CC BY
28
УДК 514.763.8, 514.747.3, 517.956.3
ПРОБЛЕМА ТОЧЕЧНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА. I
О.И. МОРОЗОВ 1
Статья представлена доктором технических наук, профессором Самохиным А.В.
Мы применяем метод Э. Картана для решения задачи эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, не сводимых к уравнениям Ли-Лиувилля-Тресса, относительно псевдогруппы точечных преобразований.
Ключевые слова: псевдогруппы Ли, обыкновенные дифференциальные уравнения.
Введение
Задача нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
ихх = F(x,u,ux) (1)
относительно псевдогруппы локальных диффеоморфизмов
х = (р(х,и), и = ф(х,и) (2)
имеет давнюю историю. С. Ли показал [15], что уравнения вида
ихх = А$(х, и) и'I + А2(х, и) и2х + Ai(x, и) их + А0(х, и) (3)
образуют инвариантный относительно замен (2) подкласс в классе уравнений (1), а также доказал, что уравнение (3) линеаризуется заменой (2) тогда и только тогда, когда является совместной система уравнений в частных производных Ux = UV + А0 А3 — | Ai5„ + §А2гГ, Uu = U2 — А2 U + A3 V + A%iX + А\ A3, \х = V 2 — Aq U + А\ V — Ао,и + Aq А2, \и = U V + А0 А3 + | А2,и — | А^и. Условие совместности этой системы равносильно равенству нулю функций
Li = 3 A0j„„ — 2 AitXU + A2tXX + 3 А3А0гГ — 3 A2A0yU — 3 АхА^ — AiA2jX — 3 A0A2yU + 6 A0AS^X, (4)
(5)
найденных Р. Лиувиллем в первом систематическом исследовании проблемы эквивалентности для уравнений (3) относительно преобразований (2), [16]. Лиувилль нашел серии относительных и абсолютных инвариантов и указал процедуру построения инвариантов высших порядков.
А. Тресс использовал инфинитезимальный метод С. Ли для нахождения дифференциальных инвариантов уравнений (3) и (1), [22, 23]. Современному изложению подхода Тресса посвящены работы [24] и [14]. Отметим один из результатов [22]: если одна из функций L\ или L2 отлична
1 Работа выполнена при частичной поддержке совместного гранта 09-01-92438-КЭ_а РФФИ (Россия) и Consortium E.I.N.S.T.E.IN (Италия)
от нуля, то существует замена (2), переводящая уравнение (3) в уравнение с Li ф 0 и L2 = 0; кроме того, два уравнения с L2 = 0 эквивалентны относительно псевдогруппы (2) тогда и только тогда, когда они эквивалентны относительно подпсевдогруппы
х = (р(х), и = ф(х,и). (6)
Э. Картан применил разработанный им метод эквивалентности [3-7] к уравнению (3) в работе [8], однако объектом его исследования была дифференциальная геометрия проективных связностей, а не сами уравнения (см. [8, §8]).
В работе [9] с помощью метода Картана решалась задача эквивалентности уравнений (1) относительно псевдогруппы (6).
К подклассу (3) принадлежат уравнения Пенлеве [18, 19], интерес к которым связан с тем, что эти уравнения часто возникают при изучении инвариантных решений интегрируемых нелинейных уравнений и в других физически важных приложениях [21]. В работах [12, 9, 11] методом Картана были найдены необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения (3) первому или второму уравнению Пенлеве. В статье [1] было доказано, что все уравнения Пенлеве приводимы к виду
(7)
а также установлено, что точечные преобразования, сохраняющие подкласс (7), имеют вид х = (р(х), и = л/\(р'(х)\и + х(х)- В работе [2] результаты Р. Лиувилля были применены к изучению уравнений (3), которые являются редукциями систем дифференциальных уравнений, описывающих хаотическую динамику в физике атмосферы и химической кинетике.
В данной работе мы используем метод Картана [3-7, 10, 11, 17] для решения проблемы эквивалентности уравнений (1) относительно преобразований (2).
Решение проблемы эквивалентности в случае FUxUxUxUx ф 0
Все рассмотрения в работе предполагаются локальными, все отображения предполагаются вещественно-аналитическими.
Уравнения (1) являются подмногообразиями в расслоении J2{n) джетов второго порядка локальных сечений расслоения , . Локальные координаты на
имеют вид (х, и,их, ихх). На R х R действует псевдогруппа локальных диффеоморфизмов Ф: R х , . Второе продолжение ,
диффеоморфизма определяется условием
dx \ i dx
(Ф®)* du — uxdx I = В I du — uxdx | , В e !H = e GL(3)
uxx dx J у dux — uxx dx
Диффеоморфизмы Ф® образуют псевдогруппу Cont0(J2(7r)) точечных преобразований расслоения J2(-7r). Если определена композиция двух локальных диффеоморфизмов из псевдогруппы , то она также принадлежит этой псевдогруппе. Поэтому формы
dx
В ■ | du — uxdx du,x — ихх dx
инвариантны относительно поднятий Ф: J2 (тг) х Ж -> J2(?r) х Ж диффеоморфизмов из псе-вогруппы Cont0 (J2(7r)). Два уравнения (1) локально эквивалентны относительно Cont0( J2(tt))
тогда и только тогда, когда ограничения щ = ^\ихх=р(х,и,их) форм О* на эти уравнения эквивалентны относительно некоторого диффеоморфизма Ф: J2 (тг) х Ж -»■ 72(тг) х И: Ф*(5г) = шг,
г Е {1,2,3}. Таким образом, мы получаем И-значную проблему эквивалентности для совокупности 1-форм ш = {ш1,ш2,шз} (см. [17, опр. 9.5]). В соответствии с методом Картана для ее решения мы анализируем структурные уравнения для форм — выражения внешних дифференциалов (1и)1 через о>.
Структурное уравнение для формы Ш2 имеет вид с1и>2 = Г] Л и>2 + Ьф^Ъ^1 и)\ Л Ш3, где Г] = йЪ3Ъ^ — ЬцЬ^Ь^Шг + гш2 + а г - произвольная константа. В силу инваринтности
форм и их внешних дифференциалов относительно функция также инвариантна.
Мы можем нормализовать ее — приравнять любой ненулевой константе, см. [17, предл. 9.11]. При Ь3Ь±1Ь^1 = 1 мы получаем Ь3 = Ъф4. После этой нормализации структурные уравнения приобретают вид
(¡и) 1 = Г]1 А и>1 + Г]2 А и>2, (1,и)2 = Г]з А ш2 + и>1 Л ш3, (1ш3 = Г]4 Л Ш2 + (т ^ т) л ш3,
(1г] 1 = -2 Т?4 Л + Т?5 Л Ш2 - % Л ш3, (1,Г]2 = (г}1 - 77з) Л Г]2 + Г}5 А и>1 + | Р^Ч^1, и2 А ш3,
где формы , ... , зависят от дифференциалов оставшихся ненормализованных параметров группы , форма получена применением процедуры продолжения структурных уравнений [17, гл. 12], и для частных производных функции .Р по их использовано обозначение ^ =
Дальнейший анализ разделится на два случая: случай я/, когда Р^ ф 0, и случай ёё, когда .
В случае , переходя, если нужно, к открытому подмножеству области определения диффеоморфизма , мы можем считать, что . Тогда нормализация дает
. После этого мы получаем
(¡и) 1 = Г]1 А Ш1 + Г]2 А Ш2 + |(5 Ь2Ь| + ^5)64 1^1 Ш1 Л ш3, йи)2 = | Г]1 А Ш2 + Ш1 Л ш3
с новыми формами щ и щ. Нормализация Ь2 = _ | -Р5 ^3 дает следующие структурные уравнения
с!ш1 = Г]1 А а>1 + ^ (5 Р^Р^ — 6 )Р4 2Ь4 2 ш2 Л ш3, йи)2 = | т]\ А ш2 + Ш1 Л ш3,
ски3 = 7)2 Л Ш2 — | Щ А Ш3 + | 2 (-Р4 ^5 + (-ЦД^) + 2 ^1^4) 64) 0^1 Л Ш3,
где использовано обозначение Ох = ^ ^ + Р ^-. Полагая равным нулю коэффициент при
в третьем уравнении, получаем .
Дальнейший анализ разделится на два подслучая: случай ^ соответствует условию 5 Р^Р^^ , случай — условию .
В случае мы без ограничения общности можем считать, что . Тогда
коэффициент при и>2 Л ш3 можно приравнять ^т, что дает = РА1 ^|5ВДз — бРЦ. После этой нормализации все параметры группы И выражены как функции на ^(тт), структурные уравнения имеют вид
с!ш1 = (?10)1 Л ы2 + (р2 и>1 + ^5 <^2) Л ш3, с1ш2 = б?3 и>1 А и)2 + (шг — (7-_> ш2) Л ш3,
с!ш3 = 6*4 а>1 Л ш2 + (6*5 ш2 — | б?3 Шх) Л ш3,
где функции , ... , , определенные равенствами
Сх = ± ^ (их Р5 + 5 Р4) К,« - | ^ Р4-4 + ия Р5,и) + | С2 Р ад-5У®72
+| К Р4-5 ( (б С2 Ух1/2 - 3 Р5) Р4,ж + (б (ия С2 Ух1/2 - 4 Р4) - 3 их Р5) Р4,и)
I ол Г Т/3/2 771 — 4 2 771 т/2 77 — 5
- 1'2 ' I > I I | 50 14 >
С2 = ^ уг3/2 (5 ^4 у)Ия -14 VI),
С3 = К172^-5 (4 К (^4)Я + их Р4,и) - Р4 (У1)Я + их У ,и) + | Р Р5 Ух + 2 Л Р4 К - | С2 Р У3/2), С4 = -к3 р4-9 (Р5 (АДР) + 3 Р Р\) + 2 Р4 (Р5,ж + Р5,и) + 3 Л Р4 Р4)*
+ (3 их Р\ + Р) Р^ + 2 Р4 ДДР) + И2 р45ии — Р4 Ри + 2 Р2 Р4 + + 2 их Р4гГи)
//21 ,'•/•• 10 (6Р52 + У)
С5 = ^5 С, + | Р5 Р4-4 (У,, + их\\и) + 8 РГ3 У1)И + | У РГ5 Р4,ж (4 С2 Ух1/2 - 3 Р5)
-1У РГ5 Р4,и (и* (3 Р5 - 4 С2 У,1/2) + 15 Р4) + | ^ ^52 У РГ5
+| У ^Г5 (^1 Р4 + 4 С2 Р Ух1/2) + 2 Р2 У Р4-3 + | С2 Рх У3/2Р4-4 (8)
с , являются инвариантами уравнения (1) относительно . Все
другие инварианты получаются из С\, ... , б?5 применением операторов инвариантных дифференцирований
»1 = \2 /•'. 'м<- Рз = ^4УГ1/2^,
»2 = I У (^5 РТ4 Д, + 5 Р4-3 ^ + 5 Р4-4 (АДР,) + 2 Рх Р4)^) , (9)
которые определяются требованием выполнения условия (2) + Ю)2 (2) и;2 + Ю>з (2) ыз
для произвольной функции .
Классифицирующее множество порядка , ассоциированное с формами , в случае имеет
вид
С^(ш,и) = {Ог1О^Оз(Сто(я:,м,м:г)) | О^г + ^ + й^з, 1 ^ т ^ 5, (х,и,их) 61/}, (10)
где — открытое множество, такое что во всех его точках, а операторы
определены равенствами (9). Так как все инварианты (8) зависят от трех переменных , и, их, количество функционально независимых инвариантов не превосходит 3, и для решения проблемы эквивалентности достаточно рассматривать классифицирующее множество порядка .
Анализ случая ,я/2 распадается на два подслучая в зависимости от выполнения одного из
условий: или . Первое из них дает класс уравнений
ихх = А4(х, и) их + А3(х, и) их + А2(х, и) и2 + А^х, и) их + А0(х, и), (11)
с , второе условие вместе с тождеством , определящим случай ,
дает уравнения
ихх = (В]_(х, и) их + В0(х, и))-1 + А3(х, и) их + А2(х, и) и2 + Аг(х, и) их + А0(х, и) (12)
с В\ ф 0. Однако анализ второго подслучая может быть сведен к первому.
Лемма 1: Всякое уравнение (12) можно перевести в уравнение вида (11) преобразованием из Соп10(Х2(7г)).
Доказательство: рассмотрим 1-форму fj, = Bidu + В0 dx. Для ее дифференциала получаем dfj, = (BitX — В0,и) dxAdu= {В^х — Bq,u) B^[l dx Л ц. Отсюда следует, что форма удовлетворяет теореме Фробениуса [20, теор. 2.4.2]. Поэтому существует функция U = U(x,u), такая что ц = 0 mod d,U. Непосредственная проверка показывает, что замена переменных х = U(x, и), и = х переводит уравнение (12) в уравнение вида (11). QED
Кроме того, в уравнении (11) без ограничения общности можно считать, что А% = 0.
Лемма 2: Всякое уравнение из класса (11) можно перевести в уравнение из этого же класса с А3 = 0 преобразованием из Cont0(J2(7г)).
Доказательство: рассмотрим 1-форму и = du — 3 А% A4l dx. Если (А%А41)и = 0, то du = 0, в противном случае du = 3 (A%A4l)u dx Л du = 3 (А%А4 1)и dx Л и. В обоих случаях форма и удовлятворяет теореме Фробениуса, поэтому существует функция U = U(x,u), такая что . Непосредственная проверка показывает, что замена переменных ,
х = х переводит уравнение из класса (11) в уравнение из этого же класса с А3 = 0. QED
Для уравнения
ихх = А4(х, и) их + А2(х, и) и2 + Ai(x, и) их + А0(х, и) (13)
после вышеуказанных нормализаций структурные уравнения форм uii имеют вид duii = щ Л uii,
dui2 = § fji Л ui2 + u>i Л и>з, dhJz = —| rji Л ui^ + ... uii Л ui2 + ^ b\ u^Zq2 ui2 Л Шз, где Zq =
A4u,x 118 A2u2 + 3 A2A4 + A4,uI 1/<2. Мы нормализуем коэффициент при uj2Aujs в последнем уравнении, полагая . После этого все параметры группы выражены как функции на
Мы получаем
u>i = 24 Zq Z А4 их dx, и>2 = 24 Zq2 А4 и2 (du — uxdx), (14)
uiз = /п ux 1 (du.r — (.•l'ju']. + A2A4ux + 2 .11.11 + A4x) du — (. hi -11 — (AiA4 + A4x) ux) dx,
причем , то есть функция является инвариантом уравнений (13)
относительно преобразований псевдогруппы . В силу инвариантности форм и
мы можем вместо форм (14) взять формы Coi = ^ Zq и>\, ui2 = 2*4 Zq ui2 и = Zq1 ш3. В дальнейшем мы вернемся к прежним обозначениям, то есть будем писать uii вместо ¡¿¿. Структурные уравнения для новых форм приобретают вид
dui\ = — (3 -\- Z\ их 3 Z2 их 3) ui\ A ui2 — 3 ui\ A ui%,
duj2 = (3 -|- Z\ их -|- 2 Z2 их -|- 2 Z$ их ) uii A ui2 -\- (wi — 2 ui2^ А с^З;
dio3 = (Z2ux 3 — 3 Z3ux 4 + Z5 ux 5 + Z4ux ^) uii A ui2 + (2 — Z2ux 3 — Z%ux 4) uii А UI3
+ (2 — Z2ux 3) ui2 Л ui3,
где , , ,
,.
Дальнейший анализ класса уравнений (13) распадается на пять случаев в зависимости от обращения в ноль функций ...^5.
Случай ,я/2\ соответствует выполнению условия Z\ ф 0. Структурные уравнения в этом случае принимают вид
iLc 1 = — (3 Hi Pi — I ’i — 3) vi.' 1 A u)2 — 3 ui 1 A vv3,
dui2 = (2H2P^ + 2HiPf + P2 + 3)wiAw2 + (^i — 2ui2) А ш3,
do!3 = I f (//.;/>[! + II11’2 — 3 //•./' + II1) Ш1ЛШ2” (//2/>|1 + II1 /':i — 2) Wi Л w3 — (//| /':i — 2) ш2 Лш3,
где единственный инвариант, зависящий от , и , задается равенством , и его
дифференциал вид
<1Рх = -\ Р\ (2 - //(,/';! - //-,/'г + 2) ил - | А (2 //,/'('• - //.,/? + 2) ы2 - Р1 ш3.
_3/2 _о
При этом инварианты, зависящие только от и , таковы: , ,
, , , . Операторы
инвариантных дифференцирований Ох = А^1^372 02 = A^lZll ^ задаются условием выполнения равенства для любой функции .
Классифицирующее множество порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
С{Х(ш,У) = {В[Щ(Нт(х,и))\0^г + 3^2, (15)
где — открытое множество, такое что , и во всех его точках.
В случае , определяемом условиями и , структурные уравнения
с!,и)1 = 3 ((Р2 -Ь 1) ¡^2 -Ь А оз\, с1ш2 = (21\Р2 2 Р^ -Ь 3) Л Ш2 -Ь (^1 — 2 Ш2) А Шз,
с!шз = Р3 (^2^2 + Р2 ~ 3 ДРг + 1) ^1 Л Ш2 — ((ДР2 + Р2 — 2) Ш1 + (Р3 — 2) Ш2) А ¡^з
содержат инвариант , зависящий от , и , с дифференциалом
4Р2 = — ! / 2 (3 1\Р2 — /-, I 2 — I | I 2 + 3) 6^1 — | Рз (3 Р| + ( /;•, — / I ) / {г + 3) Ш2 — / 2 ¡^3-
—4/3 —9 —5/3
Инварианты, зависящие только от х и и, имеют вид Д = ^з^ , Ь = Z4Z2 , = ZьZ2 ,
, . Операторы инвариантных дифференци-
-I 1 Л -| _О / О л
рований = А4 ^ и Ю)2 = ^4 ^2 определяются из условия выполнения равенства
для любой функции . Классифицирующее
множество порядка 2, ассоциированное с формами о>, в случае ^22 имеет вид
= {^Ш1т{х,и)) |(Кг + ^2, 1^т^5, (х,и)еУ}, (16)
где — открытое множество, такое что , , и во всех его
точках.
Случай ^23 задается условиями ^ = 0, ^ = 0, ^з Ф 0. При этом структурные уравнения имеют вид
с1,и)1 == 3 (¿02 “Ь ^з) А бю2 = (2 Р^ 3) и>\ Л ш2 (и>\ — 2Ш2) Л Шз,
с!шз = Р| (ЛР3 + ЛРз — 3) о>1 Л о>2 — ((Р3 — 2) и>\ — 2 Ш2) А Шз,
где Рз = и ¿Рз = -I А(4Р34 - ЛР33 - ЛР32 + 4)ол + |Рз(ЛР33 - 4)^2 - Р3^3.
Инварианты, зависящие от и , в этом случае таковы: , ,
(А^з^ + 2 2'3,445.г) Z^1^4:AJ2. Операторы инвариантных дифференцирований = AJlZ^3^4: ^
и 02 = А4 ^з^17”2 ^ задаются равенством = Р| ((РзРх(У) + 02(У)) и>\ + ОДУ) ш2). Классифицирующее множество порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
^(о^У) = | 0 ^ ¿ + .7 ^ 2, 1 ^ т ^ 3, (г,и)еУ}, (17)
где — открытое множество, такое что , , , и во всех
его точках.
В случае таком что Z\ = О, Z2 = О, Z3 = 0 и, следовательно, Z4 = 0, но Z5 ф О, структруные уравнения
duii == 3 (с^2 -Ь ^з) A uj\j duü2 = 3 uji Л cü2 -Ь (wi — 2 W2) Л шз, с!шз = —-Pj* coi Л Ш2 -Ь 2 {ио\ -\- 002) A W3
содержат только инвариант Р4 = Z^75 и“1, зависящий от ж, и и %, с дифференциалом dP4 = | Р4 (К2 Pi + KiP4 — 5) Lüi + | Р4 (Kl P| — 5) ш2 — P4 u>3, в который входят инварианты Ki = (3 A4Z5jU + 5Z5A^u) Z^7^ьА4'2, K2 = (3 A4ZfhX + 5Z5A4,X) Z^8^5A42, зависящие от x и u. Операторы инвариантных дифференцирований Di = A4lZ^3^5 J^, D2 = A4lZ^2^5 задаются равенством dY = P2 ((ДОДУ) + D2(F)) u>i + Di(F)a!2). Классифицирующее множество порядка 2, ассоциированное с формами , в случае имеет вид
сЦ>,У) = {ЩЩ(Кт(х,и)) \ 0^i + j^2, l^rn^2, (x,u)eV}, (18)
где V С — открытое множество, такое что F4 ф О, Fb = О, Z\ = О, Z2 = О, Z3 = О, Z4 = О,
и Z5 ф 0 во всех его точках.
Наконец, в случае ^25, таком что Z\ = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 = 0, структурные уравнения
dui\ = 3 (w2 -Ь ^з) A ui\, dui2 = 3ui\ A ui2 (wi — 2^2) А Шз, с!шз = 2 (wi -Ь W2) А Ш3
не содержат непостоянных инвариантов. Такие же структурные уравнения для форм ш имеет псевдогруппа симметрий уравнения
uxx = и4х- (19)
Таким образом, класс уравнений (1), таких что FUxuxuxux Ф 0, разделен на инвариантные подклассы s&\, ^21, ... , ^25, и для каждого из них построены инвариантные кореперы w. Тем самым решение задачи эквивалентности для уравнений (1) сведено к проблеме эквивалентности для инвариантных кореперов, см. [17, гл. 8, гл. 14]. Объединяя результаты предыдущих вычислений и применяя теорему 14.24 из [17], мы получаем следующий результат.
Теорема 1: Всякое уравнение (1), такое что FUxuxuxux Ф 0, с помощью диффеоморфизмов из псевдогруппы точечных преобразований (2) приводимо к уравнению, принадлежащему одному из инвариантных подклассов srf\, ... , ^25.
К инвариантному подклассу ^ принадлежат уравнения (1), для которых выполнено условие 5 FUxUxUxUxFUxUxUxUxUxUx ^6 F2xUxUxUxUx ф 0. Два таких уравнения локально эквивалентны тогда и только тогда, когда их классифицирующие множества (10) локально совпадают.
Уравнения (1) сРихихихих ф 0, bFUxUxUxUxFUxUxUxUxUxUx -6 F2xUxUxUxUx = 0 приводимы к виду (13). К подклассу ^2\ принадлежат уравнения (13), для которых Z\ ф 0, к подклассу ,^22 — уравнения (13) c Z\ = 0, Z2 ф 0, к подклассу ^23 — уравнения (13) c Z\ = Z2 = 0, Z3 ф 0, к подклассу ^24 — уравнения (13) c Z\ = Z2 = Z3 = Z4 = 0, Z5 ф 0, к подклассу — уравнения (13) c Z\ = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 = 0. Уравнения из подклассов ^21 - ^24 локально эквивалентны относительно псевдогруппы (2) тогда и только тогда, когда соответствующие классифицирующие множества (15), (16), (17) и (18) локально совпадают. Уравнения из подкласса локально эквивалентны уравнению (19).
ЛИТЕРАТУРА
1. Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painleve équations // J. Diff. Eq., 157 (1999), 452 -485.
2. Bordag L.A., Dryuma V.S. Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry // Z. Angew. Math. Phys., 48 (1997), 725 - 743.
3. Cartan É. Sur la structure des groupes infinis de transformations //Œuvres Complètes, Part II, 2, Paris: Gauthier
- Villars, 1953, 571-714.
4. Cartan É. Les sous-groupes des groupes continus de transformations //Œuvres Completes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 719-856.
5. Cartan É. Les groupes de transformations continus, infinis, simples //Œuvres Completes, Part II, 2, Paris: Gauthier
- Villars, 1953, 857-925.
6. Cartan É. La structure des groupes infinis. //Œuvres Completes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 1335-1384.
7. Cartan É. Les problemes d’equivalence. //Œuvres Completes, Part II, 2, Paris: Gauthier - Villars, 1953, 13111334.
8. Cartan É. Sur les varietes a connexion projective // Bull. Soc. Math. France, 52 (1924), 205 - 241.
9. Hsu L., Kamran N. Classification of second-order ordinary differential equations admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries. // Proc. London Math. Soc., 58 (1989), 387 - 416.
10. Gardner R.B. The Method of Equivalence and its Applications, Philadelphia: SIAM, 1989.
11. Kamran N. Contributions to the study of the equivalence problem of Elie Cartan and its applications to partial and ordinary differential equations. Mem. Cl. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, 45, Fasc. 7.
12. Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y" = F(x, y, y') and the Painleve transcendents. // J. Diff. Geom., 22 (1985), 139 - 150.
13. Kamran N., Shadwick W.F. A differential geometric characterization of the first Painleve transcendent. // Math. Ann., 279 (1987), 117 - 123.
14. Kruglikov B. Point classification of second order ODEs: Tresse classification revisited and beyound. // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. 199-221.
15. Lie S. Klassification und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x,y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten. III. // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (Kristiania), 8 (1883), 371 - 458, Gesam. Abh. Bd 5 (1924), paper XIV, 362 - 427.
16. Liouville R. Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur leurs applications. // J. de l’Ecole Polytechnique, 59 (1889), 7 - 76.
17. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
18. Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l’integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 28 (1900), 201 -261.
19. Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d’ordre superieur, dont l’integrale generale est uniforme // Acta Math., 25 (1902), 1 - 86.
20. Stormark O. Lie’s Structural Approach to PDE Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
21. The Painleve Property: One Century Later / Ed. by R. Conte, CRM Series in Math. Phys., Berlin: Springer-Verlag, 1999.
22. Tresse A. Sur les invariants differentielles des groupes continus de transformations. // Acta Math., 18 (1894), 1 -
88.
23. Tresse A. Determination des invariants ponctuels de l’equation differentielle ordinaire de second ordre y" = w(x,y,y'). // Preisschriften der fürstlichen Jablonowski’schen Gesellschaft, 32 (1896), Leipzig: Hirzel.
24. Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I.// Acta Appl. Math., 109 (2010), 283 - 313.
POINT EQUIVALENCE PROBLEM FOR THE SECOND ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS. I
Morozov O.I.
For the class of the second order ordinary differential equations that are not reducible to the Lie-Liouville-Tresse equations we solve the equivalence problem under the action of the pseudo-group of point transformations via E. Cartan’s method.
Key words: Lie pseudogroups, ordinary differential equations.
Сведения об авторе
Морозов Олег Игоревич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1986), член Московского математического общества, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 43 научных работ, область научных интересов — дифференциальные уравнения, симметрии, псевдогруппы Ли.
