Формы мауэра-картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пропустите 2 пустые страницы

Пропустите пустую страницу

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика

№ 140

УДК 514.763.8, 514.747.3, 517.956.3

ФOPMЫ MAyPEPA-KAPTAHA ПСЕВДО^УППЫ CИMMETPИЙ И HAKPЫTИE BTOPOrO HEБECHOГO УPABHEHИЯ ПЛEБAHCKOГO

О. И. МОРОЗОВ1

Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.

Мы получаем формы Уолквиста-Эстабрука накрытия второго небесного уравнения Плебанского из форм Маурера-Картана псевдогруппы симметрий этого уравнения.

Ключевые слова: симметрии, накрытия, небесная механика.

В работах [18-21] было показано, что формы Уолквиста-Эстабрука накрытий некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя независимыми переменными могут быть получены из инвариантных линейных комбинаций форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрий этих уравнений. В данной работе мы рассматриваем второе небесное уравнение [24]:

ихг и^у + ихх иуу иху 5 (1)

описывающее автодуальные метрики в теории гравитации. Первоначально оно было получено Е.Ф. Плебанским как условие совместности системы уравнений

где А — произвольная постоянная.

Совместность этой системы равносильна условию коммутативности четырех бесконечномерных векторных полей

где Dt, Dx, Dy и Dz — ограничения полных производных Dt, Dx, Dy и Dz на бесконечное продолжение уравнения (1). Такая конструкция называется накрытием, [9-12]. Двойственным

1Статья написана при частичной поддержке совместного гранта 09-01-92438-КЭ РФФИ (Россия) и Consortium E.I.N.S.T.E.IN (Италия).

1. Введение

qt (UXy Л) qx Uxx qy 5 qz Uyy qx (UXy + Л) qy 5

(2)

образом накрытия могут быть заданы с помощью дифференциальных 1-форм [25], называемых формами Уолквиста-Эстабрука. Для рассматриваемого накрытия уравнения (1) идеал форм Уолквиста-Эстабрука порожден формами

и0,0 = dqo,o — ((иху — А) 51,0 — ихх 50,1) & — 51,0 (1х — 50,1 йу

-(иуу 51,0 - (иХу + А) 50,1) йг, (3)

= 5Х&у ш0,0, г,3 > 0.

В данной работе мы устанавливаем, что форма и0,0, задающая этот идеал, может быть

получена из инвариантных комбинаций форм Маурера-Картана псевдогруппы контактных

симметрий уравнения (1).

2. Псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений

Пусть п : М” х М ^ М” - тривиальное расслоение с локальными координатами базы (х1,..., х”) и локальной координатой слоя и; 32(п) обозначает расслоение джетов второго порядка сечений п с локальными координатами (хг, и, рг,р^), г, 3 € {1,..., п}, г ^ 3. Для любого локального сечения (хг, /(х)) расслоения п через 32(/) обозначим соответствующий джет второго порядка (х*,/(х),д/(х)/дхг, д2/(х)/дхгдх^). Дифференциальная 1-форма § на 32(п) называется контактной формой, если она равна нулю на джете второго порядка любого локального сечения: з'2(/)*§ = 0. В локальных координатах любая контактная форма является линейной комбинацией форм §0 = йи — рг йх* и §* = йрг — р^- йх^, г, 3 € {1,..., п}, pjг = р^-(здесь и далее используется соглашение Эйнштейна, так что рг йхг = ^”=1 рг йхг, и т.д.) Локальный диффеоморфизм

: 32 (п) ^ 32(п),

: (х\щр^ру) !-»■ (хг,и,рьру),

называется контактным преобразованием, если для любой контактной формы $ форма также является контактной.

Рассмотрим совокупность 1-форм

\

рік і

(4)

і*?

/ —о \ ( а$0

—і & —

™і 0і —

V Е] / V %—

(5)

—о + <. 0к + ] ™к + а Вк В] 4ркі /

на 32(п) х Н, где Н С М(га+1)(га+3)(2п+1)/3 — открытое множество с координатами а, Ь], 0і, &, /], адк., гі]к, і, з, к Є {1, ...,п}, удовлетворяющими условиям

а = 0, det(6j ) = 0, /к] = /]к

кк і] ]і5

^І'к ^]ік ^ік] 5

и где через (Вк) обозначена матрица, обратная по отношению к матрице (Ьj), так что Ь Вк = £к. Как показано в [16], формы (5) являются формами Маурера-Картана псевдогруппы СоШ;(32(п)) контактных преобразований на 32(п), то есть преобразование Д : 32 (п) х Н ^ 32(п) х Н удовлетворяет условиям

А* 00 = 00, А* 0* = ©*, А*:Ё? = А* = Е^- (6)

тогда и только тогда, когда оно проектируемо на 32(п), и его проекция А : 32(п) ^ 32(п) является контактным преобразованием.

к

к

о

к

к

Структурные уравнения для форм (5) имеют вид

^—о — $0 Л —о + ™і Л —і,

^0і — $0 Л —о + фк Л —к + ™к Л >ік, (7)

— $о Л 5і - $к Л ™к + Фіо Л —о + фік Л —к,

^ — $к Л >к] - $о Л >і] + Т°. Л —о + Т* Л —к + Лі]к Л ™к,

где формы $о, $о, , Фіо, Фі], Т], Т] и Лі]к зависят от дифференциалов координат на Н.

Пусть £ — дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией и п независимыми переменными. Мы будем рассматривать £ как подмногообразие в 32 (п). Через Соп^£) обозначим группу контактных симметрий уравнения £. Она состоит из всех контактных преобразований на 32(п), отображающих £ на себя. Пусть іо : £ ^ 32(п)

— вложение, и і — іо х id: £ х Н ^ 32(п) х Н. Формы Маурера-Картана псевдогруппы Coпt(£) получаются из форм 0о — і*—о, 0і — і*—і, Сі — і*5і и о-] — і*с помощью метода эквивалентности Картана, [1-8, 23], см. детали и примеры в [6-8, 23, 13-22].

3. Псевдогруппа симметрий и накрытие уравнения Плебанского

Следуя вышеупомянутой схеме, мы находим формы Маурера-Картана и структурные уравнения для псевдогруппы симметрий уравнения (1). Первые девять структурных уравнений имеют следующий вид:

^о — П5 Л 0о + Сі Л 01 + С2 Л 02 + Сз Л 0з + С4 Л 04,

(їді = (щ - щ) А 01 - Щ Л 04 - щ л 02 + I (% - 4 щ + 2 щ + 3 о-22) А 03

+Сі Л Оіі + С2 Л 012 + Сз Л Оіз + С4 Л ОІ4, лв2 = \{щ - 2 Г]1 + 2 775) Л 02 - Г]з Л 03 + Сі Л <712 + С2 а сг22 + Сз А сг23 +С4 Л (оіз + 022 + Озз), іївї = \(г]і - 2щ + 2г]5) Л 03 - Г]2 Л 02 + Сі Л С7із + С2 Л а23 + Сз Л(733 + Сі Л О34,

(І04 = (775 — щ) Л 04 — 772 А 01 + | (?75 — 2 Г]і + 4 Щ + З СГ33) Л 02 + Сі Л (714

-(2 П2 + 2 Пз + П6 - 2 О23) Л 03 + С2 Л (013 + 022 + Озз) + Сз Л О34 + С4 Л О44,

^С1 — П1 Л С1 + П2 Л С4,

= Щ А Сі+ 1(^5 + 2 771 — 774) л С2 + 7?2 А Сз + 1 (^5-4774 + 2771 + 30-33) А Сі,

<1Ь = 1(4 771 - 2 774 - 775 - 3 (722) л Сі + Г]з л С2 + I (775 + 2 774 - 771) Л Сз

+ (2 П2 + 2 Пз + Пб - 2 02з) Л С4,

^С4 — ^з Л С1 + ^4 Л С4-

Инволютивная система структурных уравнений этой псевдогруппы приведена в Приложении. В дальнейшем изложении используются следующие формы:

£1 = Ьц йг + 614 йг,

£2 = V-1 (Ьи йх + 614 йу - (Ьи (т - 1) пХу + 614 пхх + 641 V) йг

-(614 (т + 1) Пху - Ьц Пуу + 644 V) йг),

£з = V-1 (641 йх + 644 йу + (6ц V - 641 (т - 1) Пху - 644 Пхх) йг

+(614 V - 644 (т + 1) Пху + 641 Пуу) йг),

£4 = 641 йг + 644 йг,

П1 = (644 й611 - 641 й614) (611644 - 614641 ) 1 + Г1 £1 + г2 £4,

П4 = (611 й644 - 614 й641) (611644 - 614641 ) 1 - Г1 £1 - г2 £4,

П5 = -3 V-1 йv + П1 + П4,

где 611, 614, 641, 644, V, т, г1; г2 — произвольные параметры, такие что 611644 - 614641 = 0 и

V = 0.

Непосредственной проверкой доказывается Теорема. Подстановка V = д0>0, 611 = д1;0, 614 = д0)1, т = Ап-! в линейную комбинацию

| (?7і + 774 - 775) - 6 - £4)

или подстановка V = д0>0, 641 = д1>0, 644 = д0)1, т = Ап3,у1 в линейную комбинацию

| (?7і + ?74 - 775) + Сі - Сз

дают форму д00 ^0)0, которая пропорциональна форме (3), порождающей идеал форм Уол-квиста-Эстабрука накрытия (2) уравнения (1).

Другой подход к построению форм Уолквиста-Эстабрука накрытий дифференциальных уравнений из форм Маурера-Картана их псевдогрупп симметрий был предложен в работе [22]. Мы надеемся применить этот метод к уравнению (1) в следующих работах.

Приложение

Инволютивная система структурных уравнений псевдогруппы симметрий уравнения (1):

сі0о = П5 А 0о + Сі А 01 + £2 Л 02 + Сз Л 03 + Сі Л 04,

<1вх = (775 — 771) Л 01 — 773 Л 04 — 77б Л 02 + 1(775 — 4 щ + 2 щ + З <722) А 03

+£і Л ои + £2 Л 0-12 + Сз Л о-із + Сі Л 0-14,

(І02 = 1 (774 - 2 Г]1 + 2 775) Л 02 - 773 Л 03 + Сі Л 012 + С2 л сг22 + Сз А а23

+С4 Л (оіз + 022 + 033),

dQz = |(г]1 - 2г]4 + 2г]5) Л 03 - Г]2 л 02 + Cl л сгіз + С2 л сг23 + Сз л СГ33 + С4 л СГ34,

d9 4 = (775 - Щ) А 04 - Г]2 А 01 + |(775 - 2 щ + 4 щ + 3 <733) А 02 + Сі А <7І4

-(2 П2 + 2 Пз + Пб - 2 ^23) Л 0з + C2 Л (оіз + 022 + 033) + C3 Л 034 + C4 Л 044,

dCl = nl Л C1 + n2 Л C4,

^Сг = Ve А Сі + I {Vb + 2 r]i — 774) A C2 + ^2 А Сз + I (% — 4 T]4 + 2 7]i + З СГ33) A C4,

б?Сз = 3 (4 771 — 2 774 — 775 — З СГ22) А Сі + 7]з A C2 + I (?]5 + 2 T]4 — 7]i) А Сз

+ (2 П2 + 2 Пз + Пб - 2 023) Л C4, dC4 = n3 Л Cl + n4 Л C4,

doll = nr Л 01 + n8 Л 02 + % Л 03 + nl0 Л 04 + nll Л C1 + nl2 Л C2 + nl3 Л C3 + nl4 Л C4

+ (^5 — 2 rji) А сгц — 2 г]в А СГ12 + § (775 — 4 r]i + 2 774 + 3 022) А cr13 — 2 773 A <714,

doi2 = nr Л 02 + nio Л 03 + П12 Л Ci + (2 nr - По) Л C2 + Пі5 Л C3 + Піб Л C4 - (Пз + Пб) Л 022

+ |(2 775 + 774 - 5 771) А о" 12 — 2 773 А стіз + I (775 + 2 774 — 4 771 + 3 ст2 2) A (723 - Щ A <733,

doi3 = (ni5 - П8 - П10) Л 02 - nr Л 03 + Піз Л Ci + П15 Л C2 + (піб - 2 nr + По - Піз) Л C3

+7717 A C4 - 772 A (712 + I (?75 — 771 — 774) A (713 - 776 A (723 - m A (734 + 1(775 - 4 771 + 2 774 + 3 (722) A (733,

dol4 = (п15 - n8 - п10) Л 0l + (п1б + % - п13) Л 02 - n8 Л 03 - nr Л 04 + п14 Л C1 + п1б Л C2

+7717 л Сз + 7718 л C4 - 772 A (7n - 1(775 - 2 771 + 4 774 - 3 <733) A <712

-2 (П2 + Пз + Пб - 023) Л 013 + (п5 - Пі - П4) Л - Пб Л (022 + 033)

+ 1 (^75 4 771 + 2 774 + 3 (722) Л (734 — 773 Л (744,

d022 = (2 nr - По) Л Cl - П10 л C2 + nr Л C3 + (2 П15 - 2 nio - П8) Л C4 - 2 Пз Л 023

+ | (775 - 4 771 + 2774) Л (722, d023 = Пі5 л Cl + nr Л C2 + (ni5 - П8 - nio) л C3 + Піо Л C4 - П2 Л 022 - Пз Л 033

+ 3 (^5 — 771 -774) Л (723, d^33 = (піб - 2 nr + По - Піз) Л Ci + (ni5 - П8 - П10) Л C2 + (піо + Пг - По + Піз - Піб) Л C3

+7720 А С4 - 2 772 А (723 + І (775 + 2 771 - 4 774) А <733, d^34 = (nr - По + Піз - Піб + Піо) Л 02 + (п8 + П10 - П15) Л 0з + nir Л Ci + Піо Л C2 + П20 Л C3

+7721 A С4 - 2 772 А (7із - 772 А (722 - І (775 - 2 Г]і + 4 774) А (723

— (з 772 + 2 77з + 776 — з (723) л (733 + 1 (2 775 + 771 - 5 774) А <734,

d044 = (nr - по + Піз - Піб + піо) л 01 + (П20 - 2 (п8 + П10 - П15)) Л 02 + Пі8 Л Ci

-(По - Піз + Піб) Л 0з + (п8 + nio - П15) Л 04 + (п20 - П8 - 2 nio + 2 П15 + Піг) Л C2

+7721 А Сз + 7722 А С4 - § (775 + 2 771 - 4 774 + 6 (733) Л (стіз + а33) - 2 772 А (7М

— І (775 + 2 771 — 4 774 + 6 (733) А (722 - 2 ( 776 + 2 (772 + 77з - С723)) А (734

+ (П5 - 2 П4) Л 044,

dni = nr Л Cl + (ni5 - П8 - nio) Л C4 + П2 Л Пз,

dn2 = (пі5 - П8 - nio) Л Cl + (niQ + nr - По + Піз - Піб) Л C4 + (пі - П4) Л П2,

dn3 = П10 Л Ci - Пг Л C4 + (П4 - Пі) Л Пз ,

dn4 = (П8 + nio - Пі5) Л C4 - Пг Л Ci - П2 Л Пз,

dn5 = О,

(іщ = щ/\іі + (г)7 - 778 - Г} ю + 7715) а Сз + (Г] 9 - 7713 + г]іб) Л £4 + |(т7е - 4 772 - 2 773) Л 771

+ 1 (2 774 + 775 + 3 (722) А 772 + 1(775 - 4 774 + 3 (733) Л 773 — |(774 — 775) Л 776,

ІП7 = П23 Л Сі + П24 Л Сі + П7 Л Пі - Піо Л П2 + 2 (Пі5 - П8 - Піо) Л Пз,

Лщ = Т]25 А £і + 7723 л £2 + 7?24 А £3 + 7726 А £4 — | (2 778 + 5 77ю — 4 7715) Л 771 + 772 Л 779

+2 (779 - 7713 + 77іб) Л 773 + 1 (5 778 + 8 7710 - 4 7715) Л 774 + § (773 + 7710 - 2 7715) Л г]5

-Пб Л П7 + 2 (П8 + Піо - Пі5) Л 022 - Піо Л 033,

(ІЩ = 7727 А 6 + 7728 А £2 - 7723 А £з “ 7725 А £4 - | (12 Г]7 + 7 77д) Л 7?1 — (3 7?8 + 2 ц10) Л Щ

+77ю А (?7б + 2 (723 - 2 772) + | (3 77т - 779) Л 774 + |(3 777 - 779) Л 775 + 3 777 Л а22,

ІПіо = П28 Л Сі - П23 Л С4 + Піо Л (2 Пі - П4) + 3 Пз Л П7,

ІПіі = П23 Л 0і + П25 Л 02 + П27 Л 03 + П28 Л 04 + П29 Л Сі + Пзо Л С2 + Пзі Л Сз + П32 Л С4

+ (3 Піі + 4 Піз) л Пі + 3 Пі4 л Пз - 2 Піз Л П4 - (Піі + Піз) Л П5 +3 (Пі2 Л (Пб + П8) - П7 Л оіі - П9 Л оіз - Піо Л ом - Піз Л 022),

ІПі2 = П23 Л 02 + П28 Л 03 + Пзо Л Сі + (2 П23 - П27) Л С2 + (П24 + П25 + П28) Л Сз

+ (7726 - 7727 + 7731) А £4 + I (7712 + 7715) А 771 + (7713 + 2 г]16) Л 773 - | (7712 + 4 7715) Л 774 (7712 + 7715) Л 775 + 2 (2 777 - 779) Л 776 - 3 777 Л (712 - (778 + 7710 + 2 7715) Л (722 -П9 Л 023 - Піо Л (3 0із + 033),

ІПіз = П24 Л 02 - П23 Л 03 + Пзі Л Сі + (П24 + П25 + П^) Л С2 - (2 П23 - П2б) Л Сз + Пзз Л С4

-|(16 777 + 8 779 - 3 7713 + 8 77іб) Л 771 + 7712 л 772 + 2 щ7 Л 773 + 1 (4 777 - 2 779 + 3 7713 - 2 7716) Л 774 + | (2 777 - 779 - 7716) Л 775 + 2 7715 Л (щ - сги)

+П7 Л (0із + 4 022) + П8 Л (2 0і2 - 023) - П9 Л (2 022 + 033) + Піо Л (2 0і2 - 034)

+2 (піз - Піб) Л 022,

іпі4 = П24 Л 0і + П26 Л 02 - П25 Л 0з - П23 Л 04 + Пз2 Л Сі + (п2б - П27 + Пзі) Л С2 + Пзз Л Сз

+7734 а £4 + | (7712 + 3 7714 + 4 7717) Л 771 + (7711 + 2 7713) Л 772 + 2 (7713 + 77і8) Л Щ (4 7712 - 3 7714 + 4 7717) А 774 + | (7712 - 3 7714 - 2 7717) Л Щ + (7713 + 2 77і6) Л Щ

+П7 Л 0і4 + П8 Л (2 0іі + 0і3 - °22 - 033) - П9 Л (2 0і2 + °34) + Піо Л (2 0іі - 044)

+Пі2 л 033 + 2 ((піз + Піб) л 0і2 - Піз Л 023 - Пі5 Л 0П - Пі7 Л 022),

^7715 = (7724 + 7725 + 7728) А £1 + 7723 А £2 + 7724 Л £3 + 7735 А £4 — | (778 — 77ю + 2 7715) Л 771

+ (2 777 - 779) Л 772 - (2 777 - 779 + 7713 - 7716 - 7719) Л 773 + 1(2 (778 + 7710) - 7715) Л 774 + | (778 + 7710 - 2 7715) Л 775 - 776 Л 777 + 2 (778 + 77ю - 7715) Л (722 - 77ю А <733, іпіб = П24 л 02 - П23 л 03 + (п2б - П27 + Пзі) Л Сі + (2 П24 + П25) Л С2 + П35 Л Сз + Пзб Л С4

+ 1(4 777 - 2 779 + 5 7716 + 4 7719) л Г]1 + (7712 + 2 7715) Л 772 - (оъ + 2 <733) А г]7 -(778 + 2 7710 - 4 7715 - 2 7717 - 7720) Л 773 - | (4 777 - 2 779 - 7716 + 7719) Л 774 + | (2 777 - 779 - 2 7716 - 7719) Л 775 - (778 + 2 7710 - 3 7715) Л ?7б - (2 <712 + <723) А Щ + (022 + 033) Л П9 - (2 0і2 + 034) Л Піо + (Піз - Піб - Пі9) Л 022 - 2 Пі5(Л0і2 + 023),

іПі7 = (П23 - П2б + П35) а 02 - П24 Л 0з + Пзз А Сі + П35 А С2 - (2 П24 + П25 + Пзз - Пзб) А Сз

+7737 а £4 + І (7715 + 7717 + 2 7720) А 771 - (4 777 - 2 779 + 7713 - З г}16) Л г]2

— (4 777 — 2 779 + 2 7713 — 2 7716 — 7721) А 773 — І (4 7715 — 5 г]п + 2 7720) А 774 + 1 (7715 - 2 7717 - 7720) А 775 - (2 777 - 779 + 7713 - 7716 - 7719) А 77б - ((7і2 + 3 <723) л щ

+ (<712 - 4 <723 - 2 О34) Л П7 - (013 - 022 - 2 033) Л П8 - (013 + 022 + 033) Л Пю + (012 - 3 023) Л П13 + (013 + 022) Л П15 - (012 + 3 023) Л П16 - П19 Л 012 - П20 Л 022, (П23 - П26 + П35) Л 01 - (П25 + П33 - П36) Л 02 - П26 Л 03 - П24 Л 04 + ^34 Л £1

+т?зб Л £2 + Щ7 Л £з + т]з$ Л £4 + | (4 Г]16 + 3 г]is + 4 г]2\ ) Л щ + 2 (7714 + 2 7717) Л 772

+ (4 7717 + 7722) Л 773 — | (4 77i6 + 3 7718 - 7721) Л 774 + |(2 7716 ~3г]18~ r]2i) А Щ

-(П8 + 2 П10 - 2 П15 - 3 П17 - П20) Л Пб - П7 Л (011 - 2 044) + П8 Л (2 012 + 014 + 2 034)

+П9 Л (011 - 013 - 2 022 - 2 033) + П10 Л (2 012 + 014) - П15 Л (2 012 + 014)

-П13 Л (011 - 013 - 2 022 - 2 033) + П16 Л (011 - 013 - 2 022) - 4 П17 Л 023 - П19 Л 0ц -П20 Л 012 - П21 Л 022, dr]w = 7735 Л Cl + 7724 л 6 + (7723 - 7726 + 7735) л £3 + 7739 л £4 + 1(2 777 + 7719) Л 771

-(3 778 + 4 7710 - 5 7715) Л 772 - (2 778 + 2 7710 - 2 7715 - г]20) Л 773 - § (777 - 7719) Л 774 + | (V7 - Via) А 775 - (778 + 77ю - 7715) Л 776 - 777 Л (<722 - 2 <733)

+2 (П8 + П10 - П15) л 023 + (П9 - П13 + П16 - П19) л 022, dn20 = (П36 - 2 П24 - П25 - П33) Л £1 + (П23 - П26 + П35) Л £2 - (П9 - П13 + П16 - 4 П19) Л П2

+ (7724 + 7725 + 77зз - 7736 + 7739) А £з + 7740 А £4 - | (778 + 77ю - 7715 + 7720) Л Г]1 +2 (777 - 779 + 7713 - 7716 + 7719) Л 773 + 1(4 (778 + 7710 - 7715) + 7 7720) л 774 (% + 7710 - 7715 + 7720) А 775 + (777 - Г]д + 7713 - 77i6 + 77ig) Л Г]6 -4 (П7 - П9 + П13 - П16 + П19) л 023 - 3 (П8 + П10 - П15) Л 033,

dn21 = (П24 + П25 + П33 - П36 + П39) Л 02 - (П23 - П26 + П35) Л 03 + П37 Л £1 + П39 Л £2

+7740 Л £3 + 7741 Л £4 + | (4 7719 — 7721) Л Г]\ — (778 + 2 7710 — 2 7715 — 3 7717 — 5 7720) А 772 (*719 - 7721) л (4774 - 775) - (777 - 779) Л (3<713 + 2 <722 + 2 <733) + 778 Л (2 <723 “ 3 <734)

+ (П10 - П15) Л (2 023 - 3 034) - (П13 - П16) Л (3 013 + 2 022 + 3 033)

-П19 л (3 013 + 2 022) + П20 л (4 П3 + 2 П6 - 5 023),

d^22 = (п24 + п25 - п36 + п33 + ^39) Л 01 + (2 (^23 - ^26 + ^35) + ^40) Л 02 - 3 (^7 + ^19) Л 014

+ (П25 + П33 - П36) Л 03 - (П23 - П26 + П35) Л 04 + П38 Л £1 + (3 П18 + 2 П21) Л П2 + (2 п23 - п26 + 2 п35 + п37 + п40) Л £2 + ^41 Л £3 + ^42 Л £4 + 3 ^21 Л (2 ^3 + ^6 - 2 023)

-2 (п8 + 2 (п10 - п15) - п17 - п20) Л П1 + 3 (п9 - п13 + п16) Л (014 + 034)

+ (4 (П8 + 2 (П10 - П15) - П17 - П20) + 3 П22) л П4 + 3 П17 Л 033 - 3 П20 Л (013 + 022)

-(П8 + 2 (П10 - П15) - П17 - П20 + П22) Л ^5 + 3 ^8 Л (2 (013 + 022) + 033 - 044)

+3 (П10 - П15) Л (2 013 + 2 022 - 044).

ЛИТЕРАТУРА

1. Cartan E. Sur la structure des groupes infinis de transformations // ffiuvres Completes, Part II, vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, p. 571-714.

2. Cartan E. Les sous-groupes des groupes continus de transformations // ffiuvres Completes, Part II, vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, p. 719-856.

3. Cartan E. Les groupes de transformations continus, infinis, simples // ffiuvres Completes, Part II, vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, p. 857-925.

4. Cartan E. La structure des groupes infinis // ffiuvres Completes, Part II, vol. 2, Paris: Gauthier -Villars, 1953, p. 1335-1384.

5. Cartan E. Les problemes d’equivalence // ffiuvres Completes, Part II, vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, p. 1311-1334.

6. Fels M., Olver P.J. Moving coframes. 1. A practical algorithm // Acta Appl. Math., 1998, vol. 51, p. 161-213.

7. Gardner R.B. The Method of Equivalence and its Applications, Philadelphia: SIAM, 1989.

8. Kamran N. Contributions to the study of the equivalence problem of Elie Cartan and its applications to partial and ordinary differential equations. Mem. Cl. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, vol. 45, Fasc. 7.

9. Krasil’shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Appl. Math., 1984, vol. 2, p. 79-86.

10. Krasil’shchik I.S., Lychagin V.V., Vinogradov A.M. Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations. -N.Y.: Gordon and Breach, 1986.

11. Krasil’shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math., 1989, vol. 15, p. 161-209.

12. Krasil’shchik I.S., Vinogradov A.M. (eds.): Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics. Transl. Math. Monographs 182, -Providence: Amer. Math. Soc., 1999.

13. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // J. Phys. A, Math., Gen., 2002, vol. 35, p. 2965 - 2977.

14. Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan’s equivalence method. // Proc. of the Fifth Conference ’’Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” ,23 - 29 June 2003, Kyiv, Ukraine, 2004, Part 1, p. 196-203.

15. Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan’s method: survey of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, vol. 1, paper 006.

16. Морозов О.И. Проблема контактной эквивалентности для линейных гиперболических уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 2006, т. 25, p. 119-142.

17. Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный Вестник МГТУ ГА, сер. ’Математика и физика”, No 114 (4), 2007, с. 34-41.

18. Morozov O.I. Maurer-Cartan forms for symmetry pseudo-groups and coverings of differential equations // Proceedings of the International Conference ’Symmetry and Perturbation Theory-2007” , Otranto, Italy, 2-9 June 2007. Eds. G. Gaeta, R. Vitolo, S. Walcher. World Scientific, 2007, p. 148-155.

19. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Appl. Math., 2007, vol. 99, p. 309-319.

20. Morozov O.I. Cartan’s structure theory of symmetry pseudo-groups, coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acta Appl. Math., 2008, vol. 101, p. 231-241.

21. Morozov O.I. Cartan’s structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified disper-sionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Appl. Math., 2009 (in print).

22. Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-group and coverings of the r-th modified dispersionless Kadomtsev - Petviashvili equation, www.arxiv.org, 0809.1218.

23. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. -Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

24. Plebanski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, vol. 16, p. 2395

- 2402.

25. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys., 1975, vol. 16, p. 1-7.

MAURER-CARTAN FORMS OF THE SYMMETRY PSEUDO-GROUP AND THE COVERING FOR PLEBANSKI’S SECOND CELESTIAL EQUATION

Morozov O.I.

We derive Wahlquist-Estabrook forms for the covering of Plebanski’s second celestial equation from its symmetry pseudo-group Maurer-Cartan forms.

Сведения об авторе

Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 42 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли.