CC BY
9
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 100-110.
УДК 517.925
«КВАНТОВАНИЯ» ИЗОМОНОДРОМНОЙ
«* 7,1
ГАМИЛЬТОНОВОИ СИСТЕМЫ Н2+1
В.А. ПАВЛЕНКО, Б.И. СУЛЕЙМАНОВ
Аннотация. Рассматриваются два совместных между собой линейных эволюционных уравнения с временами si и s2, зависящие от двух пространственных переменных. Эти
эволюционные уравнения представляют собой аналоги временных уравнений Шредин-
" 7 + 1 "
гера, определяемых двумя гамильтонианами Н£к (si,S2,Qi ,Q2,Pi ,Р2) (к = 1, 2) системы Н 2 +1, которая состоит из пары совместных между собой гамильтоновых систем
уравнений, допускающих применение метода изомонодромных деформаций. Из кано-" " 7+i
нических временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами Н£к ,
их данные аналоги возникают в результате формальной замены постоянной Планка на мнимую единицу. В терминах решений соответствующих линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений метода изомонодромных деформаций, условием совместности которых является гамильтонова система Н 2+i, построены явные решения данных аналогов уравнений Шредингера. В конструкции этих явных решений ключевую роль имеет замена, которая ранее использовалась при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами изомо-нодромной гамильтоновой системой Гарнье с двумя степенями свободы а также двух изомонодромных вырождений последней. Обсуждается вопрос о применимости данной замены и при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами всей иерархии изомнодромных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, являющихся вырождениями этой системы Гарнье. Отме-
" 7 ,1
чена также связь решений гамильтоновых систем Н 2 + с некоторыми задачами современной нелинейной математической физики. В частности, показано, что решения этих гамильтоновых систем явным образом задаются совместными решениями уравнения Кортевега де Вриза щ + иххх + иих = 0 и неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка, посредством которых универсальным образом описывается влияние малой дисперсии на трансформации слабых гидродинамических разрывов в сильные.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, квантование, уравнение Шредингера, уравнения Пенлеве, метод изомонодроных деформаций.
Mathematics Subject Classification: 34М56, 35Q41
1. Введение
Классическим гамильтоиовым системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с п степенями свободы
(\г)'т = я;, Ыт = -К (г = 1 ,...,п), (1)
V.A. Pavlenko, B.I. Suleimanov, "Quantizations" of isomonodromic Hamilton system h5+1. ©Павленко В.А., Сулейманов Б.И. 2017. Поступила 15 сентября 2017 г.
определяемых гамильтонианами Н(т, А1,..., Ап, ..., в волновой квантовой механике еопоетавляетея временное уравнение Шредингера
д д
= Н(Г, <1,..., Сп. -е-д^-,...,(2)
где посредством параметра е = г Н учитывается его зависимость от постоянной Планка К = 2 кН.
Около 30 лет назад вторым из авторов данной публикации было обнаружено, что уравнения вида (2) при п = 1 и е = 1 возникают в контексте теории уравнений Пенлеве, Оказывается, [39], [40], [42], такие эволюционные уравнения связаны с представлением каждого из шести канонических ОДУ Пенлеве = (£, А,А[) (] = 1,..., 6) как через координату гамильтоновой системы с одной степенью свободы вида (1), так и в виде условия совместности линейных дифференциальных уравнений метода изомонодромных деформаций (ИДМ)
= р(С, г, А, А;Ж К' = в (С, г, А, А;щ - в (с ,т2,а,а;) У, (3)
выписанных в классической работе Р. Гарнье [6],
В [39], [40] показано, что явными заменами вида Ф = У ехр(5(г, ()) совместные решения У уравнений (3) переводятся в решения эволюционных уравнений
дФ д
^ = Н ()ф (^=1). (4)
Правые части уравнений (4), уже независящие от А(т) и ^(т), при конкретном выборе
нее задаются гамильтонианами Н = Нj (т,А,у) (] = 1, 6) гамильтоновых систем (1), исключение из которых импульсов ^(т) ^^У второго торядка па координату А (г), совпадающее с соответствующим уравнением Пенлеве, Другой же выбор такой очередности допускает [42] символическую запись этих шести линейных эволюционных уравнений и в виде (2), (Следуя терминологии статьи [41], эволюционные уравнения вида (2) с постоянными е = Ш мы будем далее назвать «квантованиями» соответствующих гамильтоновых систем.)
В последнее десятилетие по тематике, касающейся связей уравнений ИДМ для ОДУ типа Пенлеве с эволюционными линейными уравнениями квантовой механики и (начиная с работы [36]) квантовой теории поля, написан также уже довольно большой ряд других работ [1]-[3], [7], [8], [14] [17], [19]-[24], [26], [27], [32], [35]-[38], [41], [43]-[45].
В частности, в статьях [38], [42] в терминах соответствующих решений систем линейных уравнений ИДМ были построены и решения «квантований» (2) для трех совместных между собой изомонодромных гамильтоновых пар систем ОДУ с двумя степенями свободы. При этом в [38] рассматривалась ситуация так называемой системы Гарнье, возглавляющей целую иерархию изомономонодромных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, которые из этой системы Гарнье могут быть получены [11], [13] посредством процедуры последовательного вырождения, (В [42] строились «квантования» (2) пар гамильтоновых систем ОДУ, являющихся двумя низшими представителями этой иерархии), В Замечании 2 статьи [38] было выражено предположение о том, что с помощью данной процедуры конструкции [38] могут быть расширены и на всю данную иерархию вырождений системы Гарнье, Вероятно, это предположение справедливо. Но для реализации такого расширения процедуру последовательного вырождения, описанную в [11], [13], нужно еще
обобщить иа квантовые операторы, соответствующие не только классическим координатам, но и классическим импульсам (в отличие от известной процедуры последовательного вырождения иерархии шести классических ОДУ Пенлеве, для части из последовательных вырождений, приведенных в [11], [13], задейетвуютея комбинации координат и импульсов). Осуществить же данное обобщение не так просто, поскольку гамильтонианы иерархий га-мильтоновых систем, рассматриваемых в [11], [13], квадратичны лишь по импульсам, но не по координатам, В силу данной причины на настоящее время вопрос о подобном построении решений «квантований» (2) через решения соответствующих линейных уравнений ИДМ для всех членов иерархии вырождений системы Гарнье с двумя степенями свободы остается еще открытым.
Данная статья посвящена решению этого вопроса для одного из представителей данной иерархии - для так называемой [12] системы Н 2 +1, представляемой парой совместных между собой изомонодромных гамильтоновых систем (1) с гамильтонианами (7 - постоянная)
7 +1 3
Н.1 (81,82 ,Я1,Я2,Р1,Р2) = -6в1р\ + 4д2р1 Р2 + 2(^1 + 81)д2 р2 + 47Р1 + 47 + 8^2 + 3 в1д1+
1 13 1
О 0^/0 \ /О \ / \
+ 2Я1Я2 - 2$1Я1Я2 - 2& - 281(3в2 - 2з2т - 2(5в2 - (5)
НС1(81,82 ,д1,д2,Р1,Р2) = 2Р1 - 2Я2Р2 - 41Р2 - 2 $3 + (Я1 + $1)Я2 + ^^ , (6)
и временами, соответственно, т = т = 82.
Прежде чем приступить к изложению основного текста, укажем на то, что в первоначальном списке изомонодромных гамильтоновых вырождений системы Гарнье с двумя степенями свободы, предъявленном в статье [13], пара систем, определяемых гамильтонианами (5), (6), не была выписана (этот пробел из списка [13] был устранен X, Кавамуко в статье [12]), Между тем гамильтонова система Н2+1, подобно классическим уравнениям Пенлеве, имеет связи с различными вопросами нелинейной математической физики:
1) в разделе 2 настоящей работы будет показано, что решения пары гамильтоновых систем, определяемых гамильтонианами (5), (6), могут быть выражены через совместные решения уравнения Кортевега де Вриза (КдВ)
Щ + иххх + иих = 0 (7)
и стационарной части его симметрии - произвольная постоянная)
( 5иихх 5(их)2 5и3\' , . , .
— Пхххх +-----1-----+ — +2и + ХПх - Зциххх + иих) = 0, (8)
16 V 3 6 18 /х
посредством которых в ситуации общего положения описывается [28]—[30] влияние малой дисперсии на процессы трансформации слабых гидродинамических разрывов в сильные,
2) Д.П, Новиков указал авторам на то, что эта же гамильтонова система задает решения неавтономной гамильтоновой системы Хенона - Хейлеса с гамильтонианом (а - постоянная)
К 2 2ч з 1 2 (а + 1/2)2 1 Ннн = 2(р2 + р2) + О-3 + 2У^2 2д2 - 2щ1, (9)
введенной в рассмотрение в работе [9], Посредством решений этой гамильтоновой системы могут быть представлены решения ОДУ четвертого порядка
ытттт - 10(т2ттт + тт"2) + 6т5 - тт - а = 0, (10)
которые после [9] с самых различных точек рассматривались во множестве публикаций (см., например, [4], [5], [31]), Специальные решения ОДУ (10) с а = 0 еще ранее изучались в широко цитируемой работе В, Перивала и Д, Шевица [18], посвященной некоторым интегрируемым моделям струнной теории,
2. Специальное изомонодромное решение уравнения КдВ
и гамильтонова система Н2+1
2.1. Уравнение КдВ (7) является условием совместности систем линейных ОДУ метода обратной задачи рассеяния (МОЗР)
К = L(A.t.T)V. У = Q(A.i.T)V. (11)
где
L(A.i,x)=(-1A *),
«A-) = (-«3 + £ - Т) (0 -0l) +4A2 (_» 0) + ^ (0 1) + (0 -S|i0- S).
Совместные с ОДУ (8) его решения относятся к классу изомонодромных [33]: оказывается, для таких решений уравнения КдВ имеются фундаментальные решения линейных систем (11), которые удовлетворяют также системе линейных ОДУ
VA = A4A(A.i.x)V; (12)
где A(A.i. ж) — полиномиальная по A-1 матрица (0 - константа)
a(a.i.= Ao(t.+ —A— + —A— + —A3— + —A4— + —A®— ' '
с коэффициентами
/1 0\ /0 - \ (5§U_ 12+ \
A(i,T) = -5^0 -J . Ai(i,x) = 5/^-01 0J . Mt,T) = * (^120i -W+^J .
/ 5/3ux 5/3uxx 5^u2 + 2-ьД
A„ (/ T) = 24 24 72 + 2Ш \
A3(i-. T)=^5J3u - 12^ 5^
(5/3uxx 5l3u2 + , _ T 5j3uxxx 5l3v,ux + , \ 48 96 + 1 " T 48 48 +
0 4£p + "96T - + V
(5l3uxxx + 5l3v,ux tux + 1 5l3uxxxx + + 5@uuxx + + xu _ tu^ _ tuxx \
96 + 96 2 + 2 96 + 96 + 72 + 576 + 6 6 2 I
5f3uxx 5/Зи2 + , T 5l3uxxx 5f3uux + _ 1 .
48 96 + ^ U T 96 96 + 2 2 /
Условием совместности первой из систем уравнений пары (11) с системой (12) как раз и является ОДУ (8), При этом имеет место тождество det A5 = — (00)2 = const, представляющее собой ОДУ четвертого порядка, которому наряду с уравнениями КдВ (7) и ОДУ (8) удовлетворяют все решения w(i.ж) последних.
Замечание 1, Точный вид системы линейных уравнений (12) был нами найден, исходя из вида интеграла Фурье
/те
A exp((xA — ¿A3 + £A5/16))dA, (14)
-те
который, как было отмечено в [28], удовлетворяет линейным частям уравнения КдВ (7) и ОДУ (8), Коэффициенты данной системы были определены с учетом требования того, чтобы пара уравнений МОЗР (11), отвечающее совместным решением (7) и ОДУ (8),
обладало фундаментальным решением V(Х,Ь,х) с лишь одной существенно особой точкой Л = го, имеющим при Л ^ го в некотором секторе комилекеной А-плоскости асимптотику
V(X, г, х) & ехр |-г(Хх + 4гХ3 + /ЗХ5 + сопзЬ 1п А)
С -,)
главный член которой схож с подинтегральным выражением в (14), Таким образом, аналогии между этим интегралом Фурье и совместным решением пары уравнений (7), (8) распространяются на уровень соответствующих уравнений ИДМ, (В соответствии с общей теорией подобных изомонодромных аналогов интегралов Фурье специального вида и практикой их применения - см, [34], [46], а также ссылки в последней работе), С помощью преобразования
У(Х,1,х) = Т (Х,Ь,х)Ф((,Ь,х) = (ДА -1^Ф((,1,х), ( = -X2
совместные решения систем (11), (12) переводятся в решения трех несколько более компактных систем линейных ОДУ
'Фх = Ьг((,1,х)Ф, Фг = дг((,г,х)Ф, фс = в (С,г,х)Ф
(15)
с матрицами - коэффициентами
Ьг(С,1,х)= Т-1ЬТ
(с - Т 1)
д1(С1,х) = т-1дт =
<.
Т 6
-4< - Т
^¡г + Тя + Т С - 4С,2
)
в((,г,х) = -—(х4т-1ат - т-1ГХ)
4^-1 лгГ гт-ггт/^ _ I Вп((,1,х) Ви((,1,х)
В21((,г,х) В22(С,г,х)
)
где
ВП((,1,Х) = -В22((,1,Х) = -
5[3их 5@их
192(
вМ) = ^ + ^ - б* +513и
5@иих Ых 1 192( + 4( -2
2
24
хх 5@и2 Ьи х
В21((,1,Х)
5РС2
5Ри( 5/Зи2
- Щ -
24
576
5[3их
5 (Зихх X
+ Т+2 -
5@иихх 5[Зи3 хи
9б
5/Зи1
+
Ы2
+
192^ 192^ 144( 1152( 12( 12( 4(
Для удобства изложения далее, без ограничения общности, будем считать, что ¡3 = 0.4.
2.2. Гамильтонова система Н2+1, определяемая парой гамильтонианов (5), (6), имеет вид совместных между собой систем ОДУ
= 4р2д2 - 1281Р1 + 4^, |% = 4Р1Я2 + 4^1 + 31)(р2д2 + 7),
^ = -4ур2 - 2р2д2 - 2- ^) - д1д2 + 2$^ - ^в2, К Ш = -4Р1Р2 - 2(д1 + 81)р2 - 2(д2 - 5*2 + 232) + 2з^1 + д^,
2
Гй = 4Р1, || = — 4р2^2 - 47,
др! д «2
3.2 2^1
2
3 «?
52 — "21:
(17)
кИ = — 91 — + 2р 2.
Заменами
^ = ^ Л1 = ^ = ^
92,
1
Л2 = — ^Твр 2; ^ —)
¿2 = 51; В0 = 27 (18)
эти две гамильтоновы системы ОДУ сводятся к совместным между собой гамильтоновым системам
д\л дКл п.^
' дЛ1 = дК1 _
д* 1 = дт =
дЛ2 = дК1 =
И1 = д^2 =
дт дК1
дЪ1 = дЛ1
др.2 дК1
1 д11 = дЛ2
2
(19)
2 Л2
дЛ1 _ дК2 _ О,, \ (¡0
д! = = 2^Л2 — и ,
д2 = Тд^ = 2^2 + 2^1Л2 — ^2Л2 — — Л1Л2 — Л1 + Л1^2 — Ъ
д 2
= — дК = МЛ2 + 2Л1 — ¿2) —
(20)
д 2
с гамильтонианами
де = — дКК2 = —2^2 + 2^2Л2(Л1 + ¿2) — Я°(Л1 + ¿2)
= ^ + (2Л1 — Л2 — ¿2^2 — Л3 — ¿хЛх + ,
^2 = ^2 + 2Л2^2 — — МЛ2 + (Л1 + ¿2)Л2 — + ¿1 + ¿2) + + ^°Л1Л2,
временами т = ¿1; г = ¿2, координатами Л1, Л2 и импульсами
2.3. Пара гамильтоновых систем ОДУ (19), (20) в недавней работе X, Каваками [10 была представлена в виде условия совместности следующих трех систем линейных уравнений ИДМ
'ц = (с + 2Л1 — ¿2)^2
дУ2
{
дГ2 _ V
' 12 = + ( — С2 + <(2* 2 — Л1) + 2^2 — Л2 + ¿2Л1 — ¿1 — ¿2)^2,
дУ1
дС
Ш = ( —С + Л1 + ¿2 )У1 —^1^2,
^ — ) У1 + (с2 + С(Л1 — 2*2) + Л2 + ¿1 + ¿2 — ^2 — *2Л1 + ^^^^) У2.
(21) (22)
Ц = (С — Л1 — ¿2 + + + У2.
(23)
Условием совместности систем (21), (22) является справедливость следующих соотношений
(^1) н = 3 Л? — 2^2 + и, ( Л1) Ц = 2^1, (^2) 11 = ( Л1) ^. Л1
( Л1) ¿2 = —1( Л1) ¿1*1*1 + 3 Л1( Л1) *1 + 1,
1
которая заменами
и Ь2 3 п / . ч
А1 = - - + 2, х = п + 4 4, 41 = ь (24)
переводится в решение уравнения КдВ (7), Таким образом ясно, что пара систем уравнений (21), (22) фактически является Ь — А парой для уравнения КдВ (7), эквивалентной традиционно используемой в МОЗР Ь — А паре, представляемой двумя первыми из трех систем уравнений (15), Эти две пары сводятся друг к другу с помощью совсем простого преобразования. Третье из систем уравнений (15), представляющее собой систему
ставляющей (23) систем линейных уравнений ИДМ для пары гамильтоновых систем (19), (20), С учетом этих замечаний довольно нетрудно прийти к выводу, формулируемому в следующем абзаце.
При 3 = 0.4 замены (18), (24) и
+ иих _ !/их + 1 + ихххх + их + ииХх + и3 + хи _ Ы2 _ ЬаХх
+ ПЙ л + л + о ай + ай + г^а + 1 о 1 о
а9
96 ' 96 4 ' 4 ' 2 _ 96 ' 96 ' 72 ' 576 ' 12 12 4
и-х-х + и2. _ 'ки + X иххх + иих Ых + 1 _ О0 '
48 + 96 2 + 2 96 + 96 4 + 4 2
и>х ихх и Ы X
^ = —24, М2 = 18 + 96 — ^+2 ,
в0 в0 у1 = ев21п <Ф2, У2 = ев1п <Ф1
устанавливают эквивалентность между системами линейных уравнений ИДМ (11), (12) и тремя системами уравнений (21)—(23), а также позволяют выразить общие решения пары совместных между собой гамильтоновых систем, определяемых гамильтонианами (5), (6), через совместные решения и(Ь,х) уравнения КдВ (7) и ОДУ (8),
3. Решения «квантований» системы Н22+1 3.1. 2 х 2 матрица
М = Ф-1 (г] ,г,х)Ф(( ,г,х), (25)
построенная по фундаментальному совместному решению Ф линейных систем ОДУ (15), удовлетворяет двум скалярным пространственно двумерным эволюционным уравнениям - уравнению
С + у
с временем х и уравнению
4(61(( + п) — е — V2)
(( — V)
(27)
с временем ¿. Коэффициенты д1(1 ,х,г/, (), д2(Ь,х,г/, () этих двух уравнений задаются формулами ((Ап)^ - элементы коэффициентов (Ап) матрицы (13))
91^, х, V, О = , х, V, О + ^2(t, х, ц, 0,
92^ ,х,v, О = 24Ч Г1&,х,r], 0 + Г2(г ,х,r], ()) + 4( г3(г ,х,r], О + Г4(г ,х,r], ()), в которых
п(1, X, 'П, 0 = С4 — 'П4 — тс,3 — V3) + (х + т 2)((2 — V2) — 6x1 (С — <п) — -}-—-(о0)2, 14
(Г1 — С)МХ = ^-(М, + Мс) + г]Мт — (Мсс + 91(1, х, Г], С)М (26)
(С—V)Мг = ( 1) ^-^ ( М, + Мс)+4ф1-0Мщ+4(('П—61)МСС+92(I,х,Л, ()М
и
Ы*,*, V, С) =076 + 12(^5)21 — 1(^5)12 + (М! + 2^) (24 — 3*) + (С — »/),
гз(*, X, ъ о = С^3 — С3) — 12^2 — С2) + ( (* + 36¿2)СV — X2) (^ — О + 4^^(О2,
/и / и \ ( и2
, X Ъ О = М4(^5)11 + (3* — 24) (¿5)12 + (^гё +
/ и ижж и* х \ / л \ х 1/л \
15)12 + 576 +^6" — Т — ^(^5)21 — Т)(С—).
В свою очередь, замена
М = (( — ??)ехр(5 (* ,ж))Ж,
определяемая функцией 5(*, ж), которая удовлетворяет двум непротиворечивым соотношениям
зд,х) = м,Ж) = —Г2(^'с), = м,Ж) =о+4^О
—
—
(12_/!(*, = 12/2(*, ж)^ = мжж +и2/2), каждое совместное решение уравнений (26), (27) переводит в совместное решение пары линейных эволюционных уравнений
(С — = С^сс — ^ + ^с — ^—
С4 — ^ — 1й(с3 — + (х + 36 г)(С2 — — (С — ??) — 7
К — V,
02
4
)2
w
(С — = 4^(6^ — + 4 С( Г7 — 6^сс + 24*( Wv — Wc) — 4« — /7)^ + Wc) +
+
24* ( с4 — — 1И(С3 — ^3) + (х + 36¿2)(С2 — г/2) — (С — — 1 ^(б°)Ч +
4
+4 ( С^3 — С3) — 12^2 — С2) + ((х + 36*2)(V — X2)(»/ — О) + 4^^(^°)2
ж
которые уже не содержат зависимости от и(*,х) в своих коэффициентах.
Переход в этих двух последних эволюционных уравнений к независимым переменным
51 = ^4(—И), 5 2 = -щ, £= ^4(С + Г7 — 4*), р = V,
384
W = ехр (*х2 — 16*3х — — *5)((??) Ф сводит их к паре эволюционных уравнений
ф «1 = —6 в 1ФК + 2Р(е + в1)Фрр + 4рф^р + 2(е+в1>(1 + 0°)Фр+
и замена
+ 2(1 + 0°)Ф? +
3
1
1
3
1
Т^С + йРГ — о Р2 — 2 51&, 51(3 в 1 — 2 8 2)С ^ (5 ^ 1 — 2 8 2)р
2
2
2
2
2
Ф
2
2Ф?? — 2рФ рр — 2(1 + 9°)Ф р +
— 2 С3 + ре+2(3 * 2 — 2 ^ 2)С + 31Р
Ф
Ф,
(29)
с полиномиальными коэффициентами.
Последнюю же пару уравнений за счет операторных соотношений
—С — С — = 1 —р — р — = 1
' 5р <9р
символически можно записать как "квантования" (е = 1)
дФ 7+1 д д
^ = HiT (Sl, S2,e,p, —— (¿=1, 2), (31)
определяемые гамильтонианами (5), (6) гамильтоновой системы Н2+1.
Замечание 2, За счет соотношений (30) уравнения (28), (29) можно записать и в виде (в = 1)
дФ 7+1 д д
^ )Ф (i = 1,2).
Таким образом, конструкции разделов 2 и 3 дают решения таких "квантований" (31), Эти решения явным образом выписаны через решения совместных уравнений ИДМ (21)-(23). При этом коэффициенты этих уравнений ИДМ также явным образом выражаются через множество совместных решений классических гамильтоновых систем ОДУ с гамильтонианами (5), (6),
4. Заключение
При построении предъявленных в статье решений «квантований» гамильтоновой изомо-нодромной системы Н 2+1 существенным образом использовалась замена (25), Ключевую роль такая замена играла также при построении решений «квантований» системы Гарнье с двумя степенями в статье [38] и при построении решений «квантований» двух низших представителей иерархии вырождений этой системы в статье [42], Из результатов этих двух статей и настоящей работы напрашивается предположение о том, что данная замена (для несколько иных целей она ранее использовалась Д.П, Новиковым в [36] - см, также формулу (2,3,36) в [25]) должна помочь и при построении решений «квантований» всей данной иерархии,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A. Bloemendal, В. Virag Limits of spiked random matrices I // Probability Theory and Related Fields. 2013. V. 156 No. 3-4. P. 795-825.
2. A. Bloemendal, B. Virag Limits of spiked random matrices II // arXiv:1109.3704. 2011.
3. R. Conte, I. Dornic The master Painleve VI heat equation // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2014. V. 352. No. 10. P. 803-806.
4. P.A. Clarkson, N. Joshi, A. Pickering Backlund transformations for the second Painleve hierarchy: a modified truncation approach // Inverse problems.1999. V. 15. No. 1. P. 175-187.
5. M.V. Demina, N.A. Kudrvashov Polygons of differential equations for finding exact solutions // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. V. 33. No. 5. P. 1480-1496.
6. R. Gamier Sur des equations differentielles du t,roisiem,e ordre dont I'integrale generale est uniforme et sur une classe d'equations nouvelles d'ordre superieur dont I'integrale generale a ses points critiques fixes // Ann. Sci. Ecole Normale Sup (3). 1912. V. 29. P. 1-126.
7. T. Grava, A Its., A. Kapaev, F. Mezzadri On the Tracy-Widomp Distribution for ft = 6 // SIGMA. 2016. V. 12. 105. 26 PP.
8. A.M. Grundland, D. Riglioni Classical-quantum correspondence for shape-invariant system,s // J. Phvs. A. 2015. V. 48. No. 24. P. 245201-245215.
9. A. Hone Non-autonomous Henon-Heiles systems // Phvsica D. 1998. V. 118. No. 1-2. P. 1 16.
10. H. Kawakami Four-dimensional Painleve-tvpe equations associated with ramified linear equations III: Gamier systems and Fuji-Suzuki systems, // arXiv: 1703.01379v2 (2017).
11. H. Kawakami, A. Nakamura, H. Sakai Degeneration scheme of 4'dimensional Painleve-type equations, // arXiv:1209.3836 (2012).
12. H. Kawamuko On the Gamier system, of half-integer type in two variables // Funkcial. Ekvac. 2009. V. 52. No. 2. P. 181—201.
13. H. Kimura The degeneration of the two dimensional Gamier system, and the polynomial Hamiltonian structure // Annali di Matematica pura et applicata IV. 1989. V. 155. No. 1. P. 25-74.
14. A.M. Levin, M.A. Olshanetskv, A.V. Zotov Planck Constant as Spectral Parameter in Integrable Systems and KZB Equations //Journal of High Energy Physics. 2014. V. 2014. 109. (29 PP). DOI: 10.1007/JHEP10(2014)109.
15. H. Nagova Hypergeometric solutions to Schrddinger equation for the quantum Painleve equations // J. Math. Phvs. 2011. V. 52. No. 8. 16 PP.
16. H. Nagova, Y. Yamada Symmetries of quantum, Lax equations for the Painleve equations // Annales Henri Poincare. 2014. V. 15. No. 3. P. 313^344.
17. D.P. Novikov A monodromy problem and some functions connected with Painleve 6 // Intrenational Conference "Painleve equations and Related Topics". Proceedings of International Conference. St.-Petrsburg, Euler International Mathematical Institute. 2011. P. 118-121.
18. V. Periwal, D. Shevitz Unitary-matrix models as exactly solvable string theories // Phvs. Rev. Lett 1990. V. 64. No. 12. P. 1326-1329.
19. H. Rosengren Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. II. Schrddinger equation// arXiv:1312.5879, (2013).
20. H. Rosengren Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model: a summary Commun. Math. Phvs. 2015. V. 349. No. 3. P. 1143-1170.
21. I. Rumanov Hard edge for beta-ensembles and Painleve III //arXiv:1212.533 (2012).
22. I. Rumanov Classical integrability for beta-ensembles and general Fokker-Planck equations // J. Math. Phvs. 2015. V. 56. No. 1. 16 PP.
23. I. Rumanov Beta ensembles, quantum Painleve equations and isomonodromy system,s // arXiv: 1408.3847. (2014).
24. I. Rumanov Painleve representation of Tracy-Widomp distribution for fj = 6 // arXiv:1408.3779. (2014).
25. M. Sato, T. Miwa, M. Jimbo Holonomic quantum fields// Publ. Rims Kyoto Uiv. 1979 V 15. No. 17. P. 201-278.
26. A. Zabrodin, A. Zotov Quantum, Painleve-Сalog его correspondence //J- Math. Phvs. 2012. V. 53. No. 7. 073507. 19 PP.
27. A. Zabrodin, A. Zotov Classical-quantum correspondence and functional relations for Painleve equations // Constr. Approx. 2015. V. 41. No. 3. P. 385^423.
28. Гарифуллин P. H., Сулейманов Б.И. От, слабых разрывов к бездиссипативным ударным, волнам // Журн. Экс. и Теор. Физ. 2010. Т. 137. Вып. 1. С. 149-165.
29. Гарифуллин Р.Н. Сдвиг фазы, для совместного решения уравнения КДВ и дифференциального уравнения пятого порядка // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 80—86
30. Гарифуллин Р.Н. О совместном решении уравнения КДВ и дифференциального уравнения пятого порядка // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. № 4. С. 53—62.
31. Громак В.И. О нелинейных дифференциальных уравнениях четвертого порядка со свойством Пенлеве // Дифф. уравн. 2006. Т. 42. № 8. С. 1017-1026.
32. Зотов А.В., Смирнов А.В. Модификация расслоений, эллиптические интегрируемые системы и связанные задачи // ТМФ. 2013. Т. 177. № 1. С. 3^67.
33. Итс А.Р. «Изомонодромные» решения уравнений нулевой кривизны // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. Вып. 3. С. 531) 565.
34. Китаев А.В. Точки поворот,а линейных систем и двойные асимптотики трансцендентное Пенлеве // Записки ЛОМИ. 1991. Т. 187. С. 53-74.
35. Левин A.M., Олынанецкий М.А., Зотов А.В. Классификация изомонодромных задач, на эллиптических кривых // УМН. 2014. Т.69. Вып. 1(415). С. 39 121.
36. Новиков Д.П. О системе Шлезингера, с матрицами размера 2 х 2 и уравнении Белавина, -Полякова - Замолодчикова // ТМФ. 2009. Т. 161. № 2. С. 191-203.
37. Новиков Д.П., Романовский Р.К., Садовничук С.Г. Некоторые новые методы конечнозонного интегрирования солитонных уравнений Новосибирск: Наука, 2013, 251 с.
38. Новиков Д.П., Сулейманов Б.И. "Квантования" изомонодромной гамилътоновой системы Гарнье с двумя степенями свободы, // ТМФ. 2016. Т. 187. № 1. С. 39-57.
39. Сулейманов Б.И. Гамильтонова структура уравнений Пенлеве и метод изомонодром-ных деформаций // Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений. Уфа: Ин-т мат. 1988. С. 93-102.
40. Сулейманов Б.И. Гамильтоновость уравнений Пенлеве и метод изомонодромных деформаций // Дифф. уравн. 1994. Т. 30. № 5. С. 791-796.
41. Сулейманов Б.И. "Квантования," второго уравнения Пенлеве и проблема эквивалентности его L,A пар // Теор. и мат. физ. 2008. Т. 156. № 3. С. 364-378.
42. Сулейманов Б.И. "Квантования," высших гамильтоновых аналогов уравнений Пенлеве I и II с двумя степеням,и свободы, //Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. Вып. 3. С. 52-62.
43. Сулейманов Б.И. Квантование некоторых автономных редукций уравнений Пенлеве и старая квантовая, теория, // Тезисы международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского «23-е совместное заседание Московского математического общества и семинара имени И.Г. Петровского», Москва, 2011. С. 356-357.
44. Сулейманов Б.И. "Квантовая" линеаризация, уравнений Пенлеве как компонент,а, их L — А пар // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 127-135.
45. Сулейманов Б.И. Квантовые аспекты интегрируемости третьего уравнения Пенлеве и решения временного уравнения Шредингера с потенциалом Морса, // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. № 3. С. 141-159.
46. Сулейманов Б.И. Влияние малой дисперсии на, самофокусировку в пространственно одномерном случае // Письма в ЖЭТФ. 2017. Т. 106. Вып. 6. С. 375-380.
Виктор Александрович Павленко, ФГБОУ ВО БГАУ, ул.50-летия Октября, 34, 450001, г. Уфа, Россия E-mail: PVA100186@mail .ru
Булат Ирекович Сулейманов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: bisul@mail.ru
