Явное решение проблемы эквивалентности для некоторых уравнений Пенлеве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 46-56.

УДК 517.91+514.763.8+514.8

ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

В.В. КАРТАК

Аннотация. Для произвольного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка построен тест, проверяющий его эквивалентность уравнениям Пенлеве I и II, а также Пенлеве III с тремя нулевыми параметрами относительно точечных замен переменных. В случае положительного ответа для уравнений Пенлеве I и II явная замена переменных записывается через дифференциальные инварианты уравнения.

Ключевые слова: уравнения Пенлеве, проблема эквивалентности, дифференциальные инварианты.

1. Введение

Известно, что класс обыкновенных дифференциальных уравнений вида

У'' = Р(ж, у) + 3 д{х, у)у' + 3 Д(ж, у)у2 + £(ж, у)у'3 (1)

переходит в себя под действием произвольных точечных преобразований

х = х(х,у^ у = у(х,у). (2)

Этим обстоятельством обуславливается применение геометрических методов для исследования таких уравнений (см. [1], [2], [3], [4], [5]) В частности, из коэффициентов уравнения (1) - функций Р(х,у), ^(х,у), Я(х,у), Б(х,у) и их производных можно строить дифференциальные инварианты, ассоциированные с уравнением. Такие инварианты называют инвариантами Картана. См., например, [6], [7], [8], [9].

Все шесть уравнений Пенлеве ([10], [11], [12]) имеют вид (1). Уравнения Пенлеве I, II и III соответственно выглядят следующим образом:

у'' = 6у2 + х, у'' = 2у3 + ху + а, у'' = ^(у' )2 — 1 у' + ^(ау2 + Ь) + су3 + ^.

у х х у

Используем методы построения дифференциальных инвариантов, описанные в работах [13], [14], [15] для решения проблемы эквивалентности этих уравнений (третье уравнение берется с тремя нулевыми параметрами).

Аналогичные исследования проводились ранее, см. [16], [17], [18], [19], [20]. Однако впервые тест проверки на эквивалентность сформулирован в эффективно проверяемой форме, он легко программируется. Настоящие исследования являются продолжением работы [21].

Для дальнейших вычислений понадобится определение псевдотензорного поля и его ковариантной производной (как они были сформулированы в работе [13]).

V.V. Kartak, Explicit solution of the equivalence problem for certain Painleve equations. © Картак В.В. 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-97020-р_поволжье_а).

Поступила 11 августа 2009 г.

Замену переменных (2) можно трактовать как замену криволинейных координат (x,y) другими координатами (X,y). Тогда соответствующая матрица перехода S и обратная ей матрица T имеют вид:

Q __ ( x1.0 x0.1 ^ ^ ( x1.0 x0.1 (о\

V У1.0 У0л / , V y1.0 y0.1 / ■ ( )

Здесь Х1.0 = öx(£,y)/ö£, Х0.1 = öx(£,y)/öy, yL0 = öy(£,y)/ö£, У0.1 = öy(X,y)/<9y, а

X1.0 = ö£(x,y)/öx, X0.1 = öx(x,y)/öy, y 1.0 = dy (x,y)/<9x, У0.1 = dy (x,y)/%

Определение 1. Псевдотензорным полем веса m валентности (r, s) назовем индексированный набор величин, при замене системы координат преобразующийся по правилу

Flj = (detr)mЕ ЕS'P1 ■ ■ ■SPrj■ ■ ■ jKJ:

Pl...Pr qi...qs

Видим, что от определения обычного тензорного поля оно отличается лишь множителем (det T)m, где T — обратная матрица перехода при замене одной системы координат на плоскости другой.

Определение 2. Ковариантной производной псевдотензорного поля F валентности (r, s) и веса m назовем следующий объект:

dF *1...*г r 2

V7 Fil ...ir = jl...js | \ Л \ Л rin Fil ...Vn...ir

Vfc jl...js '/'/.* kVn jl...js

n=1 Vn = 1

п=1 ЭДП = 1

При ковариантном дифференцировании псевдотензорное поле ^ валентности (г, в) и веса т переходит в псевдотензорное поле валентности (г, в + 1) и веса т. От определения ковариантной производной тензорного поля она отличается только слагаемым т^ ^,

здесь ^1 и ^2 — вспомогательные величины. Явные формулы (26), (27) для их вычисления содержатся в Приложении.

2. Уравнение Пенлеве I

Пусть дано некоторое уравнение (1). Будем искать замену переменных, которая переводит его в уравнение Пенлеве I

у" = 6у2 + X. (4)

С данным уравнением ассоциированы два псевдовекторных поля а веса 2 и в веса -1 (подробнее см. [14]). Явные формулы (17), (25) для вычисления координат полей содержатся в Приложении. Для уравнения (4) они равны:

а1 = В = 0, а2 = -А = -12, в1 = -112, 02 = 0.

Выразим матрицу перехода (3) через функции X, у :

£ _ 1 ( у0Л —Х0.1

ёе1 Т \ —у1.о х1.о Поля а и в при замене координат (2) преобразуются следующим образом:

в4 аеі т ^ Уол -Хол л/ 0

-А) \ -yi.0 Х1.0 ) у 12,

вЛ 1 ( У0.1 -Xo.i \ (-1/12Х ^ ^

в2/ det2 Т\ -yi.0 xi.o М 0

Кроме того, по коэффициентам уравнения находятся псевдоинварианты, явные формулы для вычисления которых содержатся в Приложении: N веса 2 (19); П веса 1 (22), (23);

0 веса -2 (24); Ь веса -4 (28); Ь веса -5 (29); V веса -3 (31); Ш веса -6 (30). Из них можно построить инварианты:

I = Ь1 / = 02

II = ь ■ 12 = т

Значения псевдоинвариантов для уравнения (4) равны:

~ ~ ~у~Х~ 1 ~ ~

N = 0, П = 0, 0 = - —, Ь = —, Ь1 =------т, V = 0, Ш = 0.

12 123’ 1 124

Видим, что псевдоинвариант Ь1 веса -5 для уравнения Пенлеве I (4) равен константе. Запишем для Ь1 закон преобразования при замене координат. Из этого закона выразим определитель обратной матрицы перехода ёе1 Т:

^ т )5 124^ т )5’ V 124ь/

Теперь из формул (5) выразим частные производные координатных функций:

^ лЧ Ь1 _ оБ/ Ь1 _ в2 _ в1

Х1.0 = -м -ттт, Х0'1 = -В\ - —, У1'0 = , о , У0'1 = --

12’ ил V 12’

Для любого уравнения (1) функции А, В, в1, в2, Ь1 известны, они определяются через функции Р, ф, Л, £ по явным формулам (17), (25), приведенным в Приложении. Из последних формул легко получаются условия совместности:

12 / \ V 12 ’ ^уг^зь2/ V

/у \ /ж \ у 1 / у \ V 1 /

Первое условие совместности равносильно равенству нулю следующего выражения

5Ь1(Ау - Вж) + А(Ь1)у - В(Ь1 )ж = 5Ь1(Ау - Вж) - ^Ь1 + 5Ь1(^1В - ^2А) =

= 5Ь1 (Ау - Вж - ^1В + ^2А) - V = 6Ь^ - V = 0.

Здесь использовано определение псевдоинварианта V

V = ^Ь1 = (Ь1)жВ - (Ь 1)уА - 5Ь1(В^1 - А^2) ,

а также следующее явно проверяемое тождество:

6 "5

Из второго условия совместности следует:

5

2Ь1 (в1 + ву) - ((Ь1)ж»1 + (Ь1 )у^

5

Вж - Ау — -—N + ^2А - ^В. (6)

2Ь1 (в! + в;) - V,Ь1 - 5Ь1 (^в1 + <^в2)

5

2

- 5Ь1 (^1(0у - 2^20) + ^2(-0ж + 2^10))

= 5 = 2

- 5Ь1 (^10у - ^20ж)) = 5Ь1((^1)у - (^2)ж)0 - Ш = 3Ь1П0 - Ш = 0.

= оЬ1 ((0у - 2^20)ж + (-0ж + 2^10)у) - Ш-

— Ь1 ((0жу - 2(^2)ж0 - 2^20ж) + (-0жу + 2(^1)у0 + 2^10у)) - Ш-

Использовано определение псевдоинвариантов W, П, псевдовекторного поля в:

5

W = V0L1 = (Li)x01 + (Ll)yв2 — 5Li(^i01 + ^2^2), П = 3 (My — (<^2)ж) ) в1 = 0y - 2^2©, e2 = -0x + 2^10.

Так как для уравнения Пенлеве I псевдоинварианты N, П, у, W тождественно равны нулю, то они должны быть равны нулю и для любого уравнения, ему эквивалентного. Тогда в силу N = 0 и V = 0 выполнено первое условие совместности, а в силу W = 0 и П = 0 выполнено второе условие совместности. Таким образом, при выполнении этих условий существует точечная замена переменных, сводящая исходное уравнение (1) к уравнению

(4).

Инварианты уравнения (4) равны:

i =-^~ i =12У2

1 12Х5, 2 x .

Разрешим 11 и 12 относительно X и у и тем самым найдем явный вид искомой замены переменных:

X =___1___ у = ± v/I2__________ (7)

■5T2I7 ’ у -уТГ' u

Теорема 1. Уравнение (1) эквивалентно уравнению Пенлеве I (4) относительно замен переменных (2) тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) F = 0 (18), но A = 0 или B = 0 (17), 2) П = 0 (22), (23), 3) N = 0 (19), 4) W = 0 (30), 5) V = 0 (31), 6) 0 = 0 (24), 7) L1 = 0 (29). Явный вид замены переменных задается формулой (7).

Пример 1. Следующее уравнение эквивалентно уравнению Пенлеве I:

у" = — sin3 y(6x cos2 у + sin у) +—(—18x3 cos3 у sin2 у — 3x2 sin3 y cos y — 2)y;—

x

— (18x3 cos4 у sin у + 3x2 sin2 у cos2 у)у/2 — (6x4 cos5 у + x3 sin у cos3 у + x^3.

Для него значения инвариантов и явная замена переменных имеют вид Т 1 1 т 12x cos2 у

i1 =----- ---, i2 =--------------, у = x cos у, x = x sin у.

12 x5 sin5 у sin у

3. Уравнение Пенлеве II

Для некоторого уравнения (1) ищем замену переменных, которая переводит его в уравнение Пенлеве II

у" = 2у3 + Xy + а. (8)

С уравнением (8) ассоциированны 2 псевдовекторных поля а веса 2 (17) и £ веса 3

(32). Явные формулы для их вычисления содержатся в Приложении 1. Для уравнения (8) координаты этих полей равны:

а1 = B = 0, а2 = —A = —12у , <f = — 24, £2 = 0.

5у

При замене переменных их компоненты преобразуются по правилу:

( B) =(det T) ( ^ V /

\—AJ \ —у 1.0 x1.o J \—12

О = (det ту+ %1 -( — 24/<5у1>)

£2 / V —у 1.0 x1.o / V 0/

Четыре псевдоинварианта М веса 4 (20), (21), N веса 2 (19), П веса 1 (22), (23) и Г (33) для уравнения (8) равны

288 ~ ~ ~ 48 2у3 + Ху + а

М =------, N = 4, П — 0, Г=-----------/------.

5 ’ ’ ’ 25 у3

Инварианты уравнения вычисляются по формулам:

г _ М _ Г _ ^1з _ В(1з)Х - А(1з)у

II — ——, 1з — —, I« — ----- — ------------------,

1 N2’ 3 М’ 6 N N ’ (9)

(V71з)2_ (С 1(1з)Х + е2(1з)у)2 ( )

19

(10)

N з N з

Аналогично рассмотренному ранее случаю, из формулы преобразования N найдем ёе1 Т

N = 4^ т )2, ае1 т = ^,

тогда

у0'1 = _5 у/1£ = 5

у 6 N, у 6 N

и соответствующее условие совместности имеет вид:

11 ' — ( I2'

„ NN.

Оно равносильно

N(еХ + е2) - (е1^ж + е2^у) = N(^у + 2^2^^)ж + N(-Дк - 2^^)у-

10 У

Здесь использовано определение

е 1 = ^у + 2^2^ С2 = -- 2^1^ (11)

Это условие выполняется если П — 0. Так как существует у, подставим его в первое равенство:

Ха1— 6/Гг Х1Л — 6/71’ (/7^), — (/л) „'

Распишем подробнее:

Вж - Ау + Ау0'1 - Ву1'0 + А^у - В^ж _

- ^ж(^у + 2^2^~) - ^у(-- 2^1^^) = 2N2((^2)ж - (^1)у) = ~N2п = 0.

ул/^ у2^ 2у^\/^

-1N + ^2А - ^1В 5(В£2 + А£1) | А(С1 - 2^2N) + В(е2 + 2^lN)

+

-6N В£2 + АС1 -18^ + 5М -18 + 511

0.

5ул/^ Зу^л/^ 15у/^л/^ 15у^л/^

Первое условие совместности выполняется, если 11 = 18/5. Использовались равенства (6), (10), (11), а также определение

М = -АС1 - ве2.

Значения базовых инвариантов (9) для уравнения (8):

18 2уз + Ху + а 2Ху + За 1

11 Г , 1з •~>п~з , 1б 1/л~з , 19

5 ’ 30уз 10уз 2500у6

Построим новый инвариант, который с точностью до знака равен параметру уравнения (8):

, 14+10/6 - 60/3 , (12)

3 = 50-------^--------= ±“' (12)

Лемма 1. Уравнения Пенлеве II с разными параметрами а1 = ±а2 не эквивалентны.

Через формулы для инвариантов находим замену переменных:

1 5 7 3

у = 6, , Х= 6 , 6 - -3Ц2500/д. (13)

62500/д 62500/д 2 у !

Теорема 2. Произвольное уравнение (1) эквивалентно уравнению Пенлеве II с параметром а = ±3 (12) тогда и только тогда, когда выполнены равенства 1) Р = 0 (18), но А = 0 или В = 0 (17), 2) О = 0 (22), (23) , 3) М = 0 (20), (21), 4) /1 = 18/5 (9). Явный вид замены переменных задается формулой (13).

Пример 2. Уравнение 6.9 из справочника Камке [22] линейной заменой переменных сводится к уравнению Пенлеве II с параметром ±3:

у'' = —ау3 — бжу — су — ^.

/ау 6ж + с

3 = у=\/о • ^ ж = —-

2 6’ у V 2 ^6’ ■

4. Уравнение Пенлеве III с тремя нулевыми параметрами Общий вид уравнения Пенлеве III следующий:

у" = 1(у' )2 — 1 у' + — (ау2 + 6) + су3 + ^.

у ж ж у

Оно представляет собой четырехпарметрическое семейство уравнений, которое обозначим РШ(а,Ь,е^).

Если три из четырех этих параметров равны нулю, то такие уравнения Пенлеве III имеют специальные свойства:

1. Они имеют двумерную алгебру точечных симметрий и, следовательно, интегрируемы в квадратурах (см. [12]).

2. Все такие уравнения эквивалентны между собой. Фактически следуя работе [19], запишем замены переменных:

Р///(0,6, 0, 0) Д Р///(—6, 0, 0,0) Д Р///(0, 0, —6,0) Д Р///(0, 0, 0,6),

здесь 1), -) ж = ж, у = 1/у, 2) ж = ж2/2, у = у2.

Поэтому имеет смысл решать проблему эквивалентности для одного типа уравнений. В качестве базового уравнения выбрано РШ(0,Ь,0,0):

1 1 6

у'' = -(у' )2 — - у' + -. (14)

у ж ж

Для уравнения (14) координаты псевдовекторных полей а веса 2 (17) и £ веса 3 (32)

равны:

А=Л, В = 0, £1 = —±+4, £2 = ^ 6

жу3 15 жу4 15 ж2у3

а значения псевдоинвариантов М веса 4 (20), (21), N веса 2 (19) и О веса 1 (22), (23) равны

1 6 1 62

N =---------3, М =-------------—, 0 = 0.

- жу3 15 ж2у6

Базовые инварианты уравнения равны

M _ 3 г_^2п г _ Г _ 1

1 = N2 = 5 • 2 = N = • 3 = M =15 ■

Выразим det T из закона преобразования псевдоинварианта N:

det T — ^-3NXj/3,

Vb

тогда из законов преобразования псевдовекторных полей а и £ получим

_ _ ~ _ Av/Xy/

Хо 1 — —, , x i о — —— , (15)

0 V-зШ 1 vZ-abN v 7

~ = 5£1у , By2 ~ = 5£2у , Ay2 (16)

Ш = ~Ñ~ + —-3bNx/ • 8/1 0 = —~^ + —-3bNX/ ■ (16)

В этом случае условия совместности выглядят так:

(в—= (A—У^ (5«! + в—У N = (_5£2 + a —у \

V VN ) x V VN ) y • V N V—3bNX/ x V N V—3bNX/ y

Распишем первое условие совместности, используя формулы (15), (16):

(в1 .о — Ао .1)—/ + (вШ .0 — Ауо.1) 1 —y(BN1 .0 — ANo .1) _

^ 2^^ 2 -\/^

6 ^ г 1 ///М 5/у 2 ■■ г пТт ( 6 1 М 5 М \

= - — — 2Т]?(В£ + А£) = '^'/^ (—5 — ¿N5 + 2 =

= \/5\^ (-5 + 2/Л =0.

Оно выполнено если /1 = 3/5. Второе условие запишется так:

5(£Х + £2) 5(£ 1 ^.0 + £ 2N0.1) (В1.0 — А0.1) ///

---------- — ---------------- П -----^------------

N N2 + ^J—m-

v/y/(BNl.o — ANo.l) + (Ву/1.0 — Ау0.1) /^(Вж^ — Аж0.1) _

— -------------- ----------- —

V—3bXN3 V—3bNXy V—3bNX3

50« + (—6N — M + 5M1 — 5% + (—6 + 2Л1 — 0.

- /--6^ V 5 2N 2^ - v/--6NЖ V 5

Второе условие выполнено, если 0 = 0.

Теорема 3. Произвольное уравнение (1) эквивалентно уравнению Пенлеве III с тремя нулевыми параметрами тогда и только тогда, когда выполнены равенства 1) Р = 0 (18), но А = 0 или В = 0 (17), 2) 0 = 0 (22), (23) , 3) М = 0 (20), (21), 4) /1 = 3/5.

В этом случае явная замена переменных не может быть выражена через инварианты уравнения, потому что все они равны константам.

5. Заключение

Таким образом в явно проверяемой форме найден тест проверки эквивалентности некого заданного ОДУ второго порядка уравнениям Пенлеве I, II и III е тремя нулевыми параметрами. Для первых двух уравнений найдена точечная замена переменных, которая записывается через дифференциальные инварианты уравнения.

6. Приложение Введем обозначение К*.- = дг+-К/джгду-.

Для псевдовекторного поля а координаты равны а1 = В, а2 = -А, где

А = Р0.2 — 2^1.1 + Я2.0 + 2Р^1.0 + ^Р1.0 — -Р Д0.1 — -ЛР0.1 — -№.0 + 6^^0.1, В = 52.0 — 2Л1.1 + ^0.2 — 25Р0.1 — Р^0.1 + -5^1.0 + -д^1.0 + -Л^0.1 — 6ДД1.0.

(17)

Первый псевдоинвариант Р веса 5:

-Р5 = АС + ВЯ, где (18)

С = -ВВ1.0 - -АВ0.1 + 4ВА0.1 + -£А2 - 6 ДВА + ЭДВ2,

Я = —АА0.1 - -ВА1.0 + 4АВ1.0 - -РВ2 + б^АВ - -ДА2.

Псевдоинвариант N веса 2 в случаях А = 0 и В = 0:

Я С

N =-----г, N = —. (19)

-А -В ^ ’

Псевдоинвариант М веса 4 в случае А = 0:

М = - 12В^(ВА + А1.0) + вN1.0 + 24В^ + 5^1.0 + 6NAo.l - А^л - 12АМ (20) 5А 5 5 5 5

и в случае В = 0:

М = - 12^(^?В - В0.!) - ANo.l + 24А^ - 5NAo.l - 6NBl.o + BNl.o - 12В^. (21)

Псевдоинвариант О веса 1 в случае А = 0:

0 = 2ВА1.0(ВР + А1.0) (2В1.0 + -В^)А1.0 + (А0.1 — 2В1.0)ВР

= А3 А2 + А2

ВА2.0 + В 2Р1.0 В2.0 -В1.0^ +-В^1.0 — В0.1 Р — ВР0.1

(22)

0 . В2.0 . -В1.0^ + -В^1.0 — В0.1Р — ВР0.1 . ОЕ> А2 - + -X + -А------------- + ^0.1 - 2Д1.0

и в случае В = 0:

0 = 2АВ0.1(А5 — В0.1) (2А0.1 — -АД)В0.1 + (В1.0 — 2А0л)А$ +

= В3 В2 + В2 +

АВ0.2 — А2£0.1 А0.2 -А0.1Д + -АД0.1 — А1.05 — А51.0 0 0^.

+ —В2---------------в- +-------------------в---------------+Д1.°- 2^°.ь

Псевдоковекторное поле и веса -1 в случае А = 0 :

^ =12РД 54 ^2 Р0.1 + 6^1.0 РА0.1 + ВР1.0 + А2.0 2В1.0Р .

и1 =УА 25 ~А - ~А УА 5А2 5А2

+ -дА1.0 - 12Рвд + 6в2р2 + 12ВРА1.0 + 6А2.0

(23)

25А2 25А3

—5ВР0.1 + 6В^0.1 + 12ДВР 54 В^2 2ВВ1.0Р + ВА0.1Р + В 2Р1.0 + ВА2.0

5А2 25 А2 5А3

12В 2Рд -В^А1.0 6ВА2.0 + 6В3Р2 + 12В2А1.0Р

25А3 + 25А3 + 25А4

и в случае В _ 0:

_5431.0 - 6АЯ0.1 + 12^А5 54 АД2 2АА0Л5 + АВ^З + А^л - АВ0.2

^ _ 5В2 25 "Ж + 5В3

12А23Д ЗАДВ0.1 6АВ02.1 + 6А332 - 12А2В0.і3

25В3 25В3 25В4

123^ 54 Д2 31.0 6Д0.1 3В1.0 + А30.1 — В0.2 2А0.13

^2 _------------------------------------------------------------1-1-1----

2 5В 25 В В 5В 5В2 5В2

3ДВ0.1 + 123АД + 6А232 - 12В0.1А3 + 6В021

25В2 25В3

Псевдоинвариант 0 веса -2 равен:

0 = А ’ 0_ В • (24)

Псевдовекторное поле в веса -1:

в1 = 00.1 - 2^20, в2 _ -01.0 + 2^10, (25)

где величины <^г при А _ 0 равны

сВР + А1.0 3^ ооВР + А1.0 о В10 + А0.1 + 3В^ 6 ( л

^ _ -3 5А +5О. ^ _3В 5А2 - 3-----------5А--------+ 5Д (26)

а при В _ 0 равны

О л А3 - В0.1 0А0.1 + В1.0 - 3АД 6^ 0А3 - В0.1 3 с,

^ _ А 5В--3---------5В----------5^ _ 3^^ - 5 (27)

Псевдоинвариант Ь веса -4:

ь _в1в2(в1.0 - в21) + (в2)2в1.1 - (в1)2в2.0-

1 (28)

- р (в1)3 - 3^(в1)2в2 - 3Дв1(в2)2 - 3 (в2)3 - ^02.

Псевдоинвариант ь1 веса -5:

Ь1 _ Ь1.0в1 + Ь0.1в2 - 4Ь(^1в1 + <^в2)• (29)

Псевдоинвариант Ш веса -6:

W _ V,Ь1 _ (Ь1)1.0в1 + (Ь1)0.1в2 - 5Ь1(^1в1 + <^в2). (30)

Псевдоинвариант V веса -3:

V _ VaЬ1 _ (Ь1)1.0В - (Ь1)0.1А - 5Ь1(В^1 - А^2). (31)

Псевдовекторное поле £ веса 3:

£ _ -20а - 7, (32)

где в случае А _ 0 поле 7 равно

д _ 6ВЖ(ВР + А1.0) 18ЖВ^

^ _ 542 + 5А +

+ 1^№.»+ Ли) - N01 - I2^ - 20В,

5А 5

72 _ - 6Ж(ВрА+ А1.0) + N1.0 + 6^ + 20А,

а в случае В _ 0 равно

71 _ - 6Ж(Аі5В В0.1) - N01 + 5^ - 20В, 5В 5

y2 _ _ 6AN(AS - B0.1) + 18NAR

5B2 5B

6N(А°Л + Bi.0) + ni o _ 12 + 2^a.

5B ^ 5

Псевдоинвариант Г веса 4:

Г _ Y УЫ.о _ Y°.i) + (Y2)2Y°.i _ (Y 1)2Y2.° +

M M (33)

+ P (y1)3 + 3Q(y 1)2y2 + 3Ry 1 (y2)2 + S (y2)3 1 j

+ M .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. Liouville Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur leurs applications // J. de L’Ecole Polytechnique. V. 59. 1889. P. 7-76

2. S. Lie Theorie der Transformationsgruppen III Teubner Verlag. Leipzig. 1930.

3. A. Tresse Sur les invariants differenties des groupes continus de transformations // Acta Math. V. 18. 1894. P. 1-88.

4. A. Tresse Determination des Invariants ponctuels de V'Equation differentielle ordinaire de second ordre: y'' = w(x,y,y') // Preisschriften der frstlichen Jablonowski’schen Gesellschaft XXXII. S. Hirzel. Leipzig. 1896.

5. E. Cartan Sur les varietes a connection projective // Bulletin de Soc. Math. de France. V. 52. 1924. P. 205-241.

6. G. Thomsen Uber die topologischen Invarianten der Differentialgleichung y" = f (x, y)y'3 + g(x, y)y'2 + h(x, y)y' + k(x, y) // Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat. V. 7. 1930. P. 301-328.

7. C. Grissom, G. Thompson and G. Wilkens Linearisation of Second Order Ordinary Differential Equations via Cartan’s Equivalence Method // Diff. Equations. V. 77. 1989. P. 1-15.

8. Романовский Ю.Р. Вычисление локальных симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом эквивалентности Картана // Рукопись. С. 1-20.

9. L.A. Bordag and V.S. Dryuma Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry // NTZ-Preprnt 24/95 "addr Leipzig, 1995; Electronic archive at LANL (1997). solv-int #9705006. P. 1-18.

10. A.R. Its and V.Yu. Novokshenov The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations // Lecture Notes in Mathematics. V. 1191. Springer-Verlag. New York/Berlin. 1986.

11. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи Мир. Москва. 1987.

12. Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве Минск. 1990. 150 с.

13. V.V. Dmitrieva, R.A. Sharipov On the point transformations for the second order differential equations // Electronic archive at LANL (1997). solv-int #9703003. P. 1-14.

14. R.A. Sharipov On the point transformations for the equation y" = P + 3 Qy' + 3 Ry'2 + Sy'3 // Electronic archive at LANL (1997). solv-int #9706003. P. 1-35.

15. R.A. Sharipov Effective procedure of point classification for the equations y'' = P + 3 Qy' + 3 Ry'2 + Sy'3 // Electronic archive at LANL (1998). MathDG#9802027. P. 1-35.

16. N. Kamran, K.G. Lamb & W.F. Shadwick The local equivalence problem for d2y/dx2 = F(x,y,dy/dx) and the Painleve transcendents // J.Differential geometry. V. 22. 1985. P. 139-150.

17. A.V. Bocharov, V.V. Sokolov, and S.I. Svinolupov On some equivalence problem for diffrential equations // Preprint ESI-54, International Erwin Schrodinger Institute for Mathematical Physics. Wien. Austria. 1993. P. 1-12.

18. M.V. Babich and L.A. Bordag Projective Differential Geometrical Structure ot the Painleve Equations // J. of Diff. Equations. V. 157 (2). 1999. P. 452-485.

19. J. Hietarinta and V. Dryuma Is my ODE is Painleve equation in disguise? // J.of Nonlin. Math. Phys. 2002. 9(1). P. 67-74.

20. Raouf Dridi On the geometry of the first and second Painleve equations // J. Phys. A: Math. Theor. V. 42. 2009. P. 1-9.

21. Картак В.В. Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве I и II // Депонировано ВИНИТИ. № 612-В 2006.

22. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям Москва. Наука. 1976.

Вера Валерьевна Картак,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]