CC BY
28
// J. of Biomechanics. 1987. Vol. 20. P. 271-280.
17. Weinbaum S., Cowin S.C., Zeng Y. A model for the excitation of osteocytes by mechanical loading-induced bone fluid shear stresses // J. of Biomechanics. 1994. Vol. 27, № 3. P. 339-360.
18. Стецула В.И., Бруско А.Т. Механизм адаптационной перестройки костей // Структура и биомеханика скелетно-мышечной и сердечно-сосудистой систем позвоночных: сб. науч. тр. Киев: Наук. думка, 1984. C. 141-143.
19. Knothe-Tate M.L., Niederer P., Knothe U. In vivo tracer transport through the lacunocanalicular system of rat bone in an environment devoid of mechanical loading // Bone. 1998. № 22. P. 107-117.
20. Neidlinger-Wilke C., Stall I., Claes L., Brand R., Hoellen I., Rubenacker S., Arand M, Kinzl L. Human
osteoblasts from younger normal and osteoporotic donors show differences in proliferation and TGF-3 release in response to cyclic strain // J. of Biomechanics. 1995. Vol. 28. P. 1411-1418.
21. Сотин А.В., Акулич Ю.В., Подгаец Р.М. Модель адаптивной перестройки кортикальной костной ткани // Рос. журн. биомеханики. 2001. Т. 5, № 1. С. 24-32.
22. Регирер С.А., Штейн А.А., Логвенков С.А. Свойства и функции костных клеток: биомеханические аспекты // Современные проблемы биомеханики. Механика роста и морфогенеза. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. Вып. 10. C. 174-224.
23. Lanyon L.E. Functional strain in bone tissue as an objective and controlling stimulus for adaptive bone remodeling // J. of Biomechanics. 1997. Vol. 20, № 11. P. 1083-1093.
УДК 539.374
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОДНОМЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
В.А. Ковалев1, Ю.Н. Радаев2
1 Московский городской университет управления Правительства Москвы, кафедра прикладной математики; 2Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН E-mail: vlad_koval@mail.ru, y.radayev@gmail.com
Рассматривается естественная конечномерная (размерности 12) подалгебра алгебры симметрий, соответствующей группе симметрий предложенных в 1959 г. Д.Д. Ивлевым трехмерных гиперболических уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для состояний, отвечающих ребру призмы Кулона - Треска, сформулированных в изостатической системе координат. Приводится алгоритм построения оптимальной системы одномерных подалгебр указанной естественной конечномерной подалгебры алгебры симметрий, насчитывающей один трехпараметрический элемент, 12 двухпараметриче-ских, 66 однопараметрических элементов и 108 индивидуальных элементов (всего 187 элементов).
Ключевые слова: теория пластичности, изостатические координаты, группа симметрий, алгебра симметрий, подалгебра, оптимальная система, алгоритм.
An Optimal System Constructing Algorithm for Symmetry Algebra of Three-Dimensional Equations of the Perfect Plasticity
V.A. Kovalev1, Yu.N. Radayev2
1 Moscow City Government University of Management, Chair of Applied Mathematics
2 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow E-mail: vlad_koval@mail.ru, y.radayev@gmail.com
The present study is devoted to study of a natural 12-dimensional symmetry algebra of the three-dimensional hyperbolic differential equations of the perfect plasticity, obtained by D.D. Ivlev in 1959 and formulated in isostatic co-ordinate net. An optimal system of one-dimensional subalgebras constructing algorithm for the Lie algebra is proposed. The optimal system (total 187 elements) is shown consist of a 3-parametrical element, twelve 2-parametrical elements, sixty six 1 -parametrical elements and one hundred and eight individual elements.
Key words: theory of plasticity, isostatic co-ordinate, symmetry group, symmetry algebra, subalgebra, optimal system, algorithm.
1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Для ребра призмы Кулона - Треска, определяемого условием «полной пластичности» Хаара -Кармана а\ = = стз ± 2к (сть — главные нормальные напряжения, к — предел текучести при
сдвиге), уравнения равновесия, полученные Д.Д. Ивлевым в 1959 г. [1], можно представить в форме одного векторного уравнения (см. [2,3]):
grados ^ 2kdiv(n ® n) = 0, (1)
где n — единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тензора напряжении, соответствующей наибольшему (наименьшему) собственному значению а3 тензора напряжений. Уравнение (1) принадлежит к гиперболическому аналитическому типу. Нормали к характеристическим поверхностям образуют круговой конус с углом полураствора п/4 и осью, направленной вдоль вектора n. Направления, ортогональные вектору n, тоже указывают ориентацию характеристических элементов.
Векторное уравнение (1) может иметь решения с нетривиальной геометрией векторных линий поля n, только если указанное поле является расслоенным [3]. Критерием расслоенности векторного поля n в некоторой пространственной области выступает уравнение Якоби:
n ■ rot n = 0.
Условие расслоенности поля n позволяет нам ввести 2/3-ортогональные криволинейные координаты ua (а = 1,2,3), определяемые по векторному полю n, так, что координатные поверхности u3 = const являются слоями поля n. Координатные линии на слое векторного поля n могут пересекаться под произвольным углом; третья координатная линия ортогональна слою и ортогональна первым двум координатным линиям.
Для нахождения соответствующей замены координат (xj — пространственные декартовы координаты)
Xj = fj (u\u2,u3) (j = 1, 2, 3) (2)
может быть получена следующая существенно нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных:
dfi df\ + f f + df3 df3
дш1 du3 dfi dfi
du1 du3 + f f +
du1 du3
df3 df3
du2 du3 du2 du3 du2 du3
df2 df3 df3 df2 \ f
du3
dfi дf2
du1 du2
du1 du2 +
+
= 0,
= 0, f f
du1 du2 df2 df1
du1 du2 du1 du2 J du3
f f+
du1 du2 J du3 f - 1 = 0.
(3)
Как свидетельствует проведенный в предыдущих публикациях анализ (см., например, [4]), трехмерные уравнения Д.Д. Ивлева обладают достаточно высокой степенью симметрии, что, возможно, позволит получить ряд новых точных решений, описывающих трехмерное напряженное состояние идеально пластических тел при условии «полной пластичности» Хаара - Кармана.
2. АЛГЕБРА СИММЕТРИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Групповой анализ (теория симметрий) дифференциальных уравнений сложился как самостоятельное научное направление в работах С. Ли в конце XIX в. Вычислительные алгоритмы группового анализа дифференциальных уравнений основаны на линейных уравнениях, исследование которых значительно проще по сравнению с нелинейными уравнениями, симметрии которых подлежат определению. Вычислительные методы теории симметрий дифференциальных уравнений алгоритмичны и включены в современные компьютерные системы символьных вычислений.
Методы группового анализа применительно к системам дифференциальных уравнений в частных производных изложены в классической монографии [5]. Мы будем, по возможности, придерживаться терминологии и обозначений, принятых именно в этой книге. Мы рекомендуем также монографии [6-10] для изучения основ группового анализа дифференциальных уравнений в частных производных.
Применяя методы группового анализа дифференциальных уравнений, можно вычислить инфините-зимальный генератор (с ■ д) группы симметрий системы дифференциальных уравнений (3), зависящий от 12 произвольных постоянных
(я ■ д) = С1(Я1 ■ д) + C2(Я2 ■ д) + бз(^3 ■ д) + Б1(я4 ■ д) + B2(я5 ■ д) + B3(я6 ■ д)+ +A (Я7 ■ д) + A(Я8 ■ д) + А3(Я9 ■ д) + Сю(Яю ■ д) + Си(Я11 ■ д) + С12(Я12 ■ д),
(4)
где базисные инфинитезимальные генераторы определены согласно
д д д д д д ■д) =3^3 д^з + л / + /2/ + /3 /' (с7 ■д) = /3 / - л л' д д д , _ д „ д
(с8 ■ д) = Л^г - ,
(С2 ■ д) =
(с3 ^ д) = , (с4 ■ д) = /,
д^3 2 д^1 2 д^2'
д
д
(,5 ■ д) = / ,
(,е ■ д) = д/3'
(с9 ■д ) = /2 /- Л1 д/2' (с10 ■ д) = '
(с11 ■ д) = ,
1 д 2 д (с12 ■ д) = - " д^
(5)
В приведенном выше списке инфинитезимальные операторы (с4 ■ д), (с5 ■ д), (с6 ■ д) соответствуют группам переносов вдоль декартовых осей ж2, ж3; инфинитезимальные операторы (с7 ■ д), (с8 ■ д), (с9 ■ д) соответствуют группам поворотов вокруг координатных осей жь ж2, ж3; инфинитезимальные операторы (с3 ■ д), (с10 ■ д), (си ■ д) соответствуют группам трансляций изостатических координат <^2, ; инфинитезимальный оператор (с12 ■ д) определяет группу, инфинитезимально сохраняющую площадь двумерного плоского элемента й^1 инфинитезимальный оператор (с1 ■ д) соответствует группе совместных растяжений координат <^3, ж1, ж2, ж3 в подходящих пропорциях; инфинитезимальный оператор (с2 ■ д) соответствует группе совместных растяжений - сжатий изостатических
123
координат от, <^2, <х>3 в подходящих пропорциях.
Известно, что алгебра симметрий пространственных уравнений математической теории пластичности (3) бесконечномерна. «Естественная» конечномерная «часть» указанной алгебры симметрий образуется генераторами вида (4). Действительно, можно показать, что инфинитезимальные операторы (с? ■ д) (О = 1,12) линейно независимы. Поэтому можно ввести конечномерное линейное подпространство, представляющее собой линейную оболочку базисных операторов (су ■ д). Двенадцатимерное линейное пространство с базисом из инфинитезимальных операторов (5) наделяется стандартной алгебраической структурой с помощью билинейной операции коммутации операторов (скобка Пуассона операторов). Чтобы доказать, что линейная оболочка операторов (5) образует алгебру Ли, необходимо составить таблицу коммутаторов базисных инфинитезимальных операторов (су ■ д) (О = 1,12), проверив при этом, что коммутаторы [(сг ■ д), (су ■ д)] снова можно разложить по базису (с. ■ д):
к* ■ д), (а ■ д )] = с.к,- (ск ■ д)
(6)
Символы С.- в разложении (6) являются структурными константами алгебры Ли в базисе (су ■ д)
(О = М2).
Таблица коммутаторов, приведенная ниже, показывает, что инфинитезимальные операторы (5) действительно определяют конечномерную подалгебру £12 алгебры симметрий системы дифференциальных уравнений в частных производных (3). Таблица составлена так, чтобы на пересечении строки с номером г и столбца с номером О находился коммутатор [(сг ■ д), (су ■ д)].
Структурные константы рассматриваемой конечномерной алгебры Ли £12 без труда определяются на основании приведенной таблицы коммутаторов. Здесь мы приводим ненулевые структурные константы алгебры Ли £12 в базисе (су ■ д) (О = 1,12):
С-313 = —3 С414 = —1 С515 = — 1 с61е = —1; С 323 = — 1 С-210 = 1/2, С 211 = 1/2;
С-31 = 3, С 332 = 1; С -41 = 1, С-48 = 1, С-49 = —1; С-51 = 1, С-57 = —1, С-59 = 1;
е 5 4 е 5 9 8
С ■ 61 = 1 С ■ 67 = 1 С ■ 68 = — 1 С ■ 75 = 1 С ■ 76 = — 1 С ■ 78 = 1 С ■ 79 = — 1
■ ■ _ 1 /^т4 ■ ■ _ 1 /^9 ■ ■ _ 1 /~<7-■ _ 1. гч5 ■ ■ _ 1 /^4 ■ ■ _ 1 г*8 ■ ■ _ 1 /~<7-■ _ 1.
С ■ 84 = — 1 С ■ 86 = С ■ 87 = —С ■ 89 = С ■ 94 = С ■ 95 = —С ■ 97 = С ■ 98 = —
10■ ■ _ _1/9 /"<10■ ■ _ -1 . 11 ■ ■ _ _1/9 А''11 ■ ■ _ _1 . /"I10■ ■ _ _-1 /'"У1 1 ■ ■ _ -1
С ■ 102 = 1/2, С ■ 1012 = 1 С ■ 112 = 1/2, С ■ 1112 = С ■ 1210 = С ■ 1211 = 1
11
(7)
Заметим, что натуральные числа, записываемые двумя цифрами, подчеркнуты снизу для того, чтобы отличать их от расположенных друг за другом натуральных чисел, представляемых одной цифрой.
3
1
Таблица коммутаторов инфинитезимальных операторов, определяющих естественную конечномерную подалгебру алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений (3)
(«1 ■ д) («2 ■д) («з ■ д) («4 ■д) («5 ■д) («6 ■д)
(«1 д) 0 0 —3(«з ■ д) — («4 ■ д) — («5 ■ д) — («6 ■ д)
(«2 д) 0 0 — («з ■д) 0 0 0
(<й д) 3(«з ■ д) («з ■д) 0 0 0 0
(а д) («4 ■ д) 0 0 0 0 0
(«5 д) («5 ■ д) 0 0 0 0 0
(«6 д) («6 ■ д) 0 0 0 0 0
(«7 д) 0 0 0 0 («6 ■д) — («5 ■ д)
(«8 д) 0 0 0 — («6 ■ д) 0 («4 ■д)
(«9 д) 0 0 0 («5 ■д) — («4 ■ д) 0
(«10 д) 0 —1/2(«ю ■ д) 0 0 0 0
(«11 д) 0 —1/2(«ц ■ д) 0 0 0 0
(«12 д) 0 0 0 0 0 0
(«7 ■ д) («8 ■ д) («9 ■ д) («10 ■ д) («11 ■ д) («12 ■
(«1 д) 0 0 0 0 0 0
(«2 д) 0 0 0 1/2(«10 д) 1/2(«ц д) 0
(«з д) 0 0 0 0 0 0
(«4 д) 0 («6- д) — («5 д) 0 0 0
(«5 д) —(«6 д) 0 («4 ■ д) 0 0 0
(«6 д) («5 ■ д) — («4 д) 0 0 0 0
(«7 д) 0 («9 ■ д) — («8 д) 0 0 0
(«8 д) — («9 д) 0 («7 ■ д) 0 0 0
(«9 д) («8 ■ д) — («7 д) 0 0 0 0
(«10 д) 0 0 0 0 0 («10 ■
(«11 д) 0 0 0 0 0 — («11
(«12 д) 0 0 0 — («10 д) («11 ■ д) 0
Далее можно указать однопараметрические группы автоморфизмов рассматриваемой алгебры Ли Ь12, порождаемые базисными векторами ^ (^ = 1,12). Для каждого базисного вектора ^ (] = 1,12) имеем соответствующую однопараметрическую группу внутренних автоморфизмов, действующую на коэффициенты С1, С2, С3, А1, А2, А3, В1, В2, В3, С10, С11, С12; они приводятся в конце статьи в виде списка (1)-(12).
3. ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОДНОМЕРНЫХ ПОДАЛГЕБР АЛГЕБРЫ СИММЕТРИЙ
Построение оптимальной системы одномерных подалгебр алгебры симметрий Ь12 мы осуществим с помощью «наивного» подхода, состоящего в том, что инфинитезимальный оператор (4) (точнее, коэффициенты С1, С2, С3, А1, А2, А3, В1, В2, В3, С10, С11, С12) подвергается различным преобразованиям из списка (1)-(12) так, чтобы «упростить» его настолько, насколько это представляется возможным (в частности, стремясь привести к нулевому значению как можно больше из указанных двенадцати постоянных). Далее мы выбираем из каждого класса инфинитезимальных операторов, переводящихся друг в друга автоморфизмами (1)-(12), по одному простейшему представителю и формируем оптимальную систему одномерных подалгебр алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений в частных производных (3).
При поиске указанных простейших представителей, кроме однопараметрических групп автоморфизмов, будем применять также преобразование, заключающееся в умножении простейшего инфини-тезимального оператора на некоторую постоянную (так называемое преобразование умножения).
Рассмотрим постоянные Аг и Вг как компоненты векторов А и В в трехмерном пространстве Х1, Х2, х3. Тогда автоморфизмы (7), (8), (9) представляют собой повороты указанных векторов как
жесткого целого на различные углы т вокруг декартовых осей x\, x2, x3.
Если вектор A ненулевой (т.е. хотя бы одна из его компонент Ai не равна нулю), то такими поворотами можно перевести вектор A в положение, когда он будет коллинеарен оси xi. Ясно, что тогда A2 = A3 = 0, A1 = 0. При этом, если вектор B не равен нулю (т.е. хотя бы одна из его компонент Bi отлична от нуля), то поворотом вокруг оси x1 вектор B можно преобразовать так, чтобы его проекция на ось x3 (т.е. компонента B3) была бы равна нулю (B3 = 0). Применяя последовательно
автоморфизмы (5), (6) при значениях т, равных соответственно —2B2-—^ и -р^2—^, можно добиться
— ^ + Ai —2 + Ai
того, чтобы компонента B2 стала нулевой, не изменяя при этом нулевого значения компоненты B3.
Если вектор A равен нулю (т.е. A1 = A2 = A3 =0), то поворотами (7), (8), (9) вектор B заведомо может быть переведен в такое положение, когда он будет коллинеарен оси x1, и поэтому снова получаем B2 = B3 =0.
Таким образом, при любых обстоятельствах можно добиться того, чтобы выполнялись равенства A2 = A3 =0 и B2 = B3 =0. Поскольку декартовы оси xj (j = 1,2,3) равноправны, то вместо A2 = A3 = 0 и B2 = B3 = 0 можно считать выполненными равенства A1 = A3 =0 и B1 = B3 = 0 или A1 = A2 = 0 и B1 = B2 = 0.
Следует отметить, что если —1 = 0, то, применяя автоморфизм (4) при т, равном B1 /—1, удается привести к нулевому значению компоненту B1 вектора B.
Дальнейшие рассуждения удобнее всего разбить на четыре этапа, характеризующихся выполнением перечисленных ниже условий
I. —2 ± 2—12 = 0;
II. —2 - 2—12 = 0, —2 + 2—12 = 0;
III. —2 + 2—12 = 0, —2 - 2—12 = 0;
IV. —2 = 0, 2—12 = 0.
I. На протяжении всего первого этапа будем считать, что выполняется условие —2 ± 2—12 = 0. Если —2, —12 выбираются так, что —2 ± 2—12 = 0, то, применяя автоморфизмы (10) и (11) при т,
2—10 -2—11 п п
соответственно равном ---— и ---—, можно привести к нулевому значению —10 и —11.
2—12 — —2 2—12 + —2
I.A. Коэффициенты — 1, —2 подчиняются неравенству 3—1 + —2 =0. При выполнении неравенства
—3
3—1 + —2 =0, применяя автоморфизм (3) при т, равном ---—, можно привести к нулевому
3—1 + —2
значению —3.
I.A.1. Считаем выполненным условие —1 = 0. При условии —1 = 0, как отмечалось выше, удается привести к нулевому значению B1; применяя затем преобразование умножения, приводим —1 к единице и таким образом получаем множество простейших представителей вида:
(«1 ■ d) + Ü1(^2 ■ д) + Ü2 (Я7 ■ д) + D3(S12 ■ д), (8)
где D1, D2, D3 — произвольные постоянные, подчиненные ограничению |D1| = 2|D3|.
I.A.2. Этот этап рассуждений характеризуется выполнением дополнительного условия —1 = 0. Если —1 = 0, то коэффициент B1 привести к нулевому значению не удается.
I.A.2.1. Если, кроме того, —2 = 0 и B1 =0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном ln |—2/B11, добиваемся того, чтобы коэффициенты —2 и B1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей вида
(«2 ■ д) ± («4 ■ д) + D1(«r ■ д) + D2(«12 ■ д). (9)
I.A.2.2. Если полагать —2 = 0 и B1 = 0, то получаем следующих простейших представителей:
(«2 ■ д)+ D1(«7 ■ д)+ D2(«12 ■ д). (10)
I.B. Коэффициенты —1, —2 подчиняются равенству 3—1 + —2 = 0. Если 3—1 + —2 = 0, то коэффициент —3 сделать нулевым не удается.
I.B.1. Считаем выполненым условие —1 = 0. Тогда удается привести к нулевому значению коэффициент B1.
1.В.1.1. Если, кроме того, С3 = 0, то, применяя автоморфизм (2) при т, равном 1п |С1/С3|, приводим С1 и С3 к значениям, равным по модулю; учитывая 3С1 + С2 =0, получаем множество простейших представителей вида:
(с1 ■ д) - 3(с2 ■ д) ± (с3 ■ д) + Я1(с7 ■ д) + ^12 ■ д). (11)
1.В.1.2. Если С3 = 0, то получаем двухпараметрическое семейство простейших представителей:
(с1 ■ д) - 3(с2 ■ д) + £1 (с7 ■ д) + ^2(с12 ■ д). (12)
1.В.2. Считаем выполненым условие С1 = 0. Тогда в силу 3С1 + С2 = 0 будет выполнено условие С2 = 0. Ясно, что при этом С12 = 0. Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается. В случае, когда С1 =0 и С2 = 0, находим, что коэффициенты С3 и В1 не приводятся к нулевому значению.
1.В.2.1. Полагаем, что С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0. Если С3 =0, В1 = 0, А1 = 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1/В11, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п |А1/С31, приводим к равным абсолютным значениям коэффициенты А1 и С3. В итоге получаем однопараметрическое семейство простейших представителей:
(с3 ■ д) ± (с4 ■ д) ± (с7 ■ д) + £(с12 ■ д) (Б = 0). (13)
Здесь Б — произвольная постоянная.
1.В.2.2. Полагаем, что С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), приводим к равным абсолютным значениям коэффициенты А1 и С3. Получаем простейших представителей:
(с3 ■ д) ± (с7 ■ д) + Б(с12 ■ д) (Б = 0). (14)
1.В.2.З. Полагаем, что С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), приводим к равным абсолютным значениям коэффициенты А1 и В1. Получаем простейших представителей:
(с4 ■ д) ± (с7 ■ д) + Б(с12 ■ д) (Б = 0). (15)
1.В.2.4. Полагаем, что С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0. Напомним, что С12 = 0. Применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |С12/В11, что допустимо в силу С12 = 0, В1 = 0, убеждаемся, что С12 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п |С12/С31, что допустимо в силу С12 =0, С3 = 0, приводим к равным абсолютным значениям величины С12 и С3 .В результате получаем представителей:
(с3 ■ д) ± (с4 ■ д) ± (с12 ■ д).
1.В.2.5. Полагаем, что С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), приводим к равным абсолютным значениям коэффициенты С3 и С12, которые в пределах рассматриваемого случая оба отличны от нуля. Получаем простейших представителей:
(с3 ■ д) ± (с12 ■ д).
1.В.2.6. Полагаем, что С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), приводим к равным абсолютным значениям коэффициенты В1 и С12, которые в пределах рассматриваемого случая оба отличны от нуля. Получаем простейших представителей:
(с4 ■ д) ± (с12 ■ д).
1.В.2.7. Полагаем, что С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0. Коэффициент С12 в пределах рассматриваемого случая отличен от нуля. Получаем однопараметрическое семейство простейших представителей:
(с7 ■ д)+ Б(с12 ■ д) (Б = 0).
I.В.2.8. Полагаем, что С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0. Коэффициент С12 в пределах рассматриваемого случая отличен от нуля. Получаем простейшего представителя:
(«12 ■ д).
II. Этот этап характеризуется выполнением условий С2 — 2С12 =0 и С2 + 2С12 = 0. Если коэффициенты С2, С12 выбираются так, что С2 — 2С12 = 0, но С2 + 2С12 = 0 (т.е. С2 = 2С12 = 0), то коэффициент С10 не удается привести к нулевому значению. Применяя автоморфизм (11) при т,
равном ———С11„ , можно привести к нулевому значению коэффициент С11. 2С12 + С2
11.А. Считаем выполненным неравенство 3С1 + С2 = 0.
11.А.1. Полагаем, кроме того, что удовлетворяется неравенство С1 = 0. Если С1 =0 и 3С1+С2 = 0,
то, применяя автоморфизмы (4) и (3) при т, соответственно равном -1 и Сз , можно привести
С1 ЗС1 + С2
к нулевому значению коэффициенты В1 и С3.
11.А.1.1. Дополнительно, полагаем, что С10 = 0. Поскольку С10 = 0, то, применяя автоморфизм (12) при т, равном 1п 1С1/С101, убеждаемся, что коэффициенты С1 и С10 приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим коэффициент С1 к значению, равному единице, и таким образом получаем двухпараметрическое семейство простейших представителей вида
(«1 ■ д) ± («10 ■ д) + Б1 ((«2 ■ д) + 2 («12 ■ д)) + Б2(«7 ■ д) (Б1 = 0). (16)
11.А.1.2. Этот случай характеризуется выполнением дополнительного равенства С10 = 0. Находим двухпараметрическое семейство простейших представителей:
(«1 ■ д) + Б1 ((«2 ■ д) + 1 («12 ■ д)) + Б2(«7 ■ д) (Б1 = 0).
Это семейство дополняет (8) при Б3 = 2Б1.
11.А.2. Полагаем, кроме того, что выполняется равенство С1 = 0. Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается.
11.А.2.1. Полагаем, что С10 =0, В1 = 0, С2 = 0. Применяя автоморфизм (12) при т, равном 1п 1С2/С101, убеждаемся, что С2 и С10 приводятся к равным по модулю значениям. Если С2 = 0, В1 = 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |С2/В11, добиваемся того, чтобы коэффициенты С2 и В1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей:
(«2 ■ д) ± («4 ■ д) ± («10 ■ д) + 2 («12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
11.А.2.2. Полагаем, что С10 = 0, В1 = 0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
(«2 ■ д) ± («10 ■ д) + 2(«12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
11.А.2.3. Полагаем, что С10 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Применяя автоморфизм (1), убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям. Получаем следующих простейших представителей:
2(«2 ■ д) + Б((«4 ■ д) ± («7 ■ д)) + («12 ■ д) (Б = 0). (17)
11.А.2.4. Полагаем, что С10 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
2(«2 ■ д) ± («4 ■ д) + («12 ■ д).
11.А.2.5. Полагаем, что С10 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
2(«2 ■ д) + Б(«7 ■ д) + («12 ■ д) (Б = 0). (18)
11.А.2.6. Полагаем, что С10 =0, В = 0, А = 0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
2(с2 ■ д) + (с12 ■ д),
которые дополняют (17), (18) при Б = 0.
11.В. Считаем дополнительно выполненным равенство 3С1 + С2 = 0. Если 3С1 + С2 =0, то коэффициент С3 не удается привести к нулевому значению.
11.В.1. Полагаем, кроме того, что удовлетворяется неравенство С1 = 0. Тогда можно привести к нулевому значению коэффициент В1.
11.В.1.1. Дополнительно считаем, что С3 = 0, С10 = 0. Если С3 = 0, С10 = 0, то, применяя автоморфизмы (2) и (12) при т, равном соответственно 1п |С1/С3| и 1п |С1/С101, приводим С1, С3 и С10 к значениям, равным по модулю, и, следовательно, получаем множество простейших представителей вида
3
(с1 ■ д) - 3(с2 ■ д) ± (сз ■ д) ± (сю ■ д) - ^(С12 ■ д) + Б(с7 ■ д).
11.В.1.2. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С10 = 0. Получаем множество простейших представителей:
3
(С1 ■ д) - 3(с2 ■ д) ± (сз ■ д) - ^(С12 ■ д) + Б(с7 ■ д).
11.В.1.3. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С10 = 0. С помощью автоморфизма (12) коэффициенты С10 и С1 удается привести к значениям, одинаковым по абсолютной величине. Учитывая еще, что 3С1 + С2 =0 и С2 = 2С12 = 0, получаем множество простейших представителей:
3
(С1 ■ д) - 3(с2 ■ д) ± (сю ■ д) - 2(С12 ■ д) + Б(с7 ■ д).
II.В.1.4. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С10 = 0. Получаем множество простейших представителей:
2
-■ д) + 2(с2 ■ д) + Б(с7 ■ д) + (С12 ■ д).
Заметим, что случаи типа 11.В.2, когда выполняется равенство С1 = 0, невозможны в рамках предположений 11.В.
III. Этот этап характеризуется выполнением условий С2 + 2С12 = 0 и С2 - 2С12 = 0. Если С2, С12 выбираются так, что С2 + 2С12 = 0, но С2 - 2С12 = 0 (т.е. С2 = -2С12 = 0), то коэффициент С11 автоморфизмами (1)-(12) не удается привести к нулевому значению. Применяя автоморфизм (10) при
т, равном , можно привести к нулевому значению коэффициент С10.
2с12 - С2
111.А. Считаем выполненным неравенство 3С1 + С2 =0.
111.А.1. Полагаем, кроме того, что удовлетворяется неравенство С1 = 0. Если С1 = 0 и
В С
3С1 + С2 =0, то, применяя автоморфизмы (4) и (3) при т, соответственно равном — и ——-—,
С1 3С1 + С2
можно привести к нулевому значению В1 и С3.
111.А.1.1. Дополнительно, полагаем, что С11 = 0. Так как С11 = 0, то, применяя автоморфизм (12) при т, равном - 1п |С1/С11|, убеждаемся, что С1 и С11 приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим С1 к единице и таким образом получаем множество простейших представителей вида
(С1 ■ д) ± (С11 ■ д) + Б1 ((С2 ■ д) - 2(С12 ■ д)) + Б2(С7 ■ д) (Б1 = 0). (19)
111.А.1.2. Этот случай характеризуется выполнением дополнительного равенства С11 = 0. Находим двухпараметрическое семейство простейших представителей:
(С1 ■ д) + Б1((С2 ■ д) - 1(С12 ■ д)) + Б2(С7 ■ д) (Б1 = 0). Это семейство дополняет (8) при Б3 = - 2Б1.
111.А.2. Полагаем, кроме того, что выполняется равенство С1 = 0. Если С1 = 0, то коэффициент В1 привести к нулевому значению не удается.
Ш.А.2.1. Полагаем, что С11 = 0, В1 = 0, С2 = 0. Применяя автоморфизм (12) при т, равном — 1п 1С2/С111, убеждаемся, что С2 и С11 приводятся к равным по модулю значениям. Если В1 = 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п 1С2/В11, добиваемся того, чтобы С2 и В1 стали равными по абсолютной величине. В результате получаем простейших представителей вида
(«2 ■ д) ± («4 ■ д) ± («11 ■ д) — 2 («12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
111.А.2.2. Полагаем, что С11 =0, В1 = 0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
(«2 ■ д) ± («11 ■ д) — 2 («12 ■ д) + Б («7 ■ д).
Ш.А.2.3. Полагаем, что С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Применяя автоморфизм (1), убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям. Получаем следующих простейших представителей:
—2(«2 ■ д) + Б((«4 ■ д) ± («7 ■ д)) + («12 ■ д) (Б = 0). (20)
Ш.А.2.4. Полагаем, что С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
— 2(«2 ■ д) ± («4 ■ д) + («12 ■ д).
Ш.А.2.5. Полагаем, что С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
—2(«2 ■ д) + Б(«7 ■ д) + («12 ■ д) (Б = 0). (21)
Ш.А.2.6. Полагаем, что С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0. Получаем следующих простейших представителей:
— 2(«2 ■ д) + («12 ■ д),
которые дополняют (20), (21) при Б = 0.
111.В. Считаем дополнительно выполненным равенство 3С1 + С2 = 0. Если 3С1 + С2 = 0, то коэффициент С3 не удается привести к нулевому значению.
111.В.1. Полагаем, кроме того, что удовлетворяется неравенство С1 = 0. Тогда можно привести к нулевому значению коэффициент В1.
Ш.В.1.1. Дополнительно считаем, что С3 = 0, С11 = 0. Если С3 = 0, С11 = 0, то, применяя автоморфизмы (2) и (12) при т, равном соответственно 1п |С1 /С31 и — 1п |С1/С111, приводим коэффициенты С1, С3 и С11 к значениям, равным по модулю, и, следовательно, получаем множество простейших представителей вида
3
(«1 ■ д) — 3(«2 ■ д) ± («3 ■ д) ± («11 ■ д) + 2(«12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
111.В.1.2. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С11 = 0. Получаем множество простейших представителей:
3
(«1 ■ д) — 3(«2 ■ д) ± («3 ■ д) + 2(«12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
111.В.1.3. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С11 = 0. С помощью автоморфизма (12) коэффициенты С11 и С1 удается привести к значениям, одинаковым по абсолютной величине. Учитывая еще, что 3С1 + С2 =0 и С2 = — 2С12 = 0, получаем множество простейших представителей:
3
(«1 ■ д) — 3(«2 ■ д) ± («11 ■ д) + 2(«12 ■ д) + Б(«7 ■ д).
111.В.1.4. Дополнительно принимаем, что выполнены условия С3 = 0, С11 = 0. Получаем множество простейших представителей:
2
3(«1 ■ д) — 2(«2 ■ д) + Б(«7 ■ д) + («12 ■ д).
Заметим, что случаи типа 111.В.2, когда выполняется равенство С1 = 0, невозможны в рамках предположений 111.В.
IV. В пределах этого этапа рассуждений будем считать, что С2 = 0 и С12 = 0. Коэффициенты С10 и С11 не приводятся к нулю, поэтому придется рассматривать случаи С10 = 0, С11 = 0; С10 = 0, С11 = 0; С10 = 0, С11 = 0; С10 = 0, С11 = 0. Заметим, что если один из коэффициентов С10 или С11 равен нулю, то оставшийся из них с помощью автоморфизма (12) приводится к значению ±1.
^.А. Этот случай характеризуется условиями С10 = 0, С11 = 0. Если С10 =0 и С11 = 0, то, применяя автоморфизм (12) при т, равном 2 1п |С11 /С10|, убеждаемся, что С10 и С11 приводятся к равным по модулю значениям. Рассматриваемый случай удобно разбить еще на два в зависимости от выполнения условий С1 = 0 или С1 = 0.
^.А.1. Допустим сначала, что С1 = 0. Если С1 = 0, то, применяя автоморфизмы (4) и (3) при
т, соответственно равном В и -3-, удается привести к нулевому значению В1 и С3. Действуя
С1 3С1
автоморфизмом (2) при т, равном -21п |С1/С101, убеждаемся, что С1 и С10 приводятся к равным по модулю значениям; применяя затем преобразование умножения, приводим С1 к единице и таким образом получаем множество простейших представителей вида
(С1 ■ д) + Б(с7 ■ д) ± (сю ■ д) ± (сц ■ д).
^.А.2. Далее до конца ^.А будем считать, что С1 = 0. Выделим еще восемь вариантов в зависимости от выполнения условий:
РУ.А.2.1. Сз = 0, В1 = 0, А = 0;
IV.A.2.2. Сз =0, -1 = 0, А = 0;
РУ.А.2.3. Сз =0, -1 = 0, А = 0;
РУ.А.2.4. Сз =0, -1 = 0, А = 0;
IV.A.2.5. Сз = 0, В1 = 0, А = 0;
IV.A.2.6. Сз = 0, В1 = 0, А = 0;
IV.A.2.7. Сз = 0, В1 = 0, А1 = 0;
^.А.2.8. Сз = 0, В1 = 0, А1 = 0.
^^.2.1. Если Сз = 0, В1 = 0, А1 = 0, то, применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1/В11, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п |А1 /Сз|, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и Сз. В итоге получаем простейших представителей:
(сз ■ д) ± (с4 ■ д) ± (с7 ■ д) + Б((с10 ■ д) ± (си ■ д)) (Б = 0). (22)
^.А.2.2. Считаем выполненными условия Сз =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (2) при т, равном -21п |А1/С101, убеждаемся, что А1 и С10 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1 /Сз|/3, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и Сз .В итоге получаем простейших представителей:
(сз ■ д) ± (с7 ■ д) ± (с10 ■ д) ± (с11 ■ д). (23)
^.А.2.3. Считаем выполненными условия Сз = 0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |А1 /В1|, убеждаемся, что А1 и В1 приводятся к равным по модулю значениям, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном -21п |А1 /С10|, приводим к равным абсолютным значениям величины А1 и С10. В итоге получаем простейших представителей:
(с4 ■ д) ± (с7 ■ д) ± (с10 ■ д) ± (с11 ■ д). (24)
^.А.2.4. Считаем выполненными условия Сз = 0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1) при т, равном 1п |1/В1|, приравниваем абсолютную величину В1 к единице, и, применяя после этого автоморфизм (2) при т, равном 1п |1/Сз|, приравниваем Сз = 1. (Применяя автоморфизмы (1) и (2) при т, связанных равенством т(2) = -2т(1), получим преобразование, по своему действию совпадающее с
преобразованием умножения, т.е. преобразования (1), (2) и преобразование умножения не являются независимыми.) В итоге получаем простейших представителей:
(«3 ■ д) ± («4 ■ д) + Б((«10 ■ д) ± («11 ■ д)) (Б = 0).
(25)
1У.А.2.5. Считаем выполненными условия С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), находим, что модули коэффициентов С3, С10, С11 приводятся к одной и той же величине. Поэтому получаем представителей:
(«3 ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д). (26)
1У.А.2.6. Считаем выполненными условия С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Применяя автоморфизм (1), находим, что модули коэффициентов В1, С10, С11 приводятся к одной и той же величине. Поэтому получаем представителей:
(«4 ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д). (27)
1У.А.2.7. Считаем выполненными условия С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Тогда инфинитезимальный оператор группы симметрий будет иметь вид
(« ■ д) = А1 («7 ■ д) + С((«10 ■ д) ± («11 ■ д)),
где |С| = |С101 = |С111. Следовательно, получаем представителей:
(«7 ■ д) + Б((«10 ■ д) ± («11 ■ д)) (Б = 0). (28)
1У.А.2.8. Считаем выполненными условия С3 =0, В1 = 0, А1 = 0. Находим простейших представителей:
(«10 ■ д) ± («11 ■ д). (29)
1У.В. Этот случай характеризуется условиями С10 = 0, С11 = 0.
1У.В.1. Предположим, что С1 = 0. Если С11 = 0, то при С1 =0 с помощью автоморфизма (12) можно привести к одинаковым абсолютным значениям коэффициенты С10 и С1; применяя автоморфизм (4), приведем В1 к нулевому значению; с помощью автоморфизма (3) к нулю можно привести коэффициент С3. Следовательно, получаем простейших представителей:
(«1 ■ д) ± («10 ■ д)+ Б(«7 ■ д),
совпадающих с (16) при Б1 = 0.
1У.В.2. В случае С1 = 0, действуя далее так же, как и при получении простейших представителей (22)-(29) и учитывая, что |С10| приводится к единице, если С11 = 0, в каждом из восьми случаев
1У.В.2.1. С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.2. С3 =0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.3. С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.4. С3 =0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.5. С3 =0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.6. С3 =0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.7. С3 = 0, В1 = 0, А1 = 0;
1У.В.2.8. С3 = 0, В1 = 0, А1 =0 получим соответственно простейших представителей:
(«3 ■ д) ± («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д), («3 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д),
(«3 ■ д) ± («4 ■ д) ± («10 ■ д), («3 ■ д) ± («10 ■ д), («4 ■ д) ± («10 ■ д),
(«4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д),
(«7 ■ д) ± («10 ■ д), («10 ■ д).
1У.С. Этот случай характеризуется условиями С10 = 0, С11 = 0.
1У.С.1. Если С10 = 0, то при С1 =0 приходим к инфинитезимальному оператору:
(«1 ■ д) ± («11 ■ д)+ Б(«7 ■ д),
дополняющему (19) при Б1 = 0.
^.^2. В случае С1 = 0, действуя далее так же, как и при получении простейших представителей (22)-(29), в каждом из восьми случаев Р^.С^Л. Сз = 0, -1 = 0, А = 0; Р^С.2.2. Сз =0, -1 = 0, А = 0; ^.С^.З. Сз = 0, -1 = 0, А = 0; ^^.2.4. Сз =0, -1 = 0, А = 0; IV.C.2.5. Сз =0, -1 = 0, А = 0; IV.C.2.6. Сз =0, -1 = 0, А = 0; IV.C.2.7. Сз = 0, -1 = 0, А = 0; IV.C.2.8. Сз = 0, -1 =0, А =0 получим соответственно простейших представителей:
(сз ■ д) ± (с4 ■ д) ± (с7 ■ д) ± (с11 ■ д), (сз ■ д) ± (с7 ■ д) ± (си ■ д), (сз ■ д) ± (с4 ■ д) ± (сп ■ д), (сз ■ д) ± (си ■ д), (с4 ■ д) ± (си ■ д),
(с4 ■ д) ± (с7 ■ д) ± (с11 ■ д), (с7 ■ д) ± (с11 ■ д), (с11 ■ д).
^.Э. Этот случай характеризуется условиями С10 = 0, С11 = 0.
^.0.1. При условии С1 =0 можно привести к нулю коэффициент -1, а с помощью автоморфизма (3) удаеться привести к нулевому значению коэффициент Сз; в результате приходим к однопарамет-рическому семейству:
(с1 ■ д) + Б(с7 ■ д).
^.0.2. В случае С1 = 0, считая выполненными условия ^.0.2.1. Сз = 0, -1 = 0, А = 0; IV.D.2.2. Сз =0, -1 = 0, А = 0; IV.D.2.3. Сз = 0, -1 = 0, А = 0; IV.D.2.4. Сз =0, -1 =0, А1 =0 имеем соответственно простейших представителей:
(сз ■ д) ± (с4 ■ д) ± (с7 ■ д), (сз ■ д) ± (с7 ■ д), (с4 ■ д) ± (с7 ■ д), (сз ■ д) ± (с4 ■ д),
которые соответственно дополняют: (13), (22) при Б = 0; (14) при Б = 0; (15) при Б = 0; (25) при Б = 0.
В случае С1 = 0, если выполнены условия ^.Э.2.5. Сз =0, -1 = 0, А1 = 0; ^.Э.2.6. Сз =0, -1 = 0, А1 = 0; IV.D.2.7. Сз = 0, -1 =0, А1 = 0 имеем соответственно простейших представителей:
(сз ■ д), (с4 ■ д), (с7 ■ д),
последний из которых дополняет (), (28) при Б = 0.
В случае С1 = 0 при выполнении
^^.2.8. Сз = 0, -1 =0, А =0 получается нулевой инфинитезимальный оператор.
Перечисленные выше инфинитезимальные операторы образуют оптимальную систему ©1 одномерных подалгебр естественной конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий системы дифференциальных уравнений в частных производных (3).
Для удобства восприятия полный список элементов, составляющих оптимальную систему ©1, приводится в конце статьи. Затем располагается схема поиска простейших представителей, обеспечивающая наглядное представление реализованного выше алгоритма построения оптимальной системы ©1.
Построенная оптимальная система одномерных подалгебр естественной конечномерной (размерности 12) подалгебры алгебры симметрий системы дифференциальных уравнений (3) насчитывает один трехпараметрический элемент, 12 двухпараметрических, 66 однопараметрических элементов и 108 индивидуальных элементов. В этом списке знаки не согласованы и могут быть выбраны независимо. В
каждом элементе списка один из базисных операторов ■ д) может быть замещен своим коллинеар-ным аналогом. При построении списка не учтены дискретные симметрии системы дифференциальных уравнений (3).
Заметим, что алгебра симметрий уравнений плоской задачи имеет размерность 7. Оптимальная система одномерных подалгебр состоит из одного двухпараметрического элемента, одиннадцати од-нопараметрических и двадцати индивидуальных элементов.
Алгебра симметрий уравнений осесимметричной задачи имеет размерность 5. Оптимальная система одномерных подалгебр состоит из одного однопараметрического элемента и двадцати двух индивидуальных элементов.
Оптимальная система ©1 используется для редукции системы дифференциальных уравнений в частных производных (3) к системам, содержащим лишь две независимых переменных, которые, в свою очередь, могут быть подвергнуты групповому анализу также с целью их дальнейшей редукции к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что этот процесс является достаточно трудоемким, но, при очевидном отсутствии альтернативы, единственным имеющимся в распоряжении средством развития теории пространственной задачи теории пластичности.
Свойства симметрии чрезвычайно важны при анализе нелинейных математических моделей, и здесь теоретико-групповые методы (теория групп и алгебр Ли) играют главенствующую роль. В этом плане, несмотря на то, что теория симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных была создана более ста лет тому назад, в математической теории пластичности в настоящее время наблюдается заметный пробел, который должен быть восполнен. Следуя по этому пути, возможно, можно будет найти новые точные решения пространственных соотношений теории пластичности.
Заключая, заметим, что дифференциальные уравнения математической теории пластичности столь сложны и многообразны, что сейчас трудно рассчитывать на их всеобъемлющее исследование только лишь средствами группового анализа.
Библиографический список
1. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях// Докл. АН СССР. 1959. Т. 124, № 3. С. 546-549.
2. Радаев Ю.Н. О канонических преобразованиях Пуанкаре и инвариантах уравнений пластического равновесия // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С. 86-94.
3. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности (2-е изд., перераб. и доп.). Самара: Изд-во Самар. гос. ун-та, 2006. 340 с.
4. Радаев Ю.Н., Гудков В.А. Об одной естественной конечномерной подалгебре алгебры симметрий трехмерных уравнений математической теории пластичности // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонаучная сер. № 5(39). 2005. С. 52-70.
5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
6. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. N.Y.: Springer, 1986. (В русском переводе см. [7].)
7. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М: Мир, 1989. 639 с.
8. Olver P.J. Equivalence, Invariants and Symmetry. Cambridge, N.Y., Melbourne: Cambridge University Press, 1995. 526 p.
9. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 156 с.
10. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. 328 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВНУТРЕННИЕ АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ СИММЕТРИЙ L12
1) C1 = C1, C2 = C2, C3 = C3е3т,
B1 = B1eT, B2 = B2eT , B3 = B3 eT
A1 = A1, A2 = A2, A3 = A3,
C10 = = C10, C11 = C11, C12 = C12;
2) C1 = C1, C2 = C2, C3 = C3 eT,
B1 = B1, B2 = B2, B3 = B3,
Ai = A1 , A2 = A2, A3 = A3,
C'о — Ci oe т/2, C'i — Cii e т/2, C'2 — Ci 2;
3) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3 — 3tci — TC2, в' — в i, в2 — B2, B3 — B3,
Ai — A i, A2 — A2, A3 — A3,
i о — C i 0, C 11 — C i i, C i 2 — C i 2;
4) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B ' — B i — tcÍ, B2 — B2 + TA3, B3 — B3 — TA2, Ai — A i, A2 — A2, A3 — A3,
i o — C i 0, C 11 — C i i, C i 2 — C i 2;
5) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B ' — B i — TA3, B2 — B2 — tcÍ , B3 — B3 + ta i, Ai — A 1, A2 — A2, A3 — A3,
1 0 — C 1 0 , C 11 — C 1 1, C1 2 — C 1 2 ;
6) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B ' — B 1 + TA2, B2 — B2 — ta 1, B3 — B3 — tcÍ , Ai — A 1, A2 — A2, A3 — A3,
1 0 — C 1 0, C 11 — C 1 1, C1 2 — C 1 2;
7) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B ' — B 1, B2 — B2 cos t + B3 sin t, B3 — B3 cos t — B2 sin t , Ai — A 1, A2 — A2 cos t + A3 sin t , A3 — A3 cos t — A2 sin t , 1 0 — C 1 0, C 1 1 — C 1 1, C 1 2 — C 1 2;
8) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B ' — B 1 cos t — B3 sin t , B2 — B2, B3 — B3 cos t + B 1 sin t , A 1 — A 1 cos t — A3 sin t , A2 — A2, A3 — A3 cos t + A 1 sin t,
1 0 — C1 0, C 11 — C 11, C1 2 — C1 2;
9) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
B' — B1 cos t + B2 sin t , B2 — B2 cos t — B1 sin t, B3 — B3, Ai — Ai cos t + A2 sin t, A2 — A2 cos t — Ai sin t, A3 — A3, 10 — C10, C11 — C11, C12 — C12;
10) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3, Bi — Bi, b2 — B2, b3 — B3, Ai — Ai, A2 — A2, A3 — A3,
C' 0 — C10 + 2 TC2 — TC12, C' 1 — C11, C' 2 — C12;
11) C ' — C , C2' — C2, C3' — C3, Bi — Bi, b2 — B2, b3 — B3, Ai — Ai, A2 — A2, A3 — A3,
C'0 — Ci0, C' 1 — Ci 1 + 2TC2 + tcÍ 2, C'2 — Ci2;
12) C' — Ci, C2 — C2, C3 — C3,
b ' — b 1, B2 — B2, B3 — B3, Ai — A 1, A2 — A2, A3 — A3, C'0 — C1 0eT, C' 1 — Ci 1 e T, C'2 — C1 2.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА © i АЛГЕБРЫ ЛИ L 12
1) (е ■ д) + D 1 (<й ■ д) + D2■ д) + D3(e2 ■ д) (|D 11 — 2|D3|);
2) (C2 ■ д) ± (q ■ д) + D 1 (C7 ■ д) + D2(e2 ■ д);
3) (<й ■ д) + D 1 (C7 ■ д) + D2(e2 ■ д);
4) (e ■ д) — 3(^2 ■ д) ± (C3 ■ д) + D 1 (C7 ■ д) + D2(e2 ■ д);
5) (e ■ д) — 3(^2 ■ д) + D 1 (C7 ■ д) + D2(e2 ■ д);
6) (<й ■ д) ± (C4 ■ д) ± (C7 ■ д) + D(e2 ■ д) (D — 0);
7) (C3 ■ д) ± (C7 ■ д) + D(e2 ■ д) (D — 0);
8) (q ■ д) ± (C7 ■ д) + D(e2 ■ д) (D — 0);
9) (C3 ■ д) ± (C4 ■ д) ± (e2 ■ д);
10) (C3 ■ д) ± (e2 ■ д);
11) (C4 ■ д) ± (e2 ■ д);
12) (C7 ■ д) + D(e2 ■ д) (D — 0);
13) (e2 ■ д);
14) («1 -0) ± («10- д) + -д) + 1 («12 -д)) + В2(«7 -д) (В1 =0);
15) («1 -д) + ^1((«2 -д) + 2(«12 ■ д)) + В2(«7- д) (В1 =0) (дополняет (1) при Вэ = 1 В1);
16) («2 ■ д) ± («4 ■ д) ± («10 ■ д) + 2(«12 ■ д) + В («7 ■ д);
17) («2 ■ д) ± («10 ■ д) + 2(«12 ■ д) + В («7 ■ д);
18) 2(«2 -д) + В((«4 -д) ± («7 -д)) + («12 -д) (В = 0);
19) 2(«2 ■ д) ± («4 ■ д) + («12 ■ д);
20) 2(«2 -д) + В(«7- д) + («12 -д) (В = 0);
21) 2(«2 -д) + («12 -д)
(дополняет (18), (20) при В = 0);
22) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («э ■ д) ± («10 ■ д) - §(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
23) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («э ■ д) - 2 («12 ■ д) + В(«7 ■ д);
24) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («10 ■ д) - 2(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
25) -2(«1 ■ д) + 2(«2 ■ д) + В(«7 ■ д) + («12 ■ д);
26) («1 -д) ± («11 -д) + В1((«2 -д) - 2(«12 -д)) + В2(«7 -д) (В1 =0);
27) («1 ■ д) + В1 ((«2 ■ д) - 1 («12 ■ д)) + В2(«7 ■ д) (В1 = 0)
(дополняет (1) при Вэ = -1В1);
28) («2 ■ д) ± («4 ■ д) ± («11 ■ д) - 2(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
29) («2 ■ д) ± («11 ■ д) - 1 («12 ■ д) + В(«7 ■ д);
30) -2(«2 -д) + В((«4 • д) ± («7- д)) + («12 -д) (В = 0);
31) -2(«2 ■ д) ± («4 ■ д) + («12 ■ д);
32) -2(«2 -д) + В(«7 • д) + («12 -д) (В = 0);
33) -2(«2 -д) + («12 -д)
(дополняет (30), (32) при В = 0);
34) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («э ■ д) ± («11 ■ д) + 2(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
35) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («э ■ д) + 2(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
36) («1 ■ д) - 3(«2 ■ д) ± («11 ■ д) + 2(«12 ■ д) + В(«7 ■ д);
37) |(«1 ■ д) - 2(«2 ■ д) + В(«7 ■ д) + («12 ■ д);
38) («1 ■ д) + В(«7 ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д);
39) («э -д) ± («4- д) ± («7- д) + В((«ю ■ д) ± («11 -д)) (В = 0);
40) («э ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д);
41) («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д);
42) («э -д) ± («4 -д) + В((«ю ■ д) ± («11 -д)) (В = 0);
43) («э ■ д) ± («10 ■ д) ± («11 ■ д);
44) («4- д) ± («10 -д) ± («11 -д);
45) («7 -д) + В((«10 -д) ± («11 -д)) (В = 0);
46) («10 ■ д) ± («11 ■ д);
47) («1 -д) ± («ю- д) + В («7- д)
(дополняет (14) при В1 = 0);
48) («э ■ д) ± («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д);
49) («э ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д);
50) («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («10 ■ д);
51) («э ■ д) ± («4 ■ д) ± («10 ■ д);
52) («э -д) ± («10 -д);
53) («4 -д) ± («ю- д);
54) («7 -д) ± («10 -д);
55) («ю- д);
56) («1 -д) ± («11 -д) + В («7 -д)
(дополняет (26) при В1 = 0);
57) («э ■ д) ± («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («11 ■ д);
58) («э ■ д) ± («7 ■ д) ± («11 ■ д);
59) («4 ■ д) ± («7 ■ д) ± («11 ■ д);
60) («э ■ д) ± («4 ■ д) ± («11 ■ д);
61) («э -д) ± («11 -д);
62) («4 -д) ± («11 -д);
63) («7- д) ± («11 -д);
64) («11 -д);
65) («1 -д) + В(«7 -д);
66) («э ■ д) ± («4 ■ д) ± («7 ■ д)
(дополняет (6), (39) при В = 0);
67) («э -д) ± («7 -д) (дополняет (7) при В = 0);
68) («4 -д) ± («7 -д) (дополняет (8) при В = 0);
69) («э -д) ± («4 -д) (дополняет (42) при В = 0);
70) («э -д);
71) («4- д);
72) («7- д)
(дополняет (12), (45) при В = 0);
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ©1 АЛГЕБРЫ ЛИ £12
1-13: С2 ± 2Сц = 0,
1-3: 3С1 + С2 =0, 1: С1 = 0,
2: С1 =0, С2 = 0, В = 0, 3: С1 =0, С2 = 0, В = 0; 4-13: 3С1 + С2 = 0,
4: С1 =0, Сэ = 0, 5: С1 =0, Сэ = 0, 6: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 7: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 8: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 9: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 10: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 11: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 12: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 13: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0;
14-25: С2 - 2Сц = 0, С2 + 2Сц = 0, 14-21: 3С1 + С2 = 0,
14: С1 = 0, С10 = 0, 15: С1 = 0, С10 = 0, 16: С1 = 0, С10 = 0, В = 0, С2 = 0, 17: С1 = 0, С10 = 0, В =0, С2 =0 18: С1 = 0, С10 = 0, В1 = 0, А =0, С2 = 0, 19: С1 = 0, С10 = 0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0, 20: С1 = 0, С10 = 0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0, 21: С1 = 0, С10 = 0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0; 22-25: 3С1 + С2 = 0,
22: С1 = 0, Сэ = 0, С10 = 0, 23: С1 =0, Сэ = 0, С10 = 0, 24: С1 =0, Сэ = 0, С10 = 0, 25: С1 =0, Сэ = 0, С10 = 0;
26-37: С2 + 2Сц = 0, С2 - 2Сц = 0, 26-33: 3С1 + С2 =0,
26: С1 = 0, С11 = 0,
27: С1 = 0, С11 = 0,
28: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, С2 = 0,
29: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, С2 = 0,
30: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0,
31: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0,
32: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0,
33: С1 = 0, С11 =0, В1 = 0, А1 =0, С2 = 0;
34-37: 3С1 + С2 = 0,
34: С1 =0, Сэ = 0, С11 = 0,
35: С1 = 0, Сэ = 0, С11 = 0,
36: С1 = 0, Сэ = 0, С11 = 0,
37: С1 = 0, Сэ = 0, С11 = 0; 38-72: С2 = 0, С12 = 0,
38-46: С10 = 0, С11 = 0, 38: С1 = 0,
39: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 40: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
41: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
42: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
43: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 44: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
45: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
45: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 47-55: С10 = 0, С11 = 0, 47: С1 = 0,
48: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 49: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 50: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0,
51: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0,
52: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
53: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
54: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
55: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 56-64: С10 = 0, С11 = 0, 56: С1 = 0,
57: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
58: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 59: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 60: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
61: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
62: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 63: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 64: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 65-72: С10 = 0, С11 = 0, 65: С1 = 0,
66: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
67: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 68: С1 =0, Сэ = 0, В1 =0, А = 0, 69: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0, 70: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
71: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0,
72: С1 =0, Сэ = 0, В =0, А = 0. Номера соответствуют строкам в списке элементов оптимальной системы ©1.
