CC BY
39
Вычислительные технологии
Том 8, № 3, 2003
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТЕРМИНАХ СКОРОСТЬ - ЗАВИХРЕННОСТЬ*
А.А.Родионов Институт вычислительного моделирования СО РАН
Красноярск, Россия e-mail: aarod@icm.krasn.ru
The optimal system of one-dimensional subalgebras of the Lie algebra of generators is obtained for the equations of plane viscous incompressible fluid flow in velosity — vorticity formulation, the factor-systems are constructed. The group analysis is done for the equations with respect to viscosity function, which depends on time. The examples of the exact solutions are provided.
1. Групповые свойства уравнений
В пространстве переменных (x, y, t) рассматриваются уравнения вязкой несжимаемой жидкости в терминах "вектор скорости — завихренность"
(Jt + u(Jx + v(Jy = V (jxx + (Jyy), ux + vy = 0, vx — uy = J, (1-1)
где u = u(x,y,t), v = v(x,y,t) — компоненты вектора скорости по направлениям x, y; (j(x,y,t) — завихренность; v = const — коэффициент вязкости жидкости.
На первом этапе группового анализа системы уравнений (1.1) исследуются ее свойства на инвариантность относительно преобразований пространства всех независимых и зависимых переменных R6(x,y,t,u,v,(). Поиск наиболее широкой допустимой группы преобразований системы сводится к построению операторов вида
X = i1 д + i2 ТТ + i* I +»' д + п2 тт + п3 i- М
ox oy at ou dv дш
где компоненты векторного поля ( = *, п1, П2, П*) — функции переменных x,y,t,u,v,
(.
Используя классическую методику [1], находим, что алгебра Ли операторов, допустимых системой (1-1), определяется следующим набором базисных операторов:
д д д д д
Xi = я7 , X2 = y^--+ v я--,
at ox oy ou ov
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-15-96162.
© А. А. Родионов, 2003.
д д д д д д
Хз = 2t— + х---+ у— - u— - v---2и— , (1.3)
dt дх ду ди дv ди
д д д д д
Х4 = -ty7;--+ tx^~ - (tv + у)---+ (tu + х) —--+ 2— ,
дх ду ди Ov ди
д д д д Xs(f(t)) = f(t)O + f'(t)O , X6(g(t)) = g(t)д + g'(t)O , дх ди ду Ov
где f (t),g(t) — произвольные функции; f'(t),g'(t) — производные по времени t. Обозначим эту алгебру операторов через L. Видим, что группа Ли преобразований, допускаемых системой (1.1), бесконечномерная, так как преобразования х ^ х + f (t), и ^ и + f'(t), у ^ у + g(t), v ^ v + g'(t), соответствующие операторам Х5(f (t)), Х6(g(t)), сохраняют систему уравнений. Оператору Xi отвечает сдвиг по t, оператору Х2 — вращение в плоскости, Х3 — растяжение. Оператор Х4 связан с инвариантностью системы уравнений (1.1) относительно преобразований [2]
t = t, х = х cos at - у sin at, у = х sin at + у cos at,
и = и cos at - v sin at - ax sin at - ay cos at, (1.4)
v = и sin at + v cos at + ax cos at - ay sin at, и = и + 2a.
Отметим, что система уравнений плоского движения идеальной несжимаемой жидкости в терминах "скорость — завихренность"
ut + иих + vuy = 0, их + vy = 0, vx - иу = и (1.5)
допускает операторы (1.3). Полный набор допустимых базисных операторов для системы (1.5) кроме операторов (1.3) включает еще оператор растяжения [2]
д д д д Х7 = ^ + + у р--и о" •
Ot дх ду ди
Уравнения (1.1) можно получить из уравнений Навье — Стокса в плоском случае
(1.6)
Щ + иих + v-иХу + Рх = v (ихх + иуу),
VI + пьх + УУу + Ру = V(ухх + Ууу) , пх + Уу = 0,
если исключить давление р и ввести функцию завихренности ш = Ух — пу.
Если уравнения (1.6) подвергнуть преобразованиям (1.4), положив параметр а = П, то получим уравнения двумерного движения вязкой несжимаемой жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью П:
п + ППх + УПу + 2Пу + П2Х + Рх = V (пхх + Пуу), (1 7)
Уг + пух + ууу — 2Пп + П2у + ру = V (ухх + Ууу), пх + Уу = 0.
Тем самым проявляется физический смысл оператора Х4 из (1.3). Оператор Х4 связан с инвариантностью уравнений двумерных течений жидкости относительно перехода во вращающуюся с постоянной угловой скоростью систему координат.
2. Оптимальная система подалгебр первого порядка
На основе найденных операторов (1.3) допустимой алгебры Ь возможно построение точных инвариантных решений уравнений (1.1). Но с точки зрения допустимых групп преобразований необходимо выделить такие линейные комбинации операторов из Ь, которые приводят к построению существенно различных точных инвариантных решений. Выделение таких линейных комбинаций базисных операторов является задачей построения оптимальных систем подалгебр. Метод поиска операторов оптимальных систем подалгебр изложен в работах [1, 3].
В данном разделе решается задача построения оптимальной системы подалгебр первого порядка ©1 для алгебры Ь операторов (1.3).
При формировании оптимальной системы подалгебр предварительно вычисляются коммутаторы операторов по формулам
[Хг,Х3] = С%Х% = Хг(Х3) - X(Хг), (2.1)
где С % — структурные постоянные, 1,],к = 1,..., 6; по к производится суммирование. Результат приведен в табл. 1.
Вычислим присоединенную группу А внутренних автоморфизмов алгебры Ь. Для этого рассмотрим оператор общего вида
4
Х = ]>]хгХг + Х5(/) + Х6(д), Х Е Ь,
г=1
где х = (х1х2х3х4¡д) — вектор координат оператора Х в базисе (1.3). На каждом операторе Хг Е Ь строятся автоморфизмы АИх алгебры Ь, действия которых на Х находятся по формуле
2
П ■ П-
А^Хг(пг){Х) = Х + у![Х,Хг] + 2-[[Х,Хг],Хг] + ..., (2.2)
где пг — параметры. Формулы (2.2) определяют координаты X = (Х1х2х3Х4¡д) преобразованного оператора, которые зависят от параметров П и вектора х, порождая группу А внутренних автоморфизмов. Задача нахождения оптимальной системы подалгебр сводится к построению таких наборов х = (х1х2х3x4¡g), что ни один из векторов не может быть переведен в другой автоморфизмами алгебры Ь.
Используя формулы (2.2), определяем полную группу преобразований координат вектора х ч X.
Т аб л и ц а 1
Коммутаторы операторов (1.3)
а, ч Х1 Х2 Хзз Х4 Хб(/(г)) Хб(д(г))
Х1 0 0 2Х1 —Х2 Х5 (/') Хб(д')
Х2 0 0 0 0 Хб(/) Х5 (-д)
Хз -2Х1 0 0 2Х4 Х5 (2г/' - /) Хб(2гд' - д)
Х4 Х2 0 -2X4 0 Хб(-г/) Х5 (гд)
х5(т) Хб(-Ф) Х5(-21ф' + ф) Хб(1ф) 0 0
ХбШ) Хб(-ф') Х5(+р) Хб(-2Ьр' + ф) Х5 (-гф 0 0
Здесь штрих означает дифференцирование по г.
Таблица2
Преобразования автоморфизмов операторов (1.3)
ж1 = ж2 = ж3 = ~4 ж4 = /(í) = g(í) =
Ai ж1 — 2а1ж3 24 ж2 + а1ж4 ж3 4 ж4 f (t — а1) g(í — 01)
A2 ж1 2 ж2 ж3 4 ж4 f cos а2 + g sin а2 —f sin a2 + g cos а2
A3 xig2«3 2 ж2 ж3 ж4е-2«з e"3 f (te-2"3) e"3 g(íe-2"3)
A4 ж1 21 ж Й4ж ж3 ж4 + 2а4 ж3 f cos(a4t) — g sin(a4t) f sin(a4t) + g cos(a4t)
A5 ж1 ж2 ж3 ж4 f + ж1^' + ж3 (2t0' — g + (ж2 — ж41)^
Аб ж1 ж2 ж3 ж4 f + (—ж2 + ж4£)ф g + ж V + ж3(2^' — ф)
Здесь Ai — преобразования, соответствующие AutXi с параметром ai (i = 1, 4). Преобразованию A5 с функцией ф^) соответствует Autx6(^(i)), а преобразованию A6 с функцией ^{t) — AUtx6(^(i)).
Так как операторы определены с точностью до произвольного множителя, не равного нулю, определено преобразование общего растяжения B: х ^ вх, в = const.
Из анализа табл. 1 следует, что алгебра операторов L представима в виде прямой суммы: L = Li_4 фL5,6, где Li_4 = {X1, X2, X3, X4} — конечномерная разрешимая подалгебра, L5,6 = {X5(f),X6(g)} — бесконечномерная подалгебра.
Построение оптимальной системы подалгебр ©1 начинается с рассмотрения конечномерной подалгебры L1-4. Для оператора общего вида ей соответствует вектор координат (x^^x4). Из табл. 2 видно, что X3 = x3 сохраняется под действием всех автоморфизмов.
Случай x3 = 0 после использования преобразований Ai, i = 1, 2, 3, 4, приводит к следующим вариантам вектора (x1x2x3x4): (0000), (x1000), (0ж200), (000ж4), (x100x4). Здесь встречающиеся компоненты отличны от нуля.
Случай x3 = 0 приводит к таким вариантам вектора (x1 x2x3x4): (00x30), (0x2x30). Здесь встречающиеся компоненты также отличны от нуля.
Расширяя L1-4 до полной алгебры L с соответствующим вектором координат (x1x2x3x4f (t)g(t)), используем семь полученных выше вариантов вектора (x1 x2x3x4). На этом этапе существенно проявляются автоморфизмы A5, A6 и общее растяжение B. Окончательно получаем набор векторов, которые не могут быть переведены один в другой внутренними автоморфизмами. Этим наборам соответствует оптимальная система подалгебр первого порядка в1, состоящая из операторов
X1 + aX4, X2 + bX3, X3, X4, X5 (f (t))+ X6(g(t)), (2.3)
где a,b — произвольные постоянные; f (t), g(t) — произвольные дифференцируемые функции.
3. Построение фактор-систем
Перейдем к построению фактор-систем на каждом из операторов оптимальной системы подалгебр (2.3). В тех случаях, когда используются операторы X2 или X4, удобно рассматривать операторы и систему уравнений (1.1) не в декартовых (x,y), а в полярных координатах (r, ф):
x = r cos ф, y = r sin ф, u = Ucos ф — wsin ф, v = Usin ф + Veos ф,
где и,и — компоненты радиальной и тангенциальной составляющих вектора скорости. В новых координатах система уравнений (1.1) примет вид
1 /11
Ut + UUr + - VUv = V U„ + Uw + - U
Г \ ^ Г
1 1 1 1
Ur +— и +— Уш = 0, vr +— v--иш = U.
rr rr
(3.1)
Операторы перепишутся так:
д д д д д д - д д д
Х2 = 7Г , Хз = 2Ь— + т— - и— - V— - 2и— , Х4 = Ь— + т— + 2— . (3.2) др дЬ дт ди ди ди др ди ди
Приведем этапы построения фактор-систем на операторах оптимальной состемы подалгебр (2.3).
1. Построим фактор-систему на операторе Х3, инвариантами которого являются Ь-1/2х, Ь-1/2у, Ь1/2х, Ь1/2у, Ьи. Решение уравнений (1.1) ищем в виде (и,и,и) = (Ь-1/2и(Х,2), Ь-1/2У(Х,2), Ь-1 ^(Х,2)), где Х = Ь-1/2х; 2 = Ь-1/2у. После преобразований в (1.1) получаем фактор-систему
Х ] ^х + (у - 2) 17V = и\уухх -г УУ
-W + (и - —) WA + {у - —) W, = V(W\\ + W^),
Ux + V^ = 0, VA - Uv = W. (3.3)
2. На операторе вращения X2 инвариантное решение уравнений (3.1) ищется в виде (Uv,V,u) = (U(r,t),V(r,t),W(r,t)). Система будет такой:
Wt + UWr = viWrr + 1 Wr) , Ur + 1 U = 0, Vr + 1 V = W. (3.4)
r r r
3. Оператор X4 имеет следующие инварианты: r, t, U, tv - rip, tu - 2p, поэтому решение ищем в виде (v,V,u) = (U(r,t),t-1(rp - V(r,t)), t-1(W(r,t) + 2p)). Уравнения (3.1) перепишутся так:
Wt + UWr - 1 W + — V = v\Wrr + 1 Wr t rt r
Ur + 1 U + 1 = 0, Vr + 1 V = W. (3.5)
r t r
4. Рассмотрим оператор Xi + aX4,a = const = 0, с его инвариантами r, p - a2t2/2, U, V - art, u - 2at. Введем Л = p - a2t2/2, тогда решение уравнений (3.1) ищем в виде (U, V, и) = (U(r, Л), V(r, Л) + art, W(r, Л) + —art). В результате получаем фактор-систему
UWr + 1 VWA + 2a = v\Wrr + 1 W\\ + 1 Wr
r r2 r
Vr + 1 U + 1 V\ = 0, Vr + 1 V - 1 Ux = W. (3.6)
r r r r
При a = 0 оператор Xi = d/dt определяет стационарные решения уравнений (1.1).
5. Для оператора X2 + bX3, b = const = 0, инварианты можно выбрать в виде t-i/2r, t- ' еш, t1/2V, t1/2V, tu. Тогда решение системы (3.1) представимо: (uv,v,u) = (t 1/2U(Л
Ь 1/2У(Л, ^),Ь 1Ш(Л, где Л = Ь 1/2г, ^ = Ь 1/2е6^. После подстановки получаем фактор-
систему
-ж + (и - Л) + (у - |) ши = и
ь2
1.
Ш»л + Л! (^Ш^ + + ^
и»+Л+ь^у^
О, Ул + Л У -
IV.
(3.7)
6. На бесконечномерном операторе Х5(/(Ь))+Х6(д(Ь)) инвариантами являются Ь, д(Ь)х-/(Ь)У, д(Ь)и - /'(Ь)у, /(Ь)у - д'(Ь)х, и. Обозначим через Л = д(Ь)х - /(Ь)у, тогда решение уравнений (1.1) представимо в виде (и,у,и) = (д-1(/'у + и(Ь, Л)), /-1(д'х + У(Ь, Л)), Ш(Ь,Л)). Система (1.1) преобразуется в фактор-систему
Wt + (и - У)Шл = V(д2 + /2)Шлл, и» - Ул = О, дд' - //' + д2У» + /2и» = /дШ. (3.8)
4. Групповая классификация уравнений плоского движения жидкости по функции вязкости
Рассматривая уравнения (1.1) плоского движения жидкости в терминах "скорость — завихренность", будем считать, что коэффициент вязкости — функция времени V = V(Ь):
Ш + иих + УШу = V (Ь) (ихх + иуу),
(4.1)
их + Уу = О, Ух - иу = и.
Чаще всего рассматривается зависимость вязкости среды от температуры. Но в свою очередь можно считать, что температура среды есть функция времени. Модель (4.1) может описывать, например, движение в тонких пленках, когда вязкость жидкости меняется одновременно во всех точках плоскости за счет подогрева подложки (Т = Т1 (Ь), Т1 (Ь) — заданная функция). Возможно описание движения жидкости в плоском слое за счет внутренних источников тепла. Тогда из уравнения теплопроводности Тг = Н(Ь)/ср следует, что Т(Ь) = / с-1к(Ь)М + Т0, где к(Ь) - функция распределения внутренних источников тепла; ср - теплоемкость среды.
Проведем групповую классификацию [1] системы уравнений (4.1) относительно функции V(Ь). Построим точные решения данных уравнений при различной специализации функции вязкости.
Инфинитезимальный оператор, допускаемый системой (4.1), ищем в виде
х =< ■д = С1 I + С2ду ^I +I + п2^ + п31- (4-2)
где С1, С2, , П1, П2, П3 — функции переменных х, у, Ь, и,у, и.
Из критерия инвариантности [1] уравнений (4.1) относительно оператора X найдем
С1 = С2у + С\Ьу + С5х + д(Ь), С2 = -Сх - САЬх + С5у + д(Ь),
С3 = 2СзЬ + С1, п1 = С2у + С4(у + Ьу) - 2Сзи + С5и + /'(Ь), (4.3)
П2 = -С2и - С4(х + Ьи) - 2СзУ + Съу + д'(Ь), п3 = -2СзШ - 2С4,
где Сг, г = 1, 5, — произвольные постоянные; /(Ь),д(Ь) — произвольные гладкие функции. Также получим классифицирующее уравнение, содержащее элемент V(Ь):
2(С5 - С>(Ь) - (2С3Ь + С1)^ = О. (4.4)
аЬ
При произвольном выборе функции V(Ь) уравнение (4.4) может быть удовлетворено, если только С1 = С3 = С5 = О. Тогда базис ядра основной алгебры Ли Ь0, допускаемый уравнениями (4.1) при произвольном выборе V(Ь), образуется операторами
д д д д ^ д д . \ д , , д д
Х2 = ут;--х— + у---и— , Х4 = -Ьу— + Ьх—--(у + Ьь) — + (х + Ьи)— + 2— ,
дх ду ди дь дх ду ди дь ди
д д д д X' =f(t) sx + f'(i) дУ X = g(i)ду + g(t) av (45>
которые получаются из (4.3) при выборе C2, C4, f (t), g(t) поочередно не равными нулю. Пространство L0 — бесконечномерно, так как базис (4.5) содержит операторы Xf, Xg. Очевидно, что операторы (4.5) содержатся в базисе (1.3) для уравнений с v = const.
Для классификации функции v(t) в уравнении (4.4) необходимо знать преобразования эквивалентности, т.е. преобразования функции v(t), сохраняющие структуру уравнений (4.1). Поскольку v(t) — функция времени t, преобразования должны допускаться также и уравнениями
дх=*•%=0. (4,)
Считая v независимой функцией, инфинитезимальный оператор для системы (4.1), (4.6) ищем в виде
д
X = Zд = X +
av
Здесь Z = 2,£3,п1,П2,П3,п) — касательный вектор; п — функция переменных x,y,t, и, v, и, v.
Из критерия инвариантности системы (4.1), (4.6) относительно оператора X находим
п = 2(C5 - C3)v. (4.7)
Тогда из (4.3), (4.7), полагая C1,C3,C5 поочередно не равными нулю, а остальные постоянные равными нулю, получим
V = (0, 0,1, 0, 0,0, 0), V = (0, 0, -t,u,v, 0, v), V = (х, y, 0,u,v, 0, 2v).
Касательные векторы V, (3, (5 порождают преобразования эквивалентности G(Z1), G(Z3),
G(Z5):
- 1 - - _ a2
t =— t + a1, x = a3x, y = a3y, и = a2a3u, v = a2a3v, и = и, v = —2 v, (4.8)
a2 a3
где a1, a2, a3 — групповые параметры переноса и растяжений.
Решая классифицирующее уравнение (4.4) и учитывая преобразования эквивалентности (4.8), можно выделить четыре случая специализации функции v(t). В каждом случае происходит расширение базиса ядра основной алгебры L0 операторов (4.5).
ТаблицаЗ
Классифицирующая таблица функции V(Ь)
V(Ь) - Операторы
Произвольная ^ = {Х2, , Хд }
вш, к = 0 Ь(е2кь ) = {Ьо,Х*}
Г, в = 0 Ь(Г) = {Ьо,Х*}
1 1(1) = {Ьо,Х1,Х3}
0, идеальная жидкость Ь(0) = {Ьо,Х1,Х3,Х5}
1. При V(Ь) = Ьв, ^ = 0, уравнения (4.1) допускают оператор
( д д \ д ( д д \ д Х = (в + 1) х^ + у-) + 2Ь- + (в - 1) ид + V-) - 2и— . (49)
3 ' дх ' * ду) ' дЬ ' ди ' " д-) ~ ди
2. При V(Ь) = е2кь, к = 0, базис (4.5) расширяется оператором
( д д д д \ д Х1 = Цх-дд- + уд + ид + ид-) + д. (4.10)
\ дх ду ди д-) дЬ
3. При V(Ь) = 1 к операторам (4.5) добавляются два оператора
д ^ д д д д д д
Х1 = тгт, Хз = х— + у— + 2Ь— - и-------2и— ,
дЬ дх ду дЬ ди д- ди
это оператор сдвигов по Ь и оператор растяжений соответственно.
4. При V(Ь) = 0 уравнения (4.1) становятся уравнениями движения идеальной жидкости. К базису (4.5) добавляются три оператора
дддд Хь Хз, Х5 = х— + у— + и— + -— .
дх ду ди д-
Здесь Х5 — оператор однородного растяжения.
Итак, получили классифицирующую таблицу функции V(Ь) (табл. 3).
Замечание 1. Совершая предельный переход к ^ 0, в ^ 0, получим Хз* ^ Х3, Х1 ^ Х1, при этом V (Ь) ^ 1. Алгебра допустимых операторов Ь(1) совпадает с алгеброй операторов (1.3).
Замечание 2. Строго говоря, согласно (4.8), представителем класса функций V(Ь) = е2кь должна быть функция V(Ь) = еь. В дальнейшем, чтобы не потерять наглядности, сохраним представителя данного класса функций.
5. Некоторые точные решения
Пример 1. Рассмотрим фактор-систему (3.8). Из второго уравнения следует, что их = Ух или и = У + а(Ь), где а(Ь) — произвольная функция. Два других уравнения перепишутся в виде
Wt + а(Ь)Шх = V(I2 + д2)Шхх, Ух = ^ + - "9 , (5.1)
I2 + д2 г2 + д
где /(Ь),д(Ь) — гладкие функции, / = О, д = О, Л = д(Ь)х - /(Ь)у. Рассматривая первое уравнение (5.1), введем новые переменные
d\
dt
a(t), A|t=0 = С, A = С + a(t)dt, t = т.
Тогда уравнение перепишется так:
Wr = v (f 2(т)+ д2(т ))W«.
T
Если сделать еще одну замену а = v f (f2(т) + д2(т))dT, то получим уравнение теплопро-
0
водности Wa = Wjj, которое можно решить известными методами.
Решение первого уравнения из (5.1) можно искать методом разделения переменных. Положим W(t,A) = h(t)<(A). Разделение переменных реализуется, если a(t) = a0(f2(t) + g2(t)), a0 = const. Функцию h(t) находим в явной форме, а на <(A) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
h(t) = exp
Co (f 2(t)+ g2(t))dt
v<<" — a0<< — C0<< = 0.
(5.2)
Находим корни характеристического уравнения для уравнения из (5.2):
71,2
ap ±\/+ 4vC0 2v
Предположим, что a0+4vC0 < 0, тогда y12 = a0/(2v)±ib0/(2v), где b0 = \J — (a0 + 4vC0). Следовательно,
/Лч ■ b0A b0^\ a0A
ГУ ■ b0A , s-1 b0A
C1 sin —--+ C2 cos —— I exp
2v 2v
2v
Первое уравнение из (5.1) проинтегрировано. Определена завихренность
a0A
и = W = ( C1 sin + C2 cos b°A ) exp 2v 2v
C0 (f 2(t)+ g2(t))dt +
2v
(5.3)
Из второго уравнения (5.1) находим функцию
V
f2 + g2
где b(t) — произвольная функция;
fg h(t)<(A) + ff , gg' A + b(t),
f2 + g
<(A) = ( C1 sin "20"" + C2 cos ) exp
a0A
C =
2v (a0C1 + b0C2)
a0 + b0
C2 =
2v
2v (a0C2 — b0C1)
a0 + b0
^0 1 "0 "-0 1 "0 Возвращаясь от инвариантных функций и, V к физическим скоростям и, V, получаем их представление
6(Ь) + ао(/2 + д2)
(f 'g + g'f )y + (ff' — gg')x + и =-^—-- +
f2 + g
2
f
f2 + g
h(t)<(A) +
g
t
(д'! + !'д)х — (!!' — дд')у д Ь(ь)
! 2 + д2 ! 2 + д2 !
В частном случае, когда ! = д = 1, Ь(Ь) = а0 = 0, имеем Л = х — у, Ь0 = у/—Со■ Формулы (5.3), (5.4) примут вид
ш = ^С^т(х — у) + С2соэ(х — Уехр [2 СоЬ],
и = V = 1 ^С^т(х — у) + С2соэ(х — уехр[2СоЬ].
Вся плоскость разбивается прямыми у = х + 2vЬ-1arctg(C2/C1) на полосы, на этих прямых и = V = 0.
Характерно то, что на соседних полосах течение жидкости противоположно направлено. Заметим, поскольку С0 < 0, из последних формул следует, что ш ^ 0, и ^ 0, V ^ 0 при Ь ^ т.е. движение жидкости "затухает".
В случае, когда а0 + 4иС0 = 0, а2 + 4иС0 > 0, уравнения (5.1) также полностью интегрируются.
Пример 2. Фактор-система (3.3) получается из уравнений (1.1) на операторе Х3. Предположим, что функция и не зависит от ц, V не зависит от Л, т.е. и = и (Л), V = V (ц). Тогда уравнения (3.3) легко интегрируются: и = С0Л + С1, V = —С0ц + С2, где С0, С1,С2 — произвольные постоянные.
Решение системы уравнений (1.1)
и = Сох + С1 — , V = —Сох + С2— , ш = 0
ь vI ь уд
является потенциальным решением с потенциалом
(х2 — у2) С1х + С2У * = Со 2Ь + - +С"
Пример 3. Будем искать инвариантные решения на операторе X.* (4.9) при V(Ь) = ЬЛ Для удобства записи обозначим (в + 1) = 2А, тогда
( д д \ д ( д д \ д Х* = 2АЫ+Уду) + +2(А - Ч иТи+— 2шдш-
Инвариантами оператора будут хЬ-А, уЬ-А, иЬ1-А, VI1-А, шЬ. Решение ранга 2 ищем в виде
(и^,ш) = (ьА-1и (Л,ц),гА~^ (Л,ц),ь-1Ш (Л,ц)),
где Л = хЬ-А, ц = уЬ-А. Уравнения (4.1) преобразуются в систему
Ш + (Ах — и )ШХ + (А, — V = — ЖЛЛ — Ш,,,
их + V, = 0, Vл — и, = Ж (5.5)
Предположим, что и = и(ц), V = V(Л), тогда второе уравнение в (5.5) будет тождественным. Подставив третье уравнение из (5.5) в первое, получим
^ххх + AЛVхх + Vх) — (и,,, + Аци,, + и,) = UVхх — VII,,. (5.6)
Можно рассмотреть три случая.
1. Пусть U = U0 = const, V = V(A). Тогда из (5.5) следует, что W(A) = Va(A). Уравнение (5.6) перепишется так:
V''' + V "(AA — U0) + V' = 0. (5.7)
Уравнение (5.7) может быть сведено к уравнению Риккати, если A = 0.
Если A = 0, то s = —1. Вязкость жидкости v(t) = t-1 уменьшается при росте t. Тогда A = х,^ = у,и = t-1U0,v = t-1 V(x),w = t-1W(x). Теперь уравнение (5.7) — линейное, W = V':
W" — U0W' + W = 0 (5.8)
с характеристическими корнями
1
С1,2 = 2(U0 ±у/U2 — 4).
При Up > 4 корни С1,С2 — вещественные, W(x) = D1ejix + D2ej2X. Общее решение уравнений (4.1) будет иметь вид
U0 D1eJlX D2ePX D3 D1eJ1 x + D2ej2X и = -, v =—---1-----1--, и =-,
t ' tC1 tC2 t t
где D1, D2, D3 — произвольные постоянные.
При Up = 4 С1 = С2 = U0/2, W(x) = (D1 + D2x)eUox/2. Общее решение уравнений (4.1) запишется как
Uo 2 цщ* D3 D1 + D2x Uox и = у, v = t^je 2 (D1U0 + D2(Uox — 2)) + —, и =-1-e 2 ,
где D1, D2, D3 — произвольные постоянные; U0 = ±2. При Uq < 4 корни СъС2 — комплексные, тогда
W(x) = e 2 pi sin —-+ D2 cos-
Общее решение уравнений (4.1) будет иметь вид
U° 1 uof (п . /4—U°x + _ и^
и = —, и = - e 2 D1 s in —--+ D2 co s —-
t ' t I 1 2 2 2
/4 —Up u-f (D U° + \ , 74—UQx +
v = ~4 Г up+D2Jsin—^ +
+ — D1) cos ) + D,
V \/4—Up J 2 ) t
где D1 , D2, D3 — произвольные постоянные;
2. Когда V = V° = const, U = Uрешения уравнений (4.1) могут быть найдены аналогично рассмотренному случаю с точностью до переобозначения переменных.
3. В случае U^ = b° = const, Vaa = a° = const решение ищем в виде U = 2 b°+ b1^ + b2, V = 2-1a°A2 + a1A + a2, a°, a1, a2,b°,b1,b2 — постоянные. Тогда W = a°A + a1 — b°^ — b1. Переменные A, ^ в уравнении (5.6) разделяются. В результате получаем три типа решений:
b0 2 a2b0 b2 и = 2у +—у + t2 ^
a2
V = и
—b°y —
a2b°; t ;
b2 a0 2 b2a0 a2 и = v = Tx + ~x +12
и
a1 b2
Ty + H-A
b2 a°
и = a°x +--;—;
t
a1 a2 7x + IF*;
и
0.
v
Список литературы
[1] Овсянников Л. В. Группововй анализ дифференциальных уравнений. М., 1978. 400 с.
[2] ПРИМЕНЕНИЕ теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов. Новосибирск: Наука, 1994. 320 с.
[3] OVSIANNIKOV L. V. On the optimal systems of subalgebras //J. Lie Grroups and Their Appl. V.1. No. 2. 1994. Celal Bayar Univ. P. 18-26.
[4] РОДИОНОВ А. А. Групповой анализ плоского движения вязкой несжимаемой жидкости в терминах скорость — завихренность // Современные проблемы прикл. мат. и механики: Тр. Междунар. конф. 2001. Т. 6. Ч. 2. Спец. выпуск. С. 519-523.
Поступила в редакцию 15 октября 2002 г.
