Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 71-81.

УДК 517.9

СИММЕТРИЙНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ДВУХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДРОБНОГО ПОРЯДКА

A.A. КАСАТКИН

Аннотация. Исследуются точечные симметрии систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля. Найдена бесконечномерная алгебра L операторов, порождающих преобразования эквивалентности, и показано, что допускаемые операторы всегда образуют её подалгебру. Поэтому в основу классификации систем по точечным симметриям может быть положена оптимальная система подалгебр алгебры L. Построена оптимальная система одномерных подалгебр для L и полная оптимальная система для её конечномерной части

Ключевые слова: дробные производные, симметрии, оптимальная система подалгебр, групповая классификация.

1. Введение

В последние годы аппарат дробного пнтегро-дифференцирования [1] всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка различных типов используются при моделировании процессов со сложными нелокальными зависимостями, стохастических эффектов со степенными законами распределения, в теории автоматического управления и т. д.

В работах [2, 3, 4] классические методы группового анализа дифференциальных уравнений [5] адаптируются для исследования уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля и Капут.

В частности, в [2] показано, что в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, уравнения с производной порядка 0 < а < 1 имеют конечномерные группы допускаемых преобразований.

В работе [3] проведена классификации уравнений вида D™y(x) = f (х,у) по допускаемым группам точечных преобразований и построены классы точных решений. В данной работе исследуются системы двух уравнений того же вида

Da u(t) = f (t,u,v), Da g(t) = g(t,u,v)

с дробной производной типа Римана-Лиувилля. Найдены преобразования эквивалентности системы, решена также задача поиска спмметрнй для известных функций f, д.

A.A. Kasatkin, Symmetry properties for systems of two ordinary fractional difeferential

equations.

© Касаткин A.A. 2012.

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО УГАТУ в рамках договора №11.G34.31.0042 по постановлению №220 Правительства РФ.

Поступила 30.12.2011.

Показано, что для системы (1) алгебра допускаемых операторов является некоторой подалгеброй в алгебре операторов Ь, порождающих преобразования эквивалентности. Поэтому задача классификации систем сводится к построению оптимальной системы подалгебр 0(Ь) [6, 7].

Симметрии и преобразования эквивалентности

В работе рассматривается система двух дифференциальных уравнений с дробными производными

' Ба и(г) = ¡(г ,и, V) Оад(1) = д(1 ,и, у).

Здесь Иа - оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля по и

(1)

1 d— Г и(т)

Dau(t) = D- (Im-au(t)) = —--d- --up-— dr (2)

w v wy Г(т - a) dt- J (t - r)a+1-- v ;

0

при 0 < т — 1 < а ^ т,т Е N ([1]). Замена переменных

г = ф(г,и,у), и = ъи(г,и,у), у = ч>"(г,и,у) (з)

является преобразованием эквивалентности для системы (2), если в новых переменных система имеет ту же самую форму:

!

Dau(t) = f(t, U, v), Dag (t) = g(t,u, у).

, , и,

ции остаются теми же самыми, преобразование (3) называется допускаемым преобразованием системы (1),

Однопараметрическая группа преобразований может быть задана инфинитезимальным оператором. Для преобразований эквивалентности он имеет вид

д д д д д X = £(t ,u, v)— + Vu(t ,U у) ди + Vv (t ,u, v) — + uu(t ,u,y,f, g) — + vv (t ,u,y,f, g) — . (4)

Согласно результатам [2], действие инфинитезимальных преобразований t = t + а^ + о(а), u = u + ar]u + о(а), v = v + а rq" + o(a) па дробные производные определяется формулой продолжения:

Dfu(t) = D™u(t) + а (: + о(а), где может быть записано в виде ряда

С = D?(Vu) - aDt(OD?(u) + £ (а) ^D'^-a(u)D--1(0. (5)

n=1 ^ '

Определяющие уравнения для поиска коэффициентов инфинитезимального оператора (4) преобразований эквивалентности имеют вид

((а — V )\Dau=f,Da'v=g = 0, ((а — V )\Dau=f,Dav=g = 0,

По аналогии с алгоритмом построения координат допускаемых операторов, предложенным в [2, 3], будем искать симметрии и преобразования эквивалентности из следующего класса:

£ = Ш, £(0) = 0,

г]и = Рии(г)и + Р™ (ф + ди(г), г? = Р'и(г)и + р°'° (ф + д" (г). и

В этом случае Оа(г]и),Па(г]') в формуле продолжения (5) и в её аналоге для С могут быть представлены через дробные производные и интегралы Оа-пи, Ба-пь с помощью обобщенного правила Лейбница (для дробного дифференцирования сложной функции в общем виде компактных формул не существует),

В результате определяющие уравнения расщепляются по переменным Оа-пи, Оа-пу, и решение полученной бесконечной системы уравнений даёт выражения для координат оператора (4):

{£=( С\ + Ш )1, г]и = (а - 1)С2ги + С3и + С4у + ди(г), г" = (а - 1)С2Ьи + Съи + С6ь + д"(¿), ии = -а/Сг - (а + 1)С21 / + Са/ + САд + Оади(1), [и" = -адСг - (а + 1)С^д + Съ/ + С6д + Оад"(г),

где Сг,..., С6 - произвольные поетоянные, а ди, д" - произвольные функции При поиске допускаемых операторов вида

д д д х = ,щ V) — + г]и(г V) — + г]'"(г ,щ V)

определяющие уравнения принимают вид

(7)

(с: - е и - г и - у /

(С - & - 1и 9и - г? 9

)|Daи=f (1,и,'и),Па'и=д( г,и,'и) 0 "''" )|Daи=f (t,и,v),Dav=д( г,и,'и) = 0

Их решение с теми же ограничениями на класс симметрий (6) приводит к координатам

, и, '

( Сг + С21)1 /г + [(а - 1)С2Ы + Са и + САь + ди(1)] /и+ + [(а - 1)С2Ы + С5и + Сеь + д"(I)]& =

= Б:ди(1) + (Са - аСг - (а + )/ + С4д, (Сг + СА )г дг + [(а - 1)С2Ы + Са и + САь + ди(1)] 9и+ + [(а - 1)С21 V + Съи + СбУ + д"(I)]д" =

= Ои"(I) + (С6 - аСг - (а + 1)6^)д + Съ/. ( , и, ) , ( , и, )

быть найдены путём решения системы (8), Допускаемые операторы образуют подалгебру в алгебре Ли Ь = Ь6 + , где алгебра Ь6 порождается базисными операторами

(8)

д

д

х = *^ Х2 = ^ + (а - + (а - 1

дг

Х д

Ха = и—, ои

Х д

Х4 = V—, ои

и

х д х д

Х = и—, Хб = ь—, оь оь

а бесконечномерная алгебра - операторами вида

д д х,. = ^^ х> = /(0

Отметим, что в рассматриваемом случае все возможные симметрии системы (1) могут

Ь

(9)

(10)

если две системы вида (1) связаны преобразованием эквивалентности, то и их операторы получаются друг из друга этим же преобразованием (заменой переменных в дифференциальном операторе). Множество таких преобразований в алгебре Ли Ь соответствует группе внутренних автоморфизмов этой алгебры [5],

Таким образом, для решения задачи классификации уравнений по допускаемым группам преобразований (одно-, двупараметричееким и т.д) достаточно построить классы непо-

Ь

Ь

(поиека неподобных подалгебр с точностью до внутренних автоморфизмов).

3. Оптимальная система подалгебр Для построения оптимальной системы подалгебр в( Ь) удобно ввести базис

У1 = Х\, У2 = Х2, Уз = Х3 — Хб, У = Х4 У5 = Х5 У6 = Хэ + Хб.

Таблица коммутаторов принимает вид

У1 У2 У У4 У5 У6 Уди

У1 0 У2 0 0 0 0 №)и № X

У2 0 0 0 0 0 (е ди — (а — 1)* ди)и (г2 д" — (а —

Уз 0 —2У4 2 У5 0 <—9и)и < о" )"

У4 0 — Уз 0 0 <—а")

У5 0 0 <—аи1 0

У6 0 <—<1и)и <—д ")

Уии 0 0

У 0

Часть таблицы ниже главной диагонали достраивается в силу антисимметричности коммутатора, Здесь используются сокращённые обозначения операторов

<Фи = ^ = 9

Видно, что совокупность операторов {Уди } с произвольными функциями ди(Ь), (¿) является бесконечным абелевым идеалом в алгебре Ь, и алгебра имеет следующую структуру:

Ь = Ь^ ф {УЬУ>} ф {Уз,У4,П} Ф {^е}.

Подалгебры {У6} и {У1,У2} являются соответственно центром и идеалом в алгебре Ь6 = {У1,...,У6}.

Каждый из операторов Z Е Ь порождает внутренний автоморфизм исследуемой алгеб-Ь

вУ

У

«=0

У,

(П)

где операторы определяются своими координатами в заданном базисе:

У = к1У;1 + ... + к6Уб + Уди + Уг, кг = кг(в, к1,..., к6, ди, д").

Отметим, что внутренний автоморфизм, построенный для операторов Z из центра, все-

Ь6

V

V

и

V

Решая систему уравнений (11) для Y\, преобразований координат оператора:

, Y5, получим внутренние автоморфизмы в виде

к1 кк2 к со к4 к5 к6

Ä1 к1 а^2 к3 к4 к5 к6

А2 к1 к2 — а2к1 к3 к4 к5 к6

A3 к1 к2 к3 а3к4 к5 / а,3 к6

A4 к1 к2 к3 — а4к5 к4 + 2 а4к3 — а42к5 к5 к6

А5 к1 к2 к3 + а5к4 к4 к5 — 2а5к3 — а52к4 к6

Здесь Ог - произвольные параметры. Добавление дискретных автоморфизмов (преобразований эквивалентности и = —и) позволяет не накладывать ограничение а3 > 0, Преобразование обращения времени д = — изменяет оператор Римана-Лиувилля и не рассматривается в качестве дискретного преобразования эквивалентности. Поэтому в дальнейшем принимается а1 > 0,

Действие автоморфизмов А1... А5, А6 па координаты ди, ^ выглядит следующим образом:

^(а^), д" = ^ (а1г),

1 ^ д = (1 — а2г)сЛ" 1

А : к

Л : к

А : к

A4 : к

А5 : к

Л : к

(1 - a2t)a-1qu

a—1gU

a3q

~и

1 — at

q" = qv/а3, (а3 = ±лДа3\, а3а3 > 0)

v —V V

а4 q", q" = q", qv — a5qu,

V1 — at)

qu

a6q"

—V V

q" = a6q",

а комбинация автоморфизмов Avu, Аь

a6 > 0, имеет вид

qa = qu — (кЧ + k2t2)vu + (к3 + к6 + (а — 1)k2t)vu + k4i

q°

(12)

q" + к5 vu — (кЧ + k2t2)üv + (—к3 + к6 + (а — 1)k2t)uv.

Особенности построения автоморфизмов и оптимальной системы подалгебр для операторов с произвольными функциями проиллюстрированы, например, в работе [7].

Следуя методике [6], базисы искомых r-мерпых подалгебр алгебры L записываются в виде матриц, строки которых - координаты базиса подалгебры в базисе Y. Элементы матрицы должны удовлетворять условиям подалгебры - требованию замкнутости относительно операции коммутирования. На множестве матриц рассматривается действие группы внутренних автоморфизмов А (линейные преобразования столбцов) и группы В преобразований базиса подалгебры (все линейные невырожденные преобразования строк). Неподобные относительно этих преобразований матрицы и определяют элементы оптимальной системы O(L). При классификации матриц преобразованиями А, В добиваемся максимально возможного числа нулевых координат и минимального числа произвольных постоянных.

Всегда можно построить оптимальную систему, удовлетворяющую дополнительному требованию нормализованности - вместе с каждой подалгеброй К е OaL в оптимальной системе должен содержаться её нормализатор Nor ^К е @aL. Нормализатором Nor^Ä" подалгебры К в L называется наибольшая подалгебра алгебры L, для которой К является идеалом, то есть для всех X е К и Y е Nor^К выполнено [X, Y] е К.

Построение начинается с алгебры L4 = {Y3,Y4,Y5,Y6}. В ней действуют только автоморфизмы А3, А4, А5. Выражения к6, к3к3 — к4к5 являются инвариантами группы внутренних автоморфизмов, В результате вычислений по описанному выше алгоритму получена нормализованная оптимальная система подалгебр Q(L4), приведённая в таблице 1, В таблицах используются сокращения {4 — 5 + 6} = {Y4 — Y5 + ryY6}, этак „=" в столбце Nor означает, что данная подалгебра самонормализована.

и

q

V

V

Табл. 1. Оптимальная система в(Ь4)

№ Подалгебра N01

4.1 3,4,5,6 =

3.1 3, 4,6 =

3.2 3, 4,5 4.1

2.1 3, 6 =

2.2 4 — 5, 6 =

2.3 4, 6 3.1

2.4 3 + ^6, 4 3.1

1.1 3 + 76 2.1

1.2 6 4.1

1.3 4 + 6 2.3

1.4 4 3.1

1.5 4 — 5 + 76 2.2

7 > 0,/3 е И

Оптимальная система в(Ь6) строится с использованием разложения Ь6 = ,1 ф М, где N = Ь4 - подалгебра, ,1 = [У1, У2} _ идеал, Для каждой подалгебры Мр из оптимальной системы в^(М) (в нашем случае го таблицы 1) находится стабилизатор Ар С А в Ь6, то есть автоморфизмы Ь6, которые не меняют эту подалгебру (но могут изменить вид соответствующей матрицы). Стабилизатор Ар в рассматриваемом случае включает А1,А2 и некоторые комбинации А3, А4, А5.

Далее с помощью преобразований из Ар происходит упрощение произвольной подалгебры из ,1 ф Мр (Мр с произвольной добавленными операторами из идеала) и строится оптимальная система (,1 ф Мр) = [Кр,д}, Совокупность всех полученных для разных Мр подалгебр и составляет оптимальную систему в^(Ь6),

Построенная таким образом нормализованная оптимальная система с соответствующими номерами Мр и нормализаторов приведена в таблицах 2-5,

Разложение алгебры Ь па идеал Ь^ и подалгебру Ь6 позволяет строить в(Ь) па базе оптимальной системы в(Ь6) то той же методике. Автоморфизмы А„и,Аиъ вида (12) изменяют только составляющие (с[и)и а (с[ь)Г€ оператора У. При выполнении для коэффициентов оператора хотя бы одного из условий

к1 = 0, к2 = 0, (к6)2 — (к3)2 - к4к5 = 0,

выбором функций ^(¿), Vь (¿) можно обратить обратить в нуль произвольные функции (р. Таким образом, только элементы 1,1 с 7 = 1 и 1,4 оптимальной системы в(Ь6) (а также пулевая подалгебра) порождают новые элементы в(Ь). Соответствующие подалгебры 1.18 — 1.20 также приведены в таблице 2,

Аналогичным образом могут быть построены подалгебры большей размерности, содержащие (ди)и а (с[ьПри этом условия подалгебры записываются в виде дифференциальных соотношений.

Для каждой подалгебры К из оптимальной системы путём совместного решения уравнений (8) с известными коэффициентами С1,... С6 и функция ми (¿) можно найти все функции /(£ ,и, V), д(Ь ,и, V), при которых система (1) допускает заданные операторы. При этом произвольными элементами в этих функциях будут инварианты подалгебры К (как видно из структуры уравнений (8)), Все системы, допускающие подобные К алгебры операторов, приводятся к этому виду преобразованиями эквивалентности.

Результаты вычислений приведены в соответствующих столбцах таблиц 2-5, где F и G являются произвольными функциями инвариантов J i. Для удобства записи в таблицах иногда используются полярные координаты г,ф\ u = г cos ф,и = v sin ф.

4. Заключение

Построены преобразования эквивалентности системы (1), которые включают общее невырожденное линейное преобразование неизвестных функций и и v, растяжение независимой переменной t, прибавление фиксированных функций q(t) к и и v и проективное преобразование специального вида.

Показано, что допускаемые операторы системы образуют подалгебру алгебры L = Lф L6, порождающей преобразования эквивалентности, и задача классификации систем (1) по допускаемым группам точечных преобразований сводится к построению оптимальной системы подалгебр O(L).

Для построения O(L) применяются классические алгоритмы [6, 7]. В результате вычислена полная нормализованная оптимальная система подалгебр L6 и оптимальная система одномерных подалгебр L.

Симметрии систем могут быть использованы для получения их решений. Системы вида (1) также возникают при построении классов решений уравнений с частными производными дробного порядка, например, методом инвариантных подпространств [8].

Табл. 2. Оптимальная система Q1(L6 ф L)

№ Подалгебра Nor Np f,g Инварианты

1.1 3 + 76 4.2 f = uF (t,v1+1 u1—) J1 = t

9 = vG(t,v1+^ u1-') J2 = v1+1 u1—

1.2 6 6.1 f = uF (t,v/u) J1 = t

9 = uG(t,v/u) J2 = v/u

1.3 4 + 6 4.4 f = v(F + G ln v) J1 = t

9 = vG J2 = ve-u/v

1.4 4 5.1 f = F (t,v)+ uG(t,v) J1 = t

9 = vG(t,v) J2 = V

1.5 4 - 5 + 76 4.3 f = uF - vG J1 = t

9 = vF + uG J2 = ге1ф

1.6 1 5.3 0 f = t-aF (u,v) J1 = и

g = t-aG(u,v) J2 = V

1.7 2 6.1 0 f = t-2auF J1 = u/v

9 = t-2a vG J2 = vt1-a

1.8 k1 + 3 + 76 3.8 1.1 f = t-auF J1 = uk t-1—

g = t-avG J2 = vkt1-^

1.9 k1 + 6 5.3 1.2 f = v1-akp J1 = vt-1/k

g = v1-akG J2 = u/v

1.10 k1 + 4 + 6 3.10 1.3 f = t-av(F + G ln t) J1 = vt-1/k

9 = kt-avG J2 = ve-u/v

1.11 1 + 4 3.10 1.4 f = t-a(F + G ln t) J1 = V

9 = t-aG J2 = и - V ln t

1.12 k1 + 76+ 3.9 1.5 f = t-a(uF - vG) J1 = t1/kеф

+4 - 5 g = t-a(vF + uG) J2 = ге1Ф

1.13 ±2 + 3 + 76 3.120,0 1.1 f = f-1-aeT1/t p J1 = ut1-ae±(l+1)/t

9 = t-1-aeT1/tG J2 = vt1-ae±(l-1)/t

№ Подалгебра N01

1.14 ±2 + 6 5.4о 1.2

1.15 ±2 + 4 + 6 3.15о 1.3

1.16 2 + 4 4.8-2,0 1.4

1.17 ±2 + 76+ +4 - 5 3.130,0 1.5

1.18 < Г)и + <ди )„ 0

1.19 3 + 6 + <д» )„ 1.11

1.20 4+ <д* )„ 1.4

1,д

Инварианты

Л = Ы1-а е ±1/г 32 = и/у ]1 = и/у ± = уг1-а е±1/г = и/у + 1Д /2 =

Л = 0 т 1А

= г£1-а е±7/4

f = Ь-2аиР д = Г2"?; С / = Г2аг; ( Р + СД) Я = Г2"?; С у = г2аг;( Р - СД) д = Г2"?; С / = Г2а(и Р -VС) д = г-2а(у Р + иС)

и-^^ + Р

ди(1)

и^Ш + С ди(1)

■■ иР

1Ва(дV)1п |и| + С

: и-+ Р + ?;—

^ (¿) дь

ла .„V ( '

оадь (г) 9 = * + С д-" (г)

= *

/2 = ^ (*) - г; = *

= 2г; - ^ 1п |и|

= г

= 2ид" (¿) - у2

к = 0,7 > 0, 4.8-2,о - подалгебра 4,8 при 5 = -2, / = 0.

Табл. 3. Оптимальная система в2(Рб)

№ Подалгебра N01 Кр Инварианты

2.1 3,6 4.2 / = 9 = иР (¿) С( ) =

2.2 4 - 5, 6 4.3 / = 9 = иР(¿) - г;С(*) у р (г) + иС(г) =

2.3 4, 6 5.1 / = и Р( ) + С( ) =

д = Р( ) /8 + 1 иР (¿) + у^С(г) Р( )

2.4 3 + /6, 4 5.1 / = 9 = =

(/3 =1) 5.1 / = 9 = и Р( , ) Р( , ) = =

2.5 1, 2 6.1 0 / = 9 = г«и1/(1-«)р (и/^ ) г-аи1/(1-а)С(и/у) = и/

2.6 1, 3 + 76 3.8 1.1 / = 9 = ГаиР (у 1+^и1-7) С(г; 1+7и1-7) = ^и1-7

2.7 1, 6 5.3 1.2 / = д = Ь-аиР (и/у) ГаиС(и/у) = и/

2.8 1, 4 + 6 3.10 1.3 / = 9 = г-^ ( р + С 1пг;) С = у е-и/у

2.9 1, 4 4.6 1.4 / = 9 = Га(и Р (г;) + ОД) г-ау Р (у) Л =

2.10 1, 4 - 5 + 7 6 3.9 1.5 / = 9 = Га(и Р - у С) г-а(у Р + иС) = г е

2.11 2, /1 + 3 + 76 4.2 1.1 / = £ = Г2а(и/у )а?/2иР Г2а(и/у )а^/2 у С

№ Подалгебра Nor Np f,9 Инварианты

2.12 2,ß1 + 6 ß = 1/(a - 1) 6.1 1.2 / = 9 = / = ra-fu ^F Г"- fvß+- G 0, = 0 J1 = u/ Л = ß + 1 - aß

2.13 2, ß 1 + 4 + 6 4.4 1.3 / = t-"- fve+- ( F + uG/v ) J1 = u/

9 = ra- fvß+- G Л = ß + 1 - aß

ß = 1/(a - 1) / = 9 = t-2ae (a--)- (ü F + ~ au r2ae (a-D-v G u G) J1 =

2.14 2, 4 5.1 1.4 / = 9 = t-2a (v F + uG) r2aw G Jl =

2.15 2,1 + 4 4.4 1.4 / = r2ae au/v (v F + u G) Jl = yf1-a e("-1)u/v

9 = t-2aeau/vvG

2.16 2,ß 1 + 4 - 5 + 76 4.3 1.5 / = g = t-2ae-a^(uF - vG) t-2ae-a^(vF + uG) J = ге1ф

2.17 71 + 3,ß1 + 6 3.8 2.1 / = 9 = t-auF ( 12u--ßv t-avG(t 2u-1-ßv1 - ß) - ß) Jl = t2u--ßv<-ß

2.18 3, ±2 + 6 3.12o,o 2.1 f = t-2a uF Jl = uw t2-2ae ±2/t

g = t-2avG

2.19 2 + 3, ß2 + 6 3.120,0 2.1 / = t-2a uF J1 = -- uß+1vß-1f2ß(1-a)e2/t

9 = t-2avG

2.20 71 + 4 - 5,ß1 + 6 3.9 2.2 / = 9 = t-a(u F -v G) t-a(v F + uG) J1 = í г-(3е1ф

2.21 4 - 5, ±2 + 6 3.130,0 2.2 / = t-2a (u F -v G) J1 = ri1-ae1/(ßi)

9 = t-2a(v F + uG)

2.22 2 + 4 - 5, ß2 + 6 3.13o,o 2.2 / = 9 = t-2a (u F -v G) t-2a(v F + uG) J1 = _ rß-j-ß(1-a) е-ф+1/г

2.23 4,k1 + 6 4.6 2.3 / = g = t-a(v F + uG) t-av G J1 = -1/ к

2.24 1 + 4,ß1 + 6 3.10 2.3 / = 9 = t-a(v F + uG) t-av G J1 = iw-ße-u/^

2.25 4, ±2 + 6 4.8o,o 2.3 / = t-2a (v F + uG) J1 = е±1/4

g = t-2avG

2.26 2 + 4, ±2 + 6 3.15o 2.3 / = 9 = t-2a (v F + uG) r2aw G J1 = _ yf1-ae±(1/t+u/v)

2.27 2 + 4, 6 4.8-2,o 2.3 / = 9 = r2« (v F + uG) r2aw G J1 = u/ + 1 /

2.28 k1 + 3 + ß6, 4 4.6 2.4 / = ra(¿2/к v F + uG) Jl = Wi(1-ß)/k

9 = t-avG

2.29 ±2 + 3 + ß6, 4 4.8o,o 2.4 / = t-2a ( e F + u G)

0 = r2aw G ß-3 ra-1 ( u + 1) 2 Jl = = ^1-«g ±(ß-1)A

2.30 (-2)1 + 3 + ß6, 3.17 2.4 / = (( u + 1 ) F - G/t)

2 + 4 0 = ß-3 t-a-1 (u +1) 2 G J1 t2a-2 (u + 1 )ß-3+2" = V2 U + t)

k = 0,7 > 0

№ Подалгебра Кот Мр

3.1 3,4,6 5.1

3.2 3, 4,5 6.1

3.3 1, 2, 3 + ^6 4.2 1.1

3.4 1, 2,6 6.1 1.2

3.5 1, 2, 4 + 6 4.4 1.3

3.6 1, 2,4 5.1 1.4

3.7 1, 2, 4 - 5 + ^6 4.3 1.5

3.8 1, 3,6 = 2.1

3.9 1, 4 - 5,6 = 2.2

3.10 1, 4,6 4.6 2.3

3.11 1, 3 + Р6,4 4.6 2.4

Р =1

3.12 2,71 + 3, р 1 + 6 4.2 2.1

Р =1/(а - 1)

3.13 2,71 + 4 - 5, Р1 + 6 4.3 2.2

Р =1/(а - 1)

3.14 2,1 + 4,р 1 + 6 4.4 2.3

Р =1/(а - 1)

3.15 2,4,р 1 + 6 5.1 2.3

р =1/(а - 1)

3.16 2,4,51 + 3 +р6 5.1 2.4

р =1,5 = 0

р = -1 + 2/а,5 = -2/а

р =1 + а5 -5

3.17 (-2)1 + 3, 2 + 4,6 = 3.1

3.18 51 + 3,4,р 1 + 6 4.6 3.1

5 + р = 0

3.19 3, 4, ±2 + 6 4.8о,о 3.1

3.20 ±2 + 3,4,р 2 + 6 4.8о,о 3.1

р = ±1

Табл. 4. Оптимальная система 03(Ь6) 1,9

иР(г), д = ьР(г) иР(г), д = уР(г)

1 „ , , ч "(7+1)

г-аи (и/у) 2(«-1)

1 , , ч "(7-1)

Гаь (и/ь) 2(а-1) 0, д = 0

а а и

г-ау - (С2и + СгV)

а а и

1-^еа-1 V С2у

Гаь ^ ( С2и + Сг V)

а _

Га(ге1ф) ^ (Сги -С2У) Га(г е1ф) ^ (СгУ + С2и) Сг Га и, д = С2 г-ау Га( Сг и -С2У) Га( С2и + Сг V)

Га( С2 и + Сг у), д = ГаС2ь

р+1

Га( С2 и + Сгь ^), д = ГаС2у и Р( ), = Р( )

г-а Сги

2и-1-Ц1Ц-Ц\-а/($+г-а0)/2 С2у

га (г 0, д = 0 г-а (гг--?

¡-—а

и

г-?е1ф)

-а/(13+г-а/3)

га ^гг-? е ^рД/Ж-^ (Сгу + С2и) 0, = 0

г-2а(у ^-а)а?/х е а/х^и/'" (С2и + Сг у) Г2а(ь 1г-а)а?/хеа/х^и/г,С2у, X = р + 1 -ар 0, = 0

Га-а/хуа/3/х( С2и + Сг V)

1-а-а/\уа13/\С2у, X = р +1 -ар 0, = 0

Г2а( Сги + С2у (^г-а)2/х)^г-а)а/х г-2аС2у (у ^-а)а6/х г-2аиР(Vгг-а), д = г-2аьР(Vгг-а) г-2аур(Vгг-а), д = о 0, = 0

г-а-г(у + Ы)-а(Сгьа(ь + ы) - С2ьа+г)

С2 Гауа+г (г; + Ы)-( 2 б-р Га 1СгЬ + С2и

г-аиР (г V-?), д = Г°уР (Ы-?) 1-2аС\и + С2 е ±2/г/(ь I2) г-2аСгУ

Г2а (Сги + С2У (Vг(а-г)?е-г/ь)^ -2аСгь

(Сги - С2У)

) , д = г-аС2У

иР (у гг-а е^г/г) Р(

г-а р ^

Табл. 5. Оптимальные системы 04,5,e(L6)

№ Подалгебра Nor Np f

4.1 3,4,5,6 6.1 f = uF (t) = F( )

4.2 1, 2, 3, 6 = 2.1 f = 0 = 0

4.3 1, 2, 4 - 5, 6 = 2.2 f = 0 = 0

4.4 1, 2,4, 6 5.1 2.3 f = 0 = 0

4.5 1, 2, 3 + р6, 4 5.1 2.4 f = 0 = 0

р =1 f = Ct-auv a/(1-a) = C t—av1/(1—a)

р = 2/а - 1 f = Ct-av1/(1-a) = 0

4.6 1, 3,4, 6 4.6 3.1 f = Ct-au = C t—av

4.7 1, 3,4, 5 5.3 3.2 f = Ct-au = Ct—av

4.8 2,51 + 3, 4,р 1 + 6 5.1 3.1 f = 0 = 0

5= - р f = —a—a/Xya^/X = C t—a—a/Xuv {¡3+1)/X

8 = р - 2(р + 1)/а f = C£—a—a/Xy (¡3+1)/X = 0, A = р + 1 -ар

4.9 2, 3,4, 5 6.1 3.2 f = Ct—2au = Ct—2av

4.10 k1 + 6, 3,4, 5 5.3 4.1 f = Ct—au = C t—av

4.11 ±2 + 6, 3,4, 5 5.4о 4.1 f = Ct—2au = Ct—2av

5.1 1, 2, 3,4, 6 = 3.1 f = 0 = 0

5.2 1, 2, 3,4, 5 6.1 3.2 f = 0 = 0

5.3 1, 3, 4,5, 6 = 4.1 f = Ct—au = C t—av

5.4 р 1 + 6, 2, 3,4, 5 6.1 4.1 f = 0 = 0

(Р = 0) f = Ct—2au = Ct—2av

6.1 1, 2, 3, 4,5, 6 = 4.1 f = 0 = 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987. 688 с.

2. Газизов Р.К., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ. 2007. Т.9, № 3 (21). С. 125—135.

3. Group-Invariant Solutions of Fractional Differential Equations. Nonlinear Science and Complexity, Springer. 2011. P. 51-59.

4. R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk Symmetry properties of fractional diffusion equations. // Phvsica Scripta. IOP. 2009. T 136, 014016.

5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 400 с.

6. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, №6. С. 702-704.

7. Хабиров С. В. Симметрийный анализ модели несжимаемой жидкости с вязкостью и теплопроводностью, зависящим,и от, температуры. Препринт института механики УНЦ РАН. Уфа: Гилем, 2004. 37 с.

8. V. Galaktionov, S. Svirshchevskii Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Chapman & Hall/CRC applied mathematics and nonlinear science series. 2009.

Алексей Александрович Касаткин,

Уфимский государственный авиационный технический университет,

ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]