Специальные случаи уравнений Пенлеве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ © В. В. Картак

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 6718.

E-mail: [email protected]

Известно, что классические уравнения Пенлеве обладают тривиальной алгеброй точечных симметрий. Однако при специальных значениях параметров уравнения могут вырождаться. В статье рассмотрены вырожденные случаи уравнений Пенлеве, которые обладают 8-, 2- и 1-мерной алгеброй точечных симметрий. Для всех остальных значений параметров вышеупомянутая алгебра 0-мерна.

Ключевые слова: уравнения Пенлеве, алгебра точечных симметрий, точечное преобразование, инвариант.

Введение

Уравнения Пенлеве известны с конца XIX в. Французский ученый П. Пенлеве и его последователи Б. Гамбье и Р. Фукс [1-4] открыли шесть не-редуцируемых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решения которых не содержат подвижных особых точек, отличных от полюсов. В 80-е гг. XX в. уравнения Пенлеве пережили «второе рождение», когда М. Албовитц, А. Рамани, Х. Сегур выяснили [5], что свойство Пенлеве тесно связано с интегрируемостью дифференциальных уравнений математической физики. В настоящее время уравнения Пенлеве применяются в статистической механике, физике плазмы, теории квантовой гравитации, квантовой теории поля, теории нелинейных волн, нелинейной оптике и др.

Уравнения Пенлеве знамениты также тем, что их решения определяют специальные функции, которые не выражаются через элементарные функции. Алгебра точечных симметрий каждого из шести уравнений Пенлеве 0-мерна и они не допускают понижения порядка. Однако при специальных значениях параметров (уравнения Пенлеве III, V и VI зависят от четырех параметров, уравнение Пенлеве II от одного параметра и уравнение Пенлеве IV от двух параметров) уравнения могут вырождаться и допускать нетривиальные алгебры точечных симметрий [6]. В статье рассмотрены такие вырожденные уравнения, которые получаются из уравнений Пенлеве III, V и VI и допускают алгебры точечных симметрий размерностей 8, 2 и 1.

Запишем уравнения Пенлеве III, V и VI следующим образом (для удобства набор параметров представим в виде 4-хмерного вектора).

Инварианты уравнений Пенлеве

Все уравнения Пенлеве содержатся в следующем классе уравнений: у" = £(X, у)у" + ЗК(х, у)уг + 3(2(х, у)у + Р(х, у), (4)

который переходит в себя при действии произвольных точечных преобразований ~ = ~(х, у), ~ ~ (х, у). Факт замкнутости уравнений (4) позво-

ляет строить геометрические объекты, ассоциированные с уравнением. Важнейшими из таких объектов являются геометрические инварианты. Определение 1. Функция 1(х, у) определенная через функции Р(х, у), Q(x, у), Я(х, у) и Б(х, у) является инвариантом уравнения (4), если после выполнения замены переменных выполнено равенство:

I(х у) = I (~(х ух~(х у)).

Теория инвариантов уравнений (3) разрабатывалась такими классиками как Р. Лиувилль [7], С. Ли [8], А. Трессе [9] и др. В 90-х гг. XX в. она была выведена на качественно новый уровень Р. А. Шари-повым в работах [10-12]. Он использовал последние достижения компьютерной математики для построения классификации и явного вычисления инвариантов уравнений (4). В. В. Картак (Дмитриева) в работах [13-14] использовала эти инварианты для исследования уравнений Пенлеве.

Для исследования специальных случаев уравнений (1-3) нам понадобятся определения некоторых величин и инвариантов.

РШ (а, Ь, с, — y" — _Lу 2 —1 у +1 (ay2 + ь)+ cy3 + —, у x x у

PV (a, b, c, d) у" — (± + Л_ 1 у'2 — і у' + (У-12 (ay + Ь1 + СУ + — Ку!1) .

І 2 у у — 1) x x І у ) x у — 1

, 1 ( 1 , 1 , 1

у —— І —і---------1------

PVI (a, Ь, с, — 2 І у у — 1 у — x

у1 —І1 + 1

x x —1 у — x

у +

x 2( x — 1)2

+ у( у—1)( у — x) ( a + bJL + + — x(x —1)

(у — 1)2 (y — x)2

(1)

(2)

1

+

А = Ро.2 - 2Й.1 + R,o + 2Р5,0 + £Р.0 - 3Р^0.1 - 3ЯР0Л - 3QRl 0 + 6QQo.l, (5)

В = £,о -2^.1 + Qo.2 -2£Ро.1 -Р£о.1 + 3^, + 3QSl.o + 3RQo.l -6ЩЯ. ( )

Здесь и далее частные производные обозначим так: и = 9'+.

'.* /д'хд ■’у'

Теорема 1 (Теорема Лиувилля). Уравнение (4) эквивалентно уравнению уп = 0 относительно точечных преобразований общего вида тогда и только тогда, когда одновременно А = 0 и В = 0 из (5).

Если для некоторого уравнения (4) выполнены условия теоремы Лиувилля, то существует точечная замена

* г\

переменных, переводящая его в у = 0 .

Для уравнений Пенлеве выполнены соотношения А Ф 0 и В = 0. Они не являются инвариантными (подробнее - в работах [13, 14]).

Базовые инварианты уравнений Пенлеве равны:

I =м I = °_ і = _г J = Е_ J =

1 N2’ 2 N ’ 3 N ’ 1 N3 ’ 2 N7'

Здесь N = А1 + ЛА, М = 6т01 - AN01 -12 АЖ, 0 = Qoл - 2Л10 = 0, Е = -Ац\

г = Сц- - оці, г = СП(С10 - до.і) + о2Со.і - с2Рі, + рс3 + зес2р + злсо2 + ж3

(6)

М

М

М

С =

6^0.1 5 А

- N0.1 - 12 ж, о = -—Ат + N1.0 + 6 №, ц1 = м о.1 - 12АоМ+^ям, ц2 = -м 1.о +12 ^ - ^ом.

5

5 А

5

5 А

5

5 А

5

Теорема 2. Если все инварианты (6) функционально зависимы (но не все они являются константами), то алгебра точечных симметрий уравнения 1-мерна.

Теорема 3. Если все инварианты (6) константы, то алгебра точечных симметрий уравнения 2-мерна. Доказательство теорем 2 и 3 содержится в работах [11, 12].

Вырожденные случаи уравнений Пенлеве 1. Уравнения с 8-мерной алгеброй точечных симметрий

Уравнение Пенлеве III (0,0,0,0)

У =-У У

-У

Уравнение Пенлеве V (0,0,0,0)

,1 + 1 І ,2 1 , ■

У =1 Т- +--------------7 ІУ — У ;

,2У У -1) х

Уравнение Пенлеве VI (0,0,0,1/2)

У =

1 1 1

— +-------+-------

У У -1 У - X

У

1 1 1

— +-------+-------

X X -1 У - X

У +

У( У -1)

2х(х -1)(У - х)

Согласно Теореме Лиувилля все три уравнения эквивалентны у = 0.

(7)

(8)

(9)

2. Уравнения с 2-мерной алгеброй точечных симметрий

Уравнение Пенлеве III с тремя нулевыми параметрами.

В работе [15] описаны преобразования переменных, переводящие уравнения Пенлеве III с тремя нулевыми параметрами друг в друга.

Уравнение

(10)

заменой переменных х = у у = 1/ переводится в

’ /у

уравнение

РІІІ (-_, 0, 0, 0) у" = 1 у2 -1У - _уУ- .

У X X

Оно, в свою, очередь, заменой X = ~^, У = у *

переводится в уравнение

РІІІ (0, 0, -Ь, 0) у" = IУ2 -1У - _У3 У X

которое заменой водится в уравнение

переменных X = ЗУ у = 1/ пере-

9 у /у

РШ (0, 0, 0, Ь) у = 1 у2 -1 у 3 + Ь.

у х у

Таким образом, фактически мы имеем вместо четырех всего один случай. Инварианты этого уравнения равны

X

X

X

Л = 3, 12 = 0, 13 = -1, 7! =-л = 0.

1 5 3 15 1 25

Тогда по теореме 3 уравнение имеет 2-мерную алгебру точечных симметрий.

Опишем эту алгебру. Пусть X = ^^ + ^^ -

ах ду

соответствующий инфинитезимальный оператор. Возможны Х = х • 1п х - 2х, ^ = У • 1п х и £ = х, ^ = у.

Известно, что дифференциальное уравнение второго порядка, обладающее 2-мерной алгеброй точечных симметрий можно проинтегрировать. Общее решение уравнения (10) есть линейная комбинация частных решений у1 (х) и у2 (х) , где

х ч 2

х • ^А ( хВ Ь '

У, (х) =

X • eA i xB b

2 BxB 1 e A + B

X • X

■v 2( x ) = 2BeA

b

b Ф 0, A, B = const.

хВ В

3. Уравнения с 1-мерной алгеброй точечных симметрий

Уравнение Пенлеве III с двумя нулевыми параметрами и Л = 0.

Согласно работе [15]

РШ (0, Ь, 0, ¿) у" = I у'2 -1 у3 + Ь + а

х У

/У

ся в уравнение

РШ (-Ь, 0, -а, 0) у" = Iу'2 -1у.з - V - ¿у3.

у х х

Значит это - тоже один случай.

Обозначим ^ = х<а/, , тогда инварианты равны:

V

заменой переменных X = X, V

(11) переводит-

= 3 64t2 - 4t +1 1 = 5 ^ (8t +1)2 ’

I2 = 0,

I3 =

1 (1 + t)(64t2 - 4t +1)

15 (4t +1)3

18 512t3 - 328t2 + 34t +1 25 ^ (8t +1)3 ,

J 2 = 0.

По теореме 2 уравнение имеет 1-мерную алгебру точечных симметрий. Для нее X = х, ^ = у. Уравнение Пенлеве V (а, Ь, 0, 0).

1

1

V =| — + —- IV --V +

12 V V -1 I X

1. /, (V -1)

b

X2 С + V

(12)

Инварианты (6) зависят только от переменной V, причем I = 0, J2 = 0. По теореме 2 уравнение имеет 1-мерную алгебру точечных симметрий, для которой x = x, h = 0.

Заключение

Таким образом, описаны все специальные случаи уравнений Пенлеве, имеющие нетривиальные алгебры точечных симметрий. Уравнения PIII (0, 0, 0, 0) (7), PV (0, 0, 0, 0) (8), PVI (0 ,0 ,0 ,1/2) (9) имеют 8-мерную алгебру, уравнения PIII (0, b, 0, 0) (10) имеют 2-мерную алгебру, уравнения PIII (0, b,

0. d) (11) и PV (a, b, 0, 0) (12) имеют 1-мерную алгебру точечных симметрий.

Работа выполнена при финансовой поддержке DAAD и Министерства образования РФ «Михаил Ломоносов» 2008.

ЛИТЕРАТУРА

1. Painlevé P. // Bull. Soc. Math Phys. France. 1900. V. 28. P. 201-261.

2. Painlevé P. // Acta Math. 1902. V. 25. P. 1-85.

3. Gambier B. // Acta. Math. 1910. V. 33, P. 1-55.

4. Fuchs R. // C. R. Acad. Sci. (Paris). 1905, V. 141, P. 555-588.

5. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H.// J. Math. Phys. 1980.

V. 21. P. 1006-1015.

6. Громак В. И., Лукашевич Н. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск, 1990. 150 с.

7. Liouville R. // J. de L’Ecole Polytechnique. 1889. V. 59. P. 7-76.

8. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen III, Leipzig: Teub-ner Verlag, 1930.

9. Tresse A. // Acta Math. 1894. V.18. P. 1-88.

10. Dmitrieva V. V., Sharipov R. A. // Electr. arch. at LANL. 1997. solv-int #9703003. P. 1-14.

11. Sharipov R. A. // Electr. arch. at LANL. 1997. solv-int #9706003. P. 1-35.

12. Sharipov R. A. // Electr. arch. at LANL. 1998. Math.DG #9802027. P. 1-35.

13. Dmitrieva V. V. // Progress in Analysis. Proc. of the 3rd Int. ISAAC Cong., Volume I. New Jersey-London-Singapore-Hong Kong: World Scientific, 2003. P. 499-508.

14. Картак В. В. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2003. 116 с.

15. Hietarinta J., Dryuma V. // J. Nonlin. Math. Phys. 2002. V. 9(1). P. 67-74.

2

e

+

Поступила в редакцию 28.01.2009 г.