид преобразований между обобщенным уравнением Хантера-Сакстона (2) и уравнением Эйлера-Пуассона, а также явные формулы для решений уравнения (2), приведены в [18].
ЛИТЕРАТУРА
1. Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dim and Hunter-Zheng equations. // J. Math. Phys.. V. 45, 2004. P. 2646-2655.
2. Calogero F. A solvable nonlinear wave equation. // Stud. Appl. Math. V. 70, 1984. P. 189-199.
3. Cartan E. Sur la structure des groupes infinis de transformations // Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 571-714.
4. Cartan E. Les sous-groupes des groupes continus de transformations // Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 719-856.
5. Cartan E. Les groupes de transformations continus, infinis, simples // Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 857-925.
6. Cartan E. La structure des groupes infinis. // Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 1335-84.
7. Cartan E. Les problèmes d’équivalence. // Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 1311-1334.
8. Dryuma V. On the Riemann and Einstein-Weil geometry in theory of the second order ordinary differential equations. Preprint www.arXiv.org: math.DG/0104278, 2001.
9. Fels М., Olver P.J. Moving coframes. I. A practical algorithm. // Acta. Appl. Math. V. 51, 1998. P. 161-213.
10. Fels М., Olver P.J. Moving coframes. II. Regularization and theoretical foundations. // Acta Appl. Math, V. 55, 1999. P. 127-208.
11. Gardner R.B. The Method of equivalence and its applications, Philadelphia: SIAM, 1989.
12. Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case. // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine V. 50, Part 1, 2004. P. 110 - 117.
13. Hunter J.K., Saxton R. Dynamics of director fields. // SIAM J. Appl. Math. V. 51, 1991. P. 1498 -
1521.
14. Kamran N. Contributions to the study of the equivalence problem of Elie Cartan and its applications to partial and ordinary differential equations. Mem. Cl. Sci. Acad. Roy. Belg., V. 45, Fac. 7, 1989.
15. Laplace P.S. Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles. // Mémoires de l’Academie Royale de Sciences de Paris, 1777, 341 - 401, reprinted in: Œuvres Complètes, V. 9, 3 - 68, Paris: Gauthier -Villars, 1893, english translation: New York, 1966.
16. Lie S. Gesammelte Abhandlungen, 1-6, Leipzig: B.G. Teubner, 1922 - 1937
17. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations. // J. Phys. A, Math., Gen. V. 35, 2002. P. 2965 - 2977.
18. Morozov O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter - Saxton equation and the Euler - Poisson equation. Preprint www.arXiv.org: math-ph/0406016, 2004.
19. Морозов О.И. Проблема контактной эквивалентности для линейных гиперболических уравнений. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, Т. 25, 2006. С. 119-142
20. Овсянников Д.В. Групповой анализ дифференциальных уравненийгШ.: Наука, 1978.
21. Olver P.J. Equivalence, invariants, and symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
22. Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support. // Phys. Rev. E, V. 53, 1996. P. 1900 - 1906.
23. Павлов M.B. Уравнение Калоджеро и уравнения типа Лиувилля. // Теор. мат. физ. Т. 128, 2001. С. 927-932.
24. Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces. // Stud. Appl. Math. V. 81, 1989. P. 221-248.
25. Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations. // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine V. 43, 2002. Part 1. P. 201 - 208.
26. Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations. // J. Math. Phys. V. 41, 2000. P. 5572 - 5581.
LINEARIZABILITY AND INTEGRABILITY OF THE GENERALIZED CALOGERO-HUNTER-SAXTON EQUATION
Morozov O.I.
We prove linearizability and integrability of the generalized Calogero-Hunter-Saxton equation by means of Cartan’s equivalence method.
Сведения об авторе
Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 36 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли. E-mail address: oim0foxcub.org
