CC BY
25
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 13-35 = Математика
УДК 519.4
Проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп в Н^М-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением
Е. С. Логачева
Аннотация. Положительно решена проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп в НNЖ-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением по бесконечной циклической подгруппе.
Ключевые слова: группа, подгруппа, НЖЖ-расширение, древесное произведение, проблема сопряженности.
Введение
Рассмотрим конечный дерево-граф Г. Каждой его вершине Уг соответствует бесконечная циклическая группа (см), причем если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие аг и а^, то самому ребру соответствуют ассоциированные подгруппы (аРг:1) = (а^). Тогда группа Сг, соответствующая графу Г, называется древесным произведением циклических групп с ассоциированными циклическими подгруппами.
Копредставление группы Сг имеет вид:
Сг = (П *(ак)\аРгг] = ), \Рг]\, \qjг| ^ 1,1,3 = 1,п, (1)
к=1
где (аРг:1) и (ад-зг) — ассоциированные подгруппы.
Определение 1. Будем говорить, что в группе С 'разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп Н\, Н2 из С установить, существует ли элемент г Е С такой, что г-1Н\г = Н2.
Утверждение 1. В группе Сг (1) разрешима проблема сопряженности слов.
Лемма 1 [3]. Для любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг и циклической подгруппы {йк), к = 1, п, где йк - образующий группы Сг, существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения Н П {йк).
Лемма 2 [3]. Для любого слова V Е Сг и любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение vH П {йк), где йк Е Сг, к = 1,п.
Теорема 1 [4]. В группе Сг (1) разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.
Далее рассмотрим НЖЖ-расширение группы Сг с помощью правильной проходной буквы Ь:
Сг = {Сг, Ь\тв1(Сг), Ь-1и\Ь = Ц-1), (2)
где Ц = {а^),Ц-х = {й^), \, \к^\ ^ 1,1,] = 1,п, й^— образующие группы Сг-
Лемма 3 [5]. Для любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг и циклической подгруппы {йк), к = 1,п, где йк — образующий группы Сг, существует алгоритм, позволяющий выписать образующие пересечения Н П{йк).
Лемма 4 [5]. Для любого слова V Е Сг и любой конечно порожденной подгруппы Н < Сг, существует алгоритм, позволяющий выяснить пусто или непусто пересечение vH П {йк), где йк Е Сг, к = 1,п.
Теорема 2 [3]. В группе Сг (2) разрешима проблема сопряженности слов.
Справедлива также следующая теорема:
Теорема 3 [2]. В группе {a,t\t-1amt = йп) разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.
Цель данной работы — доказать основную теорему:
Теорема 4. В группе Сг = {Сг,Ь\ге1(Сг),Ь-1и1Ь = Ц-х), где Ц = = {й80), Ц-1 = {й^), \вц \, \к^\ ^ 1,г,3 = 1,п, разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.
Утверждение 2. Пусть Нх,Н2 — две конечно порожденные подгруппы группы С г, причем Нх и Н2 одновременно не сопряжены ассоциированной подгруппе ие,е = ±1. Тогда подгруппы Нх и Н2 сопряжены в группе Сг тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе Сг.
1. Специальное множество слов для группы Сг
Рассмотрим специальное множество слов группы Сг = (Сг,г\ге1Сг,г-1игг = и-1),
и = о: ),и-1 = О:), к\, \kjii > =1п.
Известно [6], что каждый элемент д Е Сг может быть единственным образом представлен в виде
д = В^'1 Б21£2 ...В^ Вк+г, (3)
где £г = ±1, г = 1, к. Слоги Bj,] = 1,к — представители левого класса смежности группы Сг по подгруппе иг, если ej = 1, и по подгруппе и_1, если
еj = -1.
Обозначим X — множество представителей левых смежных классов группы Сг по подгруппе иг, У — множество представителей левых смежных классов группы Сг по подгруппе и-г. Тогда X-1 = {х-1\х Е X} и У-1 = {у-1\у Е У} — множества представителей правых смежных классов группы Сг по подгруппам и и и-1 соответственно.
Буквой I будем обозначать элементы из множества представителей левых классов смежности, буквой г — представителей правых смежных классов. Тогда несократимое слово (3), имеющее нечетное число слогов можно представить в виде
д = а1д Ь'1 ¡2д г'2 ...18д Ь'* Кд Ь''' Г8д г''*-1 ...г''1 Г1д , (4)
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, ег = ±1, е'г = ±1, г = 1,5, Кд — ядро слова д, причем если Кд Е (а8:) и е8 = -1, то е'8 = 1, аналогично, если Кд Е (ак]ог) и е8 = 1, то е'8 = -1.
Несократимое слово, имеющее четное число слогов, может быть представлено в виде
д = ГЬд I'1 ¡2д I'2 ...Ь''-1 18д Ы£'° Г8д Г'- ...г''1 Пд , (5)
где Н Е (а8г]), если е'8 = 1 и Н Е (ак/г), если е'8 = -1.
Под длиной слова д будем понимать длину несократимого равного ему слова д'. Под длиной слова (4) будем понимать число 1(д) = 2в + 1, под длиной слова (5) — число 1(д) = 2в. Представление слова группы Сг в несократимой форме (4) или (5) будем называть каноническим представлением. Слова вида (4), у которых П^Ь'112дг'2...18дЬ'а = (Ь''*ГдЬ''*-1 ...Ь''1 г^)-1, будем называть трансформами, слова вида (4), не являющиеся трансформами, а также слова вида (5) будем называть нетрансформами. Причем нетрансформы типа (4) — нетрансформы нечетной длины, а типа (5) — нетрансформы четной длины.
В слове (4) начальный taligt£1l2gt£2...lsgt£s отрезок назовем закрытой ле-
вой половиной, конечный отрезок t£'srsgt£'s-1 ...t£>1 r\gte — закрытой правой половиной, а отрезки tal\gt£ll2gt£2 ...lsgt£s Kgt£ s — закрытым большим начальным отрезком, t£s Kgt£ srsg t£'S-1 ...t^1 rig t^ — закрытым большим конечным отрезком.
В слове g = taBit£1 B2t£2...t£i-1 Bit£i...Bkt£kBk+ite, где e = ±1,i = 1~n, отрезок taBit£1 B21£2 ...t£i-1 Bi назовем начальным открытым отрезком, а taBit£1 B2t£2...t£i-1 Bit£i — начальным закрытым отрезком. Аналогичные понятия вводятся для конечных отрезков.
Пусть W = {wi }i=YN — конечное множество слов группы Gr, каждое из которых приведено к виду (4) либо (5). Будем говорить, что у слова w£ = = tajBit£1 B2t£2...Bkt£kBk+lte, где aj = 0, ±1, = 0, ±1, e = ±1, e = -1, i = 1,k, Wj E W, закрытый начальный отрезок изолирован в W, если он не является начальным отрезком ни у какого wП E W, п = ±1, Wi E W.
Определение 2 [1]. Назовем специальным конечное множество слов W = {Wi}=
=Tn гРУппы Gr , если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) закрытая левая половина слова wi E W, являющегося нетрансформой, изолирована в W; если wi — нетрансформа четной длины, то ее закрытая левая половина и закрытая правая половина изолированы в W;
2) длину произвольного элемента Wj E W нельзя уменьшить, умножая на слово v E i{wj,}i=iN), где l(v) < l(wj);
3) пусть wj = taliWj t£1 l2Wj t£2 ...lsWjt£sKWjt£srswjt£s-1 ..t'1 riWj te, где a = = 0, ±1, в = 0, ±1, ei = ±1, Wj — нетрансформа вида (4) из W либо
W £ - t liWj t 1 l2wj t 2 ...lsWj ht s rsWj t s 1 1 riWj t,e ,
где а = 0, ±1, в = 0, ±1, £% = ±1, ш' з — нетрансформа вида (5) из Ш и {шУу = Ьау¡1и,уг£1у¡2Шуг£2у ...Ьи,уЬ£ау Ь£'1 ..л£'1т^Ьву }, где Пу = ±1,
ау = 0, ±1; подмножество нетрансформ из множества {^^¿^^^з} и и Ч, закрытая правая половина которых оканчивается на
Г'*Гги;1 ...Ь£'1 Ьву, тогда если подгруппа
н = (шг=ш г^у ——1 г£'т Тги, ...г£'1 ги ьву = е
(Е — единичная подгруппа), то ¡(шзи) ^ ¡(шз), ¡(шзишх) ^ ¡(шз), где и Е Н, шх Е {Ш и Ш-1};
4) пусть = га1 ¡иь£1 ¡2и1 ь£2...¡иь£р...г'1 тиьв1,
— Ь 2 Г1 ¡2wj ^П2 ...¡ри^ Ь"Пр г Тги^ ...Г 1 2 ,
где е = ±1, п = ±1, аг = 0, ±1, вг = 0, ±1, Ь = 1, 2 - слова из множества Ш не обязательно различные, Ьа1 ¡\тЬ£1 ¡2и*Ь£2 ...¡ри*Ь£р — начальное подслово левой половины ш£, Ьа2¡lwjГ1 ¡2wjЬП2...¡pwjЬПр — начальное подслово левой половины
ш—П, если га111ицЬ'1 ¡2т1 г'2■ ■■¡Ри1 =, га2¡иЬ11 ¡2и*гП2, то не существует слова ш = 1, ¡(ш) < 2р, ш Е ({шг}г=^) такого, что
wwj — Ь 1 ¡1и1 г 1 ¡2wiг 2 р 1 ¡pwi¡р+1,и: ггги5...г1и:Ьв2.
Разобьем множество Ш = {шг}г=1м на подмножества следующим образом: трансформы с одинаковыми крыльями объединим в подмножество Мг, 1 ^ г ^ к, все нетрансформы из Ш = {шг}г=у^ объединим в множество Мо. Каждое множество Мг, 1 ^ г ^ к порождает подгруппу:
(Мг) = г-1Г'и...г— Г'"* Агг" г^г-гцГ',
где аг = 0, ±1, ег- = ±1, Аг — подгруппа группы Сг, порожденная ядрами трансформ с крыльями Ь-"1 г~-г1Ь-'11 ...гЬ-'">1 . Упорядочиваем множество подгрупп (Мг) по длине крыльев порождающих трансформ:
(Мц ) < (Мг2 ) < ... < М )■ (6)
Лемма 5 [1]. Ряд (6) можно преобразовать в ряд (7)
М) < М) < ■■■ < М) (7)
со следующими свойствами:
1) др((Мо), М),..., М)) = др((М0), М),..., (М'к));
2) если подгруппе (Mj) = г-^-'1...гг-'"1А -г'"1гп-...г—, аj = = 0, ±1 ряда (7) принадлежит трансформа
ш = г—г-'11 г-'"1 НЬ'"1 г^...г1— ,
где Н Е (а80), если г'"1 = 1, или Н Е (а1), если г'"1 = -1, то среди подгрупп ряда (7) имеется подгруппа
М) = га> Г-г-'11 ...г--и г'"-1* Аа'п-1>1 ^-ч ■■■г— га>,
содержащая ш;
3) если для некоторой трансформы ш Е (М' -) и некоторой нетрансформы у Е (Мо) при ¡(у) = 2т + 1 (левая закрытая половина у изолирована) и ¡(у-1шу) ^ ¡(у), то существует подгруппа (М'г8) ряда (7), содержащая трансформу у-1шу, а при ¡(у'шу-') < ¡(у) и ¡(у) = 2т + 1 либо ¡(у) = 2т существует (М'г8) из ряда (7), содержащая у'шу-';
4) пусть (м-) = Ь-а*г—Ь-'11 ...г~jг-'"1 а'-г'"1 гп-...г—— подгруппа из ряда (7) и V = Гаэг—Ь-'11 ■■■г~1 г-'"1 г-Ь-'"+1,з — подслово левой половины ш', ш' Е {шг}г=1^, не являющейся изолированной закрытой левой половиной ш' в специальном множестве {шг}г=1^, тогда, если подгруппе (М-) принадленит трансформа ш Е v-1Сгv, то 'ряду (7) принадлежит подгруппа (М8) = v-1A'8v и ш Е (М8).
Лемма 6 [1]. Подгруппа М0, порожденная нетрансформами специального множества, свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством , будем обо-
значать др(Мо,Б). Она представляет собой НЖЖ-группу с основой 5, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (7), правильной системой проходных букв которой служат элементы из Мо. Подгруппы (Мо) и (Му), 3 = 1, к, из ряда (7) будем называть порождающими подгруппами подгруппы (Ш1,. ..шм) = др(Мо,Б).
Определение 3 [1]. Произведение и1...ик назовем словом подгруппы {ш1 ,.. .шм) = др(М0, Б) группы Сг, если:
1) и = 1;
2) щ Е {М0 и М0-1} либо щ принадлежит некоторой подгруппе из ряда
(7);
щ = и-+1;
4) щ,щ+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (7);
5) в и1...ик нет произведения игиг+1иг+2(г = 1,к — 2), где иг = и—+2, иг Е Е {Мо и М-1}, иг+1 Е (М3) и ЩЩ+1Щ+2 Е (М3), (Му), (М3) — из ряда (7).
Лемма 7 [1]. Всякое произведение ...шт, еу = ±1, где Wij — образующие подгруппы {{шг}г=1м), через конечное число шагов можно привести к слову иг1 ...игк, к ^ т, подгруппы др(М0,Б) = {{шг}г=1м).
Определение 4 [1]. Будем говорить, что между словами у1 и у2 имеет место касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения у1у2 соответственно больше, равна или меньше тах{1(у1),1(у2)}.
Определение 5 [1]. Слово и1...ик является простым, если ¡(и1...ик) = = тах{1(щ),..., ¡(ик)}.
Лемма 8 [1]. Если и1...ип — слово подгруппы др(М0,Б), то ¡(и1...ип) ^ ^ ¡(иг), г = 1,п .
Следствие 1 [1]. Если в слове и1...ип Е др(М0,Б) выполнить сокращения, то в нем сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину и1.
Следствие 2 [1]. Всякое слово подгруппы др(М0,Б) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода.
Из леммы 8 следует, что простое слово и1...ип подгруппы др(М0, Б) может быть одного из следующих видов:
а) и1...ик содержит нетрансформу максимальной длины, то есть ¡(щ) > > ¡(из), 1 ^ з ^ г — 1, г + 1 ^ з ^ к;
b) слово u\...uk содержит нетрансформу ui и трансформу ui+i максимальной длины, то есть 1(т) = l(ui+i) = l(uiui+i), l(ui) > l(uj), 1 ^ j ^ i — 1, i + 2 < j < k;
c) слово ui...uk содержит нетрансформы ui, ui+2 и трансформу ui+i со свойствами l(ui) = 1(щ+2),1(щ) = l(uiui+i) = 1(щЩ+1Щ+2), l(ui) > l(uj)), 1 ^ ^ j ^ i — 1, i + 3 ^ j ^ k, причем длина слова ui+i может оказаться меньше длины l(ui);
d) слово ui...uk содержит трансформу ui максимальной длины. Теорема 5 [1]. Пусть группа
С* = (G,t\t-iUi t = ф(Щ))
— HNN-расширение группы С с помощью изоморфных подгупп Ui и U-i и фиксированного конструктивного изоморфизма ф. Тогда если подгруппы Ui и U-i обладают условием максимальности и в группе С разрешимы:
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы H < С с каждой из подгрупп Ui и U-i;
3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы H < С с любой из выделенных подгрупп Ui и U-i,
то разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С* в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.
Имея в виду тот факт, что циклические подгруппы обладают условием максимальности, а также утверждения леммы 1 и леммы 2, можем полагать, что образующие подгруппы группы Сг можно привести к специальным образующим, порождающим ту же самую подгруппу.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 9. Всякое простое слово w Е gp(M0,S) группы Сг = (Сг^^вЮг^-^^ = U-i),
Ui = (a0), U-i = (akj), имеющее своей несократимой записью трансформу
w = gag-i, где a Е Сг, может быть приведено к виду
-i -i -i gag = uiu2...unu0un ...u2-iui ,
где u0 — трансформа, принадлежащая одной из подгрупп (Mi), i = 1,k, ряда (7), ui Е (Mo) либо ui Е (Mi), ряда (7), uiu2...unu0u-l...u-lu-1 — слово подгруппы gp(M0, S).
Доказательство. Так как w Е gp(Mo,S), перепишем его в u-символах подгруппы gp(M0,S):
gag-1 = uu ...ит. (8)
По условию слово w простое. Выяним, какой вид будет иметь слово w.
Проведем доказательство для различных случаев строения простого слова a — d:
1. Допустим, что слово w = ul...um содержит трансформу максимальной длины Ui = giKig~l, т.е. w — слово вида d. Доказательство проведем по числу m сомножителей. Для m = 1 лемма 9 справедлива. Допустим, что утверждение леммы справедливо, когда число сомножителей в слове (8) меньше m. Докажем для m сомножителей. Пусть gag-1 = ui...Ui-i(giKig-1 )m+i...um.
СЛУЧАЙ 1. Пусть подслова ul...ui-l, ui+l...um не содержат нетранс-форм, тогда l(giKig~l) = l(gag-1), l(uj) < l(giKig~l); 1 ^ j ^ i — 1, i + 1 ^ ^ j ^ m, и на основании строения простого слова:
l(ul) < l(u2) < ... < l(ui-l), l(um) < l(um-l) < ... < l(ui+l).
Используя свойства порождающих подгрупп gp(Mo,S), можно показать, что l(ul) = l(um), l(u2) = l(um-l) и трансфомы ul, um содержатся в подгруппе (Mi) ряда (7).
В этом случае транформу gag-l = ul...ui-l(giKig~l)ui+l...um сопрягаем элементом um1:
um(gag-l)um1 = umului-l(giKig~l )ui+l...umu;n1. Тогда l l l
um (gag )um = ul...ui-l(giKigi )m+l...um-l,
где umul = ul. Слово u'l...ui-l(giKig-l)ui+l...um-l — простое, длины меньше чем m. Таким образом, по индуктвному предположению лемма доказана. СЛУЧАЙ 2. Пусть подслова ul...ui-l, ui+l...um простого слова ul...ui-l(giKig-l)ui+l...um содержат нетрансформы. Выделим в слове ul...ui-l первую слева, а в слове ui+l...um первую справа нетрансформу. Пусть это будут соответственно
uj = gjKjgj, 1 ^ j ^ i — 1, us = gsKsg's, i + 1 ^ s ^ m,
где левая половина gj нетрансформы uj и правая половина g's нетрансформы us в силу строения простого слова являются изолированными. Можно утверждать, что us = uj-1.
Если s = m, j = 1, то лемма доказана. Пусть 1 ^ j ^ i — 1 и i + 1 ^ s ^ m. Тогда
gag-1 = ul...uj-luj uj+l...ui-l(giKig~1)ui+l...usus+l...um,
l(Us) > l(Us+l) > ... > l(um),
c другой стороны,
l(Uj) > l(Uj-l) > ... > l(ul).
Слова u--l...u-l и us+l...um простые, как подслова простого слова. Предположим, что l(us) ^ l(uj).
Сопрягаем трансформу gag~l словом ul...uj-l:
g'ag'-1 = uj uj+l...u-l(gi Kigi-l)ui+l ...usus+l...um ul...uj-l,
l(g'ag' l) = l(gag l) = l(uj...u—l(gKig- l)ui+l...usus+l...umul...uj-l)
. Отсюда l(usus+l...umul...uj-l) = l(us). Кроме us наибольшую длину имеют us+l и uj-l. При этом l(us+l) ^ l(uj-l) или, наоборот, l(us+l) ^ l(uj-l) и сокращения проходят до ядра минимального.
Таким образом, для произведения us+l...umul...uj-l имеем
l(u,s+l...umul...uj-l) < l(us) = l(uj).
Слово us+l...umul...uj-l — простое и l(us+l...umul...uj-l) = 1. В противном случае левую половину us можно перевести в правую половину uj, либо наоборот. Но так как us и uj изолированы — это невозможно. Откуда uj = us и ul...uj-l = u-+l...um1.
Следовательно, утверждение леммы справедливо для данного случая.
2. Слово w содержит нетрансформы ui-l, ui+l и трансформу ui со свойствами l(u-l) = l(ui+l),l(ui-l) = l(u-lui) = 1(щ-1ЩЩ+1 ), l(ui-l) > l(uj)), 1 ^ j ^ i — 2, i + 2 ^ j ^ m и l(ui) ^ l(ui-l), т.е. w — слово вида c.
Известно, что левая половина нетрансформы ui-l = uiAKi-luin изолирована и правая половина нетрансформы ui+l = u~lKi+lu'in также изолирована. Пусть трансформа ui = u-^Ku^ £ (Mi) ряда (7). Тогда
gag-1 = Щ...Щ-2ЩА K—luin u^Ku^ u^K^u'^ ui+2...um, gag-1 = Щ...Щ-2ЩА (K-K Ki+l)uin щ+2..Мт,
Длина начального куска l(ul...ui-2uiA) меньше l(ui-l).
Если ui-l = u-+l, с помощью подслова ul...ui-2 изолированную левую половину щА нетрансформы u—l мы можем перевести в изолированную правую половину u'in трансформы ui+l. Это невозможно, следовательно, ui+1 = ui-- 1
Аналогичные рассуждения можно провести для подслов ui-2 и ui+2 и т.д. Значит, ui+lui+2...um = u-\...u-1. В этом случае трансформу gag-l можно привести к виду ul u2...unu0u-l...u-lu-l, где u0 — трансформа, принадлежащая одной из подгрупп (Mi), i = 1, k ряда (7), ui £ (M0)
3. Пусть w = ui...um содержит нетрансформу ui максимальной длины, то есть l(ui) > l(uj), 1 ^ j ^ i — 1, i + 1 ^ j ^ m, т.е. w — слово вида b. Так как длина слова gag-1 нечетна, то l(gag-1) = l(u1...um) = l(ui), где l(ui) — нечетна. Получаем, что сопряжением словом ui...ui-i левую половину нетрансформы ui можно перевести в левую половину нетрансформы u-1 умноженем на слово меньшей длины, т.к. l(ui+1...umu1...ui-1) < l(ui). Что невозможно по определнию специального множества.
4. Слово w = u1...um содержит нетрансформу ui и трансформу ui+1 максимальной длины, то есть l(v,j) = l(ui+1) = l(uiui+1), l(ui) > l(uj), 1 ^ j ^ ^ i — 1, i + 2 ^ j ^ m, т.е. w — слово вида a. По аналогичным рассуждениям этот случай невозможен.
Лемма доказана.
Лемма 10. Пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Gr, порожденная двумя 'различными специальными множествами, то есть 'различными в общем случае системами порождающих подгруппу: H = = gp(M0, S) и H = gp(M0, S'), где S — подгруппа, порожденная подгруппами ряда
(Ml) < (M2) < ... < (Mk); (9)
S' — подгруппа, порожденная подгруппами ряда
(M[) < (M2) < ... < (Mk); (10)
(Mi) = v-1Civi, (M j) = g-1Cjgj, где каждая из подгрупп Ci и Cj принадлежит Gr-
Тогда для каждой подгруппы (Mi) = v-1Civi ряда (9) существует (M j) из (10) и слово wij Е H такое, что (Mi) Q w—1(Mj)wij.
Доказательство. Если подгруппа (Mi) из ряда (9) содержит трансформы с крыльями единичной длины, то некоторая подгруппа (Mj) ряда (10) также содержит трансформы единичной длины, и тогда слово wij = 1. Пусть v-1K1vi,v-1K2vi,... ,v~lKmvi — образующие некоторой подгруппы (Mi) = v-1 Aivi из ряда (9), где v-1 = t-ar-lt-£1 т-гН-£2...r-1t-£k
-левая половина трансформ подгруппы (Mi). Можно полагать, что среди элементов v-1Kjvi существует такой, что ядро Kj не сопряжено объединяемой подгруппе. Так как v-1Kjvi Е gp(M[0, Sl), то на основании леммы 9
v-lKj vi = u-j. . . u-ju0j unj. . . u1j, (11)
где 1 ^ j ^ m, u-1... u-}u0j unj ...u1j —- простое слово, u0j —- трансформа, принадлежащая некоторой подгруппе (Mj) ряда (10). Покажем, что для любого j трансформы u0j принадлежат одной подгруппе (M's) ряда (10). Пусть v~1Kj1 vi = u-1 ...uj u0j1 unj1 ...u1j1 слово вида c, а слово v-1Kj2vi = u-j2... ujuoj2unj2... uij2 —- слово вида d. Тогда l(un>ji) > l(usji), где s = n, l(u0,j1) ^ l(un,j1), un,j1 — нетрансформа с изолированной закрытой
правой половиной, ¡(и-_.. ) < ¡(и-1). Трансформа и^2 удовлетворя-
ет условию: I(ио) > ¡(и3¿2) при в = 0, ¡(и-^2...и—2) < 1(иа^2), и так как подслова и-^ и и-2 •••и—2 одновременно принадлежат подгруппе
др(Мо, Б_) и имеют длину меньше 2к- + 1, то после сопряжения этими элементами трансформ у~_К^у- их длина не изменится. Поэтому изолированную закрытую левую половины ип^1 умножением можно перевести в закрытую левую половину , что противоречит определению специального множества. Предположим, что все слова вида (11) — слова вида с. Тогда в силу строения простого слова и3¿1 = и3,для в = 1, п. Трансформы uoj принадлежат некоторым подгруппам (М') ряда (10), причем если и^ = д'~ Kjд", где д'~_ - неизолированная левая половина, то (М'3) = д'-_Л3д'. Каждое слово и-^■■■u—_jsи—1 = У~_К'3д'. Поэтому, сопрягая левую и правую половину равенства (11) словом и... и, получим
и^1 ...^1 (у-_Куг)и—1и= g'-_Kjд\ 1 < 3 < т
g'~lKj д' = иол,
g'-_Kj д' = и^1... и^1 и-1 и-1... и-}в щв и^ ^... и—1... и-\,
1 < 3 < т, ипП..и_пи-1 и-}_...и-1 = д'-_К''3д', где д'-_К'''д' е (М[). Отсюда и-^и-1.. .и-!в = ии-!.. .и-}1 (д'-_К"д'). В результате, используя по-8 8 8 - _„.-_ „.-_
лученные равенства и заменяя в равенствах (11) подслова u1js...и
п]в
соответственно равным словом и-_ 1 и^1... и-_ 1 (д' _К"д'), получим у- К3уг =
= и-3\и-3\...<1 ии1 иъ1 ...и^1, где = (д'-_К3'д_(д- _(К3')-_д') е
е (М 3). Пусть все слова (11) являются словами вида d. Тогда ¡(и-.. .и-_) < < ¡(и^) для 1 ^ з ^ т, и допустим, что трансформа и^ имеет вид
uоj = г-ат-_-1 ...т-__-* К^гк ...г£1 т_га.
Рассмотрим произведение:
ио1 ит... и _1 и-_... и-_ ио.,
1 ^ 3 ^ т. Так как в словах и01 ип1 ...и _ 1 и и-1...и- _ и0. максималь-
1 1 1
ные длины имеют ио1 и ио ^ соответственно, причем ¡(ио1) = ¡(ио) то ио1 ип1 ...и_ 1 и-_...и-_ио1 = Ь-ат-_Ь-£1...т1-£к*^ти1 ..Л_т_Ьа, где hj принадлежит ассоциированной подгруппе, тогда и-_... и-_ = и-... и-_и'о., где
и. _ , ________^ ^ -г X. тшшошшы С-_ К у и У- _ ;
следующий вид:
и'о . е (М3), ¡(и'о.) < 2кг + 1. Но тогда трансформы уг _К_уг и уг _Kjуг примут
У- _К_ Уг = и-и-...иио1 ит ип- _1 ...и _ 1, у- _Kj у- = и-1_ и-...ии\ ит ип-_ 1 ...и _ 1,
ГДе 1 < 3 < т, и"оз = и'0.uoj{п'0.) 1 е (М'3).
Таким образом, мы показали, что для каждой подгруппы (М^) ряда
(9) существует подгруппа ряда (10) и слова wij е Н такие, что (М\) С С w-j1 (М'^.
Лемма 11. Пусть группа Н порождена двумя 'различными специальными множествами Н = др(М0,Б) и Н = др(М', Б'), где Б — древесное произведение подгрупп ряда (9), а Б' — древесное произведение подгрупп ряда
(10). Тогда существует подгруппа (М^ = у~1С\у,1 из ряда (9), существует (М') из ряда (10) и слово wij е Н такое, что (М^ = w~jl(Mj)wij.
Доказательство. Для каждой подгруппы (М^) ряда (9) на основании леммы 10 существует подгруппа ряда (10) и слова wij е Н, удовлетворяющие условию
(МЛ С \Mjjwij-Аналогично для подгрупп ряда (10):
М С w-\М'^. (12)
Подгруппа (МР1) = У—1СР1 юР1 — бесконечна. Тогда возможны следующие
(М') С w-ll(Mi)Wji. (13)
С помощью соотношений (12) и (13) можно построить цепочку вложенных подгрупп, имеющих наименьшую длину:
(Мр1 ^1 С w'-l(М''1 К С 1(Мр2С ... С С (Мр1),
где wi,w,i е Н, (MPj) — подгруппа ряда (9), (М^) — подгруппа ряда (10). Следовательно, w-1(MPl)w1 С (Мр1).
^Р1) = Юр1 СР1 ЮР1
варианты:
1. Если подгруппа СР1 не сопряжена объединяемой подгруппе, то (Мр1) содержит трансформу ю-1КюР1 , в которой ядро К не сопряжено ни одному элементу из ассоциированной подгруппы. Так как слово Wl из Н, его можно записать в и-символах w~[l = и--1 ...и-1. Тогда
и-1...и-1(у-11КУр1 )ип...и1 = Ур1
и слово и-1...и-1(ю-11КюР1 )ип...и1 - простое, в котором все щ удовлетворяют условию 1(и1) ^ ... ^ 1(ип) ^ 21(юР1) + 1. Рассмотрим произведение
и-1...и-1(у-11КЮр1 )ип...и1(ю-11 К-1 Юр1) = 1.
Если допустить, что и1 е (Мр1), тогда и-1 ...и-1(ю-11 КюР1 )ип...и1(у-11К-1ур1) является словом в подгруппе Н и поэтому не равно 1. Значит и,1 е (Мр1). Аналогично все щ е (Мр1), отсюда w-1(MP1 = (Мр1) и, следовательно, в этом случае в соотношении (12) знак С можно заменить на равенство.
2. Если подгруппа СР1 сопряжена объединяемой подгруппе, тогда сопряжением ее можно привести к подгруппе С'р 1, которая не сопряжена объединяемой подгруппе. Получаем случай 1. Лемма доказана.
Лемма 12. Пусть Н1 = др(М0,Б) и Н2 = др(М',Б') — две конечно порожденные подгруппы группы Сг- Основа Б подгруппы Н1 порождена подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ... < (Мк1), (14)
основа Б' подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ... < (М'к2). (15)
Тогда если Н1 и Н2 сопряжены в Сг, то есть существует г е Сг такой что г-1Н1г = Н2, то существуют w е др(М',Б'), 3 = 1,к1, в = 1,к2 такие, что w~1z~1(Mj)zw = (М'а), где (М)) — подгруппа ряда (14), (М[) — подгруппа ряда (15).
Доказательство. По условию леммы подгруппы Н1 = др(Мо, Б) и Н2 = = др(М', Б') сопряжены, тогда существует г е Сг такое, что г-1 др(М0, Б)г = = др(М',Б'). Приведем образующие подгруппы г-1др(М0,Б)г к образующим специального множества, получим:
г-1др( М',Б)г = др( МЦ,Б''),
где Б'' порождена подгруппами ряда (М'{) ^ (М2Ц) ^ ... ^ ( МЦ ).
Сопряжем подгруппу др( МЦ,Б'') элементом г-1: др( М0,Б) = = гдр(М'',Б'')г-1. Преобразуем множество гдр(М'',Б'')г-1 в специальное множество. Через конечное число шагов получим, что
гдр( М'',Б'')г-1 = др( МЩ',Б'''),
где Б''' порождена подгруппами ряда (М"') ^ (М%') ^ ... ^ (Мк").
Таким образом, для подгрупп рядов имеет место следующее соотношение:
'¿-1г~1(Мч)гщ С (МЛ)
Шу е г 1др(М0, Б)г = др(М'', Б''), поэтому wij = г 1wijг, wij е др(М0, Б).
С другой стороны, каждая подгруппа (М'') сопряжена некоторой подгруппой из (М'а"), то есть wiJs1z(MJ)z~1wijs С (Ма ), где wijs е др(М0,Б). Поэтому имеем:
wi~1zwL-jlz~1(Mi)zwLíjг-1 wijs С wi~s1z(М''j)z-1wi~s1 С (М'"а), (16)
где приведение wi~azwi—lг-1 = wiJaz(z~1w~j1z)z~1 = wiJs1w~j1 е др(М0,Б).
Учитывая теперь, что др(М0 ,Б') = др(М",Б") и др(М"' ,Б'{') = = др(Мо, Б\), можно расширить цепочки вида (16). В результате для каждой подгруппы (Мг) будем иметь:
ш- 1гш'--1г~1 (Мг)гш'г-1 ш3 С ш- 1гш'-Г(М')ш'г-1 ш3 С
С ш- 1гш-Р(М'г)шгрг~1 ш3 С ш~1 г(М'Р)г~ 1шр С ш-1 (М"')ш3 С (М3),
где ш-1 гш'-1 г-1 е др(М0, Б) и г = 1,к.
Используя полученные ранее цепочки, можно построить цепочку минимальной длины следующего вида:
ш-^ гщ-1 г~1 (МР1 )гш1г-1шР1 С ш-гш-1 (М'2)ш2г-1шР1 С
С ш-11гш^1(М'3)шаг~1шР1 С ... С (МР1),
из которой следует, что ш-]1гш'\1г~1(Мр1 )гш1г-1шР1 С (МР1), и так как ш-гш-1г-1 е др(М0,Б), то, используя лемму 11, можно показать, что ш-гщ-1г~1 есть трансформа из (МР1). Поэтому имеет место равенство ш- гш-1г-1(МР1 )гш1г-1шР1 = (МР1). В результате получаем:
ш- гщ-1 г-1 (МР1 )гш1г-1шР1 = ш-]1гш-1(М'3 )ш3г-1шР1,
откуда ш-1г-1(МР1 )гш1 = ш-1(М''з)ш3, где ш1,ш3 е др(М0,Б'). Лемма доказана.
Лемма 13 [6]. Лемма Коллинза. Пусть О* = (О,Ь; I-1 АЬ = Б,ф) — некоторое ИММ-расширение. Пусть и = д0Ь£1 ...Ь£" и V — сопряженные циклически приведенные элементы из О*. Тогда длины 1(и) = ¡(V) и элемент и можно получить из V, беря подходящую циклическую перестановку элемента V, оканчивающуюся на Ь£п, и сопрягая затем элементом г е А, если £п = —1, и г е Б, если еп = 1.
3. Доказательство основной теоремы
Докажем, что в группе
Ог = (Ог,Ь\тв1Ог,Ь-1и1Ь = и-1),
и1 = (а^), и-1 = (аког), \вц\, \kjil ^ 1,г,] = 1,п, разрешима проблема сопряженности подгрупп.
Пусть Н1 = др(М0, Б), где Б порождена подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ... < М), (17)
Н2 = др(М0, Б'), где Б' порождена подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ... < (М'к2). (18)
Среди подгрупп (17) существует подгруппа (Mio) = v-o1Ciovio, среди подгрупп (18) существует подгруппа (Mjo) = gJ01C'ogj0, где каждая из подгрупп Ció ,C'J0 является подгруппами Gr. В соответствиис леммой 12 существует элемент w £ gp(M' ,S'), такой что
w~1z~1(Mio )zw = (Mj0). (19)
I. Пусть каждая подгруппа Ci0 ,Cj0 не сопряжена с ассоциированной подгруппой U£; е = ±1.
Подставив соотношения (M'o) = v¡Q1Ci0vk), (M'jó) = g-01C'jogjo в (19), получаем (gjow~1z~1v~ol)Cio(viozwg-1) = Cj0, в котором Viozwg-1 = a0 £ Gr-Можно записать:
(gjo w~lz~l v-01)(gp(vio Mov¡01,vioSv-1 ))(vio zwg-01) = gp(gjo К g-01,gjo S'g-01).
Приведем образующие подгрупп gp(vioM0v-o1,vioSv-1) и
gp(gjo M' g-1, gjoS'g-01)
к специальным образующим: gp(vióM0v~1, vioSv-01)= gp(M'¿', S"'), gp(gjóM'g-, g3oS'g- ) = gp(M'ó ,S"),
где S" порождена подгруппами ряда (M'1) ^ (M2!) ^ ... ^ (M'k2), S'" порождена подгруппами ряда (M'^') ^ (M2!') ^ ... ^ (M ). Тогда
a-1gp(M''', S''')a0 = gp(M'', S''). (20)
Выберем в подгруппе gp(M''',S''') произвольный образующий X = B0t£iB1...t£kBk, k > 1. Из соотношения (20) следует, что
a-1B0t£1 B1...t£kBka0 £ gp(M'¿,S'').
Тогда слово a-1 Xa0 можно переписать в другой системе образующих: a-1Xa0 = uoui1 ui2...uit, где uoui1 ui2 ...uit — слово подгруппы gp(M', S''), no £ (M'<) = Cj.
Пусть ui1 = l1t^1 u1n, тогда a-1 B0 = u0l1h, h £ U£; е = ±1, т.е. h = aXSij,
Xk ■ ■
если Ц1 = 1, или h = ajo ji, если ¡i1 = -1. Причем h можно ограничить, так как ai0 и aj0 являются образующими группы Gr, которая имеет центр
C(Gr) = aMoi0. Тогда Xj < Mió и Xsj < Mió. Таким образом:
a-1 = u0l1hB-1
и в качетсве a-1 можно взять a-1 = hhB-1, так как uo £ C'o. Множество элементов такого вида обозначим T. Множество T конечно и, построив его,
мы проверим эффективно существует ли а0 такой, что г 1 = шд-^^^, а так как ш е Н2, то в качестве г-1 можно взять
г-1 = д7о1аоЩо. (21)
Если ни для одного ао из Т не выполняется условие г-1Н1г = Н2, то подгруппу (М'о) заменяем другой подгруппой (Mjl), сопряженной подгруппе (Мг0) и повторяем алгоритм для данной пары подгрупп.
II. Каждая подгруппа (М^) ряда (17) сопряжена с ассоциированной подгруппой. Аналогичному условию удовлетворяет каждая подгруппа ряда (18). В противном случае подгруппы Н1 и Н2 не сопряжены.
На основании леммы 12 из сопряженности подгрупп Н1 и Н2: г-1Н1г = = Н2, следует существование подгруппы (Мго) = v~1Ciovio ряда (17), (М'о) = = д-01С'0gj0 ряда (18) и элемента ш е др(М'0,Б'), таких что
ш~1г~1(^01сю Vо)гш = д-1с.)0 gjo. (22)
Пусть С\о = С-1 (аЗО^ )С1, С'о = С-1^0)С\ где (а^^) < Ци
) < и_1.
Тогда соотношение (22) приведем к виду
(C2gjо ш^г^С-1)^^0 )(С^Ю гшд^С-1) = (а^0). (23) Из соотношения (23) имеем:
ш-1 = C2gj0ш^г^^С-1 = ЬаБоЬ£Б1...Ь£кБк, а = 0, ±1,к> 1. (24)
Преобразуем образующие подгруппы ш-1г-1др(М0, Б)гш в подгруппу
др(М0, Б'):
^ош^г^-С-1)^др(Мо, Б^С-^С^гшд-С-1) = = С2 gjо др(М0 Б'^-С-1. Приведем образующие подгрупп
С^одр(Мо, Бф-1 С-1, С2додр(М0, Б1 )д-1С-1 к специальным образующим:
С2д3одр(М0, Б')д-1С-1 = др(М^, Б''), С^др(Мо, Б^С-1 = др(М0', Б'''), где основа Б'' порождена подгруппами ряда
(М1) < (МЦ) < ... < (М'3), (25)
основа Б''' порождена подгруппами ряда
(М1'') < (М2') < ... < (М''4'). (26)
Причем имеем (М"') = {а) либо (М'{) = {акзоФз°). Слово ш, удовлетворяющее соотношениям
Ш-1{а^ )Ш = {ак^30), ш-1др(М1', Б'")€} = др(МЦ, Б"),
выбираем наименьшим в двойном классе смежности др(М''', Б''')шдр(М'', Б'').
Пусть Ш1 = {ш'1 — специальное множество образующих под-
групп др(М"', Б'''), Ш2 = {шг2}I — специальное множество образующих подгрупп др(М", Б''), причем 11 = тах{1(ш11),1(ш21), ■ ■■,1(шм1,1)}, 12 = = тах{1(ш\2),1(ш22), ■ ■■, 1(шN2,2)}.
11а. Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(М'',Б'') и др(М''', Б''') М%' = 0, М" = 0.
Теперь укажем способ построения слова шо-1 = ГБ^Г1 Б\..Лек Бк, сопрягающего подгруппы др(М''',Б''') и др(М",Б''). Выделяем в Ш-1 = ^аБоЬе1 Б1..ЛекБк максимально возможное подслово, совпадающее с подсловом правой половины некоторого образующего специального множества. Допустим, что слово ш-1 можно умножить на слово Пои1...Пр £ др(М''', Б'''), ¡(поЩ.-ир) < 2],] < к, чтобы длина произведения ¡(ш-1иои1...ир) < 1(ш-1) и длину шо' = шо-1щи1...ир нельзя больше уменьшить, умножая слева на слова из подгруппы др(М",Б'').
Пусть ш' = ГБоГБ1..ЛегБ'^зтуГ^-1 , где ^туГ^-1 , —
максимальное закрытое конечное подслово правой половины некоторого слова
га 1^1 ¡2-Ыеп кге" тп-.лез ту гез-1 тз-х.-.т^,
являющегося нетрансформой либо трансформой, принадлежащей некоторой порождающей подгруппе ряда (26):
(М''') = Гв т-1 ...т~Ч-е" АЛе" т,п..Ле1 тз ге1-1 ту-х-т^.
Длина начального отрезка ЬаБоЬе1 Бх..Ле1 ,г ^ к слова шо' не больше [^]. Тогда берем в подгруппе др(М"', Б''') любой образующий шиз специального множества Ш1, 1(ш) > 2] + 1,
ш'1 = t 11'г1 £ 1 ■ ■ ■1пг-1,'г11 "г £ " т'Щ-1,'Ш11 1 т1,'г1 ^
, и рассмотрим
ш'шш'-1 = ГБ0ге1 Б1■ ■ ■ Б-^Б''ПXV2Б'''ГегБ~\... Б-1-.
Подслово ЬаБоЬе1 Б1..Лег не затрагивается сокращением, так как в противном случае оно не является максимально возможным. Слово ЬаБ0Ье1 Б1... Б,-1ЬегБ'Т1 ХГ2Б'Ч-егБ~\... Б-Ч-а принадлежит подгруппе др(М', Б''), и если г — 1 > [ ], то длину шо-1 можно укоротить умножая слева на слово ш £ др(М'', Б'').
~ -1
Теперь покажем, что, сопрягая любой гг2 £ элементом гю' , получим сокращение в произведении гю' гюг2ш; слева и справа, затрагивающее слог В'. Допустим противное, то есть либо слева, либо справа слог В' не
затрагивается сокращением. Тогда гю' гегю' = Х^1 В^^т^ т^-1...Г1 $ и так как ию'~1€]е2гю' £ др(М^',Б'''), то ш'-1Ше2гю' = и0и1...ип и поскольку гю' нельзя укоротить, умножая справа на слова из др(МЦ', Б'''), то конечное под-слово Х^В[1езТ] 1ез-1 Tj-l...Tlt|3 можно перевести в конечное подслово правой половины некоторого гюе1, где гюе1 £ что невозможно по определению гю'.
По этой причине длина любой нетрансформы в Ш2 будет больше 2(г — 1) и для любой подгруппы (М''..) = д''-С''г.д''' . с длиной ¡(д'\.) < (г — 1) и д''г. = ГВ0^В1...В—Гг, t< (г — 1) имеем, что
Ге В—...Геь+1 В-1 С ВЛег+1 ...Вг-
принадлежит ассоциированной подгруппе. Поэтому сопрягая одновременно правую и левую части равенства
ГВ0..ЛеВ'Ле....т^др(МЦ',Б''')Гвт-1...Ге*В'~1Ге*...В-1— = др(М'',Б'') словом ^Во^1 В1..Ле*, получим
В' (. Ту-ъ..тЛв др(М''',Б''')Гв -...т-Г^-1 т~1Ге1)В'~1 = = Ге...Ге1 В-1Гадр(М%, Б'1)ГВоГ1 Вх..Ле1. Приводим подгруппу
. . др(М0',Б''')Гв т-1...т~\ге— т~Ч~е.
к виду др(М(А\ Б(4)), а подгруппу -...-В-1Гадр(М",Б'')^Во^Вх..Ле к виду др(М(5\ Б(5)). Последние подгруппы порождены специальными множествами образующих и удовлетворяют равенству
В'гдрМ\Б (4))В '-1 = др(М(5\Б(5^),
где для определения В' поступим следующим образом: выберем в подгруппе др(М(4, Б(4)) любой образующий X = В'0Г*В'1 ..ЛПкВ'к, где к > 1. Тогда В'гХВ'-1 = В 'В ^ В[ ..ЛПк В'к В'-1 £ др(М(5), Б(5)) и, следовательно, его можно переписать в другой системе образующих: В'гХВ'-1 = и0и1...ит, где и0и1...ит слово подгруппы др(М(\ Б(5), причем и0 трансформа длины 1, если среди подгрупп порождающих Б(5) содержится подгруппа (М(5^) = С1 С С Сг, в противном случае 1(и0) = 1. Пусть и1 = ¡1и1 и1п, тогда В'В[ = и0¡1 Н,
где Н £ ие,е = ±1: Н = аХЗг] и Хв^ ограничено, как в случае 1. Получаем В' = и011и НВ[~1, где и0 £ др(М(5\ Б(5)), из чего следует, что в качестве В'г
можно взять ¡1и НВ'-1. Возможен случай также, что В'г = 1. Таким образом, выбор В'г делается, как указано в случае 1.
Остается указать способ построения г' = taB0tеiВ1...Ь'В'Ь'.т'...т\Ьв. В качестве tеjTj-1 т'-1...т1Ь^ выберем различные подслова правых половин элементов, включая 1 из множества {Wl и W-l}, где Ш1 - специальное множество образующих. В качестве (ЬаВ0Ь'В1 ..Л') — — конечные подслова правых половин множества {W2 и W—l}, включая единицу, где W2 — специальное множество образующих подгруппы др(М0',Б'').
11б. Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(МЦ,Б'') и др(МЦ',Б''), множества М"' и М' пусты и пусть ш-1 = ЬаВоЬ'Bl..ЛеkВк.
Предположим, что умножением справа на подслова из подгруппы др(МЦ', Б''') в слове гю выделим закрытое конечное подслово максимально возможной длины Ье"2 тП2,у Ь'"2-1 тП2 -1,у ... Г1 Пу , совпадающее с подсловом правой половины трансформ некоторой подгруппы ( М'''), порождающей Б'''. В результате получаем гю' = ЬаВоЬе1 В^^..Л'ВгЬе"2 тП2,уЬе"2-1 тп2-1,у..Ле1 т1у. В подслове и)ь = ЬаВо^В1...Ь' выделим максимально возможное закрытое начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (М''), порождающей Б''. При этом возможны случаи:
1. Выделенное начальное подслово из и)ь совпадает с самим гйь = = ЬаВоВ1...^. Тогда В' определяем аналогично тому, как это делается в случае 11а), если в подгруппе др(М(4\ Б(4)), где
Ье"2 тП2 у-Ле1 ПуЬвдр( МЦ^Б'У^т-уЧ^1 ...—уЬ-е"2 = др(М(4),Б(4^),
содержатся порождающие подгруппы ( с крыльями не равными 1. Если
Б(4) = {Сг}, Сг <Сг и подгруппа Б(5) = {Cj }, Cj < Сг, то решение проблемы сопряженности Н1, Н2 сводится к сопряжению Сг, Cj в группе Сг.
2. Выделенное начальное подслово из и)ь = ЬаВо^Bl...tеi не совпадает с гйь. Тогда гю'л = Ь-еат^Ь-''1 т-Х...т-ХхЬ-е'"1ВП1 Ь-е"1+1..Л', и
' п1, xй
гю' = геат-хь-''1 т-х...т-1 ,х—'"1 вт^'"1 +1..л'вле"2 тп2^уье"2-1 т^-1 ,у-л'1 пу,
причем каждая подгруппа (М'") = д"' 1С'1'д'1' удовлетворяет соотношению
гю'(М%)г'-1 С Цег, (27)
а каждая подгруппа (М"3) удовлетворяет соотношению
гю'-l (М''3)гю' С Це^, (28)
так как в противном случае выделенные подслова не будут максимально возможными, получеными при умножении г слева на слова из др(М^, Б'') и справа на слова др(МЦ', Б''').
Пусть подгруппа (М'^) имеет вид:
(.М'») = Гвт-уЧ-е1 ■■■т-]уГе"2 СП 1е"2 т<п2,у.ле1 Пу1в, а подгруппа (М'^ ) имеет вид
(М'Ь )= г-еа т-г-'1 ...-х г-е'п1 с'Пъ ге'П1 тщх-^1 пхгеа ■
Из условий (27) и (28) следует, что все подгруппы из Б''' являются подгруппами (М1',1'), а подгруппы из Б'' являются подгруппами (М" ).
Поэтому др(М''', Б''') = (М'з), др(М'',Б'') = (М£). Получили вышерас-смотренный случай.
III. Пусть в подгруппах Н1 = др(Мо,Б) и Н2 = др(М'о,Б') основы Б и Б' равны единице, т.е. Н1 = (Мо), Н2 = (М') и являются свободными подгруппами [1] в группе Сг.
Пусть (Мо) = {ХъХ2,..,Хп) и (М'о) = {УъУ2,-,Уп). Выясним, будут ли они сопряжены в группе Сг, то есть существует ли г £ Сг такой, что
г-1(Мо )г = (М '). (29)
Элемент г будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (Мо)г(М'). Образующие {Xг}г=тп подгруппы (Мо) и образующие {Уг}г=1п подгруппы (М') являются специальными и удовлетворяют следующим условиям:
а) закрытая левая половина каждого Xг £ {Хг}г1=1п, имеющего нечетную длину, изолирована в множестве {{Ху}з=тп\Х1} и {{Х~1}з=т\Х~1}, закрытая левая и закрытая правая половины каждого Хг £ {Хг}г1=т, имеющего четную длину, изолированы в множестве {{Ху}з=щ\Х'} и и{{Х-1}3=1-п\Х-1у, '
б) закрытый большой начальный и закрытый большой конечный отрезки каждого Хг £ {Хг} изолированы в множестве {{Хз}3=тп\Хг} и {{Х~1}3=Тп\Х~1у,
в) для каждого Хг £ {Хг}г1=т справедливо соотношение: ¡(ш^1 Хгш22) > > ¡(Хг), где ш3 £ {{Ху}3=Тп\Хг}',в = 1,2.
Образующие подгруппы (М') = {У1,У2, ■■■,Уп) упорядочены по длинам: 1 < ¡(У1) < ¡(У2)... < ¡(Уп).
Пусть Х1 £ (Мо) является циклически несократимым образующим. Если все образующие ( ) циклически сократимы, то, сопрягая ( ) некоторым элементом г1, получим подгруппу г-1 (Мо)г1 = (Мо'), в которой элемент г-1Х1г1 = Х1 циклически несократим и ¡(Х1) > 1. Тогда
г-1Х1 г = ГЦ1 Уг22 ...У*,
где ej = ±1,/ = 1,к,1(г-1Х\) > ¡(г) или ¡(Х1г) > ¡(г). В противном случае г не удовлетворяет условию минимальности, и поскольку Х1 циклически несократим, то, если имеет место сокращение между г-1 и Х1, произведение Х1г несократимо. Поэтому
г 1Х1г = г 1Х<оХпг = гп 1Х0 1ХоХпХо гп = гп 1ХпХогп,
где Х1 = ХоХп е Сг и
г-1ХоХпг = У£У£2...Ук АП <
¡(Уп)
1(Уп) 2
. Тогда слово У£1 У„£2...У£к не являет-
^ 11 12 1к
Предположим, что ¡(гп) > ся простым и, следовательно, его можно представить в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода:
УТ У£2-У? = У1У2...УР-1УР.
Так как ¡(гп) > № и большой конечный отрезок ур не затрагивается сокращением, то длину ¡(гп) можно уменьшить, умножая справа на Vр-1, ур е (МО), что противоречит выбору г. Поэтому
¡(У£У2...У£к) < ¡(Х1)+ ¡(Уп) + 1.
Далее, в подгруппе (МЦ) = (У1,У2, ..,Уп) построим множество слов V = ..лп}, длина которых не превосходит ¡(Х1) + ¡(Уп) + 1. Для каж-
дого элемента из множества Vг е V проверяем, сопряжено ли Vг с Х1. Допустим, что VI = v~o1v'iVI0, то есть V — циклически несократимый элемент в Сг. Трансформируем подгруппу (МЦ) = (У1,У2, ...,Уп) элементом V-1, получим равенство:
v-1(Уl,У2,..,Уn)vг 0 = (у(,у2,...,уп ),
где {У(}г = 1 п специальное множество образующих подгруппы Щ01({У} 1=1^)^0.
По лемме Колинза имеем: некоторая циклическая перестановка Х1 будет сопряжена с ^ с помощью элемента Н из ассоциированной подгруппы:
Н = Х1, (30)
где Х1 — циклическая перестановка Х1.
Пусть ХЦ = г£1 Б1г£2Б2Ь£3Б3..Л£кБк, ^ = г£1 А1 Ь£2А2Ь£3А3...Ь£кАк. Причем Х1 такая циклическая перестановка, что все соответствующие £г у элементов Х[, VI совпадают.
Найдем такое Н е и£,е = ±1, что
НХ1 = Vг Н. (31)
Слово Н будем строить последовательно из Н1,Н2, ...,Нк, таких что каждое принадлежит ассоциированной подгруппе, причем Н1 переводит Б1 в А1,
2
Н2 переводит Б2 в Л2 и А\ оставляет без изменения и т.д. На каждом шаге решаем проблемы пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклический из и£1 ,£\ = ±1 для нахождения элемента Н,, а затем проблему пересечения конечно порожденной подгруппы с подгруппой из и£1 для нахождения подгруппы, которой будет принадлежать следующий Н;+1, г + 1 = 1, к. На конечном шаге имеем:
£ ЛгГ2 Л2г£3 Лз...г£к лк н' = ъ£1 л^£2 Л2£ Л3...ъ£к лк н1П2...нк.
Из вышеизложенного следует, что существует минимальная степень т, такая что
Чо иг — "'"ю
V = V' а™*, (32)
где а^ е Ц^.
Тогда выясняем, существует ли показатель У, чтобы, с одной стороны,
тз-цУ / р0 / р0 аз-цУ выполнялось равенство а,0 V, а\ = viaio а,0 , ас другой должно выпол-
тзцУ / р0 / а0 тзцУ тт
няться равенство а,: 3 V,а, = V'а; а,: 3 . Из чего имеем:
1 ;0 ' '0 ' '0 ;0
V' ар0 аавз У = V' аа0 У
справедливость которого следует из разрешимости уравнения
Ро + дв— У = до + тв— У (33)
в целых числах.
При д = т и р0 = д0, то слова Х1 и V, не сопряжены. Если р0 = д0, то элемент а^тУ для любого У перестановочен с каждым Х[. Тогда перебором всех степеней выясняем, существует ли такое У\ элемента а^^, который переводит подгруппу Н[ в Н2. Для конечности алгоритма необходимо ограничить показатель тУ1. Так как в графе Г группы Сг = (ПП=1 *(ак)\аРгц = аОа3-)
любые две вершины соединяет единственный путь, то образующие ассоции-
зц М кнИ
рованных подгрупп а,0 и а—0 связывает соотношение а,0 = а— .
Если М = N, то легко проверить, что Н = аМС коммутирует с любым
словом из группы Сг, где аС е С (Сг).
Пусть М = N. Рассмотрим элемент ассоциированной подгруппы Н =
зц М10 N10 С , 7/^/л - - <
= а,0 , где 1о = ц(Х[) — число вхождений проходной буквы ъ элемента
Х1. Обозначим иг(Х1) сумму всех показателей степеней Ъ£-, г = 1,к, элемента Х[. Если иг(Х1) = 0, то Н коммутирует с Х[, тогда в соотношении (33) д = т. Следовательно, в данном случае Х1 и V' сопряжены тогда и только тогда когда р0 = д0. Если аг(Х[) = 0, то равенство (33) выполняется для единственного д. Для проверки сопряженности подгрупп Н1' и Н2 рассмотрим
, Зц Мг^С , -
все степени меньше Н = а,0 , где I — наименьшее общее кратное всех
I, = и(Х') Х' е Н'.
Основная теорема доказана.
Список литературы
1. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение: межвузовский сб. науч. тр. 1983. С. 50-80.
2. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т.12. Вып.1. C. 83-101.
3. Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Проблема сопряженности слов в HNN-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 30-46.
4. Логачева Е.С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 19-40.
5. Логачева Е.С. Проблема сопряженности слов в HNN-расширении с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с циклическим объединением // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15. Вып. 2. С. 50-65.
6. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 450 с.
Логачева Елена Сергеевна ([email protected]), аспирант, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.
The problem of the conjugation of finitely generated subgroups in the HNN-extension of a tree product of cyclic groups with cyclic amalgamation
E.S. Logacheva
Abstract. The conjugacy problem of finitely generated subgroups in the HNN-extension of a tree product of cyclic groups associated with cyclic subgroups is solved positively.
Keywords: the group, the subgroup, the HNN-extension, the tree product, the conjugacy problem.
Logacheva Elena ([email protected]), postgraduate student, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.
Поступила 28.12.2014
