CC BY
47
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия Математика и Физика
№ 91(9)
УДК 514.763.8, 514.747.3, 517.956.3
ГЕОМЕТРИЯ КЛАССА УРАВНЕНИЙ АБЕЛЯ И МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КАРТАНА
О. И. МОРОЗОВ
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором
Красильщиком И. С.
На примере уравнений Абеля излагается подход к нахождению псевдогрупп преобразований эквивалентности и изучению структурных свойств классов дифференциальных уравнений с помощью метода Картана.
1. Введение
При изучении дифференциальных уравнений часто встречается ситуация, когда объектом исследования является целый класс уравнений некоторого данного типа. При этом возникает вопрос — когда одно уравнение из этого класса эквивалентно другому уравнению из этого же класса, то есть может быть приведено к нему с помощью некоторого преобразования координат. В общем случае ответ на этот вопрос зависит от класса допустимых преобразований. Например, всякое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка их = /(ж, и) может быть (локально) преобразовано во всякое другое уравнение vt = g(t,v) с помощью подходящей замены переменных х = p(t,v), и = q(t,v), в то время как уравнение Риккати их = и2 + F(x) не может быть преобразовано в линейное уравнение vt = a(t) v + b(t) с помощью замены вида х — p(t), и — q(t) v + r(t).
Естественным выбором множества допустимых замен переменных при фиксированном классе дифференциальных уравнений является псевдогруппа его автоморфизмов, иначе называемая (псевдо)группой преобразований эквивалентности, [1, § 6.4], или (псевдо)группой структурной инвариантности, [2], то есть множество локальных диффеоморфизмов, содержащее тождественный диффеоморфизм и замкнутое относительно композиции, обращения и сужения области определения, [3], причем каждый из этих диффеоморфизмов переводит всякое уравнение из заданного класса в уравнение этого же класса.
При фиксированном множестве замен координат решение задачи эквивалентности формулируется в терминах дифференциальных инвариантов — два уравнения при некоторых дополнительных условиях регулярности эквивалентны относительно данного множества преобразований тогда и только тогда, когда функциональные зависимости между дифференциальными инвариантами этих уравнений совпадают.
В работе [4] предложен метод для нахождения группы структурной инвариантности классов дифференциальных уравнений. Этот метод основан на использовании расширенных преобразований и их инфинитезимальных генераторов и включает в себя анализ совместности и интегрирование переопределенных систем уравнений в частных производных.
В данной работе предложен подход, основанный на методе эквивалентности Картана [5-8] для нахождения инвариантных форм и структурных уравнений псевдогрупп автоморфизмов классов дифференциальных уравнений. В отличие от инфинитезимального метода, метод Картана использует только операции линейной алгебры и дифференцирования, и не требует интегрирования переопределенных систем уравнений в частных производных.
Предлагаемый подход рассматривается на примере класса А уравнений Абеля, [9; 10,
§ 4.10],
их = /з(з) и* + /г(г) и2 + /г(х) и + /о(х). (1)
Уравнения Абеля образуют простейший класс нелинеаризуемых уравнений первого порядка, при этом уравнения такого вида часто встречаются в различных физических приложениях [11-13]. Условия эквивалентности двух уравнений из этого класса представляются в виде условий инвариантности набора дифференциальных 1-форм, что позволяет применить метод эквивалентности Картана [5-7] и найти все дифференциальные инварианты псевдогруппы автоморфизмов. Ранее дифференциальные инварианты уравнений Абеля другими методами исследовались в работах [14-17, 2].
2. Структура псевдогруппы автоморфизмов класса уравнений Абеля
Для применения метода эквивалентности Картана к нахождению структурных уравнений псевдогруппы АЫ(А) автоморфизмов класса А уравнений Абеля (1) нужно выразить условие принадлежности локального диффеоморфизма А : (х, и) (х, й) к АЫ(А) в терминах дифференциальных 1-форм. В соответствии с подходом работы [4] введем новые независимые переменные и)0, -шх, ги2, ги3 и представим уравнение (1) в виде объединения двух систем дифференциальных уравнений — основного уравнения
их = ™3 и3 4- и)2 и2 + и + и>0 (2)
и вспомогательной системы
Щ,и = 0, 1и11и = 0, ги2,и = 0, го3,„ - 0. (3)
У уравнения (2) неизвестными являются и, гу0, Щ, и>2 и ги3, а независимой переменной является х, в то время как у системы (3) неизвестными являются г^о, гУх, го2 и ги3, а независимыми переменными ЯВЛЯЮТСЯ X И и. Всякое решение системы (3) имеет ВИД и)о = /о(ж), 1^1 = Л (ж), и>2 = /2(я), Мз — /з(я)- При подстановке этих равенств в (2) получается уравнение (1). Отметим, что уравнение (2) и система (3) в совокупности не могут рассматриваться как единая система дифференциальных уравнений, тем не менее к ним можно применять локальные диффеоморфизмы вида А : (х,и,ги0,го1,и>2,ги3) *-> (х,й,ги0, го2,й73). Тогда условия того, что
А является автоморфизмом класса уравнений Абеля, может быть представлено следующим образом: (¿) А является проекцией отображения А; (11) А сохраняет систему (3), то есть из (3) следуют равенства Ш0)ц = 0, = 0, гу2,й = 0 и гйзд = 0; (Ш) А сохраняет уравнение (2),
то есть из (2) следует равенство % = Ш3 й3 + гП2 й2 + г«1 и 4- Шо-
Условие (и) равносильно равенствам
з
(Шг - Рг с1х = 0 = У] ^ ((1и)у — Pj (1х), г € {0, ..., 3},
3=0
Где ро, ..., р3 - новые независимые переменные, параметры е {0,3} удовлетворяют
неравенству сМ^) ф 0. Условие (¿11) равносильно равенству
(Ш — (гй3 й3 + Ю2 й2 + й + гВ0) с[х — в = а ((1и — (и>3 иг + ги2 и2 + и + ги0) ¿х),
где параметр а удовлетворяет неравенству а ф 0. С учетом этого требования условие (1) равносильно условию
с£ё = £ = Ьс?:е + с (<1и — (ъиз ь? + и2 + и Л- ги0) (1х), где параметр Ь удовлетворяет неравенству 6^0.
Дополним формы 9, £, Сі, і Є {0, ...,3} формами
сті = г і сіх + гі ((їй - (ги 3 г¿3 + ги2 и2 + гух и + г^о) сіх) + ^ (% (dwj - Pj (їх) + /іу фл),
і=о
такими что <іе1;(Ліл-) ф 0. Формы 0 = {0,£, Сі>°і) | г Є {0, ...,3}} заданы на М х (?, где М
— открытое подмножество в Е10 с локальными координатами (х,и,ю^,р^, Є - группа Ли, состоящая их невырожденных блочно-треугольных матриц вида
/
V
о
ь
о
Гі
о
о
Qij
Vij
о \ о о
hij j
При всяком выборе параметров группы (3 формы 0 образуют базис в А1(М). Эти формы являются поднятым корепером, [7], псевдогруппы АиЬ(Л). Для построения форм Маурера-Картана этой псевдогруппы применим метод эквивалентности Картана [5, 7]. На первом этапе выражаем дифференциалы (19, (Щ, (¿Сг, ¿(7» через 9, £, С», о* и дифференциалы параметров группы (7, а затем применяем процедуры абсорбции и нормализации кручения [7]. Например, так как
з з
(19 — (1а а-1 Л 9 + Ь~х (3 ги3 и2 + 2 ги2 и + ги\) £ Л 9 — а
к=0 1=0
где (С}ц) —- обратная матрица для матрицы (^), то абсорбция коэффициента кручения при £ Л 9 в правой части этого уравнения получается введением формы <р = ¿а а~г + (3 и2 + 2 юг и + гих) Ь~1 £, в то время как коэффициенты при С/ А £ являются существенными коэффициентами кручения. Мы можем нормализовать их, положив з
об-1 ^ ик = -¿0!,
к=о
что приводит к равенствам qok = —аЬ~1 ик, к € {0,3}. Тогда первое структурное уравнение получается в виде <19 = р Л 9 — £ Л Со- Аналогично абсорбция и нормализация кручения проводится в уравнениях для (¿£, (1С,г, (1аг. В результате получаем, в частности, следующие выражения для параметров группы (?: а = гу3 (3 ги3 и 4- Ь = (3 ги3и + гУг)2«;^1, с = 0,
¿0 = *1 = *2 - = о
(Qij) ~~
( ab 1 О 0
V 0
ab 1 и Ь~1 0 0
ab 1 и2 2 Ь~г и 2 а"1Ь-1 О
аЬ-1 и3 3 6-1 и2 6 а-1 ¿Г1 и а~2 ft-1
\
= b~l q^. Выражения для г3 и через и п wt слишком громоздки, чтобы выписывать их здесь полностью. Переменные го, Г\ и гг — оставшиеся свободными параметры группы G. Окончательно структурные уравнения псевдогруппы Aut (Л) получают вид
dO = ((§ ~ 3 J) £ + Со - \ Ci + Сз) Л г},
# = (60-С2-Сз) л£,
¿Со = (—9 0 + (| — 6 J) £ + | Сг + 2 Сз) Л Со + 0 Л Ci ~ (Сз + ^о) Л £, dCi = (~60 + (| — 3 J) £ + Сг + Сз) Л Ci + Ö Л Сг ~ Л £,
¿Сг = 3 (Сг + 2 Сз) Л 0 — (Гг Л £,
^Сз = ((3^-|)Сз-^з)А£,
dcro — 7Ti Л £ + ((у — 9 J) Со + 15 Сз + 15 ö-q — (Ti) Л 0 + (3 Сх + 2 ^ Со
+(§ С2 + 3 Сз) Л сг0 + | С2 А Сз,
da\ = 7Г2 А £ + ((9 J — §)0 + ЗСо + | ^2) Л Ci — (Со + 2<7х) Л С2 — 2 (6# — Сз) Л <7i +0 Л 02>
(/<72 = тгз Л £ 4- ((| — 9 J) Сг + 9 (J2 + б 03) Л 0 + (3 Со ~ ^г) Л Сг + (6 Со — с2) А Сз,
daz = — 5 тг3 Л f -f (3 J (27 J — 2) £ — (9 J + §) Сз + 6 ^з) Л 9
+ ((9 J — |) Cl + 3 Сз — 0^1 — (3 J — |) <72) Л £ + (3 Со — Cl + 2 ^2) Л Сз + С2 Л <73, где функция J = (9(w3p2 -W2P3- wi w2w3) + 27гу0гу3 + 2^) 27“1 (Зад3 и + w2)~3 является инвариантом этой псевдогруппы. При этом
dJ = — 9 J 9 — Со + - Ci + (J — §7) С2 — | <72 — I сг3,
поэтому других инвариантов у Aut(A) нет. Формы 7Ti, 7г2 и 7г3 линейно выражаются через
дифференциалы оставшихся параметров го, гi и г2 группы G и формы из 0, причем структурные уравнения не меняются при замене форм 7Гг, 7Г2 и 7Г3 на формы TTi -Ml £, 7Г2 + ¿2^ И яз + ¿з£, где ^1, ¿2 и ¿3 — произвольные параметры. Количество таких параметров = 3 является [7, опр. 11.2] степенью неопределенности поднятого корепера 0. Из структурных уравнений следует, что редуцированные характеры [7, опр. 11.4] равны s[ = 3, s'2 = s'3 = ... = s'10 = 0, поэтому для поднятого корепера © выполнено условие инволютивности Картана. Тем самым преобразование А принадлежит Aut(A) тогда и только тогда, когда некоторое
его продолжение А : (x,u,Wi,Pi,rk) М- (x,ü,w\,р{,гк), * € {0,3}, k G {0,1,2} сохраняет
формы из 0,
Д*0 = 0, ДЧ = £, A*Ci = Ci, A*äj = crj, i e {0..........3}.
Поэтому формы 9, f, Ci, Ci, г 6 {0, ...,3} являются формами Маурера-Картана псевдогруппы Aut(A).
3. Проблема эквивалентности для класса уравнений Абеля
При известной псевдогруппе Aut (А) задача эквивалентности двух уравнений из класса А формулируется следующим образом: найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование А переводило кривую х (wq(x), W\(x), w2(x), w3(x)) в кривую х ь> (Щ(х),wi(x),w2{x),w3(x)). Решение этой задачи при известных формах Маурера - Картана псевдогруппы Aut (А) может быть получено методом работы [8], см. также [5]. Для этого рассмотрим ограничение форм 0 на кривую 7 : X —> R4, заданную на некотором интервале I с R изменения переменной х формулами wi = /¿(ж), г € {0, ...,3}. Эти ограничения являются линейно зависимыми формами. Коэффициенты, выражающие эти линейные зависимости, являются инвариантами всех преобразований, переводящих кривую 7 в кривую 7. Мы можем нормализовать эти инварианты, приравняв их некоторым константам. Например, так как 7* С3 = (р3 — /3) (3 /3 и-\- f2)~2 7* £, то мы полагаем р3 = /3. Далее мы последовательно получаем
7*Сг = (/>2 -/2) (3/з м +/2)-3 74 =► P2 = f2,
7*Ci = (Pi ~ /0 (3/3« +/г)-474 => Pi = /1,
7* Со = (Po -Л) (3/з^ + /2)_57Ч => Ро = /о-
Затем, нормализуя 7* а0 = 0, 7* о\ — 0, 7* <т2 = 0, получаем соответственно г0 = /| (/о + /Г и + Я и2 + /3 и3) (3 /з и + Л)“3, = /| (/{' + 2 Я и + 3 Я и2) (3 /3 и + /2)~4, г2 = /3 (2 Я +
б Я и) (3 /з и + /2) 5, и далее, нормализуя 7* 7гх = 0, 7* 7г2 = 0, получаем выражения для tx и ¿2 через и, /о, /3, и их производные до третьего порядка включительно. Эти выражения
слишком громоздки, чтобы приводить их здесь полностью.
Функция 7* J — Ф(3/з и + /2)_3, где в соответствии с [10, § 4.10] введено обозначение Ф = з (/з /2 — /2 Я ~ /1 /2 /з) + /о /з + ^ /2> является инвариантом преобразований, переводящих 7 в 7. Дальнейшие нормализации зависят от выполнения или невыполнения на X условия Ф = 0.
Обозначим через В подкласс уравнений из А, для которых выполнено условие Ф = 0 на X. Этот подкласс не пуст — к нему принадлежат уравнения Бернулли
их = f3(x) и3 + fi(x) и. (4)
Для уравнения из В мы нормализуем 7* 7Г3 = 0, выразив i3 через и, /0,..., /з и их производные до третьего порядка включительно. Получаем 7* & = 0, 7* <7, = 0 и формы
#1 = 7* в = /з (3 /з и + /2)-1 (du - (/3 и3 + /2 и2 + /1 + /о) (¿ж) ,
^2 = 74 = (3 /з и + /2)2 /з-1 dx, (5)
удовлетворяющие структурным уравнениям
ddx = -§ #1 А д2, dd2 = 6 г?1 А $2.
При этом 7* J = 0, и на В псевдогруппа Aut(A) не имеет непостоянных инвариантов, поэтому она действует на В транзитивно. Тем самым доказана
Теорема 1. Псевдогруппа Aut(A) действует инвариантно и транзитивно на подклассе В. Всякое уравнение из этого подкласса может быть приведено преобразованием из Aut(A) к уравнению Бернулли (\). Для каждого уравнения 8 G В пересечение Lie(£)C\Aut(A) его бесконечномерной псевдогруппы симметрий Ые(£) с псевдогруппой Aut(A) является двумерной группой JIu с формами Маурера-Картана (5).
Замечание 1. Явный вид преобразования из Aut(A), переводящего уравнение (1), для которого Ф = 0, в уравнение Бернулли
Vx = /3(я) V3 + (fi(x) f3(x) - I /22(х)) if six))-1 V, имеет вид v = и+\ /2(ж) (/з(я))-1, ср. [10, § 4.10].
Рассмотрим уравнения из А\В. Так как все отображения локальны, то, сужая при необходимости J, можно считать, что Ф(:г) ф 0 при всех х 6 X. Тогда возможна нормализация и = | (ф1/3 — /2) /-1, при которой 7* J = 1. Далее нормализуем 7*7Гз = 0, выражая t3 через и, /о, ... , /з и их производные до третьего порядка включительно, и получаем
,9 = 7*£ = Ф2/3 f-'dx, 7*0= J (Ф-28)0, 7* о3 = —3 (Ф — 28) $,
где в соответствии с [10, § 4.10] обозначено Ф = (/з Ф' — (3 Я + 3 /1 /з — /|) Ф) Ф-5/3, 7* Q = 0, г € {0,..., 3}, 7* (Tj = 0, j 6 {0,1,2}, 7* 7Г^ = 0, к € {1,2,3}. Тем самым функция Ф является дифференциальным инвариантом сужения Aut(A) на А\В. Все остальные дифференциальные инварианты получаются из Ф применением оператора инвариантного дифференцирования = щ = /3 Ф-2/3 определяемого равенством dh = Bx(h) $ для произвольной функции h = h(x).
При этом возможны следующие случаи: Ф = Л = const, и тогда все остальные дифференциальные инварианты равны нулю, и Ф ^ const, и тогда Рг(Ф) = L(Ф) для некоторой
функции L : К —> К, называемой классифицирующей функцией, причем все остальные дифференциальные инварианты выражаются через Ф, L, и ее производные. Тогда из результатов метода Картана (см., например, [5, теор. 14,24}) следует
Теорема 2. Два уравнения из А\В эквивалентны относительно Aut(A) тогда и только тогда, когда классифицирующие функции L для них совпадают. В частности, два уравнения из А\В с постоянными значениями инварианта Ф эквивалентны тогда и только тогда, когда эти постоянные значения совпадают. Для уравнения £ £ А\В с Ф = Л = const пересечение Lie(£) П Aut(A) его бесконечномерной псевдогруппы симметрий с Aut(A) является одномерной группой JIu с формой Маурера-Картана д. Для уравнения £ G А\В с Ф ф const пересечение Lie(£) П Aut(A) состоит из тождественного преобразования.
Замечание 2. Преобразование w = | (3 /з(^) и + /2(2)) (Ф(ж))-1/3 приводит уравнение (1) из А\В к виду wx = (Ф(х))2/3 (/3 (х)) 1 (W3 + Ф(ж) w 4- 1). Поэтому при выполнении условия Ф(:г) = А = const получается уравнение с разделяющимися переменными
wx = (Ф(х))2/3 (/з(ж))-1 (w3 + Л w + 1) ,
ср. [10, § 4.10].
Замечание 3. Решение задачи эквивалентности для уравнений из А\В может быть переформулировано следующим образом: уравнение (1) из А\В эквивалентно уравнению
üx = J3(x)ü3 + J2{x)ü2 +J1(x)u + J0(x)
из А\В относительно Aut (А) тогда и только тогда, когда одновременно выполнены следующие условия:
Щх) = Щх), (6)
Ш (7)
ф2/3^ (1х Ф2/3(ж) дх
Проблема эквивалентности для класса уравнений Абеля ранее изучалась в работах [15-17]. Формулировка ее решения в работе [15] отличается от вышеприведенной только обозначениями. В работах [16,17] для уравнения (1) из подкласса А\В предложена рациональная нормальная форма
их 4- д(х) и3 + Ь(х) и -I-1 = 0, (8)
для уравнения Абеля в такой форме доказано, что преобразования группы структурной инвариантности имеют вид
х = Р(х), й — Р'(х) и, (9)
установлено, что функция
К{д,К) = (ЗдИ - д') д~2 (10)
является инвариантом этой группы, и решение проблемы эквивалентности сформулировано следующим образом:
Теорема ([16], теорема 2.2, случай (11), [17], теорема 2, случай (И)). Уравнения (8) и
йх + д(х) й3 + }г(х) й + 1 = 0
эквивалентны друг другу относительно группы (9) тогда и только тогда, когда для инварианта (10) выполнено условие
К{д,й)\х=р(х) = К(д,к). (11)
Эта теорема совпадает с формулировкой замечания 3 с учетом неявно предполагаемого при ее доказательстве выполнения равенства
9(Р(Х)) (Р'(х))3 = 9(х). (12)
При этом условии равенство (7), имееющее в обозначениях работы [16] вид
(г1/3 (К(д,Щ~2/3 |1=вд = д~1'г {К(д,К)Г^
следует, как легко проверить, из равенства (6), эквивалентного равенству (11) ввиду тождества К(д, К) = —Ф3.
Без равенства (12) как теорема 2.2, так и следствие 2.2 работы [16] неверны, что показывает пример уравнений йх+й3+х й+1 — 0 и их-\-и3+х2 и 4-1 = 0. Для них К(д, /г) = 27 ж3 и К(д, К) = 27 х6, поэтому равенство (11) имеет место при выполнении условия х = х2, однако эти уравнения не эквивалентны относительно преобразования х = х2, й = 2хи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.
2. Schwarz F. Symmetry Analysis of Abel’s Equation // Studies in Applied Mathematics, 1998, 100.
3. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевогруппы Ли. -М.: Мир, 1983.
4. Lisle I.G. Equivalence transformations for classes of differential equations. Ph.D. Thesis, University of British Columbia, Vancouver, 1992.
5. Cartan É. Les problèmes d’équivalence // Œuvres Complètes, Part II, 2. -Paris: Gauthier - Villars, 1953.
6. Gardner R.B. The Method of Equivalence and Its Applications. -Philadelphia: SIAM,
1989.
7. ОIver P.J. 1995 Equivalence, Invariants, and Symmetry. -Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
8. Fels М., Olver P. J. Moving Coframes. I. A Practical Algorithm // Acta Applicandae Mathematicae, 1998, 51.
9. Abel N. H. Sur l’équation differentiélle (y + s) dy 4- (p + q y 4- r y2) dx = 0 // Œuvres Complètes, Eds. Sylow L., Lie S., 2. -Christiania: Gr0ndahl & Son, 1881.
10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1965.
11. Рождественский Р.Б., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. -М.: Наука, 1968.
12. Овсянников JI.B. Лекции по основам газодинамики. -М.: Наука, 1981.
13. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. -М.: Наука, 1993.
14. Liouville R. // Comptes Rendus, 1886, 103.
15. Коялович Б. М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy — ydx = Rdx. -СПб, 1894.
16. Schwarz F. Algorithmic Solution of Abel’s Equation // Computing, 1998, 61.
17. Schwarz F. Equivalence Classes and Symmetries of Abel’s Equation. Preprint, GMD
- SCAI, Sankt Augustin, Germany, 1998.
GEOMETRY OF THE CLASS OF ABEL’S EQUATIONS AND THE CARTAN EQUIVALENCE
METHOD
O.I. Morozov
We present an approach that can be used to find pseudo-groups of equivalence transformations and to study structure properties of classes of differential equations. This approach is based on Cartan’s method, and we apply it to the class of Abel’s equations.
Сведения об авторе
Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 35 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли.
