CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 1 (2014)
УДК
ПРОБЛЕМА СОПРЯЖЕННОСТИ СЛОВ
В ДРЕВЕСНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ
СВОБОДНЫХ ГРУПП С ЦИКЛИЧЕСКИМ
ОБЪЕДИНЕНИЕМ
В. Н. Безверхний, Е. С. Логачева (г. Тула)
Аннотация
В работе положительно решена проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с ассоциированными циклическими подгруппами. Представленный результат является обобщением известного результата С.Липшуца для свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением. При решении основной проблемы доказывается разрешимость проблемы пересечения конечно порожденной подгруппы данного класса групп с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю основной группы, а так же проблема пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю.
Ключевые слова: группа, подгруппа, проблема сопряженности, свободное произведение с объединением.
THE PROBLEM OF THE CONJUGATION
OF WORDS IN A WOOD PIECE OF FREE GROUPS WITH CYCLIC AMALGAMATION
V. N. Bezverkhniy, E. S. Logacheva (Tula)
Abstract
In the work positively with the problem of the conjugation words in a tree product of free groups associated with cyclic subgroups. This work is a generalization of the well-known results of Lipschutz S. for a free product of two free groups with cyclic amalgamation.When solving the main problem it is proved the solvability of the problem of intersection of finite generated subgroup of this group with a cyclic subgroup of the factor group and the problem of the intersection of the co-set of finite generated by subgroup with a cyclic subgroup of the factor group.
Keywords: group, subgroup, conjugacy problem, amalgamated free product.
1. Введение
Определение 1. Будем говорить, что в группе С разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов ті, т2 из С установить, существует ли элемент Л Є С такой, что к-іт1к = т2.
Известно [5], что в свободных группах проблема сопряженности слов разрешима.
В 1973 году С. .Липтттуц [6] установил разрешимость проблемы сопряженности слов в классе групп Гт *с ^П, где Гт и Еп — свободные группы рангов т,п < то, С — циклическая подгруппа.
Рассмотрим группу Сг, которой соответствует конечный связный дерево-граф Г. і-ой вершине графа Г соответствует свободная группа ранга п < то, причем, если вершинам некоторого ребра е графа Г соответствуют группы ЕПі = ,аі2 ) и ^П3 = {а^ ,а^ ,...,а^к), то самому ребру соответ-
ствуют ассоциированные циклические подгруппы {^Рі(аі1 ,аі2,...,аіт)) Є Гпі, {т|3(aj1 ,а^2,...,а^к)) Є Еп. и рассматривается равенство образующих этих подгрупп {^Г) = ).
Копредставление группы Сг имеет вид:
п
Сг = {П*^\^Г(аіі,аі2,...,аіт) = (аjl,^2,...,^к),Ы,\зк\ ^ і).
і=1
Наша цель обобщить результат С. Липшуца и доказать следующую теорему:
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА: В группе Сг разрешима проблема сопряженности слов.
2. Вспомогательные утверждения
Доказательство основной теоремы будем вести по числу сомножителей в группе Сг. Базу индукции обеспечивает результат С. Липшуца. Выделим в дереве Г конечную вершину уп с соответствующей ей в Сг группой ^п, и представим группу Сг в виде свободного произведения с объединением:
Сг = Сгп-1 *сп ^П,
где Сп : (г>П—і1) = {тП) и группа Сгп-1 есть древесное произведение (п — 1) свободных групп с циклическими ассоциированными подгруппами. Сделаем предположение, что в группе Сгп-1 основная теорема справедлива.
Известно [5], что каждый элемент свободного произведения д Є Сг может быть единственным образом представлен в каноническом виде:
д = Іід ... ІпдКдГпд . . . г'ід , (1)
где гід, І-і — представители правых классов смежности группы Сгп-1 и Гп по ассоциированным подгруппам, причем гід, гі+і,д (Іід, Іі+і,д ) принадлежат разным сомножителям группы Сг. Слог Кд называется ядром. Если Кд не принадлежит объединяемой подгруппе Сп, то слоги Іпд и гпд принадлежат одному сомножителю группы Сг. В таком случае слоговая длина слова (1) равна Ь(д) = 2п + 1. Если гпд .. .гід = (Іід ... Іпд)-і, то слово
д = . . . Г-дКд гпд ...Гід (2)
называется трансформой. Если Кд Є Сп, то в (1) Іпд и гпд принадлежат разным
сомножителям группы Сг и длина слова
д — Іід ... Іпд Лд Vпд . . . г ід , (3)
где Лд = Кд, равная І(д) = 2п. Слова вида (1), (3) — нетрансформы, причем
слова вида (1) — нетрансформы нечетной длины, слова вида (3) — нетрансформы четной длины. Подслова Іід ... Іпд называются левой половиной слов (1), (3)
Рассмотрим конечное множество слов {иіі}і=їдт группы Сг, каждое из которых приведено к виду (1), (2) или (3).
Определение 2. [1] В множестве левая (правая) половина неко-
торого слова ті = ІіШі...ІтШіК,т.гт,Ші..л\,Ші называется изолированной, если ни у одного из слов іи^ (є = ±1) множества и
нельзя выделить Ііт .. .ІтШі (гтШі ...гіт) в качестве начального (конечного) подслова, то есть т? = Іі^ . ..ІттіІт-і^і^ (^ = ^Гт+іГттз . ..Vіщ), где Ітюі ,Іт-і^3 (гт+і,-ш3, V тШі) принадлежат разным сомножителям группы Сг.
Определение 3. [1] Назовем конечное множество {'Ші}і=щ слов группы Сг специальным, если оно удовлетворяет условиям:
1) левая половина нетрансформы множества {'Ші\і=щ изолирована в нем; если нетрансформа есть слово четной длины, то изолированы и левая, и правая половины;
2) длину нетрансформы ті0, имеющей четную длину, нельзя уменьшить, умножая слева и справа на слова из подгруппы, порожденной множеством {{гУг}і=з^дДи>ад}/ длину произвольного элемент,а и>іо Є {'Ші\і=щ нельзя уменьшить, умножая на слово т длины меньше І(ті0) принадлежащее подгруппе
3) пусть 11то ■ ■ ■ 1итоKwогпто ■ ■ ■ Г]+1,-юоrjwо ■ ■ ■ г1то , £ ±!; 3 < п
петрапсфюрма из множества {'Шг\1=щ и
\Wai ^гоа* • • • 1гчта^аТщ11)а, . . . ^]+1,таТ]то • • • г1и)о }г=1,ЛГ>
£.1 = ±1 — подмножество нетрансформ из множества
М}Ыо) и ({^-1}\^-01),
правая половина которых оканчивается подсловом rjW0 ■ ■ ■ т^0, тогда, если подгруппа ({гУг}^=1^) П г^0... г~^ргуто... т 1ад0 = В, где В £ СГп_1; когда г,-+1>гио ^
Еп или Б £ Еп, когда rj+1^Wо £ СГп-1 и Б не единична, то 1(щ^и) ^ 1(щ^), где
и £ В, /(и>адищ-^) ^ 1(щ^);
4) пусть
Щ l1Wi ■ ■ ■ lSWi 1.в+1ц ■ ■ ■ lnWi rnWi ■ ■ ■ rs+1,WiГSWi ■ ■ ■ Г 1Wi
wj 1^. ■ ■ ■ lswj ^+1№] ■ ■ ■ lmwj Кт. rmwj ■ ■ ■ ’^.3+1!. rswj ■ ■ ■ r1wj
— слова из не обязательно различные, т ^ п, в ^ т, тогда не
существует слова д ф 1 длины меньше 2$ из подгруппы такого,
Что если ^ ■ ■ ■ lSWj , то
дЩ 11гш. ■ ■ ■ Ь'Ш. К+1,-т ■ ■ ■ и, Ки,г rnwi ■ ■ ■ rS+1,Wi rSWi ■ ■ ■ r1wi, либо, если ■ ■ ■ г^ = rswj ■ ■ ■ г^, то
wi9 l1wi ■ ■ ■ lnwi rnwi ■ ■ ■ rs+1,wi riwj ■ ■ ■ r1wj ,
либо, если г■ ■ ■ г= lnwj ■ ■ ■ lswj, то
дщ1 = llwJ ■ ■ ■ lswJ (г{+1,т)-1 ■ ■ ■ (rnwiУЧк'тУ1^ ■ ■ ■ Кт > либо, если 1-1 ■■■^ = rswj ■ ■ ■ гы., то
Щ—д = Г'-1 ■ ■ ■ г-^ (< )~l(Lwi )-1 ■ ■ ■ (ls+l,Wi )~1rsWj ■ ■ ■ г^ ■
Разобьем все слова специального множества слов {и)г},1=1-л: на множества: М0 — нетрансформы и М,1 — трансформы одного типа, содержащиеся в одной подгруппе, сопряженной некоторой подгруппе из Огп-1 или Бп. Каждое из этих подмножеств порождает подгруппу (Мг), г = 0,1,,к. для г = 1, N подгруппа (М^) имеет вид
(Щ = г— ■ ■ ■ г-}А^ ■ ■ ■ тц,
здесь А.1 — подгруппы из Огп-1 или Бп, порожденные ядрами трансформ. Подгруппы, порожденные трансформами, упорядочиваем по длинам крыльев их трансформ, получаем ряд:
(М1) ^ (М2) ^ ■■■ ^ (Мк)■ (4)
Лемма 1. [1] Ряд (4) можно преобразовать в ряд (5)
(м1) < (м2) «■■■« (м;,) (5)
со следующими свойствами:
1) др((М0), (М1), ■■■, (Мк) = др((М0), (М1), ■■■, (М'к,);
2) если подгруппе (М') = г—Х1 ■ ■ ■гП—Х^А-гпх ■■■г1х, 1 ^ ^ к', ряда (5) при-
надлежит трансформа и = г—Х1 ■ ■ ■ г-Х;Нгпх ■ ■ ■г1х, где к принадлежит объединяемой подгруппе, то среди подгрупп ряда (5) имеется подгруппа
(М) = Г—Х ■ ■ ■ ГП—1,хА^Гп—1,х ■ ■ ■ г1х •
содержащая и;
3) если для некоторой трансформы и = г—Х ■ ■ ■ г-Х;КХгпХ ■ ■ ■г1х, принадлежащей подгруппе (Mj) = г—Х ■ ■ ■ r-Х:AjгпХ ■ ■ ■ г1х, и нетрансформы из множества (Мо) у = 11у ■ ■ ■ 1П1уКугП1У ■ ■ ■ г1у, п1 ^ п, (левая половина у изолирована) выполняется соотношение 1(у—1иу) ^ 1(у), то существует подгруппа (Ма) ряда (4), содержащая трансформу у—1(г—Х ■ ■ ■г-Х:КХгпХ ■■■г1х)у-1; если 1(уиу-1) < 1(у), то существует подгруппа (М'3), содержащая трансформу уиу-1;
4) если М) = Г—Х ■ ■ ■ Г—хАГп1Х ■ ■ ■ Г 1х,
(М) = Г—Х ■ ■ ■ Г^х^+Ху ■ ■ ■ Гп2уАгп2У ■ ■ ■ г1х
подгруппы ряда (4) п2 > пх, и подгруппа (М^-) содержит трансформу и =
Г—Х ■ ■ ■ г-^кГщх ■ ■ ■ г 1х либо и = Г—Х1 ■ ■ ■ г-1ХхКгп1Х ■ ■ ■ Пх, где К = г-1+^укГщ+^у, то существует подгруппа ряда (5)
(Мк) = Г—Х ■ ■ ■ Г-1хГ-1+1,у Ак ГП1+1,у ■■■г1х•
содержащая в первом случае трансформу и, во втором — и';
5) если (М') = г—Х ■ ■ ■ г-1ХА'ХгП1Х ■ ■ ^г1х — подгруппа из ряда (5) и уе — элемент специального множества: уе = 11у ■■■1П2У КгП2У ■ ■■гП1+1,У гП1Х ■■■г1х, £ = ±1, причем подслово г—Х ■ ■ ■ г-1Хг-1+1у не является изолированной левой половиной некоторой нетрансформы ще(£ = ±1) и если подгруппа (М'8) содержит трансформу г—Х ■ ■ ■ г-^кг^ ■ ■ ■г1х либо трансформу г—Х ■ ■ ■ г-1ХКгП1Х ■ ■ ■ г1х, где К = г-1Х+1укгП1+Х,У, то существует в ряде (4) подгруппа
(М) = Г—Х ■ ■ ■ Г-^хГш+Ху А ГП1+1,у ■■■^
содержащая эту трансформу.
Лемма 2. [1] Подгруппа М0, порожденная нетрансформами специального множества, свободна и не содержит трансформ.
Подгруппу, порожденную специальным множеством {иЗг} 1=~1й 1 будем обозначать др(М0,Б). Она представляет собой ИММ — группу с основой Б, являющуюся древесным произведением подгрупп ряда (5), правильной системой проходных букв которой служат элементы из М0. Подгруппы М0 и Mj, 3 = 1, к, из ряда (4) будем называть порождающими подгруппами подгруппы (ш1, ■ ■ ■ Шн) = др(Мо, Б).
Лемма 3. [1] Пусть (Mj) = l—j1■■■l-lAjI^■ ■■I^ подгруппа из др(М0,Б), где Б порождена подгруппами ряда (5), и V-1 = 1—1 ■■■1-1. Тогда v~1GГVj П др(М0,Б) =
М )■
Определение 4. [1] Произведение их ■ ■ ■ик назовем словом подгруппы (шХ, ■ ■ ■, ) = др(М0, Б) группы СГ, если:
1) и = 1;
2) и € {М0 и М—1}, либо и принадлежат некоторой подгруппе из ряда (4);
3) иг = и—+1;
4) иг,иг+х не содержатся в одной подгруппе ряда (4);
5) в и\...ии нет произведения щщ+1щ+2(г = 1,к — 2), где щ = и~Х2, Щ £ {М0 и М—1}, иг+1 € (Mj) и щщ+1Щ+2 € (М3), (Mj), (М3) — из ряда (4).
Лемма 4. [1] Всякое произведение шЦ■ ■■ш\™, £j = ±1, где — образующие подгруппы {{щ}г=щ), через конечное число шагов можно привести к слову щх...щк, к ^ т, подгруппы др(М0, Б) = и слоговая длина щх...щк не
меньше слоговой длины максимального из иг-символов данного слова.
Теорема 1. [2] Пусть группа
П
О = (Д геШх, ■■■• геЮ3, <Pji(Uij) = Uji)
3=1
— древесное произведение групп О3, 1 ^ 5 ^ п, объединенных по изоморфным подгруппам и^ < Ог, < Gj с помощью фиксированного набора кон-
структивных изоморфизмов {<£^}•<£ji(Uij) = Uji. Тогда, если подгруппы Щ, ^г, г € 1Х, 3 € 12, обладают условием максимальности и в сомножителях О3, 1 ^ 5 ^ п разрешимы:
1) проблема вхождения;
2) проблема пересечения класса смежности любой конечно порожденной подгруппы И < О3 с подгруппой U'y, 7 = ±1;
3) существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения любой конечно порожденной подгруппы И < 03 с подгруппой U'y, 7 = ±1;
то в группе О разрешима проблема вхождения и существует алгоритм, преобразующий любое конечное множество слов группы О в специальное, порождающее подгруппу, совпадающую с подгруппой, порожденной исходным множеством.
Лемма 5. В группе существуют следующие алгоритмы:
I) алгоритм, позволяющий для любой конечно порожденной подгруппы И < Сг и (и>) € Бг, г = 1 ,п, найти образующие Н П (т);
II) алгоритм, позволяющий для любого слова V € и конечно порожденной подгруппы И < выяснить пусто или непусто пересечение vИ П (ш), где{ги) Е г = 1, п.
Доказательство. Доказательство будем вести методом математической индукции.
Известно [4], что в свободной группе существует алгоритм, выписывающий пересечение двух конечно-порожденных подгрупп. Докажем базу индукции для существования алгоритма I) в группе О = Гт *с Бп, где Бт,Еп — свободные группы конечного ранга, С — циклическая группа. Пусть И < О, причем И — конечно-порожденная подгруппа. Пусть слово ш € Бт, ш =1 и докажем, что существует алгоритм, выписывающий образующие И П (ш).
Приводим образующие подгруппы И к виду: И = др(М0, Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (5). Выясняем, существует ли в множестве подгрупп ряда (5): (Мх) ^ (М2) ^ ■■■ ^ (Мк), подгруппа, содержащаяся в Ет. Допустим (Мх) < Гт, подгруппа (Мх) находится в начале ряда (5) и состоит из трансформ с крыльями равными 1. Тогда, в силу леммы 4, определяем пересечение (Мх) П (ш) = И П (ш).
В [2] указан алгоритм, позволяющий установить пусто ли пересечение vИ П (ш), где И и (ш) подгруппы некоторой свободной группы. Докажем базу индукции: существование алгоритма II) в группе О = Бт Рп. Пусть И < О и V € О — произвольное слово, причем V € И; найдем пересечение vИ П (ш), где (ш) € Бт. Рассмотрим слово и € И, и = u1u2■■■un. В произведении VI! будут проходить сокращения в следующих случаях:
а) если их — трансформа, то выделим в слове V справа подслово Vп максимальной длины: V = vлVп = V1 лК^п, в котором vп совпадает с крыльями одной из подгрупп ряда (5): (М^) = ^-ХА^п). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (М^) такая v—1K1Vп, что произведение К0КХ принадлежит объединяемой подгруппе С. Так как Кх € (А^, то К0(А^ € С.
Случай сводится к пересечению К0(А^ П С
б) если и1 — нетрансформа с неизолированной левой половиной: и1 = = v—1K2v/, V-1 является крылом одной из трансформ ряда (5): (М^ = ^-1А^п). Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (М^) такая v—1K1Vп, что произведение К0КХК2 € С.
Случай сводится к пересечению К0К2(К-Х (А^К^ П С.
в) если их — нетрансформа с изолированной левой половиной: их = v-1Kv/, V—1 изолирована и среди подгрупп ряда (5) содержится подгруппа (Mj) = (v/—1Ajv/), а так же среди нетрансформ содержится и2 = v/~1К2;ю'/. Выясняем: существует ли среди трансформ подгруппы (Mj) такая v/—1К, что произведения К0ККХ или К0ККХК2 принадлежат объединяемой подгруппе С.
Случай сводится к пересечению К0К(Аг) П С или К0КК2(К2 х(Аг)К2) П С.
Через конечное число шагов построим приведенное слово vu.
В том случае, если 1^и) > 1, то пересечение vИ П (ш) пусто. Если 1^и) = 1, выясняем существует ли среди подгрупп (Мг) = д- Aigi ряда (5) подгруппа состоящая только из ядра (М31) = Аз1 и рассматриваем пересечение vu(M31) П (ш). Возможно, что подгруппа (ш) принадлежит объединяемой подгруппе. В таком случае, при vu(M31 )П(ш) = Е, аналогичные рассуждения нужно провести для (ш) € Бп.
Имея базу индукции, предполагаем, что утверждение леммы справедливо для группы Ор, имеющей меньше п сомножителей и докажем для п сомножителей.
Выделим в дереве Г группы Ог произвольную вершину VI, которая разбивает граф на два подграфа Г и Г, имеющих общую вершину vi. Сделаем так, что группа € Ог1. Ребро еi связывает графы Гi и Г, где VI и Vj — вершины ребра ег. Тогда вершине Vj соответствует свободная группа Fj, группы и Fj объединены по циклической подгруппе Су.
Пусть И — конечно-порожденная подгруппа, такая что И < О г = Ог1 *с^ Ог^. Для подгрупп Ог1 и Ог^ выполняются все условия теоремы 1, а следовательно образующие подгруппы И можно привести к виду И = др(М0,Б), где Б порождена подгруппами ряда Мх ^ М2 ^ ■■■ ^ Мк. Выберем слово ш € Ог^^, ш =1, ш € и рассмотрим существование алгоритма, выписывающего пересечение И П (ш). Образующие подгруппы И приводим к специальным образующим: И = др(М0,Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (5). Выясняем существует ли в Б подгруппа (М31), состоящая из трансформ длины
1, которая содержится в Ог1. Используя индуктивное предположение, определяем пересечение (М31) П (ш). Таким образом (М31) П (ш) = И П (ш), к > 1.
Для доказательства второго алгоритма, как и в предыдущем случае выбираем внутреннюю вершину VI графа Г, которая разбивает его на два подграфа Г и Г, соответствующие древесным произведениям с циклическими объединениями Ог1 и Ог:1 соответственно. Тогда О г примет следующий вид: О г = Ог1 *с^ Ог:1. Так как для групп Ог1 и Ог:1 утверждение леммы справедливо, то их образующие можно переписать в виде специального множества.
Пусть подгруппа И < О г и слово V € Ог, причем V € И. Найдем пересечение vИ П (ш), (ш) € Бг, где свободная группа Б,, соответствует вершине vi графа Г. Перепишем образующие подгруппы И в виде специального множества: И = др(М0, Б), где множество Б порождено подгруппами ряда (5).
Возьмем произвольное слово и € И, перепишем его в специальных образующих и = и1и2^мп, выясним, в каких случаях в произведении vu будут проходить сокращения: а)-в), как в случае группы О = Бт *с Бп.
В результате через конечное число шагов построим слово vu. Если 1^ш) = 1, выясняем существует ли среди подгрупп (Мг) = д~1Агдг ряда (5) подгруппа (М31) = А31 и рассматриваем vu(M3l) П (ш).
Проблемы I) и II) решены, если (ш) € С у : (у\г) = (шЯ/), если же (ш) € С^,
то подобные рассуждения нужно провести для ш € Ог:1.
Лемма доказана.
Утверждение 1. Пусть € Огп-1 ,ш2 € Огп-1, причем шХ и ш2 одновременно не сопряжены объединяемой подгруппе Сп. Слова и ш2 сопряжены в группе Ог тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе Огп-1.
Прежде чем перейти к доказательству основной теоремы, несколько слов уделим проблеме сопряженности слов в группе Бт *с Бп, так как некоторые соображения будем использовать в доказательстве общего случая. Кроме того, справедлива следующая теорема:
Теорема 2. [5] Пусть и = д^^дп и V = д'^-д'п, — два циклически приведенных элемента свободного произведения с объединением Р = (О*И; А = В, ф). Слова и и V сопряжены в группе Р тогда и только тогда, когда одно из другого получается циклической перестановкой и сопряжением элементом из объединяемой подгруппы.
Теорема 3. [6] В группе О = (Бт *с Fn\ala2■■■am,blb2■■■bn.Vр(ач) = (Ьф)),
где V € Бт, ш € Бп, разрешима проблема сопряженности слов.
Доказательство. Пусть их,и2 € О — циклически несократимые слова, представленные в нормальной форме: их = д1д2^дк, то есть каждый дг отличен от 1, не принадлежит объединению, дг и дг+1 принадлежат разным сомножителям в группе О. и2 = д1д2...дк — некоторая циклическая перестановка и2, такая что д1 и д1 принадлежат одному сомножителю в группе О, допустим сомножителю Бт.
Если все д, являются степенями V и ш, то рассматриваем равенство их = и2. Пусть дх и д1 не являются степенями V и ш. По теореме 2, существует такое к € О, что кихк~1 = и'2. Имеем кд1д2^дкк—1 = д'^^дк ^ кдх = д'к, где к, к' € С. Домножим на д—1 слева:
д—1кд1 = д—1д1к' ■ (6)
Задача сводится к разрешимой проблеме — пересечение смежного класса конечно-порожденной подгруппы с некоторой конечно-порожденной подгруппой:
д—'Сд1П д—'д/С. _ _
Покажем, что к единственно. Допустим противное, т.е. существуют к и к/, такие что
д—'кд1 = д—У^ь (7)
Из (6) и (7) имеем: д^—1к~1кд1 = к—'к. Обозначим к—1к = к0 € С, к0 = vprl и к—1 к' = к'0 € С, к'0 = у97"1 . Получили соотношение д—1к0дх = к'0, где к0 и к'0 являются степенями Vе. Рассмотрим подгруппу свободной группы Бт: (g1,vp\g—1vprlдх = Vе72). Известно [5], что подгруппа свободной группы свободна, следовательно дх, V являются степенями одного элемента. Получили противоречие предположению, что дх не является степенью V и ш. Тем самым теорема доказана.
3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Теорема 4. В группе Ог разрешима проблема сопряженности слов.
Доказательство. Как отмечалось ранее доказательство будем проводить по индукции. Предположим, что теорема справедлива для древесного произведения свободных конечно-порожденных групп с циклическим объединением для числа сомножителей меньше п, т.е. в группе Огп-1. Докажем справедливость теоремы в группе Ог = Огп-1 *сп Бп, где Сп : ^—1) = (ш^).
Пусть их,и2 € Ог. их = g1g2■■■g2k, и'2 = д'д^-д^ — нормальная форма элементов их,и2 в группе Ог, причем и1,и'2 — циклически несократимые элементы. и'2 некоторая циклическая перестановка и2, такая что д1}д[ € Огп-1. Тогда 92г ^ Бп, д2г-1 £ С'гп_1, г=1,2к .
По теореме 2 существует к € Сп, такой что кихк—1 = и'2. Отсюда и—'кщ = и~[1и'2к, и разрешимость данного равенства сводится к проблеме пересечения и—1Спи1 П и—1и'2Сп. По лемме 5 можно найти кх, к2:
и[1к1и1 = щ1ul2к2■ (8)
Если существует г. д2г € (шп) и д2г € (vn_1), то можно показать что кх,к2 единственные. Для определенности будем полагать, что таким свойством обладает д2. Предположим, что существуют кх,к2, такие что
и—'к'Щ = и—'и^^^ (9)
Из (8), (9) получаем
1 ~ —1 ~ —1
и1 к' к'Щ = к2 к2, (10)
—1
где к' к' = е в Ог. Из (10) имеем
д-кд-к-г-д-'д—Чй' 1к1)д1д2-д2к~1д2к = 112 1к2■ (11)
1
Если д- '(к ' к1)д1 € Сп, тогда сокращений нет и кх = кх. В противном случае д—1 (к' к1)д1 € Сп, обозначим д—1 (кх к1)д1 = к0, к0 = е. тогда из (11)д-'к0д2 € Сп, д— к0д2 = к'0, следовательно д2 есть степень шп либо ^—1. Полагаем, что все д2г являются степенями шп либо vnг1.
Из того, что
д1д2-д2к ~ д/ 1д 2-д1 2к
(знак ~ обозначает сопряженность элементов в группе) с помощью элемента к Сп в группе Ог следует, что
д1д2-д2к—1 ~ д/ 1д 2-д1 2к—1
в Ог. Следовательно
(g2kгlgl)g2■■■g2kг2 ~ д'д2■■■д
(g2kг1g1)g2■■■g2kг3 ф д'д2■■■д2к—3,
где д'1 = д12к—1д'1 в группе Gг,
(g2kгзg2kгlgl)g2■■■g2kг4 ф (д2к—зд1)д2■■■д2к—4
и т.д.
Через конечное число шагов получим:
дзд5-д2к—1д1 ~ д[х■■■д'г2к_1,
где
/ 1 3 ■■■ 2к - 1 \
\ 1-1 Ъ ■ ■ ■ 12к—1 )
Но слова g3g5■■■g2kг1g1 и д^д^-д^^ принадлежат группе Огп-1. И из разрешимости проблемы сопряженности слов в группе Огп-1, следует разрешимость в группе Ог.
Докажем обратное утверждение. Имеем и: = g1g2■■■g2k, и'2 = д'^-д1^, где д2г являются степенями шп либо vnг1. Допустим, что д^дь^д^^д' ~ д^д^-д^к-: в группе Огп-1. Но и: ф и'2 в Ог. Проводя аналогичные рассуждения, получаем (g2kг1g1)g2■■■g2kг2 Ф д'{д2■■■д2к-2 и т.д. Через конечное число шагов имеем дздь-д2к—1д1 Ф д^дю^-дюк-что противоречит предположению. Таким образом проблема сопряженности слов доказана в группе Ог.
Основная теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе ИКК-групп / / Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение: межвуз. сб. Тула: ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1983. С. 50—80.
2. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения для одного класса групп // Вопросы теории групп и полугрупп: межвуз. сб. Тула: ТГПИ им. Л. Н. Толстого, 1972. С. 3—86.
3. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I—II // Современная алгебра: межвузовский сборник. Л., 1977. Вып. 6. С. 16—32.
4. Безверхний В. Н. О пересечении конечно-порожденных подгрупп свободной группы // Сборник научных трудов кафедры высшей математики. Тула: Тульский политехнический институт, 1974. Вып. 2. С. 51—56.
5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная терия групп. М.: Мир, 1980.
6. Lipshutz S. The congugacy problem and cyclic amalgamations // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. P. 114-116.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Поступило 22.05.2013
