Критерии эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка уравнениям Пенлеве i и Пенлеве Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯМ ПЕНЛЕВЕ I И ПЕНЛЕВЕ II.

В.В. Дмитриева ([email protected]), Башкирский государственный университет

На основе классификации уравнений второго порядка относительно точечных преобразований общего вида найден эффективно проверяемый критерий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка уравнениям Пенлеве I и Пенлеве II.

Класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальной по производной правой частью

(1.1) у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S(x, у)у'3.

замкнут относительно точечных преобразований общего вида

Г х = х(х, у), (1-2) „ „;

I У = У(х,У)-

Это означает, что для любого уравнения (1.1) преобразованное уравнение имеет вид

(1.3) у" = Р(х, у) + 3Q(x, у)у' + 3R(x, у)уп + §{х, у)у'3■

Предположим, что у нас есть два конкретных уравнения (1.1) и (1.3). Проблема существования точечной замены (1.2), переводящей уравнения (1.1) и (1.3) друг в друга известна как проблема эквивалентности. Исследование проблемы эквивалентности имеет долгую историю (см. [1] - [25]). Уравнения Пенлеве впервые были получены в начале XX века П. Пенлеве и его учеником Б. Гамбье. Это уравнения второго порядка, не интегрируемые в квадратурах, решения которых не имеют подвижных

Typeset by Д^5-ТеХ

особенностей за исключением полюсов (см. [26]). Уравнения Пенлеве принадлежат классу уравнений (1.1). Первые два уравнения Пенлеве выглядят следующим образом.

(1.4)

Р1 : у" = 6 у2 + х,

РП : у" = 2у3 + ху + а.

В настоящее время уравнения Пенлеве играют важную роль при решении ряда задач математической физики (см. [27], [28]). Вопрос о том, эквивалентно ли некоторое заданное уравнение (1.1) одному из уравнений Пенлеве является актуальным.

В работах [6] -[9] Э.Картан ассоциировал уравнения (1.1) с уравнениями геодезических в пространствах проективной связности. Проективные структуры, порожденные уравнениями класса (1.1), в том числе и уравнениями Пенлеве, исследованы в серии работ В.С.Дрюма, Л.А.Бордаг и М.В.Бабич [13]—[18]. В работе [18] найдены необходимые и достаточные условия редукции уравнения вида

(1.5)

У" = /(х, у)

к шести уравнениям Пенлеве. Однако для применения критерия из [18] необходимо первоначально привести исходное уравнение (1.1) к виду (1.5). Для произвольного исходного уравнения (1.1) эта процедура может оказаться неэффективной.

Построенный в данной работе критерий эквивалентности уравнений (1.1) первым двум уравнениям Пенлеве (1.4) является эффективным и сводится к простой подстановке известных функций Р, С}, Д, 5 и их производных в алгебраические равенства. При построении критерия была использована классификация уравнений (1.1) относительно точечных преобразований (1.2) (см. [22]—[24]).

2. Точечная классификация.

Выпишем основные формулы из [24], необходимые при дальнейших исследованиях. Для сокращения записи используем обозначения

д*+з ф

^ ~~ 0.г;0ц1 '

Точечные преобразования (1.2) можно интерпретировать как переход от одних криволинейных координат на плоскости к другим. Матрицы Якоби прямой и обратной замены координат выглядят следующим образом:

(2.2)

5 =

®1.0 ®0.1 У 1.0 У0.1

т =

®1.0 ®0.1

У 1.0 У 0.1

КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ...

3

Определение 1. Псевдотензорным1 полем веса т типа (г, в) называется индексированный массив величин , который при точечных заменах переменных вида (1.2) трансформируется по следующему правилу:

(2.з) /•;;;••;;; = ^ т)т ^ 5;;... 51- т«1... т?ш Р?1-?-

Рг ]1

91---9»

р1...ргд1...дв

(2.4)

Пара величин а1 = В и а2 = —А, таких что

А = р0 2 — л + ла.0 + 2р510 + ЗР± 0 —

- зрдол - здрол - зддьо + 6<з<2ол,

В — Б2.о 2Д1Л -Ь 25Р0.1

+ 35(5 1.0 + 3(55 1.0 + зд<5 0.1 — бЯЯг о

при замене координат (2.2) преобразуется как псевдовекторное поле веса 2. С точностью до умножения на константу компоненты этого поля совпадают с величинами Ь1 и 1*2, полученными еще Р.Лиувиллем в [1].

Компоненты второго псевдовекторного поля /З1 = б и /З2 = Д" веса 4 имеют вид:

б = -ВВ1 о - ЗАВ0! + АВА01 + 35Л2 - 6ЯВА + 3<5£2, (2.5) .

Н = -АА0Л - ЪВА10 + 4АВ10 - 3РВ2 + 6<5АВ - 3ЯА2.

Для поднятия и опускания индексов используем кососимметричную матрицу

(2.6)

¿^ = =

О 1 -1 О

Скалярное произведение полей а и ¡3 является псевдоскаляром веса 5 и может быть представлено в следующем виде

(2.7)

2 2 г=1з=1

1 Следует заметить, что в работах [29], с.64 и [30], с.68-69 псевдотензор определялся как тензор, заданный с точностью до произвольного множителя, если же этот множитель совпадал с целой степенью определителя обратной матрицы перехода (с1е1;Т)т, то данная величина носила специальное название тензорная плотность (см. [31]).

Величины 0* •, соответственно равные

©и = Я, ®12 = ®21 = 0122 = 5,

(2.8)

©22 = "Л

®12 = ®21 = —

®22 =

служат для определения величин Г*- по правилу

(2.9)

■р/с _ г\к _

г! ~ и

4 + з

6? =

В формуле (2.9) 6? - символ Кронекера,

1 при г = к,

О при г ф к,

компоненты будут определены ниже.

Индексированный массив Тг-к из (2.9) при замене координат (2.2) преобразуется по правилу преобразования аффинной связности.

Наличие аффинной связности позволяет определить операцию ковари-антного дифференцирования для псевдотензорных полей

31—3.

. У ■'■•••У 8

дхк

+ Е

2

Ер!»

1 кь

(2.10)

п = 1г ^ г, = 1

^ 2 ЕЕ

п = 1

кз п

Г111 » ¿1 •••./'»

,, ' "'у !' '"/ .../..

Каждое из уравнений (1.1) относится к одному из трех случаев. В каждом случае в [23]—[24] приведены формулы для вычисления инвариантов преобразований (1.2), определена размерность группы точечных симмет-рий уравнений (1.1).

(1) Случай максимального вырождения: А = 0 и В = 0, тогда ¥ = 0. Этот случай является наиболее изученным. Все уравнения (1.1), относящиеся к этому случаю, заменой переменных сводятся к уравнению у" = 0. Алгебра точечных симметрий уравнений 8-мерна и изоморфна 5^(3, Ж) (см. [1], [11], [12], [21] и др.)

(2) Случай общего положения: А ф 0 и В ф 0. Уравнения могут иметь 2, 1 и 0-мерные алгебры точечных симметрий.

(3) Случай промежуточного вырождения: ¥ = 0, но при этом А ф 0 или В ф 0. Возможные размерности алгебр точечных симметрий - 3, 2, 1, 0. Уравнения с 3-мерной алгеброй точечных симметрий описаны в [19].

В случае общего положения, когда Р ф 0, величины из (2.9) соответственно равны

(2Л1) ъ = -8Г> 92 =

В случае промежуточного вырождения при Р = 0, но А ф 0, у», из (2.9) имеют вид

0ВР + А10 3

V1 = ~ 3-ТА-+

(2.12) 0

1 ; ВР + Л.о „Дх.о + Лол + звд ,

=ЗД 5^ " 3--+ 5

В случае промежуточного вырождения при Р = 0, но В ф 0, у», из (2.9) равны

-.АБ-В0Л Лол + ^.о-ЗЛЛ 6_

^ = -55--5°'

1 ] А5 — В01 Зп

" 5

Случай промежуточного вырождения расщепляется на 7 случаев. Здесь нам понадобятся лишь первый и седьмой случаи промежуточного вырождения.

3. Первый и седьмой случаи промежуточного вырождения.

В случае промежуточного вырождения псевдовекторные поля а и ¡3 из (2.4)-(2.5) коллинеарны. Обозначим за N коэффициент пропорциональности ¡3 = ЪЫа, который в случаях А ф 0 и В ф 0 соответственно равен

N - псевдоскаляр веса 2.

Используя формулы (2.13) в случае А ф 0 и (2.12) в случае В ф О сконструируем дважды ковариантное тензорное поле

(3-2) М.

1 1 3 дхз дх!

Свертка поля (3.2) с полем г!'3 из (2.6) по двум индексам есть псевдоскалярное поле веса 1

, 2 2

(з.з) « = тЕЕ^'-

¿ = 1.7 = 1

Явная формула для О в случае а ф 0 выглядит следующим образом:

_ 2ВА1Л{ВР + А1Л) _ (2в10 + звд)а10 | лз а2

/о , — 2в10)вр ва2 0 + в2р10 в2 о

^ ' --75---75--1--л—Ь

а2 а2 а

, зв, 0д + звд, .„ - в0лр - вр0л | ^

а в случае В ф 0 следующим образом:

_ 2АВ0Л(Л5-Дол) _ (21ол - защв0л , "~~ в3 в2

/о с л (в10 — 2а0л)аб ав0 2 — а2 б 0л а02

+ в2 в2 в~

3^4.о. 1-й ~Ь З.АДо.1 — -<4-1.— А3х,0

~г ^ Т Л^о

Псевдовекторное поле £ веса 3

2

(з.б) у^'Г'У.х

3=1

служит для определения псевдоскалярного поля М веса 4 и псевдовекторного поля 7 веса 3

(3.7) М = -Ё«>Г, 7 = —20а —

Явные формулы для М и для 7 при

^ 6 6 12

+ + -АГЛл - АЛГ0Л - уЛАГД,

! _ 6BN{BP + A10) 18 NBQ 7 =С =--ЪА?- 5Ä

. N 6 N(B10+A01) 12

(3.9) +-1 _ ~ ^.i ~ -T^R - 2ПВ,

иЛ о

(3.10) S=D = - + + ¡NQ + тА. При В ф 0:

м = _12 АЩАЗ В0,) _Шо1 + 2,_

(ЗЛ1) 6 6 12

- -АГЛол - gJVSx.o + Д^.о - —BNQ,

(3.12) 71 = С = - -N01+6-NR- 2ÜB,

\ ) I ъв 0.1 5

2 _ 6ЛАГ(Л5 - Вол) 187VAR

7 ~ ~ + 5S

(3.13) +

o.D о

3.1. Первый случай промежуточного вырождения. Первый случай характеризуется условием

Мф О,

М вычисляется по формуле (3.8) или (3.11). Согласно равенствам (3.6)-(3.7) это означает, что псевдовекторные поля а и 7 не коллинеарны и N ф 0. Построим первые два инварианта, используя формулы (3.1), (3.4) и (3.5):

Компоненты связности, отнесенной к реперу из полей а и 7:

V„a = Р\ха + Г*1Ъ Va7 = Г*2а + Г?21,

(3.16) V7a = Г^а + Г|l7, V77 = Г%2а + Г22г1

также являются псевдоинвариантами преобразований (1.2). В формуле (3.16) Г22 есть псевдоскалярное поле веса 4, поэтому третий инвариант равен

Г1

(ЗЛ7) /з =

Явная формула для Г

! =СР(С1М-Р0Л) Р2С01-С2Р10

(3 18) 22 М М

1 ' ; РС3 + ЪЦС2Р + ЗДСД2 + БР3

+ м •

В равенстве (3.18) величины С к Р определяются согласно формулам (3.9), (3.10) в случае Аф 0 или (3.12), (3.13) в случае В ф 0.

В работах [23] и [24] инварианты (3.14) и (3.16) названы базовыми. Дифференцируя базовые инварианты (3.14) и (3.16) вдоль полей а и 7 на каждом шаге получим 6 новых инвариантов:

, _У аЬ , _У аЬ т _Уд/з

14 7\Г ' 1ъ ' /б "~ЛГ'

/о 104 , (у7^)2 г (У7/2)2 (У7/з)2

(3.19) /7- ^з , /8- туз ' /э" лгз •

Теорема 1. .Если среди бесконечной последовательности инвариантов 1к(х,у), определенных по формулам (3.14), (3.17) и (3.19)

(1) нашлась пара функционально независимых инвариантов, то алгебра точечных симметрий уравнения (1.1) тривиальна,

(2) все инварианты функционально зависимы, но не все из них константы, то уравнение (1.1) имеет 1-мерную алгебру точечных симметрий,

(3) все инварианты константы, то алгебра точечных симметрий уравнения (1.1) 2-мерна.

Подробное доказательство Теоремы 1 см. в [23]—[24]. В число базовых инвариантов не входят инварианты, построенные из оставшихся формулы (3.16). Это связано с тем, что удовлетворяют алгебраическим соотношениям, связывающим их друг с другом и с уже известными инвариантами Величина _Г222 понадобится ниже, поэтому приведем для нее явную формулу: А

5лг

- —!— (~1СВВ1 о - 1СРА01 - 24СВВС} + 9ВР2Я+

¿¡О 1У1

(3.20) + ЬВСВ10 + ЪВРР01 - 1С2А1Л - 12С2ВР)~

1

Г22 = - — {ЪБР2 + 5ССЛ.0 + 12С2<3 + 5РС01 + 24СРЩ-

5 МА

{-1ВР2В10 - 1ВВ2А0Л - 21 £»2В2<5)-

1 {7В2В3Р + 1Р2В2А10).

МА2

3.2. Седьмой случай промежуточного вырождения.

Седьмой случай промежуточного вырождения характеризуется условиями:

(3.22) М = О, N = 0, 0 = 0.

Введем псевдоковекторное поле ш веса -1. В случае А ф 0 его компоненты равны

12РД 54 <32 Рол 6<?10 РА0Л+ВР1Л + А,.0

<Х>1 =-

5А 25 А А 5А 5А2

2В10Р 3(?А10 - \2PBQ 6В2Р2 + 12ВРА10 + 6А20 5 А2 + 25А2 + 25А3 '

ооч 6Л+30 -ЬВР01+ЬВС}01 + 12ПВР МВ<32

(6.¿6) ш2 =-—--1-

5А 5А2 25 А2

_ 2ВВ10Р + ВА01Р + В2Р10 + ВА2 0 _ 12В2РЦ 5А3 25А3

ЪВС}А10 6 ВА20 + 6 В3Р2 + 12 В2А10Р

+

25 А3 25А4

В случае В ф 0 соответственно равны:

6Л + 30 ЬА810-ЬАП01 + 12С}А8 54 АЯ2

5В~+ ЬВ2 25~В2-+

2АА0ЛБ + АВ10Б + Л25ол - АВ0.3 _ 12Л25Д ЬВ3 25В3

(3 24) 4- ЗАКВо1 4- 6АВол + 6Л352 - 12Л2£ол5

25 В3 25В4

= 125(3 54 Д2 5Ь0 6Д0Л 5ВЬ0 + Л50Л - В0.3 Ш2 ЬВ 25 В В ЬВ ЬВ2

2А0ЛБ ШВ0л + 125ЛД 6А2Б2 - 12В01АБ + 6В201 + ЬВ2 25В2 + 25В3 '

При выполнении условий (3.22) данное поле коллинеарно псевдоковектор-ному полю а, полученному из псевдовекторного поля (2.4). Введем коэффициент пропорциональности 0. В зависимости от выполнения условий А ф 0 или В ф 0 он соответственно равен:

(3.25) 0 = ^, 0 = ^.

И образуем псевдоковекторное поле в = V© с компонентами

(3.26) 01 = 0,0-2^0, 02 = 0О.1 — 2^20-

Поля в и а. не коллинеарны. Обозначим в1 = в2 = С, в2 = —#1 = И, тогда соответствующая компонента связности, соотнесенной к этому реперу, равна

2 =СО{С1Л1 - А,л) + О2сол - С2О10-- РС3 - 3<ЗС2£> - 3ДС£>2 - 5£»3.

Псевдоскалярное поле веса -4

(3.27) £ = Г'2 ~ ¿©2 служит для определения инварианта

(3.28) Ь =

Ь5

Теорема 2. В седьмом случае промежуточного вырождения алгебра точечных симметрии уравнения (1.1) 2-мерна тогда и только тогда, когда псевдоскалярное поле Ь из (3.27) тождественно равно нулю.

Теорема 3. В седьмом случае промежуточного вырождения алгебра точечных симметрии уравнения (1.1) 1-мерна тогда и только тогда, когда Ь ф 0 из (3.27) и инвариант (3.28) есть тождественная константа.

Доказательство Теоремы 2 и Теоремы 3 содержится в [23]—[24].

4. Точечные преобразования и коэффициенты уравнений. При замене координат (2.2) производная у' преобразуется по правилу

(Л 1 \ / У1.0 ~Ь УолУ (4л) у = -7--•

Х±,о т х0лу

Для второй производной у" аналогичное преобразование имеет более сложный вид:

„ г/2.0 + ^УггУ' + Уо.зУ'2 + УогУ" у =

(4-2) .....

(®1.0 + ХолУ')2

{Угм + УолУ')(х2.0 + 2х1Лу' + Х0 ^У + холу")

(®1.о + Холу')3

Подстановка формул (4.1) и (4.2) в уравнение (1.1) определяет формулы преобразования коэффициентов уравнения (1.1) при точечных преобразованиях (1.2), здесь ж = ж(ж, у), у = у(ж, у). Формула для коэффициента Р имеет вид

р _ 3<3(ж, у)у1Лх1Л2 + 5(ж, у)у1.0ъ + Р(х, у)жьи | у 0.1^1.0 у 1.0^0.1

(4-3) _ 2

^ У 1.0^2.0 У2.0^1.0 Т О-ГЦЖ, У}У1,0 Х± □

У 0.1^1.0 У 1.0^0.1

При этом знаменатель формулы (4.3) в точности совпадает с якобианом 5 из (2.2) и поэтому отличен от 0. То же самое справедливо и для коэффициентов Д, 5.

Формула для преобразования коэффициента

л _ 1 (6<Э(ж, у)у1.0х1.0х0Л + 2уЬ0Ж1.1 + у0Лх2.0 | Ч; — „ +

" У 0.1^1.0 У 1.0^0.1

^ + 3<Э(ж, у)у0Лх1М2 + 35(ж, у)у1.02у0Л - у2.0х0Л - 2у1Лх1.0 |

ЗР(ж, у)х1.02х0Л + ЗД(ж, у)у1.02х0Л + 6Д(ж, у)у1Лу0Лх1Л)

У 0.1^1.0 У 1.0^0.1

Формула для преобразования коэффициента Д:

~ 1 {-2у1Лх0Л + ЗР(ж, у)х1Мх0Л2 + ЗДг/ол2®ьо , Д = -----1-

2/о.1®1.о У 1.0® 0.1 ^ + 6(3(ж, у)у0Лх1.0х0Л + 2у0Лх1Л + 6Д(ж, у)у1.0у0Лх0Л

у 0.1®1.0 У1.0®0.1 _ У0.2Х1.0 + Зф(ж, у)у1.0хол2 + у^оХо.1 + 35(ж, у)у1Му0Л2)

У 0.1^1.0 У 1.0^0.1

Формула для коэффициента 5 менее сложная:

£ _ у)у0Л3 + Р(ж, у)х0Л3 - у0,2х0Л | ^ ^ 2/0.1®1.0 2/1.0®0.1

3(?(ж, у)уолхол2 + ЗД(ж, у)уол2хол + у0Лх0.2 у 0.1®1.0 У1.0®0.1

5. Уравнение Пенлеве I.

Уравнение Пенлеве I (1.4) по приведенной выше классификации относится к седьмому случаю промежуточного вырождения и имеет тривиальную алгебру точечных симметрий ([33], [34]). Согласно работе [24] существует замена координат, приводящая любое уравнение седьмого типа промежуточного вырождения к виду

(5.1) у" = (±х2 + s(y))y'3.

При этом для уравнения (5.1) выполнены условия А = О, В = 1. Точечным преобразованием х = —12у, у = х уравнение (1.4) приводится к соответствующему виду.

(5.2) у" = ф2 + 12 у)у'\

Пусть некоторое уравнение (1.1) удалось записать в форме (5.1). Опишем явно функции s(y), при которых данное уравнение эквивалентно (5.2).

Утверждение 1. Условие s(y) ф const является необходимым условием эквивалентности уравнения (5.1) уравнению (5.2).

Доказательство. Уравнение (5.2) представляет собой другую форму записи уравнения Пенлеве I, группа точечных симметрий которого тривиальна. Согласно работам [23]—[24] в специальной системе координат величины L и Ii из (3.27) и (3.28) равны

(5.3) L = s(y), h =

s'(y)4

s(y)5 '

Если s(y) = 0, то по теореме 2 алгебра точечных симметрий уравнения (5.1) 2-мерна. Если s(y) = const ф 0, то Д = 0 = const, тогда по теореме 3 алгебра точечных симметрий уравнения (5.1) 1-мерна. Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. Общий вид замены переменных, сохраняющей условие А = 0, В = 1;

( х +д(у),

(5.4) Ну)'2

[ у = Ну)

Доказательство. Если некоторая замена переменных (1.2) сохраняет условие А = О, В = 1, то остается единичным псевдовекторное поле (2.4) веса 2.

= (detT)2

^1.0 ^0.1

у1.0 у 0.1

Приравняем вторые компоненты левой и правой частей данного равенства и заметим, что j/1-0 = 0. Это обстоятельство позволяет ввести обозначения у = h(y). При этом detT = 1/{х1.0h'). Приравняем первые компоненты равенства, получим х2 0h'2 = хх 0. Откуда хг 0 = l/h'2. Интегрируя последнее выражение, найдем общий вид искомой замены переменных. Утверждение 2 доказано.

Преобразуем уравнение (5.1) с условием s(y) ф const при помощи замены переменных (5.4). Новые коэффициенты Р, Q, R, S вычислим используя формулы (4.3)-(4.6):

^ h" 1 Р = 0, <2 = 0, Д = -~, S = h'2g" + igh'2 + ^g2h'4 + sh'4.

Предположим, что преобразованное уравнение совпало с уравнением (5.3):

R = О,

S = -£+12y.

Из последних двух равенств следует К" = 0, д = 0, тогда Ы = С\ и

(5.5) у = С1у + С2. Используя (5.5) получим

(5.6) 8(у)С1 = 12 у. Выразим из (5.5) у и подставим в (5.6). Тогда

12у 12 С2

(5.7)

<у) =

С\ С\ '

Для удобства записи функции в (у) введем две новые константы а и Ь, связанные с С\ и соотношениями С\ = (12/а)1/5, С2 = —Ь/а. Значит

(5.8) з{у) = ау + Ъ.

Замена переменных, переводящая уравнение (5.1) с функцией в(у) из (5.8)

в уравнение (5.2), есть линейная замена:

. = ф'-'^

а а

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть уравнение (1.1) относится к седьмому случаю промежуточного вырождения и в специальной системе координат имеет вид (5.1). Тогда оно эквивалентно уравнению Пенлеве I тогда и только тогда, когда в(у) есть линейная функция (5.8).

В специальной системе координат в(у) = Ь, где Ь - псевдоскалярное поле веса -4 из (3.27). Условие (5.8) по-другому есть в"(у) = 0. При переходе в произвольную систему координат первая производная в' (у) станет кова-риантной производной Ь вдоль поля в, взятой с противоположным знаком в'(у) = — Эта производная есть псевдоскалярное поле веса -5. Ана-

логично вторая производная в" (у) = Уее^ есть псевдоскалярное поле веса -6. Построим инвариант преобразований (1.2):

(5..) Л =

Теорема 5. Уравнение (1.1), относящееся к седьмому случаю промежуточного вырождения, эквивалентно уравнению Пенлеве I тогда и только тогда, когда инвариант /з из (5.9) тождественно равен 0.

6. Уравнение Пенлеве II.

Уравнение Пенлеве II (1.4) относится к первому случаю промежуточного вырождения (см. [33], [34]). Псевдоскаляр М из (3.7) для этого уравнения есть тождественная константа М = 288/5 ф 0, группа точечных симмет-рий тривиальна. После выполнения точечной замены ж = —6у2, у = х уравнение Пенлеве II примет вид

1 2

(6.1) у" = -—у'+ {-х2-2ху-2^а)у'3

Для уравнения (6.1) выполнены условия А = 0, В = 1. Инварианты (3.14), (3.17) уравнения (6.1) соответственно равны

(6.2) /1 = Н /2 = 0, 13 = ±- 1 У--1 ^ах-3'2.

5 15 5 ж 5

(для удобства записи волны над переменными ж и у писать не будем). Из бесконечной последовательности инвариантов (3.19) здесь важную роль играют два инварианта:

!а т 6 У 9 • /К -3/2 г 54 1

(6'3) /б = "5ж"5Ш^Ж ' = _625 ж3'

Комбинация инвариантов /з, 1в, 1д из (6.2) - (6.3), не являющихся тождественными константами, есть новый инвариант 3\

(6.4) 3 = !=(4 + 10/6 - 60/3).

Утверждение 3. Инвариант J (6.4) с точностью до знака представляет собой константу, совпадающую с параметром а уравнения Пенлеве II (1.4) J = ±а.

Следствие 1. Два уравнения Пенлеве II однопараметрического семейства (1.4) с параметрами а и à эквивалентны тогда и только тогда когда а = ±й.

Более того, для уравнения Пенлеве II псевдоскалярное поле Г|2 из (3.21) тождественно равно нулю. Поэтому величина

(6.4) V = Г|2 = О

есть инвариант преобразования (1.2).

Теорема 6. Уравнение (1.1) эквивалентно уравнению PII однопарамат-рического семейства (1.4) с параметром а тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(1) уравнение относится к первому случаю промежуточного вырождения и имеет тривиальную алгебру точечных симетрий;

(2) инварианты (3.14) равны Ii = 18/5, I2 = 0;

(3) инвариант (6.3) равен J = const = а;

(4) дополнительный инвариант (6.4) равен V = 0.

Доказательство. Для уравнения Пенлеве II выполнены условия (1) - (4). Поэтому вышеперечесленные условия являются необходимыми условиями эквивалентности данного уравнения уравнению PII (1.4).

Покажем что эти условия являются также достаточными. Возьмем произвольное уравнение (1.1), для которого выполнены условия (1) - (4). В силу условия (1) это уравнение относится к первому случаю промежуточного вырождения. Следовательно (см. [23]) существует система координат, в которой данное уравнение будет иметь вид

(6.5) у" = ZQy' + 3 Ry'2 + Sy'3

и выполнены условия А = 0, В = 1. В специальной системе координат формулы (3.1), (3.8), (3.11) для псевдоскалярных полей N и M выглядят существенно проще:

12

(6.6) N = Qj^ 0, M = Q1.0--—Q2 ф 0.

О

В силу условия (2) первый инвариант (3.14) Д = 18/5. Вычислим этот инвариант для уравнения (6.5), используя равенства (6.6)

т М 31.0 12 18

Решение дифференциального уравнения (6.8) - функция (}(х,у), равная

1

(6.9) Q(x,y) =

-6ж + а(у) '

Вторая часть условия (2) - это условие равенства нулю псевдоскаляра О из (3.4), (3.5). В специальной системе координат

(6.10) О = R10 - 2<Э0Л = 0.

Проинтегрируем (6.10) по ж, учитывая (6.9)

(6Л1> «•■»> = Ьггщ+«',)-

Формулы (2.4) для А и В позволяют получить дополнительные соотношения на функции Q(ж, у) и R(ж, у). Условие А = 0 выполняется тождественно в силу равенства (6.10):

-2д1Л + r2 0 - zqr10 + 6<2<2oл = о.

Условие В = 1:

(6.12) S20 + 5<Зо.2 + 35Qb0 + 3Q&.0 + 15Д<20Л = 1.

Подставим уже известные формулы для Q(ж, у) и Д(ж, у) в (6.12), получим дифференциальное уравнение на S(ж, у)

S | 35l° | 185 | -Ч^«'2 = :

2*° а(у) — 6ж (а(у) — 6ж)2 (a(î/) — 6ж)3 '

которое удается решить:

5(ж, у) = Ла'(уЩу) - la"(у) + -у(у)(6х - «(у)) +

(6ЛЗ) ï -ГТТ , 4а3(у) - 36жа2(у) - 9а2(у) + 432ж3

+ -ф(у)^х-6а(у) +-108(6ж — а (у))-'

Вычислим инвариант V, используя (6.9), (6.11), (6.13):

у = 36 а'(у) 5 (а(у) — 6ж)3

Согласно условию (4) V = 0, следовательно а = const = С.

Лемма 1. Уравнение (1.1), для которого выполнены условия (1), (2) и (4) Теоремы 6, в специальной системе координат имеет вид

(6Л4) ( 9жС2 — С3 — 108ж3 +

27(С — 6ж)

+ 7(г/)(бж - с) + ±ф(у)у/3бх - ее) у'3.

Вычислим инвариант 3 уравнения (6.14):

54 ф(у)

3 = -

25 у/бг(С - 6ж)3Л

В последней формуле 3\ = У7/з- Согласно условию (3) 3 = а. Запишем это равенство как

(6.15) К^л/С - 6ж + 18аК2(у) = 0.

Соотношение (6.15) расщепляется по степеням (С — 6ж):

(616) =2а(18^ ""12^3 + + ~ 3/3") + = °>

К2(у) =ф' + 3ф(3 = 0.

Лемма 2. Пусть функции (3{у), 7(у), ф(у) и С уравнения (6.14) связаны соотношениями (6.16). Тогда существует замена переменных (5.4), переводящая это уравнение в уравнение Пенлеве II (6.1).

Доказательство. Преобразуем уравнение (6.14) с помощью замены переменных (5.4), используя формулы (4.3) - (4.6). Преобразованный коэффициент Р = 0, а коэффициент С} равен:

(6.17) <5 = - 1

6£ + (6з - С)/г'2 '

Коэффициент (6.17) совпадет с соответствующим коэффициентом уравнения (6.1) только если 6д = С. Таким образом определена первая из неизвестных функций д(у), она представляет собой константу, однозначно определяемую константой С

(6.18) д(у) =

В силу (7.18) коэффициент Д равен:

(6.19)

Согласно (6.1) Д = О, поэтому

(6.20) к" = /ЗД'2. Продифференцируем (6.20) по у:

(6.21) Л,'" = (2/32 + /3')/г'3.

Коэффициент 5 с учетом (6.18), (6.20) и (6.21) имеет вид

2 1

(6.22) 5 = -ж2 + (67 - 4/32 + -С- 20)Ы2х + фЫ3^.

о о

Функция 5 из (6.22) должна совпасть с 5 из (6.1). Приравняем коэффициенты при ж и у/х и получим соотношения:

фЪ!ъ = - 2ia^/Ъ,

(6.23) 1

—2у =(67 — 4/32 + — С — 20)Ь!2.

Выразим Ы3 из первого равенства (6.23) и продифференцируем:

ЗД'2Д" = Я^Ф'Н'.

С учетом (6.20) и (6.23) из последнего равенства следует:

ф' + Ъ(3ф = 0.

Это есть в точности выражение К2{у) из (6.16). Продифференцируем второе выражение из (6.23):

-2 = (67' - 8/3/3' - 2/3")/г'3 + 2/3(67 " 4/3 + \с - 2/3'))/г'3.

о

Применив первую формулу (6.23), получим К^у).

Таким образом определена вторая неизвестная функция д(у): она представляет собой решение дифференциального уравнения (6.20). Тогда условия (6.16) обеспечат выполнение условий (6.23).

Доказательство Леммы 2 завершает доказательство Теоремы 6.

КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ...

19

Пример 1. Уравнение 6.9 из справочника Э.Камке [32];

у" = —ay3 — Ьху — су — d

эквивалентно уравнению РП из (1.4) с параметром d/(b\/— 2).

Благодарности. Автор благодарна своему научному руководителю

Шарипову P.A. за постановку задачи и интерес, проявленный к работе.

Также благодарю Сулейманова Б.И. и Нейфельда Э.Г. за ценные замечания и полезные советы. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 00-01-00068, руководитель проф. Султанаев Я.Т.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

[1] R. Liouville, Sur les invariants de certaines equations différentielles et sur leurs applications, J. de L'Ecole Polytechnique 59 (1889), 7—76.

[2] S.Lie, Vorlesungen über continuierliche Gruppen, Teubner Verlag, Leipzig, 1893.

[3] S.Lie, Theorie der Transformationsgruppen III, Teubner Verlag, Leipzig, 1930.

[4] A. Tresse, Sur les invariants differenties des groupes continus de transformations, Acta Math. 18 (1894), 1-88.

[5] A. Tresse, Determination des Invariants ponctuels de ¡"Equation différentielle ordinaire de second ordre: y" = w(x,y,y')., Preisschriften der frstlichen Jablonowski'schen Gesellschaft XXXII, S.Hirzel, Leipzig, 1896.

[6] E. Cartan, Sur les variétés a connection projective, Bulletin de Soc. Math, de France 52 (1924), 205-241.

[7] E. Cartan, Sur les variétés a connexion affine et la theorie de la relativité generalisee, Ann. de l'Ecole Normale, 40 (1923), 325-412; 41 (1924), 1-25; 42 (1925), 17-88.

[8] E. Cartan, Sur les espaces a connexion conforme, Ann. Soc. Math. Pologne 2 (1923), 171-221.

[9] Э. Картан, Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Платон, Волгоград, 1997.

[10] G. Thomsen, Uber die topologischen Invarianten der Differentialgleichung y" = f(x,y)y/3 + д{я,у)у'2 + h(x,y)y' + k(x,y), Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 7 (1930), 301—328.

[11] C.Grissom, G.Thompson and G.Wilkens, Linearisation of Second Order Ordinary Differential Equations via Cartan's Equivalence Method, Diff. Equations 77 (1989), 1-15.

[12] N. Kh. Ibragimov, Elementary Lie group analisis and ordinary differential equations, Wiley series in mathematical methods in practice; Vol.4, John Wiley & Sons Ltd, England, 1999.

[13] B.C. Дрюма, Геометрическая теория нелинейных динамических систем, препринт Института математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1986.

[14] B.C. Дрюма, О теории подмногообразий проективных пространств, определяемых дифференциальными уравнениями, Сборник статей, Институт математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1989, pp. 75-87.

[15] B.C. Дрюма, Геометрические свойства многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и фазовое пространство динамических систем с финслеровой метрикой, Теор. и Матем. Физика 99 (1994), по. 2, 241—249.

[16] L.A. Bordag and V.S. Dryuma, Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry, NTZ-Preprnt 24/95, Leipzig, 1995; J. of Applied Mathematics (ZAMP) in appear; Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9705006, pp. 1-18.

[17] L.A. Bordag, Symmetries of the Painleve equations and the connection with projective differential geometry, Vllth EWM Meeting Proceedings, Hindawi Publishing Corporation, Trieste, Italy, 1997, pp. 145-159.

[18] M.V. Babich and L.A. Bordag, Projective Differential Geometrical Structure ot the Painleve Equations, J. of Diff.Equations 157 (1999), no. 2, September, 452—485.

[19] Ю.Р. Романовский, Вычисление локальных симметрии, обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом эквивалентности Картана, рукопись, 1—20.

[20] S.Bacso and M.Matsumoto, On Finsler spaces of Douglas type. A generalisation of the notion of Berwald space, Publ. Math. Debrecen 51 (1997), no. 3-4, 385-406.

[21] B.H. Гусятниковаи В.А. Юмагужин, Точечные преобразования и линеаризуемостъ обык- новенных дифференциальных уравнений второго порядка, Матем. Заметки 49 (1991), no. 1, 146-148.

[22] Dmitrieva V. V., Sharipov R. A., On the point transformations for the second order differential equations, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9703003, pp. 1—14.

[23] Sharipov R. A., On the point transformations for the equation у" = P + 3 Q y' + 3 Ry'2 + SylS, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9706003, pp. 1-35.

[24] Sharipov R. A., Effective procedure of point classification for the equations у" = P + 3Qyf + 3Ryf2 + Syf3, Electronic archive at LANL (1998), Math.DG #9802027, pp. 135.

[25] Mikhailov O. N., Sharipov R. A., On the point expansion for certain class of differential equations of second order, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9712001, pp. 1— 8.

[26] Э. Jl. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Научно-техническое издательство Украины, Харьков, 1939.

[27] М. Абловиц, X. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, Москва, 1987.

[28] A. R. Its and V. Yu. Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1191, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1986.

[29] А. П. Норден, Пространства аффинной связности, ОНТИ, Москва — Ленинград, 1950.

[30] В. В. Вагнер, Введение в финслерову геометрию. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Выпуск 7., ОНТИ, Москва — Ленинград, 1949.

[31] И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк, Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т.1, ОНТИ, Москва — Ленинград, 1939.

[32] Э.Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, Москва, 1976.

[33] Дмитриева В. В., О классификации уравнений Пенлеве-I и Пенлеве-П относительно точечных преобразований общего вида, Вестник Башкирского университета 1 (1998), no. I, 9-11.

[34] Дмитриева В. В., Критерий эквивалентности ОДУ второго порядка уравнениям Пенлеве I и II., Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы"., Уфа, 2000, pp. 58 —63.