Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 1 (2013)

Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении бесконечных циклических групп

Е. С. Логачева (г. Тула)

Аннотация

В работе рассматривается проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении циклических групп с объединением по циклическим подгруппам и в HNN-расширении свободного произведения циклических групп с объединением.

Ключевые слова: группа, подгруппа, проблема сопряженности.

Abstract

This article solved the problem of conjugacy of subgroups of cyclic groups in a free product with amalgamation of cyclic subgroup and the HNN-extension of cyclic groups with the Union.

Keywords: the group, the subgroup, the problem of conjugate.

Определение 1. Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп H\, Н2 из G установить, существует ли элемент z Е G такой, что z-lHxz = Н2.

Проблема сопряженности подгрупп является обобщением проблемы сопряженности слов. Новиковым П.С. было доказано, что в классе конечно определенных групп проблема сопряженности не разрешима.

В исследовании проблемы сопряженности подгрупп были получены следующие результаты:

- впервые проблема была рассмотрена Ремесленниковым В.Н. в 1967 году в классе нильпотентных групп;

- Гриндлингером М.Д. (1966г.) указано в каких случаях любые две подгруппы ранга 2 сопряжены в свободных группах;

- Молдаванским Д.И. доказана разрешимость проблемы сопряженности в свободных произведениях;

- Безверхним В.Н. и Молдаванским Д.И. независимо друг от друга была решена проблема сопряженности подгрупп для свободного произведения при условии, что в сомножителях разрешены проблемы вхождения и сопряженности подгрупп;

- в [1] решена проблема сопряженности подгрупп в ИММ-расширении по изоморфным конечным ассоциированным подгруппам;

- в [2] решена проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух свободных групп с объединением по циклической подгруппе.

Известно, что в свободном произведении двух свободных групп, объединенных по подгруппе ранга 4, проблема сопряженности подгрупп неразрешима (В.Н. Безверхний, 1975г.).

При рассмотрении свободного произведения циклических групп с объединением по циклической подгруппе были получены следующие результаты:

I. Проблема сопряженности подгрупп в древесном произведении трех циклических групп с объединением по циклической подгруппе

Пусть группа

С = {а,Ь,о\ат = Ьп,Ьк = о3),

где \т\, \п\,\к\,\з\ > 1 является древесным произведеним трех циклических групп с объединением по циклической подгруппе.

Теорема 1. . [4] В гуппе С разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Для доказательства представим группу С как свободное произведение групп с объединением по циклической подгруппе:

С = С\ *ък=са {о),

где С1 - так называемая, группа торического узла:

Сг = {а, Ь\ат = Ьп), \т\, \п\ > 1.

При доказательстве Теоремы 1 используется понятие специального множества и его свойства.

Любой элемент д группы С, являющейся свободным произведением, мы можем единственным образом представить в виде [6]:

д = 11д . . . 1пд Кд гпд ■ ■ ■ г1д, (1)

где Тгд, I—- представители правых классов смежности группы Сг по {Ьк) или {о) по {оя), причем ггд, Г1+1д (аналогично ид, и+1д) принадлежат разным сомножителям группы С. Слог Кд - называется ядром. Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе {Ьк) = {оя), то слоги 1пд и гпд принадлежат одному сомножителю группы С, а Кд другому. В таком случае слоговая длина слова

(1) равна Ь(д) = 2п + 1. Если гпд ... г1д = (11д ... 1пд)-1, то слово

д = ... ГпдКд Гпд ...Г1д

(2)

называется трансформой. Если Кд принадлежит объединяемой подгруппе, то в (1) 1пд и гпд принадлежат разным сомножителям группы О и длина слова

д — 11д ■ ■ ■ 1пд ^дг пд ■ ■ ■ г 1д) (3)

где Нд — Кд, равная 1(д) — 2п. Слова вида (1), (3) - нетрансформы, причем

слова вида (1) - нетрансформы нечетной длины, слова вида (3) - нетрансформы четной длины. Подслова 11д ■ ■ ■ 1пд - называются левой половиной слов (1), (3) .

Рассмотрим конечное множество слов {и)і}і=ух группы О, каждое из которых приведено к виду (1), (2) или (3).

Определение 2. Левая (правая) половина слова

Щ 11ті ■ ■ ■ Ітті Кті г тті ■ ■ ■ г 1ті

называется изолированной в множестве , если ни у одного из слов

щі(є — ±1) множества ({щі}і=1,^\щі) ^ ({Щ-1}^^^-1) нельзя выделить Ь'иц ■ ■ ■ Ітиіі (гтиіі ■ ■ ■ г1ті) в качестве начального (конечного) подслова, то есть

1ті ■ ■ ■ Іш’Юі 1т-1/Ші Щіп , (щі — Щі\ Гт+1 ■ ■ ■ Пи,; )■

Определение 3. [2] Назовем конечное множество {иг}^^ слов группы С специальным, если оно удовлетворяет условиям:

1) левая половина нетрансформы множества {иг}г=1к изолирована в нем; если нетрансформа есть слово четной длины, то изолированы и левая, и правая половины;

2) длину нетрансформы иго нельзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством {{иг}г=у^\шг0}; длину произвольного элемента иго Е {иг}г=1к нельзя уменьшить умножая на слово и длины меньше 1(иго), принадлежащее подгруппе ({иг}г=^);

3) пусть иг0 1Ъшо ■ ■ ■ 1пшо Кшо Гпшо ■ ■ ■ Г3+1,шоГЗшо ■ ■ ■ Г 1шо, £ ±1, 3 < п -

нетрансформа из множества {иг}г=-^ и

{и^ 11ша1^ ■ ■ ■ 1пШаг К&1 "ГП1Ша1 ■ ■ ■ ГЗшо ■ ■ ■ Г 1шо }г=1,М

£г = ±1 - подмножество нетрансформ из множества ({иг}\иго)и({и“1}\иг01), правая половина которых оканчивается подсловом ГуШо ■ ■ ■ г1шо, тогда, если подгруппа {{шг}г=1^) П г-Ш0 ■ ■ ■ гШВг^ ■ ■ ■ Г1шо = В, где В Е С1, когда г3+1^0 Е (о) либо В Е (о), когда Гз+1шо Е С1, и В не единична, то 1(игои) > 1(иго), где и Е В, 1(и>г0ии-£.1) > 1(иг0);

4) пусть

l1wi ■ ■ ■ 1в+1,Ш1 ■ ■ ■ 1ПШ1ГПШ1 ■ ■ ■ Гв+1,Ш1г■ ■ ■ г 1Ш1

11ш^ ■ ■ ■ lS + 1,Wj ■ ■ ■ 1пш] Кш; Г пш^ ■ ■ ■ Г S+1,Wj Г ■ ■ ■ Г 1ш2

- слова из {щ.і}^!^, не обязательно различные, т < п, в < т, тогда не существует слова д — 1 длины меньше 2в из подгруппы ({щі}і=тм) такого, что

если І1^і ■ ■ ■ 1в'Ші — кщ ■ ■ ■ lSWj , то

дЩі llwj ■ ■ ■ 1 SWj ^+1,'ші ■ ■ ■ 1пщі Кщі гпщі ■ ■ ■ rs+1,Wi Г^Щі ■ ■ ■ г1'Ші,

либо, если гswi ■ ■ ■ Гщ — гswj ■ ■ ■ Гщ, то

Щід 11Щі ■ ■ ■ Іпщі Кші Гпщі ■ ■ ■ Гs+1,wi Гiwj ■ ■ ■ г1wj ,

либо, если г—і ■ ■ ■ гЗІІ)і — ^ ^, то

дщі llwj ■ ■ ■ lswj (гs+1,wi) ■ ■ ■ (гnwi) (Kwi) ^т«і ■ ■ ■ 11гиі,

либо, если 1-1 ■■■І^і — гswj ■ ■ ■ г^, то

щ-1д — г'-1 ■ ■ ■ —(Кт)-1(1^)-1 ■ ■ ■ (1з+1ц)-1 ^ ■ ■ ■г!■

Теорема 2. . [1] Пусть группа

п

С = (П^; ГеШ1, ■■■,ГеШв,Фзг(Щ) = изг)

в=1

- древесное произведение групп Св, 1 < в < п, объединенных по изоморфным подгруппам игз < Сг, и^г < Сз с помощью фиксированного набора конструктивных изоморфизмов {фгз},фзг(игз) = Изг.

Тогда, если подгруппы игз, изг, г Е 11, 3 Е 12, обладают условием максимальности и в сомножителях Св, 1 < в < п разрешимы:

1) проблема вхождения;

2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы Н < Св с подгруппой и^, 7 = ±1;

3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы Н < Св с подгруппой и^, 7 = ±1;

то существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы С в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.

Доказано, что для группы С справедливы условия Теоремы 2, значит любое конечное множество слов группы С может быть приведено к специальному.

Разобьем все слова специального множества слов {иг}г=у^ из С на множества: М0 - нетрансформы и Мг - трансформы одного типа, содержащиеся в одной подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из С1 или (о). Каждое

из этих подмножеств порождает подгруппу (Мг), г = 0,1, ■ ■ ■ ,к. для г = 1, N подгруппа (Мг) имеет вид

(Мг) = Г-Х ■ ■ ■ Г-СгГпг ■■■Пг,

здесь Сг - подгруппы из сомножителей группы С, порожденные ядрами трансформ.

Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочиваем по длинам крыльев их трансформ, получаем ряд:

(М1) < (М2) < ■■■ < (Мк)■ (4)

Лемма 1. . [1] Ряд (4) можно преобразовать в ряд (5)

М) < (М2) < ... < (Мк.) (5)

со следующими свойствами:

1) др((М0), (М1), ■■■, (Мк) = др((М0), (М1), ■■■, (Мк.);

2)если подгруппе (МЗ) = Г1х1 ■■■Г~Х.СзГпх ■■■Г1х, 1 < 3', ряда (5) принадлежит трансформа и = г- ■ ■ ■ Г-Х:Ъ,Гпх ■ ■ ■ Г1х, где к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (5) имеется подгруппа

(М'г) = Г-Х ■ ■ ■ Гп—1,хСгГп-1,х ■ ■ ■ Г1х,

содержащая и;

3) если для некоторой трансформ,ы и = Г— ■ ■ ■ Г—1КхГпх ■ ■ ^Г1х, принадлежащей подгруппе (Мз) = г— ■ ■ ■ ГЩ^С зГпх ■ ■ ■Г1х, и нетрансформы

У ¡1у ■ ■ ■ ¡п\уКуГп1у ■ ■ ■ Г1у

из М0, п1 > п, (левая половина у изолирована) выполняется соотношение 1(у-1иу) < ¡(у), то существует подгруппа (Мв) ряда (4), содержащая трансформу у-1 (Г- ■ ■ ■ Г—1КхГпх ■ ■ ■ Г1х)у-1; если ¡(уиу-1) < ¡(у), то существует под-

группа (Мв), содержащая трансформу уиу-1;

4) если (Мз) = Г- ■ ■ ■ Г-1хС'зГпгх ■ ■ ■ Г1х,

(Мв) = Г- ■ ■ ■ Г^хГш+1у ■ ■ ■ Г-1у СвГп2 у ■■■Г1х

- подгруппы ряда (4) п2 > п1, и подгруппа (М'з) содержит трансформу и = Г-х ■ ■ ■ Г-ЦхкГщх ■■■Г1х либо и = Г-х ■ ■ ■ Г-ХхКГщх ■ ■ ■ Г 1х, где К = Г-^укГщ+1,у то существует подгруппа ряда (5)

(Мк) = Г-х ■ ■ ■ Гп1хГп1+1,у Ск Гп-1+1,у ■■■Г1х, содержащая в первом случае трансформу и, во втором - и ;

5) если (M's) = rj ... rn1xC'xrni,x ■ ■ ■r1x - подгруппа из ряда (5) и

У l1y ■ ■ ■ ln2yKrn2y ■ ■ ■ rn1+1,yrn1x ■ ■ ■ rlx,

£ = ±1 - элемент специального множества, причем подслово rj ■ ■ ■ rj1xrj1+1y не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы wb(£ = ±1) и если подгруппа (Ms) содержит трансформу rj ■ ■ ■ r~lxhrnix ■ ■ ^r1x либо трансформу rj ■ ■ ■ rj1xKrnix ■ ■ ■ r1x, где K = rj^+1yhrni+1y, то существует в ряде (4) подгруппа (Mj) = r j ■■■rj1xrj!+1, y Cj rni+1 y ■■■r 1 x, содержащая эту трансформу.

Рассмотрим утверждения, имеющие важное значение при доказательстве Теоремы 1.

Лемма 2. . [4] Всякое простое слово w Е gp(M0,S) группы G имеющее своей несократимой записью трансформу w = gag-1 может быть приведено к виду gag-1 = njlnjl ■■■uJlUoUn■■■u2u1, где и0 - трансформа, принадлежащая одной из подгрупп ряда (5), и Е gp(M0,S), njlnjl ■ ■■uJlUoUn■■■u2u1 - слово подгруппы gp(M0, S).

Пусть H - конечно порожденная подгруппа группы G, порожденная двумя различными специальными множествами, то есть различными в общем случае системами порождающих подгрупп: H = gp(M0, S1) и H = gp(M'0, S1), где S1 -подгруппа, порожденная подгруппами ряда

(M1) < (M2) < ■■■ < (Mk); (6)

S1 - подгруппа, порожденная подгруппами ряда

M) < (M2) < ■■■ < (Mk); (7)

(Mi) = vj1Civi, (Mj) = gj1 Cjgj, где каждая из подгрупп Ci и Cj одновременно принадлежит либо сомножителю G1 = (a,b\am = bn), \m\, \n\,\k\, |s| > 1 либо сомножителю (c) группы G.

Лемма 3. . [4] Пусть группа H порождена двумя различными специальными множествами H = gp(M0,S1) и H = gp(Ml0,S1), где S1 - древесное произведение подгрупп ряда (6), а S[ - древесное произведение подгрупп ряда (7). Тогда для каждой подгруппы (Mi) = vj1Civi ряда (6) существует (Mj) из (7) и слово wij Е H, такое что (Mi) С wjj1(Mj)wij.

Лемма 4. . [4] Пусть группа H порождена двумя различными специальными множествами H = gp(M0,S1) и H = gp(Ml0,S1), где S1 - древесное произведение подгрупп ряда (5), а S[ - древесное произведение подгрупп ряда (7). Тогда существует подгруппа (Mi) = vj1Civi из ряда 6), существует (Mj) из ряда (7) и слово wij Е H, такое что (Mi) = wjj1(Mj)wij.

Лемма 5. . [4] Пусть Н1 = др(М0,Б1) и Н2 = др(М10,8[) - две конечно порожденные подгруппы группы С. Основа Б1 подгруппы Н1 порождена подгруппами ряда

М) < (М2) < ... < (Мк1), (8)

основа подгруппы Н2 порождена подгруппами ряда

(М1) < (М2) < ... < М). (9)

Тогда, если Н1 и Н2 сопряжены в С, то есть существует г Е С такой что г-1Н1г = Н2, то существуют т Е др(М'0,¿1), ] = 1,к1, в = 1,к2 такие, что т-1г-1(М/)гт = (М'3), где (М/) - подгруппа ряда (8), (М'3) - подгруппа ряда (9).

В [4] построен алгоритм, позволяющий эффективно определить, сопряжены ли любые две конечно порожденные подгруппы Н1 и Н2 группы С.

II. Проблема сопряженности подгрупп в древесном произведении конечного числа циклических групп с объединением по циклической

подгруппе

Рассмотренный выше результат получил следующее обобщение: пусть некоторой группе Сп соответствует конечный связный дерево - граф Г, в вершинах

которого находятся циклические группы (аг), г = 1, и, такой что, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют образующие (аг) и (а/), то самому ребру соответствуют ассоциированные подгруппы (а”11) = (а^). Копредставле-ние группы Сп имеет вид:

п

Сп = (П*(йк) ат = а8?), \тг\, \в/| > 1,1 = з,г Е ¡1,3 Е 12, (10)

к=1

где вершины, соответствующие подгруппам (а!тг) и (а^) в древесном произведении соединены ребром.

Теорема 3. . В группе Сп разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Выделяем в дереве группы Сп конечную вершину ап и представляем группу в виде:

Сп = СП—1 *птп-1 =пяп (ап) , ап-1 =ап

где Сп-1 = (ПП-1 *(ак); ат = а3/), где \тг\, \в/\ > !,г = ],г Е ¡1,3 Е 12 и группе Сп-1 соответствует граф Г со свойствами графа Г.

Доказательство теоремы проводится по индукции. Базу индукции обеспечивает предыдущий результат. Допускаем, что утверждение теоремы справедливо для группы Сп-1 и доказываем для группы Сп.

Образующие группы Сп приводим к специальным образующим, которые позволяют используя доказанные ранее утверждения, положительно решить рассматриваемую проблему.

III. Проблема сопряженности подгрупп в НММ—расширении

циклической группы

Рассмотрим группу Баумслага

С* = (а, Р, г-1атг = ап),

являющуюся НЖЖ-расширением бесконечной циклической группы (а) с помощью проходной буквы Р.

Данная проблема является обобщением результата, полученного Молдаванским Д.И. для группы (а,Р, 1-1а1 = ап), \и\ > 1, так называемое ниспадающее Н NN-расширение.

Теорема 4. . [5] В группе С* разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Для доказательства, как и в предыдущих случаях, используется метод специального множества.

IV. Проблема сопряженности подгрупп в HNN—расширении свободного произведения циклических групп с объединением

Теорема 4 допускает следующее обобщение: рассмотрим группу

С*п = (Сп,Р, те!(Сп),г-1ат°Р = апкк),

являющуюся HNN—расширением группы Сп вида (10), Р - правильная проходная буква.

Теорема 5. . В группе Сп разрешима проблема сопряженности подгрупп.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] В.Н.Безверхний. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе ИКК-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1983г. с. 50-80.

[2] В.Н.Безверхний. Решение проблемы вхождения для одного класса групп. // Вопросы теории групп и полугрупп. ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1972г. с. 3-86.

[3] В.Н.Безверхний. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. 1-11 //Современная алгебра, вып.1У. Л:1977г. с.16-32

[4] Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении циклических групп с объединением //Чебышевский сборник: Науч.-теоретич. журн.- Т.Х111 Ч34 Вып.1 (41).- Тула :Изд-во Тул.гос. пел. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2012. - Ч.1. - с.20-45.

[5] Безверхний В.Н., Логачева Е.С. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе ИКК-групп // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Том 12. Выпуск 1. с. 83-101.

[6] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М: Мир, 1980.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Получено 22.03.2013