CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 30-45 = Математика
УДК 519.4
Проблема сопряженности слов в HNN-расширении древесного произведения групп с циклическим объединением
В. Н. Безверхний, Е. С. Безверхний
Аннотация. В работе положительно решена проблема сопряженности слов в НЖЖ-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением по бесконечной циклической подгруппе.
Ключевые слова: группа, подгруппа, НЖЖ-расширение,
древесное произведение, проблема сопряженности.
1. Введение
Определение 1. Будем говорить, что в группе С разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов Wl, W2 из С установить, существует ли элемент Н € С такой, что Н-1W1Н = W2.
Известно, что в свободных группах проблема сопряженности слов разрешима [11].
С. Липшуцем была установлена разрешимость проблемы сопряженности слов в классе групп Гт *а ^П, где Гт и Еп — свободные группы рангов т,п < ж, С — циклическая подгруппа [9].
Одним из авторов решена проблема сопряженности и степенной сопряженности слов в группах с одним определяющим соотношением с кручением и в их свободном произведении с циклическим объединением [5].
Фридманом А.А. была решена проблема сопряженности слов в группе (^Г1^£ = уд^г), где ^т — свободная группа, т < Ж,У1,У^ € ^т [10]. Из этого результата следует, что проблема сопряженности слов разрешима в группе (а, £|£-1ат£ = ап).
Рассмотрим конечный дерево-граф Г, каждой его вершине Vi соответствует бесконечная циклическая группа (а^, причем, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие ai и а^, то самому ребру соответствуют ассоциированные подгруппы (а™4) = (аП**). Тогда
группа Сг, соответствующая графу Г, называется древесным произведением циклических групп с ассоциированными циклическими подгруппами.
Копредставление группы Gг имеет вид:
п
Gг = (Ц *(ак)|ат'" = ап"г), |т,у|, |п^| ^ 1,*,; = 1,п, (1)
к=1
/ тг? \ / птг\
где (аi ) и (а^- ) ассоциированные подгруппы.
Очевидно, что в группе Сг разрешима проблема сопряженности слов. Известно также, что в группе Gг разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп [8].
Рассмотрим НЖЖ-расширение группы Gг с помощью правильной проходной буквы £:
Gг = (Сг, £|те1Сг, £-1Ц1£ = Ц—1), (2)
где Ц = (а-1), Ц-1 = (а*2), |«1|, |^| ^ 1,*,; = 1,п.
Утверждение 1. Пусть Wl € Сг, W2 € Сг, причем Wl и W2 одновременно не сопряжены ассоциированной подгруппе Ц£,е = ±1. Слова Wl и W2 сопряжены в группе Сг тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе Сг.
Наша цель — доказать разрешимость проблемы сопряженности слов в группе Сг вида (2).
2. Специальное множество слов для группы Сг
Рассмотрим специальное множество слов группы Сг вида (1), которое будет использовано для решения проблемы сопряженности слов в группе Сг вида (2). Для этого выделим в дереве Г группы Сг произвольную вершину Vi, которая разбивает граф на два подграфа Г и Г, имеющих общую вершину vi. Пусть (а^ — подгруппа соответствующая vi, тогда ^) € Сгг. Ребро ei связывает графы Г и Г, где vi и - вершины ребра е^ Тогда вершине а^ соответствует циклическая группа (а^-), а группы (а^ и (а^-) объединены по циклической подгруппе С^- : ^ гг) = (а^-Jг). Таким образом, группа Сг может быть представлена в виде свободного произведения с объединением:
Сг = Сг *Сгз Сг •
Известно [11], что каждый элемент свободного произведения д € Сг может быть единственным образом представлен в каноническом виде:
д = 11д • • • 1пдКдтпд • • • т1д, (3)
где т^, 1-1 — представители правых классов смежности группы Сгг и С г по ассоциированным подгруппам, причем т^, ^+1>д (^д, ^+1>д ) принадлежат разным сомножителям группы Сг. Слог Кд - называется ядром. Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе С^-, то слоги 1пд и тпд принадлежат
одному сомножителю группы Сг. В таком случае слоговая длина слова (3) равна 1(д) = 2п + 1. Если тпд. • • т1д = (11д... 1пд)-1, то слово
д = т-д1. • • т-д1Кдтпд • • • т1д (4)
называется трансформой. Если Кд € Су, то в (3) 1пд и тпд принадлежат
разным сомножителям группы Сг и длина слова
д = ^1д • • • ^пд Лд тпд • • • т1д, (5)
где Л,д = Кд, равная 1(д) = 2п. Слова вида (3), (5) нетрансформы,
причем слова вида (3) — нетрансформы нечетной длины, слова вида (5)
— нетрансформы четной длины. Подслова 11д • • • 1пд называются левой половиной слов (3), (5) .
Рассмотрим конечное множество слов ^г}^=у^ группы Сг, каждое из которых приведено к виду (3), (4) или (5).
Определение 2 [2]. В множестве ^г}^=у^ левая (правая) половина некоторого слова wi = 11иг•••1тадгКигттиг•••т1адг называется изолированной, если ни у одного из слов W^ (е = ±1) множества (^г}г=Т~^^г) и и (^-Ч^Т^^-1) нельзя выделить ...1тадг (ттиг• • • Т1иг) в качестве
начального (конечного) подслова, то есть w^ = 11иг... 1тиг 1т+1;ад^w^n
^ тт+1,и ттда3’ •••т1и3’), где 1тадг, 1т+1,ад^’ (тт+1,и , ттиг) принадлежат
разным сомножителям группы Сг.
Определение 3 [2]. Назовем конечное множество слов группы
Сг специальным, если оно удовлетворяет условиям:
1) левая половина нетрансформы множества {wi}i=^N изолирована в нем; если нетрансформа есть слово четной длины, то изолированы и левая, и правая половины;
2) длину произвольного элемента w^0 € нельзя уменьшить,
умножая на слово w длины меньше 1^г0) принадлежащее подгруппе ({{'шЛг=1м ^о});
3) пусть wf0 = ^о •• • ^пио Кио тпи0 • • • т^'+1,ад0 т^'ад0 • • • т1и0 , е — ±1, .] < п
нетрансформа из множества {wi}i=^N и
^ = 11адаг • • • 1пгадаг Ка тпгадаг • • • т^'+1,иаг т.?ио • • • т1ио }г=1,М
= ±1 — подмножество нетрансформ из множества (^г}^г0) и
и (^-^Уш-1), правая половина которых оканчивается подсловом туио• • • Т1ВД0, тогда, если подгруппа (^^=1^) П т-^... т-^Бтуио• • • = В,
где Б € Сгг, когда г,-+1,ио € С г или Б € С г, когда г,-+1,ио € Сгг и Б не
единична, то 1^0и) ^ ), где и € 5,1^0uw-.£г) ^ 1^0);
4) пусть
— ^1иг • • • ^зиг ^з+^иг • • • ^пиг Киг тпиг • • • тз+1,иг тзиг • • • т1иг 'Шу — ^и^ • • • ^8+1,^^ • • • 1ши^ Ки тти_?- • • • тз+1,и тзи • • • т1и ^
— слова из {^г}і=і-^, не обязательно различные, т ^ п, в ^ т, тогда не существует слова д = 1 длины меньше 2в из подгруппы ({^г}^=у-^) такого,
что если = 11г • • • , то
д^г = 11ад, • • • 1з+1,г • • • 1«г Кг г«г • • • г«+1,г гзг • • • г1г.,
либо, если г• • • Т 1аді = г• • • г 1ад^., то
адгд = 11г. • • • 1«г г«г • • • гз+1,г г»г • • • г1г,
либо, если г^1. • • • г^1. = 1„г • • • 1^., то
д^г 11г • • • (гз + 1,г) • • • (ггаг) (Кгиі) 1тг. • • • 11г.,
либо, если 1^. • • • 1^. = Тзи^ • • • Т 1и^ , то
^д = ^ •••^г (Ки. ГЧСи.)_1. • • (13+1,и ГЧи,- •••т1и^ •
Разобьем все слова специального множества слов {Wг}^=т_N на множества: М0 — нетрансформы и Мг — трансформы одного типа, содержащиеся в одной подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из Сгг или Сг^. Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (Мг), * = 0,1, ...,к. для * = 1,Ж подгруппа (Мг) имеет вид
(Мг) = Тй1...ТЫАгТпг...Т1г,
здесь Аг — подгруппы из Сгг или С г, порожденные ядрами трансформ. Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочиваем по длинам крыльев их трансформ, получаем ряд:
(М1) < (М2) < ... < (Мк)• (6)
Лемма 1 [2]. Ряд (6) можно преобразовать в ряд (7)
(М1) < (м2) < ... < (Мк,) (7)
со следующими свойствами:
1) др((Мо), (М1),..., (М*)) = др((Мо), (М1),..., (М,,));
2) если подгруппе (му) = т^1... т^АТпЖ...Т1Ж, 1 ^ ^ к', ряда (7)
принадлежит трансформа и = Нтпх... т1х, где Н принадлежит
объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (7) имеется подгруппа
(Mi ) = ^ ■■■ rn — 1 ,X Ai rn Г l,x ■ ■ rlx
содержащая u;
З) если для некоторой трансформы u = nxlKx Гпж ■ ■ ■Гіх,
принадлежащей подгруппе (Mj) = rlx1^ ■ ■ rnx1 Ajrni^ ■ ■ rlx, и нетрансформы из множества M0 y = lly■ ■ ■ lniyKyrniy■ ■ ■ rly, nl ^ n, (левая половина y изолирована) выполняется соотношение l(y Гluy) ^ l(y), то существует
подгруппа (М8) ряда (6), содержащая некоторую трансформу у' - 1(т1х1...
... тпх1Кхтпх... т1х)у 1; если 1 (уиу 1) < 1 (у), то существует подгруппа (М'), содержащая трансформу уиу 1;
4) если (М?) = т1~1. . . тп11хА',' тп1Х. . . т1х
(М3) = т1х1. . . ^Л^у. . . тп21уАЗтп2у. . . т1х
— подгруппы ряда (6) п2 > п1, и подгруппа (М?) содержит трансформу и = т^1... тп11жНтп1х... т1х либо и = т^1... тп^Ктщх... т1х, где К = = тп11+1,уНтп1+1,у, то существует подгруппа ряда (7)
(Мк) = т1х1... ^Л^уАктп1+1,у... т1х
содержащая в первом случае трансформу и, во втором — и';
5) если (М-) = т -X1... тп11хАХтп1,х... т1х — подгруппа из ряда (7) и у£ -элемент специального множества: у£ = 11у... 1п2уКтп2у... тп1+1>утп1Х... т1х,
1 1 1
е = ±1 , причем подслово т 1х . . . тщ# тщ + 1у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы we(е = ±1) и если подгруппа (М8) содержит трансформу т1х1. . . тп11х Нтп1х...т1х либо трансформу т^1- . . тп"11жКтп1ж. . . т1х, где К = тп11+1,уНтп1 + 1,у, то существует в ряде (6) подгруппа
(М) = ^ . . ^Л^утп1 + 1,у. . . т1х,
содержащая эту трансформу.
Лемма 2 [2]. Подгруппа Мо, порожденная нетрансформами
специального множества, свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {Wг}i=т_N, будем обозначать др(Мо,Б). Она представляет собой НЖЖ - группу с основой 5, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (7), правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо. Подгруппы (Мо) и (М?), ] = 1, к, из ряда (6) будем называть порождающими подгруппами подгруппы ... wN) = др(Мо, Б).
Лемма 3 [2]. Пусть (М?) = ^т/•••1_/A7• 1к?...11? подгруппа из др(Мо, Б), где Б - порождена подгруппами ряда (7), и V-1 = 1-?1...1-?1. Тогда ^-1Сг^? П П др(Мо,Б) = (М? ).
Определение 4 [1]. Произведение и1 ...ик назовем словом подгруппы (w1,... wN) = др(Мо, Б) группы Сг, если:
1) иг = 1;
2) иг € {Мо и М-1}, либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда
(6); _
3) иг = иг-+11 ;
4) иг,иг+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (6);
5) в и1...ик нет произведения игиг+1иг+2(г = 1,к — 2), где иг = и^+12, иг € € {Мо и М-1}, иг+1 € (М?) и игиг+1иг+2 € (М8), (М?), (Мз) - из ряда (6).
Лемма 4 [2]. Всякое произведение wi:l1 • ••w|::, е? = ±1, где wij -образующие подгруппы (^г), через конечное число шагов можно привести к слову иг1 ...иг*., к ^ т, подгруппы др(Мо,Б) = ({wг}i=^N).
Теорема 1 [2]. Пусть группа
п
С = (Ц *С5; тв£С1, •••, тв£Сз, ^(Ц?) = Ц*)
8=1
— древесное произведение групп С8, 1 ^ в ^ п, объединенных по
изоморфным подгруппам Ц? < Сг, Цг < С? с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов {^>г?},^?г(Цг?) = Ц?г. Тогда, если подгруппы Ц?, Цг, * € /1, j € /2, обладают условием максимальности и в сомножителях С8, 1 ^ в ^ п разрешимы:
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < Сз с подгруппой Ц7, 7 = ±1;
3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < Сз с подгруппой Ц7, 7 = ±1;
то в группе С разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.
Предполагаем, что для группы вида Сг, имеющей меньше п сомножителей, выполнены все условия теоремы 1 и образующие подгрупп Сгг и Сг^ можно привести к специальному множеству, порождющему ту же самую подгруппу.
Лемма 5. Для любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг и циклической подгруппы (йк), к = 1,п существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения Н П (ак).
Доказательство. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа, такая что Н < Сг = Сгг Сг^. По индуктивному предположению считаем, что в
группах Сгг и Сг ■ с числом сомножителей меньше п справедлива лемма 5, а также для любой конечно порожденной подгруппы Н из Сгг (Сг^) и слова w € Сгг(w € С г) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения Н П (ак), где (ак) < Сг. ((ак) < Сг^.), к = 1,п.
Пусть йк € Сгг, к = 1,п. Образующие подгруппы Н приводим к специальным образующим: Н = др(Мо,Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (7): М1 ^ М2 ^ ... ^ Мк. Выясняем существует ли в Б подгруппа (М81), состоящая из трансформ длины 1, которая содержится в Сг.. Далее определяем пересечение (М81) П (ак). Таким образом
(М81) П (ак) = Н П (ак), к > 1. В случае, если ак = аг и Н П (аг) = Е, необходимо рассмотреть пересечение Н П (а?).
Лемма доказана.
Лемма 6. Для любого слова V € Сг и любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение смежного класса vH с циклической подгруппой из сомножителя (ак), а именно vH П (ак), где к = 1,п.
Доказательство. Как и в лемме 5 представим группу Сг в виде свободного произведения с объединением: Н < Сг = С г *с,у Сг^. Пусть подгруппа Н < Сг и слово V € Сг, причем V € Н. Найдем пересечение vH П (ак). Перепишем образующие подгруппы Н в виде специального множества: Н = др(Мо, Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (7).
Возьмем произвольное слово и € Н, перепишем его в и-символах и = = и1и2...ип, выясним, в каких случаях в произведении vu будут проходить сокращения:
а) если и1 — трансформа, то выделим в слове v справа подслово vп максимальной длины: v = vлvп = v/лK0vп, в котором vп совпадает с крыльями одной из подгрупп ряда (7): (Мг) = ^-^^п). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Мг) такая v-1K1vп, что произведение КоК1 принадлежит объединяемой подгруппе С?. Так как К1 € (Аг), то КоК1 € Сг?. Случай сводится к пересечению Ко(Аг) П Сг?;
б) если и1 — нетрансформа с неизолированной левой половиной: и1 = VП1K2V/, является крылом одной из трансформ ряда (7): (Мг) = ^-^^п). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Мг) такая v-1K1vп, что произведение КоК1К2 € Сг?. Случай сводится к пересечению КоК2(К-1(Аг)К2) П Сг?;
в) если и1 — нетрансформа с изолированной левой половиной: и1 = v-1кv', vп1 - изолирована и среди подгрупп ряда (7) содержится подгруппа (М?) = (V'-1 А^'), а так же среди нетрансформ содержится и2 = V'- К2V''. Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (М?) такая v'п1Klv', что произведения КоКК1 или КоКК1К2 принадлежат объединяемой подгруппе Сг?. Случай сводится к пересечению КоК(Аг) П Сгнили Ко КК2 (К-1 (Аг)К2) П Сг?.
В результате через конечное число шагов построим слово vu. Если 1(vw) = 1, выясняем существует ли среди подгрупп (Мг) = д-1Агдг ряда
(7) подгруппа (М81) = Аз1 и рассматриваем vu(MSl) П (ак). В случае, если vH П (ак) = Е, необходимо рассмотреть подгруппу ак € Сг^ и провести аналогичные рассуждения для нее.
Лемма доказана.
Таким образом, образующие подгруппы группы Сг = Сг Сг^
эффективно можно привести к специальному множеству.
3. Специальное множество слов в группе Сг
Теперь, рассмотрим специальное множество слов для группы Сг = (Сг, і|ге1Сг, і 1 и і ^ = и_і), иі = (а*1 ),и_і = (а*2), |«і|, |«2І ^ 1,Ї,І = 1,п.
Известно [11], что каждый элемент д Є С г может быть единственным
образом представлен в виде:
д = £іі£і Б2І£2 ...Вк і6к Вк+і, (8)
где є» = ±1,і = 1,к. Слоги В, _/ = 1,к + 1 — представители левого класса
смежности группы С г по подгруппе и, если = 1, и по подгруппе и_і, если = -1.
Обозначим X — множество представителей левых смежных классов группы С г по подгруппе иі, У — множество представителей левых смежных классов группы С г по подгруппе и_і. Тогда X-і = {ж|ж-і Є X} и У-і = {у|у-і Є У} — множества представителей правых смежных классов группы С г по подгруппам и и и_і соответственно.
Буквой 1 будем обозначать элементы из множества представителей левых классов смежности, буквой г — представителей правых смежных классов. Тогда несократимое слово (8), имеющее нечетное число слогов можно представить в виде:
д = і6112д і62 ^ Кд і6'8 і6'8-1 ..і6'1 Гід , (9)
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, є» = ±1, = ±1, і = 1,5, Кд - ядро слова д, причем
если Кд Є (а*1) и = -1, то є* = 1, аналогично, если Кд Є (а*2) и є* = 1, то Є* = -1.
Несократимое слово, имеющее четное число слогов, может быть представлено в виде:
д = 1ід і6112д і62-.ізд і68 Ні6'8 і6'8-1 ...і6'1 Гід ^ , (10)
где Н Є (а*1), если є* = 1 и Н Є (а*2), если є* = -1.
Под длиной слова д будем понимать длину несократимого равного ему слова д;. Под длиной слова (9) будем понимать число 1(д) = 25 + 1, под длиной слова (10) — число 1(д) = 25. Представление слова группы С г в несократимой форме (9) или (10) будем называть каноническим представлением. Слова вида (9), у которых іа1ід і6112д і62 і68 = = (£6'8 £6'8-1 ...і6' 1 Гідів) і будем называть трансформами, слова вида (9),
не являющиеся трансформами, а так же слова вида (10) будем называть нетрансформами. Причем нетрансформы типа (9) — нетрансформы нечетной длины, а типа (10) — нетрансформы четной длины.
В слове (9) начальный -а/1д-£112д-£2.../ед-£8 отрезок назовем закрытой левой половиной, конечный отрезок -£ 8-£ 8-1 •••^e 1 г1дназовем закрытой правой половиной, а отрезки -а/1д-£1 -£2 .../вд-£8К^ — закрытым большим
начальным отрезком, -£8 Кд -£/г1 гзд ££/г1-1 • ••i£/l г1д - закрытым большим
конечным отрезком.
У слова вида (10) начальный -а/1д-£112д-£2...^д-£8 отрезок назовем закрытой левой половиной, конечный отрезок ££/г1 гзд-£/г1-1 •••t£/lг1дназовем закрытой правой половиной.
В слове д = -"В^1 В2-£2• ••t£i-1 Вг-£4..В-£*Вк+1-в, где ег = ±1,* = 1,п отрезок -"В^1 В2-£2• ••t£i-1 Вг назовем начальным открытым отрезком, а -"В^1 В2-£2• ••t£i-1 Вг-£,; — начальным закрытым отрезком. Аналогичные понятия вводятся для конечных отрезков.
Пусть Ш = {wг}г=^N — конечное множество слов группы Сг, каждое из которых приведено к виду (9) либо (10). Будем говорить, что у слова w£ = Вт-£1 В2££2 ...Вк-£*Вк+1-в, где а? = 0, ±1, в? = 0, ±1, е = ±1, ег = —1,
* = 1, к, Wj € Ш, закрытый начальный отрезок изолирован в Ш, если он не является начальным отрезком ни у какого wn € Ш, п = ±1, Wг € Ш.
Определение 5 [1]. Назовем конечное множество слов Ш = {Wг}г=т-N группы Сг специальным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) закрытая левая половина слова Wг € Ш, являющегося нетрансформой, изолирована в Ш; если wг — нетрансформа четной длины, то ее закрытая левая половина и закрытая правая половина изолированы в Ш;
2) длину произвольного элемента Wj € Ш нельзя уменьшить, умножая на слово V € (^^=1^), где /(V) < ^);
3) пусть w6 = ^-£1 /2™,-£2...^ад,-£8К^.^£/"-1 •••^£/lП™,, где а = = 0, ±1, в = 0, ±1, ег = ±1, Wj- нетрансформа вида (9) из Ш либо
w'£ = -£1/2™. -£2 ..Лт,- -£8 йг£/ 8 -8-1 •••^£ 1 П™, ,
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, ег = ±1, w'j - нетрансформа вида (10) из Ш и = Гу-£1у-£2у-£8у-^т^у^Гг^у•••^£/lГт™.}, где Пу = ±1,
ау = 0, ±1; подмножество нетрансформ из {{wг}г=^\Wj и {w-1}г=т-NУщ-1}, закрытая правая половина которых оканчивается на -£’4ггаду...££’1 г1ад., тогда если подгруппа
Н = (КЬ^) П Г-.Г£'1 ..^^Сг-£’4Гг^у•••^£’1 П*.^ = Е
(Е — единичная подгруппа), то К^уи) ^ ), uwп1) ^ ), где и € Н;
4) пусть w£ = Г1 -£1 ^-£2-£р•••^£/4Ггад4•••^£/l-в1,
wn = Г2/т™. -П1 /2™. -П2 .../р™. •••^ч/i Гг™. •••^n/l гт™. -в2,
где е = ±1, п = ±1, а* = 0, ±1, в* = 0, ±1, - = 1, 2 — слова из множества, не обязательно различные, -а1 -£1 -£2.../рад,;-£р — начальное подслово
левой половины ш£, іа21іадіі^112ад^.іП2 .../рад,іПр — начальное подслово левой половины , если Г11іШіі61І2тіі62 .^р^і6р = №,6, і“21і™,іП112ад, іП2 ...1?™,іПр, то не существует слова ш = 1, 1(ш) < 2р, ш Є ({ш^^у^) , такого что
шш2 = Г11іШі і6112ВДі і62 ...і^-1 Ір^і іПр І'р+і,™, ...і'44 Гі™, ...П^ і.
Разобьем множество Ш = {wг}г=^N на подмножества следующим образом: трансформы с одинаковыми крыльями объединим в подмножество Мг, 1 ^ ^ к, все нетрансформы из Ш = {Wг}г=т-N объединим в множество
Мо. Каждое множество Мг, 1 ^ ^ к порождает подгруппу:
(Мг) = Г-1Г£:и ...Г-! Г£".‘ Аг^Гп.г-Гн*0*,
где аг = 0, ±1, ег? = ±1, Аг — подгруппа группы Сг, порожденная ядрами трансформ с крыльями г-1--^• ••ГПТ^п£n>i. Упорядочиваем множество
подгрупп (Мг) по длине крыльев порождающих трансформ:
(Мг1) < (Мг2) < ... < (Мгк). (11)
Лемма 7 [1]. Ряд (11) можно преобразовать в ряд (12)
«) < «) < - < (Мк ). (12)
со следующими свойствами:
1) др((Мо), (Мг1), •••, (Мгк)) = др((М0), (М1), •••, (М|,));
2) если подгруппе (М?) = iпQ■rп^1^п£lj • ••ГПj^п£n>jА'?-£п.г„?...Г!/, а? = = 0, ±1, ряда (12) принадлежит трансформа
w = г1П/^п£lj ...Г-,], ^п£n’j М£п. Гп,? ...Г!? Г.,
где Н € (а*1), если -£п. = 1 или Н € (а*2), если -£п. = —1, то среди подгрупп ряда (12) имеется подгруппа
(М) = г^j1^п£lJ •••гППlj Г£"-1. А'г^-1. Гп-и -Ги- ,
содержащая w;
3) если для некоторой трансформы w € (М) и некоторой нетрансформы
у € (Мо) при /(у) = 2т + 1 (левая закрытая половина у изолирована) и
/(^-^у) ^ /(у), то существует подгруппа (М'г8) ряда (12), содержащая трансформу yп1wy, а при /(у^у^) < /(у) и /(у) = 2т + 1 либо /(у) = 2т существует (М'г8) из ряда (12), содержащая у^у-^
4) пусть (М?) = tпQ■ гПj1^п£lj• ••ГП]^п£n>jА'?-£п.гП)?•••Г1j— подгруппа из ряда (12) и V = tпQ■ Гп^1^п£lj ••.гПТ^п£n>jГ-+ ?— подслово левой половины w£, w£ € {Wг}г=т-N, не являющейся изолированной закрытой левой половиной w6 в специальном множестве {Wг}г=т-N, тогда, если подгруппе
(М?) принадленит трансформа w € V !С^, то ряду (12) принадлежит подгруппа (М') = vп1A/sv и w € (М^).
Подгруппу, порожденную специальным множеством {Wг}г=т-N, как и в первом случае, будем обозначать др(М0, Б).
Слово иТ...ик определяется так же, как в определении 4.
Теорема 2. [1] Пусть группа
С* = (С,^-1^ = ф(и-))
— ИКК-расширение группы С помощью изоморфных подгупп и- и и- и фиксированного конструктивного изоморфизма ф. Тогда, если подгруппы ии обладают условием максимальности и в группе С разрешимы:
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < С с каждой из подгрупп иТ и и-Т;
3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < С с любой из выделенных подгрупп и- и и-т,
то разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С* в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.
Для группы Сг выполняются все условия теоремы 2, следовательно, образующие подгруппы группы Сг можно привести к специальным образующим, порождающим ту же самую подгруппу.
Лемма 8. Для любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг и циклической подгруппы (ак), к = 1,п, где ак - образующий группы Сг, существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения Н П П (ак). _
Доказательство. Пусть Н — конечно порожденная подгруппа, Н < Сг, выберем образующий ак € Сг, к = 1,п. Как и в доказательстве леммы 5, образующие подгруппы Н приводим к специальным образующим: Н = = др(М0, Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (12): МТ ^ М2 ^ ^ ... ^ Мк. Выясняем существует ли в Б подгруппа (М81) < Сг, состоящая из трансформ длины 1. Далее определяем пересечение (М31) П (ак). Таким образом, (М31) П (ак) = Н П (ак), к > 1. Лемма доказана.
Лемма 9. Для любого слова V € Сг и любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг, существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение vH П (ак), где ак € Сг к = 1,п.
Доказательство. Пусть подгруппа Н < Сг и слово V € Сг, причем
V € Н, V = /Т£41 /2-П2.../з'-48Ы£зг5...££1 гт, где /г,гг € Сг,пг,ег = ±1,* = 1,п. Найдем пересечение vH П (ак). Перепишем образующие подгруппы Н в виде специального множества: Н = др(Мо,Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (12).
Возьмем произвольное слово и € Н, пусть и = ити2...ип. Выясним, в каких случаях в произведении vu будут проходить сокращения:
а) Пусть слог и- является трансформой. Выделим в слове V справа подслово vп = -£4гг...-£1 гт максимальной длины, которое совпадает с крыльями одной из подгрупп ряда (12): (Мг) = ^^Агvп). Тогда в слове
V = /Т£41 /2—П2•••ls^nsМ£8г5...гг+1—£гг...—£1 гт, обозначив гг+1 = К0, получим
V = vлK0vп. Определяем, существует ли среди трансформ подгруппы (Мг) трансформа vп1K1vп, удовлетворяющая свойствам:
VU = VлKоVпVП1KlVпU2•••Un = vл(KоKl)vпU2•••Un, vu = •••^ns М£8 г.5...'££4+1 (К0КТ )-£4 гг...-££1 Г1и2...ип.
Выясняем, принадлежит ли произведение КоК1 ассоциированной подгруппе, т.е. КоКТ € ЦТ, если ег+1 = —1 и ег = 1, либо К0КТ € и-Т, если егп1 = 1 и ег = —1. Случай сводится к пересечению К0(Аг) П Ц£.
б) Пусть и1 — нетрансформа с неизолированной левой половиной: и1 = = Vп1K2V/, где V' = -£4 г'г...-££/1 г'т, а подслово V-1 является крылом одной из трансформ ряда (12): (Мг) = ^^А^п). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Мг) такая vП1K1vп, что произведение К0КТК2 € иТ, если егп1 = —1 и ег = 1, либо К0КТК2 € и-Т, если ег+1 = 1 и ег = —1. Случай сводится к пересечению КоК^К-1^)^) П Ц£, е = ±1.
в) если и1 — нетрансформа с изолированной левой половиной:
и1 = vп1кv', vп1 - изолирована и среди подгрупп ряда (12) содержится подгруппа (М?) = (V'-1 А^'), а так же среди нетрансформ содержится и2 = V'- K2v'', V'' = ££”г'''...^"/^. Выясняем, существует ли среди трансформ подгруппы (М?) такая v'п1Klv', что произведения КоКК- € Ц или КоККтК2 € и-, если ег+1 = —1 и ег = 1, либо КоКК- € Ц- или К0ККТК2 € и-т, если ег+1 = 1 и ег' = —1. Случай сводится к пересечению КоК(Аг) П Ц£, е = ±1 или КоК^К-1^)^) П Це, е = ±1.
В результате через конечное число шагов построим приведенное слово vu. Положительное решение проблемы возможно лишь в том случае, когда l(vw) = 1 и слово vw не содержит — Тогда выясняем, существует ли среди подгрупп (Мг) = д^А^ ряда (12) подгруппа (М31) = Аз1 и рассматриваем vu(MSl) П (ак). Лемма доказана.
4. Доказательство основной теоремы
Лемма 10 Коллинза [11]. Пусть С* = (С,—;-^А- = В,ф) — некоторое ИКК-расширение. Пусть и = д0-£1 ...-£п и V — сопряженные циклически приведенные элементы из С*. Тогда длины /(и) = /(V) и элемент и можно получить из V, беря подходящую циклическую перестановку элемента V, оканчивающуюся на -£п, и сопрягая затем элементом г € А, если еп = —1, и г € В, если еп = 1.
Теорема 3. В группе Сг = (Сг,-|- 1Ц1— = и^^Ц = (а*1 ),и-Т = (а*2), разрешима проблема сопряженности слов.
Доказательство. Пусть w,v € Сг и не сопряжены ассоциированной подгруппе, то по утверждению 1 слова w,v сопряжены в Сг тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе Сг.
Пусть теперь w,v € Сг — циклически несократимые слова. В соответствии с леммой 10 слово w может быть получено из некоторой циклической перестановки V* слова V сопряжением элементом Н из ассоциированной подгруппы, Н € Ц£, т.е. НwНп1 = V*. Пусть w = -£1 ВТ-£2В2—£3В3...—£кВк и V* = -П1 АТ—П2А2—П3А3...—ПкАк, — нормальные формы слов w,v*, такие что ег = ±1,пг = ±1,, Вг,Аг € Сг, Вг = 1,Аг = 1,
* = 1,к. Следует отметить, что для положительного решения проблемы сопряженности необходимо, чтобы /^) = /(V*) и ег = Пг, * = 1, к. Таким образом V* = -£1 АТ-£2А2—£3А3...—£кАк. Причем, если ег = —1 и ег+1 = 1, то Вг, Аг € иТ; если ег = 1 и ег+1 = —1, то Вг, Аг € Ц^.
Найдем такое Н € Ц£, е = ±1, что
Нw = v*Н• (13)
Слово Н будем строить последовательно из НТ, Н2, •••, Нк, таких что каждое принадлежит ассоциированной подгруппе, причем Н1 переводит В1 в А1 , Н2 переводит В2 в А2 и А1 оставляет без изменения и т.д.
1. Пусть Н- € Ц£1 и так как с помощью элемента Н- слог В- переходит в А1, то должно выполняться равенство:
Нт-£1 В- = -£1 А-Нт, (14)
где Н- € Ц£2. Из разрешимости проблемы пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической в группе Сг выясняем справедливо ли равенство (14):
В-1^1Ц£1-£1 Вт П В^А-Ц^.
Из пересечения находим подходящее НТ. Если существует Н- € Ц£1,
такое что и для него выполняется равенство (14): Н--£1 А- = -£1 А-Н'т, то -£1 А^^Н'^^А-1--1 = Нт(НТ)-1. Решая проблему пересечения конечно порожденной подгруппы с циклической из сомножителя, находим
пересечение
-£1 АтЦ£2 А-1—-1 П иЕ1 . (15)
Если пересечение (15) равно единичной подгруппе, то Н- единственно, проверяем для него равенство (13); в противном случае, так как
-£1 А-НоА-1—-1 = Но € и(1)£ 1 С Ц£1 ,Но = Н^Н-)-1,^ = Нт(Н'т)-1 определяем подгруппу и(1)£1 = -£1 АТи£2 А-1--1 П Ц£1.
2. После преобразований имеем слово ад = і61 А^62В2і63В3..і6йВд., где
В?2 переводит в А2. Тогда должно выполняться равенство Н2-£1 Ат-£2 В2 = = -£1 АТ-£2 А2Н2, где Н2 € Ц£3. Решая проблему пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической:
находим подходящий элемент Л,2.
Если (і61 А^62 А2)и63 (А-^-62 А-^-61) П и(1)61 = Е, то Л2 - единственный, проверяем равенство (13) для элемента ^2^1, в противном случае находим подгруппу и(2)б1 = (і61А^62А2)иб3(А-1 і-62А-^-61) П и(1)61, все элементы которой оставляют без изменения слоги А1 и А2.
3. Продолжая этот процесс, на (к — 1) шаге получим слово ад = ^А^62 А2£63А3..і6йВк, где Вк = Л-к+1Вк и определена подгруппа иі^ 1), элементы которой оставляют без изменения слоги А1, А2,..., Ак-1. Рассмотрим Л к Є иі^ 1), так как Лк переводит В& в Ак, то должно выполняться равенство
которое, как показано выше, алгоритмически разрешимо, причем Н € Ц£ 1. Таким отразом, мы построили слово НкН^ь-.Н^, которое слово w переводит в V*. Далее отпределяем подгруппу
противном случае подбираем такую степень элемента а^, который уравняет левую и правую части равенства (13).
Из вышеизложенного следует, что существует минимальная степень г, такая что
В2 = Н-тВ2. Все элементы погруппы и(1)£1 переходят через слог А- и оставляют его без изменения. Рассмотрим элемент Н2 € и(1)£1, который слог
-1 -1 (В?2 І-62 А-Ч-61 )иб 1 (І61А1І62В2) П В?2 А2ибз
Лк ад = Лк і61А^62 А2І6 3 А3..І6Й Вк = ^1А^62 А2І6 3 Аз...*6* Ак Л,
(16)
Тогда подбираем такую степень X, чтобы с одной стороны
(17)
а с другой должно выполняться равенство
(18)
Из (17) и (18) имеем:
справедливость которого следует из разрешимости уравнения
po + qsiX = qo + rsiX
в целых числах.
Основная теорема доказана.
Список литературы
1. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение: Межвуз. сборник научных трудов. Тула, 1983. С. 50-80.
2. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПИ, 1972. С. 3-86.
3. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I-II // Современная алгебра: Межвуз. сборник. Л., 1977. Вып. 6. C.16-32.
4. Безверхний В.Н. О пересечении конечно-порожденных подгрупп свободной группы // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тула: ТулПИ, 1974. Вып. 2. C. 51-56.
5. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз. сборник научных трудов. Тула, 1990. С. 103-152.
6. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т, 12. Вып. 1. C. 83-101.
7. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с циклическим объединением // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2014. Т. 15. Вып1(49). С. 32-44. P. 347-356.
8. Логачева Е.С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 19-40.
9. Lipshutz S. The congugacy problem and cyclic amalgamations // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. P. 114-116.
10. Фридман А.А. Решение проблемы сопряженности в одном классе групп // Труды МИАН. 1973. Т. 133. С. 233-242.
11. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М: Мир, 1980.
Безверхний Владимир Николаевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
Логачева Елена Сергеевна ([email protected]), аспирант, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
The problem of the conjugation of words in HNN-extension of a tree product of cyclic groups with cyclic amalgamation
V. N. Bezverkhniy, E. S. Logacheva
Abstract. We give the positive solution of the conjugacy problem of words in HNN-extension of a tree product of cyclic groups associated with cyclic amalgamation.
Keywords: group, subgroup, HNN-extension, tree product, conjugacy problem.
Bezverkhniy Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Logacheva Elena ([email protected]), postgraduate student, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 18.04-2014
