CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича
Г риндлингера
Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении циклических групп с объединением
Безверхний В.Н., Логачева Е.С.
Аннотация
В работе установлена разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в свободном произведении трех циклических групп с объединением по циклической подгруппе.
Ключевые слова: группа, подгруппа, проблема сопряженности.
Abstract
In this article resolvability of the problem of conjugate of subgroups in a free product of three cyclic groups with a neverending cyclic subgroup is established.
Keywords: the group, the subgroup, the problem of conjugate.
Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм,, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп И\, И2 из G установить, существует л,и элемент z Е G такой, что z-lH\z = И2.
В настоящей статье положительно решается проблема сопряженности под-
G
лической подгруппе.
Теорема 1. В группе
G = (a,b,c\am = bn,bk = cs), где \m\, \n\, \k\, \s\ > 1, разрешима проблема сопряженности подгрупп.
В работе [3] Безверхним В. Н. было доказано, что в классе групп
Рт *С Ри?
где Рт и Ри — свободные группы рангов т и щ С — циклическая подгруппа, разрешима проблема сопряженности подгрупп.
Представим группу С как свободное произведение групп с объединением по циклической подгруппе:
С = *ък=са {с),
где С1 = {а, Ь\ат = Ьи), \т\, \п\, \к\, |з| > 1.
Построим специальное множество слов для группы С1 = {а,Ь\ат = Ьи),
\ т\ , \ щ\ > 1
Для легкости обозначения, пусть А1 = {а), А2 = {Ь), объединены по подгруппам Ц1 = {ат), и-\ = (Ьи).
Известно, что каждый элемент свободного произведения д Е С1 может быть единственным образом представлен в каноническом виде:
д = дд ■■■дк, (1)
где дг — представители правых классов смежности группы А1 то подгруппе и1, либо группы А2 по подгру ппе и-\, дг = 1 и дг, дг+1 содержатся в разных сомножителях группы С. Элемент д1д2 ... дк представленный в канонической форме, называется словом, дг — слогами слова, под длиной слова будем понимать число слогов и обозначать 1(д1д2... дк) = к.
В слове д-1 = д-1д-1... дд-1 — представители левых классов смежности группы А1 по подгру ппе [Д, либо груп пы А2 то подгру п пе и—1. Есл и X
— множество представителей правых классов смежности А1 то подгру ппе и1, а у — множество представителей правых классов смежности А2 по подгруппе и-15 то X-1 — множество представителей левых классов смежности А1 по подгруппе и1, а, У-1 — множество представителей левых класс ов смежности А2 по подгруппе и-1.
Поэтому каждый элемент группы С1 мы можем единственным образом пред-
ОТМВИТЬ В ВИД6!
д = 11д . . . 1идКдгид ■ ■ ■ г1д, (2)
где ггд, I— — представители правых классов смежн ости группы А1 по и1 или А2 по и-1у причем ггд, гг+1,д (аналогиино ¡гд, ¡г+1,д) принадлежат разным сомножителям группы Слог Кд называется ядром. Если Кд не принадлежит
объединяемой подгруппе С, то слоги 1ид и гид принадлежат одному сомножителю группы С, а Кд другому. В таком случае слоговая длина слова (2) равна Ь(д) = 2п + 1. Есл и гид .. .г1д = (11д ... 1ид )-1, то слово
9 = Г- ■■■ ГпдКд Гпд ■■■Пд
(3)
называется трансформой. Если Кд С Цг, то в (2) 1пд и гпд принадлежат разным сомножителям группы С и длина слова
д = 1\д ... 1пд Ьд Гпд . • . Т\д , (4)
где Нд = Кд, равная 1(д) = 2п. Слова вида (2), (4) — нетрансформы, причем слова вида (2) — нетрансформы нечетной длины, слова вида (4) — нетрансформы четной длины. Подслова 11д .. .1пд называются левой половиной слов (2), (4).
Рассмотрим конечное множество слов {шг}г=1^ группы С1, каждое из которых приведено к виду (2), (3) или (4).
Определение 2. Левая (правая) половина слова
llwi . . . 1тгШ1К*ц ГтгШ1 . . . г1wi
называется изолированной в множестве {шг}г=1л, если ни у одного из слов ш^(е = ±1) множества ({шг}г=ух\шг) и ({ш—1}г=1^\т—1) нельзя выделить Ь'иц ... lmWi (гт'Ш1... Г1т) в качестве начального (конечного) подслова, то есть
= 1ыг . . . lmwi lm—1,Wjш уп (wj = Гт+1 ,Wj Гmwj . . .
Определение 3. Назовем конечное множество {шг}г=1^ слов группы С1 специальным, если оно удовлетворяет условиям,:
1) левая, половина, нетрансформы множества {шг}г=ух изолирована, в нем,; если нетрансформа есть слово четной длины, то изолированы, и левая, и правая половины,;
2) длину нетрансформы шго нельзя, уменьшить, умножая слева и справа, на, слова, из подгруппы, порожденной множеством {{шг}г=т^\шг0}/ длину произвольного элемента шго Е {шг}г=у^ нельзя уменьшить, умножая на, слово ш длины меньше 1(шго), принадлежащее подгруппе {{шг}г=^);
3) Пусть шг0 11дао . . . lnwоKwoГnwo . . . Гj+1,wоГjwo . . . Г^о> & ±1} .] < п
нетрансформа из множества {шг}г=-^ и
{Ш^ 1^а1^ . . . Wai К&1 ГniWai . . . Гjwо . . . Гlwо }г=1,М
ег = ±1 — подмножество нетрансформ из множества
({шг}\шго) и ({ш—1}\ш—)1),
правая, половина, которых оканчивается, подсловом, ГjWо... г1т, тогда, если подгруппа ({шг}г=1к) П ^о . . . —Dгjwо . . . Г^о = В, где
п = } А1, если ^+1т Е А1,-
АА1,,
А2, если ^+1^о Е А2. не единична, то 1(шгои) > 1(шго), где и Е В,1('шгоиш—ч) > 1(шго);
4) пусть
l1Wi . . . lSWi lS+1,Wi . . . lnWi КШг ГnWi . . . ГS+1,WiГSWi . . . Г1Wi
Wj l1wj . . . lSWj lS + 1,Wj . . . lnWj К^ ГnWj . . . ГS+1,Wj ГSWj . . . Г1wj
— слова из {шг}г=1^7 не обязательно разл,ичные, т < п, в < т, тогда не существует слова д = 1 длины меньше 2в из подгруппы {{шг}г=1,^) такого, что, если ... lswi = ¡^ ... lswj, то
дшг ¡lwj . . . ¡swj Ь+1,^ . . . ^К^Гnwi . . . Гs+1,Wi гswi . . . г1wi,
либо, если ^ ... г^ = ^ ... г^, то
шгд ¡1wi . . . ¡nwi К-т Гп'ш^/ . . . Гs+1,wi Ггw j . . . г1wj ,
либо, если г—1... г—^. = ¡nwj... то
дш— 11wj . . . ¡swj (гs+ 1ц, ) . . . (гnwi ) (KWi ) ¡nwi . . . 1 —шi ,
либо, если ¡—Щ,. .. .1 —!. = гswj ... г 1 wj, то
щ 1 д =г ^...г^ )—1 ^)—1... (С+1 ц)—1гswj...г!.
В статье [2] были получены следующие результаты, которые можно применить к группе С1.
Теорема 2. [2] Пусть группа
п
С = (П*^; гetGl,•••,гetGs,фji(Uij) = Uji)
.3=1
— древесное произведение групп 1 < в < п, объединенных по изоморфным подгруппам, Щ < Сг, < Gj с помощью фиксированного набора кон-
структивных изом,орфизм,ов {ф^},фji(Uij) = Uji. Тогда, если подгруппы, Щ, ^г, г Е 11} ] Е 12, обладают условием, максимальности и в сомножителях 1<в<п
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса, смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < С^ ^ ^^^^^уппой U^, 7 = ±1;
3) существует алгоритм,, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < С^ ^ ^^^^^уппой U^ 7 = ±1;
то в группе С разрешима проблема вхождения.
Теорема 3. [2] Пусть группа
п
С = (Д*С8; гвіСі, ...,гвіС3,ф^(Щ) = и^і)
8=1
— древесное произведение групп 1 < в < п, объединенных по изоморфным подгруппам, Щ < Сг, < Gj с помощью фиксированного набора конструктивных изом,орфизм,ов {ф^},фji(Uij) = Тогда, если подгруппы, Щ,
^г, г Е 11} ] Е 12, обладают условием, максимальности и в сомножителях Сц, 1<в<п
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса, смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < С^ ^ ^^^^^уппой U^ 7 = ±1;
3) существует алгоритм,, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < С^ ^ ^^^^^уппой U^ 7 = ±1;
то существует алгоритм,, преобразующий любое конечное множество слов С
порожденной исходным множеством.
Для группы С1 = (а,Ь\ат = Ьп), \т\, \п\ > 1 справедливы условия Теоремы
С1
деио к специальному. Таким образом, будем считать, что множество {шг}г=1м удовлетворяет определению 3.
Разобьем все слова специального множества слов {ш,}^^ из С1 на множества: М0 — нетрансформы и М, — трансформы одного типа, содержащиеся в одной подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из А^и Л2. Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (Мг), г = 0,1,... ,к. для г = 1, N подгруппа (Мг) имеет вид
здесь Сг — подгруппы из Лj (] = 1, 2), порожденные ядрами трансформ. Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочиваем по длинам крыльев их трансформ, получаем ряд:
{Мі) = г- ... гпІСігпі ...ги,
(Мі) < {М2) < ... < (Мк).
(5)
Лемма 1. [1] Ряд (5) можно преобразовать в ряд (6)
(Мі) < (М2) < ■■■ < М)
2) если подгруппе (Mj) = т1х ... т^С^гпх ... т1х, 1 < ] < к , ряда (6) принадлежат трансформа и = т- ... т~Х;Нтпх .. .т1х, гд е к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (6) имеется подгруппа
(Мг) = т— ... т—хСгтп-1,х ... т1х,
и
3) если для некоторой трансформы и = т— ... т-^Кхтпх .. .т 1 х, принадлежащей подгруппе (Mj) = т- ... т— С^тпх ... т 1 х, и нетрансформы
У 11у . . . ¡п1уКутту . .. т 1 у
из М0, п 1 > п, (левая половина у изолирована) выполняется соотношение 1(у- 1иу) < ¡(у), то существует подгруппа (М3) ряда (5), содержащая трансформу у-1 (т— ... т— Кхтпх ... т 1х)у-1; еели ¡(уиу-^ < ¡(у), то существует подгруппа (М'3), содержащая трансформу уиу-1;
4) если М) = т-х . . . т-1хСтпгх . . . Пх,
(М) = т-х . . . т-1хт-1+1 у . . . т-2у Стп2 у ...т 1 х
— подгруппы ряда (5) п2 > п 1г и подгруппа (М'^) содержит трансформу и =
т-х . . . тп1хктп1 х ...т 1 х либо и = т-х ... т-1хКтп1х .. . т 1 х, где К = т-1+1 уктп1+1 ,у
то существует подгруппа ряда (6)
(Мк ) = т -х . . . т-хт-+ 1,у Ск тп1+1 ,у ...т 1 х,
ии
5) если (М3) = т-х ... т~1хСхтп1,х ...т 1 х — подгруппа, из ряда (6) и у£ =
11 у .. .¡п2у Ктп2у ...тп1+1 у тп1х ...т 1х, е = ±1 — элемент специального множества, причем, подслово т-х ... т~1хт-+ 1у не является, изолированной левой половиной некоторой трансформы щ£(е = ±1) и если подгруппа (М'3) содержит трансформу т- ... т-1х ктп1х .. .т 1 х либо трансформу т- ... т-хКтп1х ... т 1 х, где К = т-1+ 1уктп1+1 >у, то существует в ряде (5) подгруппа
(Mj ) = т-х . . . т-1 хт--1 + 1,у Cjтп1+1 ,у . . . т 1 х,
содержащая эту трансформу.
Лемма 2. [1] Подгруппа М0 , порожденная нетрансформами специального множества, свободна, и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {шг}г=1^7 будем обозначать др(М0, Б). Она представляет собой Н N ^группу с основой Б, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (6), правильной системой проходных
букв которой служат элементы из М0. Подгруппы М0 и Мі = 1,к, из ряда (5) будем называть порождающими подгруппами подгруппы (ш1,.. .шм) = др(М0, Б). Они обладают следующими свойствами [2]:
(аі) Если Шг Є М0 и ш1,ш2 Є др(М0,Б), где ¡(ш\) < 1(Жг),1(ш2) < 1(Жг), то
¡(шіШіШ2) > І(Ші)\
(а2) Если Ші Є Мо и Ж Є М0, діад-1 Є (Мі) = дСгд-1, Ж = Мі -
подгруппа ряда (6), то
ІЖдад-1) > т),є = ±1,
1(Ж£дгад~1ЖП) > 1(Жг),є = ±1,п = ±1;
(а3) Есл и Жг = дгКгдг Є М0, то не существует слова ш Є др(М0,Б), 1(ш) < 1(дгКгді^ что
(діКгді)ш = дгКгд-1
или
ш(дгКгд'г) = (д'г )~1кд,
(а4) Если дгКгд-1 Є (Мг) = дгСгд~1, 1(дгКгд-1) = 21 (дг) + 1, то не существует слова ш Є др(М0, Б), 1(ш) < 21 (дг), такого что
1(дгКгд-1ш) < 1(дгКгд-1);
(а5) Если
Х 11х12х ."ІіхІі+1,х "'1ихКхгих "'гі+1,хгіх ". г1х Є (Мг)
и
У 11у 12у■■■1 іу1 г+1,у■■■1туКугту■■■гі+1,угіу■■■г1у Є (-Мв)
где каждая из подгрупп (Мг), (М3) есть либо подгруппа ряда (6), либо подгруппа М0 и г < т < п, то те существует слова ш Е др(М0,Б), ¡(ш) < 21, такого что
ш(],1х...1 гх ¡г + 1,х •••¡—xKxT—x •••тi+1,хтг х...т1х) ¡1у ¡2у ...¡г у ¡г+1 х •••¡—xKxт—x •••т1x,
либо
( 1х ...¡пх Кхт—х •••
тг+1,хтгх...т1х)ш = ¡
1x•••¡—xKxT—x•••Ti+1,xTiy •••т1у,
либо
ш(т-х •••т^х тг+ 1,х...т-х Кх ¡—х ..'^ 1х ) ¡ 1у ¡2у •••¡гу (тг+1 ,х) •••(т—х) Кх ¡-х ..'^ 1х ,
либо
(т-х •••т-х Кх ¡—х •"^г+1 ^¡гх -х )ш т-х •••т—х (К)-1 (¡—х)-1 •••(¡г+1 ,х)-1 тгу •• •т 1у •
(а6) Левая половина любой нетрансформы Е М0 изолирована в множестве {Ма\Шг} и {М-1 \№г 1 }•
Определение 4. [1] Произведение щ.-и^ назовем, словом, подгруппы
(ш1,. ..шм) = др(Мо, Б)
группы, С1 = А1 *н Л2, если:
1) иг = 1;
2) иг Е {М0 и М-1}, либо иг принадлежат некоторой подгруппе из ряда (5);
3) иг = и-+1;
4) иг,иг+1 не содержатся в одной подгруппе ряда (5);
5) в и1".ик нет произведения игиг+1иг+2(г = 1,к — 2), где иг = и-+:2, иг Е {Мо и М-1}, иг+1 Е М) и игЩ+1Щ+2 Е (М3), М), (М3) - из ряда (5).
Лемма 3. [1]
Невозможно соотношение вида, (д1а1д-1 )(д2а2д-1)(д3а3д-1) = д4а4д-1, где левая часть есть слово подгруппы др(М0,Б), (д1а1д:-1) Е (Мг), (д2а2д-1) Е М), (д3а3д-1) Е (Мк), причем,
Ь(д2а2д-1) < Р(д1а1д^1), Ь^ъд-1) < Ь(дзазд3^1), Цд^д-1) < Ь^ад-1) либо Ь(дАаАд11) < Ь(д3а3д3-1).
Лемма 4. [1]
Всякое произведение • ••ш£™, еj = ±1, где - образующие подгруппы
({шг}г=1М), через конечное число шагов можно привести к слову иг1 •••игк, к < т, подгруппы др(М0,Б) = ({шг}г=1м)•
Определение 5. [1]
Будем говорить, что между словам,и ь1 и ь2 имеет м,есто касание первого, второго или третьего рода, если длина произведения ь1ь2 соответственно больше, равна, или меньше тах^^1 ),¡(v2)}.
Определение 6. [1]
Слово щ...^ является, простым,, если ¡(щ.^.щ) = тах^и), ..^¡(щ)}. Лемма 5. [1]
Пусть щ...^, — произвольное слово подгруппы, др(М0,Б), между л,юбы,м,и соседним,и сомножителями которого имеет м,есто касание второго рода. Если для сомножителей имеет м,есто следующая систем,а, соотношений:
¡(и1и2) = ),Ки2)},
¡(и1и2и3) = тах^и и2)^(и3)},
¡(ul•••ukх2ukхl) = тах^(щ • • • Ukх2),¡(ukхl)},
¡(щ...ик) < тах^и ... )},
то
¡(щ."^) = тах^(щ ... и-),¡и)}•
Используя Лемму 5 можно доказать следующую Лемму:
Лемма 6. [1]
Если щ.-.Пп - слово подгруппы gp(M0,S), то l(щ...пп) > ¡(пг), i = 1,п
Следствие 1. [1] Если в слове пх...пп выполнить сокращения в группе G, то в нем, сокращение не затронет, по крайней мере, левую половину щ.
Следствие 2. [1] Всякое слово подгруппы gp(M0,S) может быть представлено в виде произведения простых слов, между которыми имеет м,есто касание первого рода.
Из доказательства леммы 6 следует, что простое слово пх...пп подгруппы gp(M0, S) может быть одного из следующих видов:
a) пх...пк содержит нетраисформу максимальной длины, то есть ¡(пг) > l(nj),
1 < j < i — 1 i + 1 < j < k;
b) слово пх...пк содержит нетрансформу пг и трансформу пг+х максимальной длины, то есть ¡(пг) = l(m+i) = ¡(пгпг+1), ¡(п) > ¡(п), 1 < j < i — 1, i + 2 < j < k;
c) слово пх...пи нетрансформы щ, щ+2 и трансформу пг+х со свойствами ¡(п1) ¡(п1+2) ,1(п1) ¡(пгпг+1) l (пгпг+1пг+2) у ¡(пг) > l(nj)) 1 < j < i 1у
i + 3 < j < k, причем длина слова пг+1 может оказаться меньше длины ¡(пг);
d) слово пх...пи трансформу пг максимальной длины.
G
G
Лемма 7. Существует конечный процесс, позволяющий для, любого слова w Е Gx и конечно порожденной подгруппы, H < Gx установить пусто л,и пересечение wH П ((cs) = (bk)).
Доказательство. Подгруппа H представима в виде gp(M0, Sx), где M0 — множество порожденное нетрансформами четной и нечетной длины, а основа Sx порождена упорядоченным рядом подгрупп (Mx) < (M2) < ... < (Mn), в которой каждая (Mi) порождена трансформами с одинаковыми крыльями.
Пусть слово w Е H имеет вид w = a11 b^1 a}2b^2...alsb^sasi = wxasi. Выберем произвольное слово v Е H, так как v Е gp(Mo, Sx) запишем его в п-символах: v = п1п2...пп. Рассмотрим произведение wv.
Очевидно, что пересечение wH П (cs) = 0, если длина l(wv) > 1 для любого слова v Е H. Нам интересны случаи, когда произведение wv равно степени a, b c
Возможны следующие случаи:
СЛУЧАИ 1. Слог пх явдяется трансформой длины 1: ¡(пх) = 1. Значит пх состоит из ядра трансформы пх = Лх, Ах Е иг^ = ±1.
Пусть пх = arx, тогда wv = wxasiarxп2...пп. Длина l(wv) слова wv будет уменьшена, если
1) asiarx, sl = —rx.
2) а81 агх = ату. Степе ни з: + гх = ту, з: + гх = 0(modm). Тогд а ату = Ьпу, который объединяем с предыдущим элементом Ь^а слова ш. Далее рассматриваем следующие сокращения.
СЛУЧАИ 2. Пусть ¡(и1) > 1. В этом случае в слове ш выделяем подслово шг максимальной длины, совпадающее с крыльями одной из подгрупп ряда (5): (Мг) = (ш-1 Агшг). То есть, ш = ш:К0ш^ Выясняем: существует ли К: Е Аг, такое что произведение К0К: принадлежит объединяемой подгруппе (ат) = (Ьп).
СЛУЧАЙ 3. Допустим, что (Мг) = (ш~1Агшг) и существует нетрансформа с неизолированной левой половиной ш~1\ и = ш-1 K2Wj. Пусть К0, К2 и подгруппа Аг принадлежат одному сомножителю группы С. Выясним, существует ли К: Е Аг, такое что произведение К0К:К2 принадлежит объединяемой подгруппе (ат) = (Ьп).
СЛУЧАИ 4. Пусть шг является изолированой левой половиной нетранс-формы и1 = ш~:Кш, и пусть среди подгрупп ряда (5) содержится подгруппа (Mj) = (wJ1AjWj), а так же среди нетрансформ содержится и2 = ш-1К2шр, К0, К, К2 и А.,- содержатся в одном сомножителе группы С. Выясняем, существует ли К: Е а,, такое что
КоКК: Е (ат) = (Ьп),
либо
К0КК1К2 Е (ат) = (Ьп).
Случаи (2), (3), (4) аналогичны случаю 1. Таким образом, через конечное число шагов выясним, существует ли V Е Н: wv Е Ь) = (в8).
Лемма доказана.
Лемма 8. Существует алгоритм выписывающий образующие пересечения конечно порожденной подгруппы Н < С: с подгрупп ой (в8).
Н (Мо, Б)
Пусть трансформа вида r1r2•••rpAp'rх1rхX1•••'rX1 принадлежит подгруппе (Мр). Ядро Ар принадлежит объединяемой подгруппе Цг, г = ±1, т.е. возможно, что Ар = ат8, тогда длину трансформы можно уменьшить.
Исходя из данных рассуждений, утверждаем, что существуют подгруппы из ряда (М:), (М2), •••(Мп), трансформы которых имеют слоговую длину равную 1, т.е. состоящие из ядра. Трансформы с наименьшей слоговой длиной находятся в начале ряда. Пусть подгруппы (М:) = (ат8) и (М2) = (Ьпк).
Так как о81 Е и-1, то го соотношений (ат) = (Ьп) и (^) = (в8) следует
существование наименьшей степени в8 представимого как ар.
Остается рассмотреть пересечение (ат8) П (ар) (аналогично рассмотренному
Лемма доказана.
Таким образом, используя условия Теоремы 3 и утверждения Леммы 7 и Леммы 8 получаем, что образующие каждой подгруппы группы G можно привести к специальным образующим.
Лемма 9. Всякое простое слово w Е gp(M0,S) группы G имеющее своей несократимой записью трансформу w = gag-1 может быть приведено к виду gag-1 = u-1 u-l...u—1u0un...u2u1, где и0 — трансформа, принадлежащая одной из подгрупп ряда, (5), ui Е gp(M0,S), u-lu-1 ...u~1u0un...u2u1 — слово подгруппы gp(Mo, S).
Доказательство. Перепишем слово w = gag-1 в u-символах:
gag-1 = uiu2..uum. (7)
w
СЛбДуЮЩИИ ВИД!
I. слово w содержит транформу ui = giKig-1 максимальной длины,
u1u2...um u1u2...ui-1(giKigi ')ui+1 ...um)
где l(giKig~l) > l(uj), 1 < j < i — 1, i + 1 < j < m;
II. слово w транформу ui и ^^^^адсформу т&кт что l(ui) =
l(ui-1) = l(gKg-1) > l(uj), 1 < j < i — 2, i + 2 < j < m.
Доказательство проведем по числу m сомножителей в слове w = u1u2...um.
Для m = 1 Лемма 10 справедлива.
Допустим, что утверждение леммы справедливо, когда число сомножителей в слове (7) < m. Докажем для m сомножителей.
Пусть gag-1 = ui...ui-i(giKig~1)ui+i..Mm-
СЛУЧАИ 1. Пусть подслова u1...ui-1, ui+1...um не содержат нетрансформ, тогда l(giKig~1) = l(gag-1) l(u) < l(giKig~1); 1 < j < i — 1, i + 1 < j < m, и на основании строения простого слова:
l(ui) < 1(щ) < ... < l(ui-i),
l(um) < l(um-1) < ... < l(ui+1).
Используя условия 5) для порождающих подгрупп gp(M0,S) покажем, что l(u1) = l(um), l(u2) = l(um-1) и трансфомы u^ um содержатся в подгруппе (Mi) (5)
Пусть u1 = g1K1g^[\/ u2 = g2K2g-1. В силу простого слова и соотношений (5) l(uu) = 1(щ), u2 = g2K2g-1 = giBig2U^g-^B^g-1.
u1 u2
u 1u2 = (g1K1 g- 1)(g1B1 g^ K2g-nB-1 g-^ = g1K1B1 g^ K2g-nB-1 g-1.
Предположим, что l(um) < l(g1K1g-1).
Имеем um gmKmgm 7 um-1 gm-1Km-1gm—1) Такие, ЧТО l(umum-1)
l(um-1)i um-1 gm-1Km-1gm-1 gmBmgm-1,nKm-1gm-1:UBm gm ■
umum-1 gmKmBmgm-1,nKm-1gm-1^Bm gm 1 ГДв gmKmBm ЯВЛЯвТСЯ ПОДСЛО-
g1 g1 K1 g1- 1
u1 um
одной подгруппе g1Aig- = Mi ряд a (5).
В этом случае транформу gag-1 = u1...ui-1(giKig~1)ui+1...um сопрягаем эле-
um
um(gag ')um umu1ui-1(giKig- )ui+1...umum .
Тогда
um (gag ')um u1...ui-1(giKig- )ui+1...um-1■
где umu1 = u1 Слово u>1...ui-1(giKig~1)ui+1...um-1 — простое, длины меньше чем m
Таким образом, по индуктвному предположению Лемма 9 справедлива. СЛУЧАИ 2. Пусть подслова u1...ui-^/ ui+1...um простого слова
u1...ui-1(giKigi ')ui+1 ...um
содержат нетрансформы. Выделим в слове u1...ui-1 первую слева, а в слове ui+1...um первую справа нетрансформу. Пусть это будут соответственно
uj = gjKjgj, 1 < j < i — 1,us = gsKsgS, i + 1 < s < m,
где левая половина gj нетрансфор мы uj и правая поло вина gS ^^^^^мфор мы us в силу строения простого слова являются изолированными, т.е. удовлетворяют свойству (a6).
Поэтому на основании свойства (a5) можно утверждать, что us = uj1. Так как в противном случае, если l(us) < l(u-1) либо l(us) > l(u-1), то изолированная левая половина одной трансформы может быть переведена в изолированную левую половину второй трансформы, но это невозможно. s = m j = 1
2.6) Пусть j = 1, s = m — 1, тогда u-1 = um-1 и имеем
gag ul u2...ui-1 (giKi gi ')ui+1 ...um-2 u1um■
где l(um) < l(u1), u^ ^ одной из подгрупп (Mi) ряда (6).
Нетрудно показать, что l(u1umu[l) < l(u1) поэтому среди подгрупп ряда (6) существует подгруппа (Ms), содержащая трансформу u1umu-1 = u'm-1■
w u1
u1(gag )ul u1u- u2...ui-1(giKig- )ui+1 ...um-2u1umu- .
Откуда
u2...ui-1 (giKig- ')ui+1 ...um-2um-1.
Преобразуем произведение u2...ui-1(giKigi l)ui+1...u!m-1 в слово подгруппы gp(Mo, S):
u2...ui-1(giKigi )ui+1...um—1■
которое, как нетрудно показать, является простым. В силу индуктивного предположения для данного случая лемма справедлива.
2.в) Пусть 1 < j < i — 1и i + 1 < s < m. Тогда
gag u1...uj-1uj uj+l...ui—l(giKigj )ui+1 ...usus+1 ...um.
l(us) > l(us+1) > ... > l(um')■
с другой стороны
l(uj) > l(uj-1 > ... > l(u1).
Слова u——1...u-1 и us+1...um простые, как подслова простого слова.
Сопрягаем трансформу gag-1 словом u1...uj-1\
u-^1...u]_ (gag ')u1...uj-1 uj uj+l...ui—l(giKigj )ui+l...usus+1...umu1...uj—1■
g ag ujuj+1...ui-1(giKigi )ui+1...usus+1...umu1...uj-1.
l(g ag ) l(gag ) l(uj ...ui-1(giKigi )ui+1 ...usus+1 ...umu1 ...uj-1) 7 ОТСЮДа
l(usus+1...umu1...uj-1) = l(us). Кроме us наибольшую длину имеют us+1 И uj-1. При этом l(us+1) > l(uj-1) или наоборот l(us+1) < l(uj-1) и сокращения проходят до ядра минимального.
Таким образом произведение us+1...umu1...uj-1 есть трансформа с длиной l(us+1...umu1...uj-1) < l(us) = l(u). Слово us+1...umu1...uj-1 — простое и
us+1 ...umu1...uj-1 Е (^^k^
где (Mk) = gkKg-1 подгруппа ряда (6), a K принадлежит объединяемой подгруппе.
Следовательно длина левой половины произведения
u1...uj-1uj uj+1 ...Щ-1 (giKigi ')ui+1 ...usus+1 ...um
не изменится, а сокращения справа в куске us+1...umu1...uj-1 дойдут до ядра, следовательно длина правой части уменьшится и по индуктивному предположению Лемма 9 доказана.
w
жит нетрансформы ui-17 ui+1 и трансформу ^ со свойствами l(ui-1) = l(ui+1), l(ui-1) = l(ui-1ui) = 1(щ-1ЩЩ+1), l(u-1) > l(uj)), 1 < j < i — 2, i + 2 < j < m и l(ut) < 1(щ-1).
По свойству (a6) левая половина нетрансформы ui-1 = u^Ki-1 uin изолирована и правая половина нетрансформы ui+1 = u-Ki+1u'iu также изолирована. Пусть трансформа ui = u-^Ku^ Е (Mj) ряда (6). Тогда
gag u1...ui-2umKi-1umuin Kumuin Ki+1umui+2...um■
дад и1 •••Uiх2Ui,П (К 1-1КК 1+1)игЛи1+2 •••ит,
длина ¡(и1 •••uiх2uщ) < ¡(щ-:).
Если и^1-1 = щ+1 с помощью поде лова щ...^^ изолированную левую половину ищ нетрансформы uiх1 мы можем перевести в изолированную правую половину и^ трансформы щ+1. Это невозможно, следовательно щ+1 = и-!]^ Аналогичные рассуждения можно провести для подслов и-2 и щ+2 и т.д. Получим: ui+1ui+2•••um = и-^."^ ■
Мы рассмотрели все возможные случаи строения простого слова ш.
Лемма доказана.
Пусть Н - конечно порожденная подгруппа группы С, порожденная двумя различными специальными множествами, то есть различными в общем случае системами порождающих подгрупп: Н = др(М0, 8]^^ и Н = др(М'0, 81), где 81 - подгруппа, порожденная подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ••• < (Мк); (8)
81
(М[) < (М2) < ... < (Мк); (9)
(М^) = v-1Civi, (М-) = д-С-д-, где каждая из подгрупп С^ и С- одновременно принадлежит либо сомножителю С: = (а,Ь\ат = Ь-), \т\, \и\, \к\, |з| > 1
либо сомножителю (в) группы С.
Н
множествами Н = др(М0,81) и Н = др(М0, 81), где 81 - древесное произведение подгрупп ряда (8), а 81 - древесное произведение подгрупп ряда (9). Тогда для, каждой подгруппы, (М^ = v~1Civi ряда (8) существует (М-) из (9) и слово ш- Е Н, такое что (М^ С ш--1 (М'-)ш-.
(8)
М) = г: • • • ГпСг-1 •••г-1.
Пусть д,,Кд~1 Е (М\), где ¡(дКд~1) = 2¡(gi) + 1. Так как д,,Кд~1 Е Н, то его можно переписать в другой системе образующих: д.^Кд-1 = щщ-мщи-1 •••и-1, где и0 в свою очередь, также является трансформой: и0 = д'К'(д'^)-1, и0 Е (М-). Очевидно, слово щщ-мии-1 •••и-1 - простое.
Покажем теперь ,что существует ш- Е Н, такое что (М\) С ш-- (М'-)ш-. Если трансформа и0 имеет максимальную длину в слове и-1 •••и-1,
то в качестве слова ш- возьмем поделово щ^..^.
Пусть ¡(и0) не является максимальной. Тогда на основании строения простого слова u1u2•••ulu0'uх1 •••uX1^■
¡(щ) < ¡(щ) < ••• < ¡(иг),
максимальную длину имеет иг.
Запишем иг = дгК(д[)-\ так как в общем случае слог иг может быть как нетрансформой, так и трансформой.
СЛУЧАИ 1. Предположим, что иг — трансформа и ¡(иг) > ¡(и0)- Пусть иг Е (Мг1), и0 Е (Мг2). Так как ¡(иг) = ¡(иги0) = ¡(щщи-1), то трансформа
иг принадлежит подгруппе (М^), что невозможно по определению слова. Следовательно ¡(иг) < ¡(и0)-
СЛУЧАИ 2. Предположим, что иг — нетрансформа. По свойству (а6) левая половина иг изолирована. Тогда иг = дгКгд[ и u1u2•••ul = giK¡д[ и так как giKg-1 = щ^.^.щщи-1 •••Щ1, то
uX1•••uX1(giKgX1)ulu2•••ul = (д1)-1 (к71кк1)д1 = )д[ = ио,
таким образом
¡((д[)-1 кдг) = ¡(ио) < Кд^д-1').
Рассмотрим слово u1u2•••ul и перепишем его в первой системе образующих Н, получим: д^д'г = и[^•••^ь
Слово и1и2...и11 u'll+1u'll+2•••u'lp — простое. Пусть и[1 — и-символ максимальной длины, т.е. ¡(щ11 ) = ¡(д.1 К-gl) и для всех 1,1 = ¡ь ¡(и^ < ¡(и[ )•
а) Пусть — трансформа. и'11 = ~дК1 ~д = д'1. Тогда так как
^••Ч ^А+А^ "Мр = giкзgх1,
мы получили, что трансформу giKg~1 можно перевести в другую трансформу ~дК~д-1, умножением на слово u'1u'2•••u'llх1, ¡(и^и^..^'^^) < ¡^.¿Кд-1), что невозможно по определению специального множества.
Если допустить, что д = д^ то так как сокращение в слове giKg~1u,1u,2•••ull доходит до ядер giKg-1 и и^, то из строения простого слова и определения специального множества следует, что u'1u'2•••u'líх1 есть трансформа, принадлежащая подгруппе (М-) = giA,ig-1, но тогда
¡(uX1•••uX1(giKg-1)ulu2•••ul) = ¡((и1)-1 •••(u,l)х1(giкg~1)u,l•••u,lp) = ¡(giкg-1),
что противоречит предположению ¡(и-1 •••uх1(giкg-1)u1u2•••ul) < ¡(giKg~1).
б) Пусть и^ — нетрансформа. Рассмотрим случай, когда и^имеет максимальную длину в слове и1и2...и11 и'11+1u'll+2•••u'lp. Если левая половина и^ изолирована, то умножением и^ слева на и1и2...и1г мы переведем левую половину и^ в левую половину giKg~\ что невозможно. Если левая половина и'г неизоли-рована, то для слова u'1u'2•••u'líи'^-^u'lí+2•••u'lpжшeeш максимальную длину.
Предположим, что левая половина и^ те равна левой половине giKg~1. В этом случае умножением слева и^ на слово u/1u/2•••u/llх1, ¡(и'-щ^."^^) < ¡(и[ ) преобразуем левую половину и^ в левую половину giKg~1, что невозможно.
Пусть левая половина и^ равна gi и щи2...и!1г_ 1 является трансформой принадлежащей подгруппе (М-) = д^А-д-1, поэтому ее можно отбросить и, сопрягая дКд-1 нетрансформой и^, получаем, что
¡((и1 Г.МГ1 ^дТ1)^...^,,) < ¡(giKgX1),
что невозможно.
Из приведенных рассуждений следует, что в равенстве
giKg-1 = u1u2•••ulu0uх1 •••uX1
нетрансформа и0 имеет слоговую длину ¡(и0) = ¡(giKg~1) и и0 Е (М-), поэтому (М^ С ш- (М'^ш-, где ш- = и
дКд-1 = ш-иош-\ио Е (М-) (10)
Подставив в (10) образуют,ий и'0 подгруппы (М-), получим равенство
д^д-1 = WijU,oWX1,
из которого следует, что ш-^М'^ш- С (Мг). Таким образом получаем:
М) С ш\М'3)ш- С М).
Тем самым лемма доказана.
Из доказательства Леммы 10 следует:
Н
множествами Н = др(М0, 81) и Н = др(М'0, 81), где 81 — древесное произведе-(8) 81 (9)
существует подгруппа (Mi) = v~1Civi из ряда (8), существует (М-) из ряда
(9) и слов о ш- Е Н, такое ч, то (М\) = ш--1 (М'^ш-.
Лемма 12. Пусть Н: = др(М0, 81) и Н2 = др(М'0,81) — две конечно порожденные подгруппы группы, С. Основа, 81 подгруп пы Н: порождена, подгруппам,и ряда
(М1) < (М2) < ••• < (Мк1), (11)
81 Н2
(М[) < (М2) < ... < (М'к2). (12)
Тогда, если Н-^ и Н2 сопряжены в С, то есть существует г Е С такой что
г-1Н1г = Н2, то существ уют ш Е др(М'0,81), ] = 1,к1} 8 = 1,к2 такие, что wх1zх1(Mj)гш = (М'3), где (М-) — подгруппа ряда, (11), (М'3) — подгруппа ряда (12).
Доказательство. По условию леммы подгруппы Hi = gp(M0, S\) и H2 = gp(M0, Si) сопряжены, тогда существует z Е G такое, что z-igp(M0, Si)z = gp(M'0, Si). В результате множество нетрансформ М0 и подгруппы ряда (11) подвергнутся преобразованию: z-iM0z.{z-i(Mj)z}j=Yki• Приведем образующие подгруппы z-igp(M0, Si)z к специальным образующим. На каждом шаге указанного процесса подгруппы z-i(Mi)z, порожденные трансформами одного вида, входящие в множество образующих подгруппы, переходят в сопряженные и кроме того чтобы выполнялись условия 2) — 5) Леммы 1, порождающие подгруппы сопряженные с z-i(Mi)z могут пополняться трансформами. Допустим, что мы построили для подгруппы z-igp(M0, Si)z специальное множество образующих и соответственно, множество порождающих подгрупп, то есть мы имеем:
z-igp(Mo, Si)z = gp(M0, S'{),
Si
(Mi) < (M2) < ... < (M^). (13)
Из алгоритма построения подгрупп ряда (13) следует, что каждая подгруппа z-i(Mi)z будет либо сопряжена некоторой подгруппе ряда (13), либо с подгруппой некоторой подгруппы ряда (13). Теперь сопрягая подгруппу gp(M0, S'() элементом z-i, получаем gp(M0,Si) = zgp(M0,S'()z-i, соответственно сопрягаются подгрупы ряда (13) и слова из M^. Подвергнем множество образующих из zgp(M0, S'l)z-i преобразованиям, переводящим их в специальное множество. В результате через конечное число шагов получим, что
zgp(M0 ,Si )z-i = gp(M'0 ',S'i '),
S1
Mi0 < (M2f) < ... < (M™). (14)
Каждая подгруппа z(M”)z-1 либо сопряжена некоторой подгруппе ряда (14) либо некоторой подгруппе подгруппы ряда (14).
Таким образом, для подгрупп рядов (11), (13), (14) имеет место следующее соотношение:
w-jlz- 1 (Mi1 )zWij С (Mjf),
где (Mi) - подгруппа ряда (11) (Mj) - некоторая подгруппа ряда (13) Wj Е z-1 gp(M0, Si)z = gp(M0, S"), поэтому wij = z-1 wijz, wij Е gp(M0, Si).
( Mj ) (13)
подгруппой из (M's"), то есть w'Jg z(Mj')z-lwjs С (M's"), где wjs Е gp(M0,Si).
Поэтому имеем:
w'~g zW- 1 z- 1 (Mi)zWijz-1 wjs С w'~g z(Mj')z-1W-l С (M'"), (15)
где приведение ш'= ш'-1г)г-1 = ш'^ш--1 Е др(М0,81).
Учитывая теперь, что др(М10,811) = др(М0, 8[) и др(М0'', 8'") = др(М0, 81), можно расширить цепочки вида (15) добавляя подгруппы ряда (12), заканчивая цепочки вложенных подгрупп подгруппами из ряда (11). В результате для каждой подгруппы (М^ из (11) будем иметь:
ш-1гш' zх1(Mi)zw' - г-1ш3 С ш-1гш' (М')ш'-г г-1ш3 С
С wXlzwТp(M'r )wrpzх1ws С ш-1 г(Мр )г-1шр С ш-1 (М'”)ш3 С (М3),
где w-1zw'zх1 Е др(М0, 81) и г = 1,к.
Используя полученные ранее цепочки, можно построить цепочку минимальной длины следующего вида:
ш-zшXlzх1 (МР1 )zw1zх1wpl С ш^^ш-'МС
С )ш31 С ••• С (мР1 ),
из которой следует, что ш-zшXlzх1 (МР1 )zw1zх1wpl С (МР1) и так как
wх_1zw'X1z-: Е др(М0,8),
то, используя Лемму 9, можно показать, что wх_¡1zw~х1zх1 есть трансформа из (МР1). Поэтому имеет место равенство ш-zwТ1 zх1 (МР1 )zw1zх1wpl = (МР1).
В результате получаем:
ш- zшXl zх1 (МР1 )zw1zх1wpl = wх_1zw'-1(M,jз ,
откуда ш-1 zх1 (МР1 )zw1 = Ш-'М^)ш3, где Ш:,ш3 Е др(М'0, 8').
Лемма доказана.
Приступим к решению проблемы сопряженности для подгрупп группы
С = (а,Ь\ат = Ьп) =* (с),
где \т\, \п\, \к\, 8\ > 1.
Пусть Н: = др(М0, 8:), где 8: порождена подгруппами ряда
(М:) < (М2) < ••• < (Мк1) (16)
Н2 = др(М0, 8'), где 8' порождена подгруппами ряда
(М1) < (М2) < ••• < (М'к2). (17)
Среди подгрупп (16) существует подгруппа (М¿0 ) = vxo1CiovІ0, среди подгрупп (17) существует подгруппа (М-0) = g-'o1Cjoд-0, где каждая из подгрупп
Cio, С-о являются подгруппой либо сомножителя (а,Ь\ат = Ьп) либо сомножи-(с)
Тогда существует элемент ш Е др(М0, 8') такой что:
ш-^-1(М.¿о ^ш =(М'о). (18)
I) Пусть подгруппы Cio, С-о не содержатся ни в одной из объединяемых подгрупп: (Ьк), (с3).
Подставим соотношения (М'о) = v~o Ciovio, (М'о) = д- С-од-о в (17), получим:
(д-о ^К'По (^о ^д-о1) = -, (19)
так как Cio и С-о являются подгруппами в С, то viozwgJo1 = а0 Е С.
Можно записать:
(д-о М0^о:,^о 81К1))(^о ^д-о1) = др(д-о Кд-о'л-о 81д-о1).
Приведем образующие подгрупп
др(^оМ0^о:,^о8:^о1)ъ др(д-оМ0д-о:,д-о^-д-о1) к специальным образующим: др(Що М0Цо:,^о 8:^о:) = др(М00,81), др(д-о М0д-о: ,д-о 81д-о1) = gp(M0',8'['), 81
(М[) < (М2) < ••• < (М'к2), (20)
г*///
81
(М'С) < (М2') < ••• < (М£)• (21)
таким образом:
а-:др(М0', 8[')а0 = др(М0, 8-). (22)
Выберем в подгруппе др(М00',8'{') произвольный образующий из специаль-
ного множества длины больше 1, например X = аи1 Ь^1 аи2Ь^2••.аикЬ^к, где к > 1. Из соотношения (22) следует, что
а- Ха0 а- аи1 Ьт аи2Ь^2 •••аикЬ^ка0 Е др(М0 , 81 ).
Тогда слово а-:Ха0 можно переписать в другой системе образующих:
а- Ха0 а- а^1 Ь^1 аи2 Ь^2 •••аъ'к Ь^к а0 U0UІl UІ2 •••ич , (^3)
где u0 є Cj0 и uij є gp(M0, S'l).
ПуСТЬ uii aii ...aii+mbji+m, ТОГДа
a- XaQ a- bm av2 b^2 ■■■avk b^k a0 u0aii bji ■■■aii+mbji+mui2 ■■■uit ■
Из чего следует, что a-lav1 = u0ai1 h, ще h принадлежит объединяемой подгруппе: h = bkt, t Є Z можно ограничить, так как группа G является группой с нетривиальным центром, порождаемым элементом Ьж, и bkn принадлежит центру.
Таким образом:
a- uoaii ha-i
и в качетсве a-1 можно взять a-1 = ai1 ha-1 Множество элементов такого вида обозначим Т. Множество Т конечно и, построив его, мы проверим эффективно существует ли a0 такой, что z-1 = wgj0a0vi0, а так как w Є H2, то в качестве
z-1 Можно взять
z -1 = gjo a0vio ■ (24)
Если ни для одного a0 из Т те выполняется условие z~1H1z = H2, то подгруппу (Mj0) заменяем другой подгруппой (Mji), сопряженной подгруппе (Mi0) и повторяем алгоритм для данной пары подгрупп.
II) Каждая подгруппа (М-) ряда (16) сопряжена с подгруппой из объединения: (Ьк) = (ся). Аналогичному условию удовлетворяет каждая подгруппа ряда (17). В противном случае под группы Н: и Н2 не сопряжены.
На основании Леммы 12 из сопряженности подгрупп Н: и Н2: zх1H1z = Н2, следует существование подгруппы (М^) = v~01CІ0vio ряда (16) (М-о) = gJo1Cjoд-о ряда (17) и элемент ш Е др(М'0, 8') такой, что
^о )^ш = д-о1- д-о (25)
Пусть Cio = а-о:(Ьтк*о)а^, где а¿0 Е С:,
- = -'Ф^0)а-о либо - = Ь~о1(сзк^)Ь-о, оде Ь-о Е (с).
(25)
- д-о 01 а-о: Фтк10 )а¿о ^о ш-о1-1 = Фтк]°), (26)
где
d J ajo, если Cjo G G\;
30 ) bj0, если Cj0 G (c).
Из соотношения (26) имеем, что
w-1 = djo gjo w-1 z-1 v-Xa-1 = haia2a3...aN, (27)
где каждое ai является степенью либо b либо с и h = bmk, где \k\ < \kj0\.
Преобразуем соотношение ,ш 1г 1др(М0, Б1)г,ш = др(М'0, Б[):
(¿30 дзо ™~1г~1Чо1а-о1)а*о Ъг0 др{М0,Зі)у-1а~1{аі0 ^ гтд-Ч~1) =
= ¿зо дзо др(М0, ^д^З1-
Приведем образующие подгрупп аІ0ьІ0дгр(М0, Б1)ь~о1а~о1 и ¿з0дз0др(М'0, Б[)д~Хії~Х к специальным образующим. В результате получим:
3дз0др(М0,Б[)д~'¿-о 1 = др(М0, Б"), где основа Б" порождена подгруппами ряда
(М'О < (М2) < ... < М), (28)
аІ0 УІ0 др(М0 ,Б' )у~ 1а~о 1 = др(МЦ', Б'") основ а Б"' порождена подгруппами ряда
М) < (М2') < ... < (М£). (29)
Причем подгруппы (М') = (М'”) = Ьткіо либо (М') = (М'”) = с/кіо.
Слово ЇЇ, удовлетворяющее СООТНОШЄНИЯМ ЇЇ~ 1ьткі° її = сяк^0, її~ 1др(М'0', Б'")її = др(М'0,Б'{), выбираем наименьшим в двойном классе смежности др(М'0', Б"')їїдр(МЦ, Б").
Пусть Щ = {'шІ1 } =ім ~ специальное множество образующих подгрупп др(МЦ',Б>{'),
Щ = {ті2 }І2 =у^ - специалыюе множество образующих подгрупп др(М0, Б"), причем I' = тах{1(т' 1),1(т2'), ...,1(тм1,')}, 12 = тах{1(т'2),1(,ш22), ...,1(тм2,2)}-
II а) Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(М0, 8[) и др(М'0',8'{'), М'0' = 0, М0 = 0.
Выделим в слове ш-1 = ка'а^^.-а^ максимально возможное конечное под-слово совпадающее с конечным подсловом правой половины некоторого , где Шч Е №: = {шч
Пусть ш' = ка:а2а3•••аirjxrjхх^.-Г 1х, где г-х:х...г:х,] > 0 — конечное под-слово правой половины слова = 11х12х•••ljx•••lnxкrnx•••rjx...г 1х. Слово ш' получили умножением слова ш на сто во и :и2 ••.ир подгруп пы др(М'0, 8"),
1(и:и2".ир) < 2].
Длина начального отрезка ка 1а2а3•••аiх: слова ш' не больше [12]. Допустим противное: 1(ка'а^^.-а^:) > [ ^]■ Тогда выберем в подгруппе др(М0',81') любой образующий го специального множества Ш:, такой что Ь(ш^ ) > 2] - 1: 11 ,тг112^г1 •••1П1^г1 А^11 г^,’Шъ1 •••'^'-,^11 ..^1^11 ® рассмотрим
ш'ш^ ш'-1 = ка:а2 аз.^.а^ :1"Хг'11а~X1•••а -1 •
Подслово ка'а^^.-а^: не затрагивается сокращением, так как в противном случае конечное подслово г-хг--:>х„.г 1х не являлось максимально возможным. Слово = ка'а^з.^.а^ 1l''Xr'''а~X1•••а-1 принадлежит подгруппе др(М'0,8')
и, если (і — 1) > [ 1-2 ], то дли ну іїї можно уменьшить умножая слева на слово і Є др(М0,Б'У
Теперь покажем, что, сопрягая любой іІ2 Є Щ2 элементом іїї'~1, получим сокращение в произведении гїї'~1гїїі2 гїї' слева и справа, затрагивающее слог аг. Допустим противное, то есть либо слева, либо справа слог аг не затрагивается сокращением. Тогда іїї'~1іїї12іїї' = Хаггг...г' и так как її-1 гїї£2іїї' Є др(МЦ', Б"'), то гїї'~1іїїєІ2іїї' = п0п'...ип и поскольку іїї' нельзя укоротить, умножая справа на слова из др(М'0', Б”'), то конечное подслово Хагтг...т1 можно перевести в конечное
З ГДЄ Іїї^
подслово правой половины некоторого гїїі , где іїїЄі Є Щ2, что невозможно по
определению специального множества.
По этой же причине длина любой нетрансформы в Ш2будет больше 2(г — 1) и для любой подгруппы (М'1') = д'' -1О, д, с длин ой 1(дi) < г — 1 и д, = ка 1а2а3...а¿, Ь < г — 1 имеем а- '...а - 'С' а '•••а1 принадлежит объединяемой подгруппе. Поэтому сопрягая одновременно правую и левую части равенства а-•••а^-хГ'х...г:хдр(М0'', 8"')гхX•••rJXаX'•••а-1 = др(М0, 8") словом аа подгруппу др(М'0', 8”') словом г•••г^получим
аi(rjxrjх-,х".г 1хдр(М0', 8х Кх1 •••-)а'-1 = ^-'..а :др(М0, 8,!)аl•••аiх-.
Приводим подгруппу г-хг--:х".г:хдр(М0', 81')г-х•••г- к виду др(м04\ 8[^),
а подгруппу а~X1•••а-1 др(М0,8')а'•..а^' к виду др(М(5, 8<У15). Последние подгруппы порождены специальными множествами образующих и удовлетворяют равенству а'igp(м04:\ 8—4)а'-1 = др(м05\ 8[5^), где для определения а1,,^ поступим следующим образом: выберем в подгруппе др(м04\ 8(4)) любой образующий X = а—а^.-ак-, где к > 1. Тогда аliXа' -1 = а1^ [а'^-ак а' -1 Е др(М(5, 8<'[5) и следовательно его можно переписать в другой системе образующих: аliаllаl2•••аlkа'-1 = и0и'•••ит, где и0и:••.ит слово подгруппы др(м05, 8(5), причем и0 трансформа длины 1. Если среди подгрупп порождающих 8(5 содержится подгруппа (М^) = C1 из группы С, в противном случае 1(и0) = 1. Пусть и: = I1и1и 1п, тогда а'а = и01: к, где к есть степень либо с либо Ь, к = с3 либо к = Ькь. Ь ограничено, т.к. подгруппа Н2 содержит элемент сяр. Получаем а'i = и01:и1 ка'-', где и0 Е др(М^5, 8(5)), из чего следует, что в качестве а'1 можно взять I:и ка'-'• Таким образом, выбор а1,,^ делается как указано в случае 1.
Остается указать способ построения ш' = ка 1а2•••аirjxrjх:^...г 1х. В качестве г-хг--:х".г 1х выберем различные закрытые подслова правых половин элементов, включая 1 из множества {Ш: и 1}, где Ш: — специальное множество образующих. В качестве а~__'•..а- к- 1 — конечные закрытые подслова правых половин множества {Ш2 и 1}, включая единицу, где Ш2 — специальное множество образующих подгруппы др(М0, 8").
II б) Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(М0, 8[) и др(М0', 8'"), множества М0' и М0 пусты и пусть ш = ка1а2а3•••аN.
Допустим, что умножением справа на подслова из подгруппы др(М'0', 8[') в слове ш выделим конечное подслово максимально возможной длины
ГП2,У ГП2 — 1,У •••Г1у ,
совпадающее с подсловом правой половины трансформ некоторой подгруппы (М'1'1), порождающей 8['. В результате получаем ш = ка-'.^.а^^угп2—1у•••г1у. В подслове ка1•••аi—1 выделим максимально возможное начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (М1'), 81
— выделенное начальное подслово из = ка'•..а^: совпадавт с шь- Тогда а1 определяем аналогично тому, как это делается в случае На), если в подгруппе др(м04\ 8(4)) содержатся порождающие подгруппы М-^ с крыльями не равными 1. Если др(М(‘\8—4) = C1 < С и подгруппа
а~X1•••а—1к—1gp(M00,8[)каl•••аi—l = C2 <С,
то решение проблемы сопряженности Н:, Н2 сводится к сопряжению C1,C2 в С
— выделенное начальное подслово из = ка'.-.а^' не совпадавт с шь- Тогда ш'ь = г-г-У".^1 ап^ъ-а-:, ъ ш' = г—Уг—У•••г-^аnl+l•••аi—lаirjxrj—líx•••rlx, причем каждая подгруппа (М-1) = д^'—С-д!, принадлежащая ряду (29), удовлетворяет соотношению
а£•••аirjxrj—líx•••rlxXM”'sУ—х1".—1^'.а1 с ит+ъ (зо)
А каждая подгруппа (М"3) ряда, (28) удовлетворяет соотношению
^•••ат-у г-—:,у •••г - у (м”3)г —у •••—а- 1 ..а 1 с и^ (31)
так как в противном случае, выделенные подслова не будут максимально возможными, получеными при умножении ш слева та слова из др(М0, 8') и справа на слова др(М0', 8"').
Пусть подгруппа (МЩ) ряда (29) имеет вид:
(Мк' ) = г—х г— •••Гп-^ ГП2,х".Г х
а подгруппа ряда (28) имеет вид (МЦ2) = г—Уг—У•••rх2yClln2гП2У•••г 1у. Из условий (30) и (31) следует, что все подгруппы ряда (28) являются подгруппами (Мкз), а подгруппы ряда (29) являются подгруппами (МЦ2 )■
Поэтому др(М'0',8"') = (МЦ), др(М0',8") = (МЦ2). Получили вышерассмотренный случай.
III Пусть в подгруппах Н: = др(М0,8:) и Н2 = др(М0, 8') основы 8: и 8'
равны единице, т.е. Н: = (М0), Н2 = (М'0) и являются свободными подгруппами
[1] в группе С. Пусть также (М0) = (Х:,Х2, ••.,Хп) и (М'0) = (У',У2,".,Уп). Выясним, будут ли они сопряжены в группе С, то есть существует ли г Е С, такой что
г—1(М0)г = (М0). (32)
Элемент г будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (М0)г(М'0). Образующие {Х1 }^—п подгруппы (М0) и образующие {У^^—п под-
( М0 )
а) левая половина каждого Х1 Е {Х^^—п, имеющего нечетную длину, изолирована в множестве {{Х-}-=Тп}\Х} и {{Х-1}-=—п}\Х-1}, левая и правая половины каждого Х1 Е {Х1}11 =—п, ¡(Х1) > 2т, изолированы в множестве
{{Х-и {{Хг:}-=Гп}\Х-:};
б) большой начальный и большой конечный отрезки каждого Х1 Е {Х1} изолированы в множестве {{X-}-=тп}\Х1} и {{Х~1}-=—п}\Х~1};
в) для каждого Х1 Е {Х1}11=1^ справедливо соотношение: ¡(ш-1 Х1ш'22 ) < ¡Х), оде ш3 Е {{X-^щ}^}^ = 1, 2.
Образующие подгруппы (М'0) = (У', У2, • ••, Уп) упорядочены по длинам: 1 < ¡(У:) < ¡(У2)••• < ¡(Уп)-
Пусть Х1 Е (М0) является циклически несократимым образующим. Если все образующие (М0) циклически сократимы, то, сопрягая (М0) некоторым элементом г:, получим подгруппу г—1 (М0)г: = (М'0), в которой элемент г—1Х1г1 = Х[ циклически несократим и ¡(Х[) > 1. Тогда
где £- = ±1,1 = 1,к,1(г—1Х:) > ¡(г),1(Х:г) > I(г). В противном случае г не удовлетворяет условию минимальности, и поскольку Х\ циклически несократим, то,если имеет место сокращение между г—1 и Х:, то произведение Х:г несократимо. Поэтому
г Х1г — г— Х0Хпгп — г— Х0 Х0ХпХ0гп — г— XnX0гn,
где X - = Х0Хп Е Си
Предположим, что ¡(гп) > [ 1-Щ^ ]. Тогда ело во У1211 У1222 • ••Ук не является простым и следовательно У2У2•••Ук = V:v2•••vp—:ьр, оде у1 ,г = 1,р - простые слова, между которыми имеет место касание первого рода.
Так как ¡(гп) > [ 1Щп-] и большой конечный отрезок vp не затрагивается сокращением, то длину ¡(гп) можно уменьшить умножая справа на V-:, vp Е (М0),
г
¡(У21 У22••Кк) < ¡(X:) + ¡(Уп) + 1.
Далее в подгруппе (М'0) = (У:, У2, •••, Уп) построим множество слов V = ^:^2, ..^п}, длина которых не превосходит ¡(Х:) + ¡(Уп) + 1. Для каждого элемента из множества Vi Е V проверяем, сопряжено ли Vi с Х:. Допустим, что Vi = v~01v,ivi0, то есть ^ - циклически несократимый элемент в С. Трансформируем подгруппу (М'0) = (У:,У2, ••., Уп) элементом v~01, получим равенство:
Vо ^-^п^пЬ—' = ^,
Слово г-1ХпХ0гп - циклически несократимо.
v-1(Уl,У2,•••,Уn)Viо = (У1Х,".,УП),
где {У/}г=\п - специальное множество образующих подгруппы v~о1 ({Yi}i=ln)vІ0■ Известно, что некоторая циклическая перестановка Хг [5] будет сопряжена с VI с помощью элемента к из объединяемой подгруппы, т.е. к Е (Ьк) либо к Е (в8):
к—1Х:к = Х[,
Х1 Х1
(М0) = (Х:, Х2, ••.,Хп) различны ми Хг>ь, т.е. иач^ьнам словом Хг,ь слова Xi. В результате получим конечное множество подгрупп:
{(Х~1Х:Хг, , ь,Хг, ьХг, дХ~1Х:+:Хг,ь, •••, Х^Х,, ь)} =
= {(Хг)Х^ }•
Выделим ИЗ ЭТОГО множества подгруппу, у которой Х: сопряжено С VI эле-к
к
к—1{(Хг)Х^}к С {(Уг)<} с к—1{(Хг)Х^}к (33)
Так как к Е (Ьк) = (в8), то к = Ькь. В силу того, что группа С является группой с нетривиальным центром, порождаемым элементом Ьж, и Ькп принадлежит центру, степень Ь ограничена.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Безверхний В. И. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе 11 ХХ-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. ТГПИ им. Л. И. Толстого, 1983г. С. 50 — 80.
[2] Безверхний В. И. Решение проблемы вхождения для одного класса групп. // Вопросы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1972г. С. 3 _ 86.
[3] Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. 1-11 //Современная алгебра, вып. IV. Л: 1977г. С. 16 — 32.
[4] Безверхний В. Н., Логачева Е. С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе 11.\.\-групп // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12. Выпуск 1. С. 83 — 101.
[5] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М: Мир, 1980.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого. Получено 14.05.2012
