CC BY
34
УДК 517.5 + 517.9
© В.И. Родионов
ПРИСОЕДИНЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА^СТИЛТЬЕСА В АЛГЕБРЕ ПРЕРЫВИСТЫХ ФУНКЦИЙ
Ключевые слова: интеграл Римана-Стилтьеса, прерывистая функция, банахова алгебра, обобщенная функция, импульсное уравнение
Abstract. The concept of adjoint Riemann-Stieltjes integral are defined. The concept of adjoint distribution are defined. Solvability of impulse system with adjoint distribution are proved.
Введение
Непрерывные функции x : K ^ С, где K - это отрезок или интервал, обладают достаточно высокой степенью регулярности (г'порядкаб), заключающейся в том, что близость аргументов влечет близость значений непрерывной функции. fHe слишком разрывныеб прерывистые функции тоже обладают хорошей регулярностью (в англоязычной литературе они так и называются
- regulated functions, т.е. упорядоченные функции), причем прерывистые функции одной переменной обладают тем свойством, что в каждой точке t € K определены три значения x(t—0), x(t) и x(t+0), что позволяет конструировать другие сопутствующие атрибуты функции и получать новые результаты.
Исследования прерывистых функций нескольких переменных анонсированы в [1] и представлены в другой работе (в печати).
В настоящей работе вводится понятие присоединенного интеграла - объекта, двойственного в некотором смысле классическому интегралу Римана-Стилтьеса. На его основе определяется
понятие производной присоединенной обобщенной функции (присоединенного распределения) и исследуются вопросы разрешимости различных типов дифференциальных уравнений с такой производной. К классам уравнений относятся: импульсные уравнения, сингулярные уравнения, функционально-дифференциальные уравнения, уравнения с разрывной правой частью и др.
1. Алгебра С[а,Ь\ прерывистых функций
Зафиксируем отрезок К = [а, Ь] и через в = в(К) = С[а, Ь] обозначим пространство прерывистых (см. [2, с. 16]) функций, т.е. функций х : К ^ С, обладающих конечными пределами х(£ — 0) = Ит х(т) при всех £ € (а, Ь] и х(£ + 0) = Нт х(г)
т ^/—0 т^+0
при всех £ € [а, Ь) . Пространство в, наделенное естественной операцией умножения функций, является алгеброй над полем С
так и алгеброй. Через обозначим подпространство (подалгебру) в в, состоящее из тех функций, что х(£ — 0) = х(£) при £ € (а, Ь] и х(а + 0) = х(а) ■ Симметричное подпространство (подалгебра) Оп состоит го тех функций, что х(£ + 0) = х(£) при £ € [а, Ь) и х(Ь — 0) = х(Ь) . Функции из будем называть не-
прерывными слева, а функции из вя - непрерывными справа прерывистыми функциями. Через С0 обозначим пространство (алгебру) таких функций х : К ^ С, что при любом е > 0 множество € К : |х(£)| ^ е} конечно. Нет никаких ограничений
х
х : К ^ М, - читатель может так и поступать, однако мы будем вести изложение для комплекснозначных функций, отступая от этого принципа лишь в исключительных случаях. Отметим еще, что в [2] дается определение прерывистых функций, действую-К
Функция х : К ^ С называется ступенчатой, если существует конечное разбиение а = то < т\ < ... < тп = Ь такое, что на каждом интервале (т^—, т&), к = 1,... , п, функция х тожде-
ственно равна константе Ск € С. Очевидно, всякая ступенчатая функция является прерывистой. Более того, справедлива
Теорема 1.1. ([2, с. 16]). Для функции x : [а, Ь] ^ С
следующие утверждения эквивалентны:
1) x € G[а, Ь];
x а, Ь
тельности стлупенчатллх функций;
3) для любого е > О существует такое конечное разбиение а = г$ < г\ < ... < тп = Ь, что при всех k = 1,... , n справедливо
sup |x(s) — x(t) | < е.
T,S € (rfc— ,rk)
Третье утверждение теоремы означает, что колебание функции x на каждом интервале (тк—, Тк) не превышает е.
Следствие 1.1. Равномерный предел последовательности прерывистых функций есть функция прерывистая.
x € а, Ь x а, Ь
ме ||x||= sup |x(t)| (более того, G[a, Ь] является банаховой
t € [a,b]
алгеброй) и является замыканием пространства стлупенчатллх функций относительно sup -нормы.
x € K
x
у: K ^ С, которая, очевидно, ограничена, поэтому и x ограни-
x
измерима (как предел последовательности измеримых функций). Наконец, если последовательность {xn}, xn € G(K), фупдамеп-
K
бе и, следовательно, равномерно сходится к некоторой функции x : K ^ С, в силу следствия 1.1 справедливо x € G(K) .
х € а, Ь е >
каждое из множеств
{£ € (а,Ь]: |х(£—0)—х(£)| ^ е} и {£ € [а,Ь) : |х(£+0) — х(£)| ^ е} состоит из конечного числа точек.
Следствие 1.3. Множество Т(х), состоящее из
х€
В силу леммы 1.1 точки множества Т(х) (это обозначение применяем на протяжении всей работы) пересчитываются следующим образом: сначала мы нумеруем все точки множеств
€ (а,Ь]: |x(t—0)—x(t)| 5^1} и € [а, Ь): |х(£+0)—х(£)| },
а затем, двигаясь по натуральному ряду п = 1, 2,... , нумеруем точки множеств
{* € (а,Ь] : ^ < |х(*-0)-х(*)| < £} и
е [а, Ь) : ^ < М* + 0)-х(*)| < £}.
Утверждение 1.1. Если х : [а, Ь] ^ С - кусочно
х € а, Ь
х
х € а, Ь
множество точек разрыва и притом все они первого рода. Тем х € а, Ь
Утверждение 1.2. Если х : [а, Ь] ^ С имеет
х € а, Ь х € а, Ь
В соответствии с [3, с. 206] у функции ограниченной вариации множество точек разрыва не более чем счетно, причем все разрывы первого рода. Следовательно, ВУ[а,Ь] С в[а,Ь] .
Утверждение 1.3. Если x € G [a,b], то x интегрируема no Рим,any и, следовательно, интегрируем,а по Лебегу.
Действительно, поскольку всякая функция x € G[a,b] ограничена и имеет не более чем счетное множество точек разрыва,
x
t
Если x € G[a, b], то согласно [4] первообразная y(t) = f x(s)ds
a
y € a, b
Более того, в работе показано, что RD w R х GL Gr и
КС(1) С RD С Lip, т.е. пространство регулярно дифференцируемых функций заключено между пространством кусочно гладких и липшицевых функций. Следует еще отметить, что модуль любой непрерывно дифференцируемой функции также является регулярно дифференцируемой функцией. Наконец, RD является замыканием пространства кусочно линейных функций по лип-шицевой норме (одномерной норме Гёльдера).
Таким образом, имеет место диаграмма
AC ^ CBV ^ С ^ КС
g g , (i.i)
BV ^ G ^ L
, , ,
абсолютно непрерывных функций, непрерывных функций ограниченной вариации, интегрируемых по Риману и интегрируемых по Лебегу функций соответственно. Стрелки означают отношение включения пространств. Все включения в диаграмме (1.1) строгие. Приведем подтверждающие примеры.
Пример 1.1. Пусть функция x : [0,1] ^ R такова, что х(0) = 0, x(t) = t{|} при t ф О (выражение {<т} обозначает дробную часть числа а). На каждом полуинтервале t € (fcjpx,|] , к = 1,2,... , имеем x(t) = 1 — kt, следовательно, х непрерывна слева, разрывна справа в точках ти = ,
т.е. Т(х) = {i,!,...}, и имеет неограниченное изменение (т.к.
скачки функции образуют гармонический ряд). Таким образом, х € С[0,1] , однако х € ВУ[0,1] . Кроме того, х € КС [0,1] .
Пример 1.2. Пусть функция х : [0,1] ^ М такова, что х(0) = 0, х(1) = (—1)[1/4 при £ ф 0 (выражение [а] обозначает целую часть числа а). На каждом полуинтервале £ € 1 к = 1,2,... , имеем ж(£) = (—1)^ , следовательно,
функция х разрывна в нуле и в точках тк = • Таким обра-
зом, х € ЩО, 1], однако х € С[0,1] (т.к. нет предела х(0 + 0)).
Прерывистые функции можно интегрировать не только в смысле Римана, но и в более расширительном смысле: в смысле Римана-Стилтьеса, в смысле Перрона-Стилтьеса [5], в квазиин-тегральном смысле [6; 7]. Приведем формулировку для интеграла Римана-Стилтьеса [8].
Теорема 1.2. Для любых х € в [а, Щи у € СВ У[а, Ь]
ь ь
интегралы Римана-Стилтьеса / хйу и / у (1х существуют и
а а
справедливы оценки
ь ь
| /хйу | ^ ||х|| • Уагу и | /хйу | ^ шр |х(£)| • Уагу.
а К а г&(а,Ъ) К
Следствие 1.4. Если последовательность прерывистых функций {хп}, хп € в[а,Ь], сходится по Бир -норме к
х € а, Ь у € а, Ь
ь ь
то Нт J хпйу = / хйу .
п а а
х € а, Ь
ность {уп} и функция у таковы, что уп,у € СВУ[а,Ь] и
ь ь
Уаг (уп — у) ^ 0 , то Ит Г хйуп = Г хйу .
К п п а а
х € а, Ь у € а, Ь
г(Ь) = / хйу, то г € СВУ[а, Щ (точка а из [а,Ь] фиксирована).
а
В частности, если у € АС [а, Щ , то г € АС [а, Щ .
Напомним, что функции х, у, г действуют из [а, Ъ] в С . Для произвольного разбиения а = т$ < т\ < ... < тп = Ъ имеем
П П
Е \г{тк) — г(тк-і)^ Е и хйу \ ^ ||х|| • Уаг у .
к=1 к=1 Тк— К
Если і + Ді Є [а, Ъ) (можно считать, что Ді > 0 ), то
*+д г
\г(і + Ді) — г{Ь) \ = \ Ґ хйу \ ^ ||х|| • Уаг у —► 0.
Наконец, если у Є АС[а,Ъ], то вещественнозначная неубывающая функция у(Ь) = Уаг у (в) также абсолютно непрерывна на
«Є [а,г]
а, Ъ
ций у можно найти в [9, с. 344]), поэтому для любого є > 0 существует такое 5 > 0, что какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов (ак,Ък), к = 1,... ,и,
п п
такая, что Е (Ък — ак) < 5, выполнено Е {у(Ък) — у(ак)) < є. кк Для этой же системы интервал0в справедлива цепочка
п п Ък п
Е \г{Ък) — г{ак) \ = Е \ / хйу \ ^ ||х| • Е Уаг у =
к=1 к=1 ак к=1 I-ак >°к\
= l|x|| • Е (v(h) - v{ak)) < е ||x||.
fc=i
Утверждение 1.4. Пусть A - квадратная матрица порядка п с элементами Aj € C, q € СВV[a, b] . Для а € [a, b] и вектор-функций x,y € Gn [a,b] справедливо
t t y(t) = x(t) — f Axdq x(t) = y(t) — f [deA^^-qM) ] y(s)
o(t) = eAq^ [ e Aq(a) y(a) + j e Aq(') dy ]. (1.2)
Доказательство. Если г = е Ад- ^ х , то у(Ь) = еАд^ г(Ь) — / АеАд')гй^ = еАдМ г(Ь) — / [ йеАд( • ] г =
а а
t
_ еАя(а) г(а) + / еАд(') йг ,
а
II в t
г(Ь) — г(а) = / йг = / е-Адв й( / еАд(') йг) = / е-Ад(') йу .
а а а а
Возвращаясь к исходной переменной х (с учетом Х^) = у{а)К
получаем третье равенство, а второе получается из него интегрированием по частям.
2. Алгебры С0[а,Ь], [а,Ь] и СЕ[а,Ь]
Лемма 2.1. Для функции х : [а, 5] ^ С следующие утверждения эквивалентны:
a) х € С0 /
b) х € в и х{1 — 0) = 0 для всех £ € (а, Ь] ;
c) х € в и х{1 + 0) = 0 для всех £ € [а, Ь) ;
t
(!) х € в и / х(в)йв = 0 для всех г,Ь € [а, Ь];
Т
t
е) х € в и / хйу = 0 для всех т,Ь € [а, Ь] и любых у € СВУ .
Т
Доказательство. Равносильность утверждений а) — й) показана в [2, с. 19], а импликация е) ^ й) тривиальна.
а) ^ е) . Зафиксируем точки т,Ь € [а, Ь] (считаем т < £), функцию у € СВУ и е > 0. Точки т и £ и все точки конечного множества € [т,Ц : |х(в)| ^ е} порождают такое раз-
биение т = «о < ^ < ••• < 8п = £, ЧТО |х(в) | < е для всех 8 € (вк-1, вк), к = 1,. • • ,п. Следовательно,
t П вк П
| / хйу | ^ Е | / хйу | ^ е Е Уаг у = е Уаг у ,
т к=1 к=1 [в&—1 ’вк] [Т^]
поэтому в силу произвольности е > 0 справедливо / хйу = 0 .
Пример 2.1. Примером прерывистой функции из О0 служит функция Римана, т.е. функция х : [0,1] ^ К такая, что х = ^ в каждой не равной нулю рациональной точке г _ ш ф Где _ нес0Кратимая рациональная дробь,
х, разрывна во всех нетривиальных рациональных точках, а в иррациональных точках она непрерывна.
Лемма 2.2. Пространства О0 , GL и замкнуты в в относительно Бир -нормы и, следовательно, банаховы.
Формулировка леммы совпадает с утверждениями из [2, с. 20], однако там через GL обозначено несколько иное подпространство: оно состоит из тех функций, что х(£—0) = х(£) при £ € (а, Ь] и х(а) = 0 (аналогично определяется пространство Оп ). Это же замечание относится к приводимой ниже лемме.
х€
представима в виде суммы х = xL + х0 двух функций xL € вL и х0 € С0 . Симметричное представление х = хк + х0 , где хд € вд , х0 € О0 , также имеет место.
Замечание 2.1. В процессе доказательства леммы
2.3 устанавливается, что GL П С0 = {0} . Таким образом, леммы 2.2 и 2.3 позволяют представить пространство в в виде прямой суммы двух замкнутых подпространств: в = GL ® О0 (используем определение прямой суммы линейных пространств из [10, с. 120]) или в = ® в0 . При этом операторы Р, (^ : в ^ в ,
Т
Р : х{Ь)
х(а + 0), £ = а
х{Ь — 0), £ € (а,Ь] ’
Q : х{1)
х(Ь — 0), £ = Ь
х{Ь + 0), £ € [а, Ь)
обладают следующими свойствами:
ImP = GL, KerP = G0, ImQ = GR, KerQ = G0,
P2 = P, PQ = P, QP = Q, Q2 = Q. (2.1)
Проекторы P и Q непрерывны no sup-норме, что следует из очевидных неравенств
||Рх|| ^ ||х|| и ||Qх\\ ^ ||х|| Ух € G. (2.2)
В частности, ||Р х\\ = ||Q х\\ для вс ex х € G. Действительно, в соответствии с (2.1) и (2.2) справедливо ||Рх|| = ||РС^хЦ ^ ||С^х|| и аналогично ||Qх|| ^ ||Рх|| .
Замечание 2.2. Если х € G0, a у € G, то ху = = ух € G0 . Действительно, если y(t) = 0, то утверждение очевидно, если же y(t) = 0, то ||у | > 0, поэтому для любого £ > О множество {t € К : \x(t) y(t)\ ^ е} С {t € К : |ж(£)| ^ конечно, т.е. ху € G0 . Таким образом, G0 является двусторонним
х, y €
лентными (х ~ у) при х — у € G0 , то в соответствии с замечанием 2.1 справедливо GL w G/G0 ~ GR . Другими словами, в каждом классе эквивалентности имеются ровно одна непрерывная слева и ровно одна непрерывная справа прерывистые функции ( х ~ Рх ~ Qх ). Заметим также, что операторы Р и Q являются эндоморфизмами алгебры G, а их ядро Ker Р = Ker Q = G0 является двусторонним идеалом этой алгебры.
Замечание 2.3. Произвольный линейный непрерывный функционал Ф : Gl ^ C допускает представление в виде интеграла Душника-Стилтьеса [2, с. 38], т.е. существует такая функция Q ограниченной вариации, что Ф(х) = J хсЩ для
к
любой х € Gl . Там же приводится общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве G . Заметим, что такое представление отнюдь не единственно возможное, в частности, существует представление функционала Ф через интеграл Перрона-Стилтьеса (см., например, [11]).
3. Алгебры Ст[а, 6], Г[а,6] и ВУ[а,6]
ПрОИЗВОЛЬНОе КОНеЧНОе ИЛИ СЧеТНОе МНОЖеСТВО Т = {Т\ ,Т2,-.. } попарно различных точек тк € К будем называть разбиением отрезка К, а совокупность всех разбиений К обозначим через Т(К) . Пустое множество мы также включаем в Т(К) - оно является наименьшим элементом частичного порядка па Т(К), за-
Т
биению Б, если Т С Б.
Элементы из Т(К) следовало бы называть а-разбиениями, подчеркивая их счетность, однако в этом нет надобности.
Зафиксируем Т € Т(К) и доя любой функции х € в введем обозначения:
х- = х{тк — 0) — х{тк), х~1 = х{тк + $) — х{тк) Vтк € Т. (3.1)
Мы полагаем х- = 0 при тк = а и х\ = 0 при тк = Ь.
Через \х]т обозначим ряд (и его сумму, если ряд сходится)
Гх1т= Е (|х-Мхк^, (з.2)
Тк ет '' '
т т а, Ь
х € в , что ряд \х]т сходится .Поскольку Т - не более чем счетное множество, то ряд \х]т трактуется естественным образом: |х-| +|х^~ | + |х-| +1^| +... . Относительно естественных операций сложения и умножения вт является алгеброй над С . Действительно, если Л € С, х,у € вт, и = Хх, V = х + у, ш = ху, то справедливы равенства
ч = Лч, ик= Лхк, v- =х-+уk-, 4 = хк+ук,
= х(тк — 0) у(тк — 0) — х(тк) у(тк), (3.3)
■шк = х(тк + О) у(тк + 0) — х(тк) у(тк), поэтому ш- = х(тк—0) у-+ х- у(тк), шк = х(тк+0) ук+хк у(тк) , \и,]т = |Л| -Гх!т < ж, ^]т ^ \х]т + \у]т < ж, рш]т ^ ||х|Ку~|т +
+ \х]т ■ ||у| < ж . Таким образом, и^,ш € вт .
Если Т - конечное множество, то справедливо равенство = в, в частности, в0 = в . Всякая функция ограниченной вариации принадлежит вт, каково бы ни было Т € Т( К . Действительно, если х € ВУ и £ = Т П Т(х), то х- = хк = О для любого тк € Т\£, поэтому [х]т = [х]3 ^ \х~\т{х) < следовательно, х € вт . Таким образом, для любого Т справедливы включения ВУ С вт СС,а поскольку любая непрерывная функция, имеющая неограниченное изменение, принадлежит т
вт заключено пространств о Г = Г [а, Ь], состоящее из тех функций х € в , что ряд Гх1 сходится. Примером функции из в , не принадлежащей Г, служит функция из примера 1.1. Так же,
т
что Г - это алгебра. Действительно, если Т = Т(х) и Т(у), то
Мты = \у]т < Гх]^ + \у]т = \х]Пх) + \у]тМ < Мтм = Мт < 11х\1 \у]т+\х]т\\у\\ = 11х\1 \у]тМ +\х]тх 11уИ < С
подалгебр алгебры в прерывистых функций:
СВУ -»■ с^кс
Относительно решетки пространств { GT } в зависимости от параметра T € T(K) можно сказать следующее. Назовем разбиения T и S эквивалентными (T ~ S), если их симметрическая разность конечна, т.е. card (TAS) < ж . Рефлексивность и симметричность очевидны, а транзитивность следует из легко проверяемого тождества TAS = (TAR) A (RAS) . Очевидно, все конечные разбиения эквивалентны между собой.
T(u) С T(x), T(v) С T, T(w) С T, \и\Т(и) = |Л| Гх1т(х < ж
g
(3.4)
ВУ
г
G
Лемма 3.1. Пусть Т,Б € Т(К) .
1. Если Б С Т, то вт С в5 .
2. вт = в5 тогда и только тогда, когда Т ~ .
5. Если и = Т и Б, то вт П в3 = Ои .
4- Если V = Т П Б , то вт и в3 С ву .
Доказательство. 1. Если х € вт и Б С Т, то х € в3 , поскольку \х]3 ^ \х]т < ж .
ТБ
ТДБ = Q и К, где ^ = Т\Б, Л = Б\Т, следовательно, очевидное равенство \х]т + \х]д = \х]3 + \х]д и конечность множеств Q и К означают, что ряды \х]т и \х]3 сходятся или расходятся одновременно.
ТБ
одно из разбиений ^ иш К бесконечно. Допустим, что это Q. Тогда функция ж, у которой х(тк) = \ при тк € С} и ж(£) = О при Ь € К^, принадлежит в3, то не принадлежит вт . Дей-
х€
мы 2.1 справедливо х(т+—0) = 0 при т+ € БП (а,Ь) и х(тк+0) = О при тк € Б П [а, Ь) . Кроме того, х(т+) = 0 для всех тк € Б, следовательно, х- = х + = 0 для всех т+ € Б, поэтому х € в3. С
другой стороны, |~ж~|т ^ |~ж~|д = 2 Е £ > поэтому ж ^ От .
3. Включения Т С и ж Б С и влекут включения С вт и С в3 , следовательно, С вт П в3 .
Если же х € вт Пв3, то х € вт и х € в3 , поэтому \х]т < ж н \х]5 < ж, а поскольку \х]^ ^ \х]т + \х]3 < ж, то х € ви .
4. Поскольку V С Т и V С Б, то вт С ву и в3 С ву, поэтому От и в3 С ву . Лемма доказана.
чка т € К порождают ступенчатые функции £т(Ь)= — в{т — Ь) и Пт (Ь) = — т) . В дальнейшем будем использовать следующие
к= 1
и произвольная то-
обозначения: если т = О Є К , то {(■) = {о(■) и п(■) = щ(•), а если т = тк Є Т, то ■) = &*(О и Пк{■) = Птк{•) • Другими словами,
*«>={- :і;г, *«>={;: 1 >Тк-
Легко проверить, что для всякой функции х : К ^ С, непрерывной в точке т Є К, и для любых а, в Є К существуют
в в
интегралы Римана-Стилтьеса / хй{т и / хйпт ; причем
а а
в в в в / хй{т = / й{т ж / хйпт = х(т) / йпт. (3.5)
а а а а
В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с интеграла-
ми Римана-Стилтьеса и оговаривать название интеграла будем лишь в исключительных случаях.
аЄК
функции х Є Ст функциональный ряд
і і хт (і) = хт (г,а)= — Е х- / й{к+ Е х^ йщ (3.6)
тк еТ а тк еТ а
К
і і Е | х-/ й{к К £ І хЦ йПк I < Гх!т < Ж.
тк ЄТ а тк ЄТ а
Сумму ряда будем обозначать так же, как и сам ряд, - через хт(і) . В случае Т = 0 полагаем хт(і) = 0. В соответствии с [9,
с. 336] функции вида (3.6) будем называть функциями скачков.
хт Є
Уагхт = |х]т. (3.7)
Здесь и в дальнейшем через Уаг у обозначаем полную вариацию функции у та отрезке К . Наряду с (3.6) определена функция
хт (і)=хт (і:а)=х(і) — хт (і): (3.8)
также зависящая от параметра а. В дальнейшем мы считаем, что точка а € К фиксирована, поэтому зависимость от а в обозначении функций хт и хт чаще всего будет отсутствовать. Заметим также, что ряд (3.6) следовало бы писать
I I
- Е х-/ (^к + Е хШ йПк,
т^£ТП(а,Ь] а т^ £ТП[а,Ь) а
х
точке а и от правого скачка в точке Ь, однако в соответствии с соглашением в (3.1) мы полагаем х- = 0 при тк = а и х\ = О ПРИ Тк = Ь ив дальнейшем используем запись (3.6).
Замечание 3.2. Поскольку хт € ВУ С вТ, то и
хт € вТ . Более того, в соответствии с [9, с. 336] справедливы ра-
венства (хт)- = х- И (хт)к = х^ , поэтому (хт)- = (хт)^ = 0 .
хт
в каждой точке разбиения Т. Таким образом,
|"хт]т = [х]т < ж, |хт]т = О,
(3.9)
(хт)т = хт, (хт)т = 0, (хт)т = 0, (хт)т = хт.
Кроме того, легко показать, что если х,у € вТ и х,у € в3 , то
(х ^ — х ( х — х (хт\ — х (хт\Б — хт иБ
К^т / Б ^тпБ? К^т / ^т\^ \ *Б кЬБ\т'! V /
(3.10)
Действительно, согласно лемме 3.1 справедливо х,у € 0Ти3, поэтому все функции в формулах определены. Если г = хт, ^ = Т\Б, Р = Т П Б, К = Б\Т, то хт = хя + хр и (х^^ = =
= хр + = (х^ + хр)р + (хт)К = {хр)р = хр = хтпБ . Остальные
формулы (3.10) легко выводятся из первой.
Замечание 3.3. Одновременно мы выяснили, что каждый из операторов Рт : х ^ хт и Рт : х ^ хт является Т
последующие параграфы работы, здесь же отметим лишь, что образ 1т Рт состоит из функций, непрерывных в каждой точке Тк € Т, а ядро Кег Рт состоит из функций скачков вида
Ф)= - Е 9к! (Кк+ Е Ьк$ йпк, Е (1#кК1^кI) <
тк еТ а тк еТ а тк еТ
причем если Тк = а, то $к = 0, а если т^ = Ь, то Нк = 0 ■ Эти же пространства являются соответственно ядром и образом другого Рт Рт Рт Рт
Замечание 3.4. Если х € Г [или если х € ВУ ], то для всех Т, таких, что Т Т(^), справедливо хт = хт{х) и х^ = хТ(Х , прпчем хт € С [соответственно хт € СВУ]. Введя обозначения хс = хт{х) и х^ хт<х) , обнаруживаем, что предста-х€
Лебега функции ограниченной вариации на сумму непрерывной
х хс хс
Здесь функция скачков понимается в смысле [3, с. 206]. Таким образом, в пространстве Г [ или в ВV ] также определены проекторы Рс : х ^ хс и Рс : х ^ хс , и их свойства идентичны
Рт Рт
равенство Уаг х = Уаг хс + Уаг хс .
Формулы (3.3) порождают равенства ит = Ххт, Ут = хт + ут , ит = \хт, ут = хт + ут , а для того чтобы найти формулы для ■шт и wт , следует доказать ряд вспомогательных утверждений.
Лемма 3.2. Дрм к ф т справедливы формулы
4 Т Тк Т Тт t
а а а а а а
4 Т Тк Т Тт Т
!ль!Лпш = /(Щш!<1£к+ ! <к,к$Лпт,
а а а а а а
4 4 Тк 4 Тт t
/ Лщ! Лпш = / (пш! ! Лщ! Лпш
и при всех к
Г t -2 t t -2 t
J d£k = -(l + 2ik(a)) J dtk, f dm = (1- 2Пк{a)) f drik,
t t t t J dikj dnk = -Пк(ai d£k - Ыa I dm.
a a a a
Доказательство. Левая часть первой формулы равна
t t -| t t s
/ J dik d(m = J f d£k + J d£k d£m{s) =
a a a s a
t г s - t г s -
= J J dim d(k(s) + f f dik dims)-
a a a a
В последнем равенстве мы поменяли порядок интегрирования у первого слагаемого. Обе подынтегральные функции непрерывны в точках Tk и тт соответственно, и нам остается лишь сослаться на формулы (3.5).
Вторая и третья формулы доказываются аналогично. Последние три формулы проверяются непосредственно, опираясь па тождества ik = -ik ; nk = Vk ш ikVk = 0 соответственно.
Лемма 3.3. Пусть T € T(K), a € K и ограниченная
функция x : K ^ С непрерывна в каждой точке Tk € T. Для
любой функции скачков
v(T)= - Е v- fdik+ Е vkfdnk, Е (|y-K|ykD <
Tk€T a Tk €T a rk€T
существует интеграл J xdy (при всех t € K), и он равен функ-
a
ции скачков
ft ft
Ф)= - Е xiTk) v-1 dik+ E xiTk) vk I dnk-
тк &T a Tk &T a
(3.11)
Доказательство. Если card T < ж или если x тождественно равна нулю, то утверждение очевидно, в противном случае справедливо неравенство M = sup |x(t) | > 0 . Для лю-
teK
бого r ^ 1 чере з Tr обозначим конечное раз биение [т\,... ,тг} , состоящее из первых r точек разбиения T, а через yr - ступенчатую функцию yTr . Согласно формуле (3.7) справедливо Var (yr — y) = [y]T\Tr 0, следовательно, для любого e > О
существует Ni такое, что г > N\ влечет Var (уг — у) < ^ .
r
t
zr(t)= J xdyr , причем zr = zTr , следовательно, последователь-
a
ность {zr} является последовательностью частичных сумм рав-
z
самым существует N , что для любых r > N и любых t € K
t
справедлива оценка | z(t) — zr(t) | < | или | z(t) — f xdyr | < § .
a
Пусть r = 1 + max {N,N} , и зафикспруем t € K (без ограничения общности считаем, что t ^ а). Поскольку существует t
интеграл f xdyr , то существует 8 > 0 такое, что для любого раз-
a
биения а = so < в\ < ... < sn = t, в котором max (si — Si-i) < 8,
i
и для любого набора чисел Yi € [si—, s^, i = 1,... ,n , выполнено
t n
\ IXdyr - E х(ъ) [Vr(Si) -yr{Si-1)] I < f.
ai
Таким образом, справедлива цепочка неравенств
n t
I z№ — E xiYi) [yisi) — y(si-i)] \ < | z№ — Ixdyr | +
ia t n
+ \ / xdyr — E xiYi) Ыsi) — уЛsi-i)] \+
ai
n | |
+ E |x(Yi)1 ■ \Ыsi) — y(si)]— [уЛs—) — y(si-i)]\ < i
<1 + 1 + м ■ Уаг (уг - у) < е,
£
поэтому существует интеграл / хйу и от равен г{1) , т.е. сумме
а
сходящегося ряда (3.11). Случай £ < а симметричен.
Следствие 3.1. Если х € в и у € ВУ таковы,
£
что Т{х) П Т(у) = 0 , то существует интеграл / хйу и
а
£ £ £ £
$х(1у = $х(1ус - £ хЫ у-/ ^к+ Е ^7-^) у^ / йПк.
а а тк еТ(у) а тк еТ(у) а
Утверждение справедливо в силу теоремы 1.2.
Лемма 3.4. Каковы бы ни были функции х,у € СТ, £ £ £ £
интегралы / хТ йут , / ут(1хт , / хт (1ут и / ут(1хт существуют
а а а а
и справедливы равенства
£ £
(ху) т &)= хт {г)ут №) + / хт йут + /ут(1хт ,
а а
(3.12)
£ £
(ху)т (£) = хт (1)ут (£) + / хт йут + J ут йхт.
аа
Доказательство. Формулы из леммы 3.2 имеют более компактный вид ( 5кт ~ символ Кронекера):
£ £ £ т^ £ Тт £
/ й^к $ й^т = &кт / й^к Н" / й^т $ й^к Н" / й^к $ й^т]
а а а а а а а
£ £ тк £ Тт £
/ й^к! йПт = / й,Цт$ й£к+ ! й£к$ йЦт,
а а а а а а
£ £ £ Тк £ Тт £
/ йщ]' йПт = &кт! йПк + / йПт]' йПк+ / йщ]' йЦт-
а а а а а а а
В следующей цепочке равенств фигурируют абсолютно и равномерно на К сходящиеся функциональные ряды, поэтому все операции корректны, а суммирование ведется по разбиению Т (и мы будем писать Е вместо Е ):
к тк ЄТ
а = хт (і)ут (і) =
- Ехк Iй£к + Е4/ лПк - ЕУт!(^т + Еу£Ілпт
ка ката та
г Тк Т Тт Т п Т
= Т.хкут /літ! лік + ! лік! літ -Е хкУк І ль-
к,т а а а а к а
г Тк Т тт Т
- Е хкУт I ЛПт! лік + / л6 / лПт
к,т
аа
аа
г Тк Т тт Т
- Е хк Ут I літ / лПк + / лПк / літ
к,т а а а а
г Тк Т 'Тт Т п Т
+ Ехк ут /лПт/лПк + / лПкІ лПт + Ехк Ук І лПк ■
к,т а а а а к а
Приведя подобные члены, имеем равенства
ТТ ТТ
^ = - Е хк [уЫ - Ут (т^ /%к + Е хк [уЫ - Ут Ы] / лПк-
к а к а
ТТ ТТ
-ЕхкУк/лік +ЕхкУк IлПк-
к а к а
ТТ ТТ
- Е Ут [х(тт) - хт {тт)\ Іліт + Е Ут [х{тт) - хТ (т^ / лПт т а т а
ТТ
= аі - Е 1хкУк + хкУ(Тк)+ хЫУки лік +
ка
*
+ Е[хкУк + хк УЫ + хЫУ^ /ЛПк = °1 + (хУ)т(*),
к а
где через ох обозначена функция
* *
о = Ех-ут Ы/ - Е хк Ут Ы 1лпк+
+ ЕУкхТЫ/ ^6 -Е УкхТЫ/ Лпк.
к а к а
Приведя еще раз подобные члены (в силу непрерывности функций хт и ут в точках тк € Т справедлива лемма 3.3), получаем
* г 1 * г
°1 = /утл Ех-&— ЕхкПк +/хТл Еу-Ск-ЕукПк
а *- к к -|а|-к к
= — / Ут ^хт — / хт ^Ут.
аа
Одновременно мы доказали существование интегралов.
Сравнивая начало и конец цепочки для о, получаем первое равенство (3.12). Что касается второго, то в силу формулы интегрирования по частям и очевидных равенств хт (а) = ут(а) = О для его доказательства достаточно сложить левые и правые части формул (3.12) и получить тождество.
Замечание 3.5. Возвращаясь к формулам (3.3), мы можем теперь сказать, что если Л € С, х,у € вт, и = Ах, V = = х + у, ш = ху , то и, V, ад € вт и
ит = Ахт, ит = Лхт, vT = хт + ут, V7 = хт + ут,
* * шт (£) = хт (£)ут (£) + / хт ^ут + / ут^хт,
шт (£) = хт (£)ут (£) + / хт ^Ут + / Ут^хт.
а
Замечание 3.6. Пусть х,у € Г [ ил и х,у € ВУ], ад = ху и Т таково, что Т ^ Т(х) и Т(у), тогда хт ,ут ,,шт € С [соответственно хт,ут,,шт € СВУ ], поэтому непрерывные составляющие хс,ус,и:с этих функций (см. замечание 3.4) связаны соотношением
-шс(£) = (ху)с(£) = хс( 1)ус(£) + / хсйус + / усйхс,
а а
а для функций скачков хс, ус, ,шс справедливо тождество •Мс(£) = (ху)с(£) = хсХ 1)ус(^ + / хс(1ус + / ус(!хс-
аа
Следствие 3.2. Пусть Т € Т( К) и х, у € Ст. Если существует один из интегралов
/ хтйут, / утйхт, / хйут, / утйх, / хтйу, / уйхт, (3.13)
к к к к к к
то существуют остальные интегралы (3.13), а первая формула
(3.12) принимает, вид
(ху) т ф = /хйут + /уйхт. (3.14)
т а а
Если существует один, из интегралов
/ хтйут, / утйхт, / хйут, / утйх, / хтйу, / уйхт, (3.15)
к к к к к к
то существуют остальные интегралы (3.15), а вторая формула
(3.12) принимает, вид
(ху)т (£) = х(а)у(а) + J хйут + / уйхт. (3.16)
Докажем формулу (3.16). Если, например, существует интеграл / хт (1ут , то существуют интегралы / хт (1ут и / ут (1хт ,
К а а
М М
причем / хтйут + / утйхт = хт (^ут (£) — хт (^Ут (а) . В силу
аа
леммы 3.4 существуют интегралы § х<1ут и J у<1хт , а с учетом
аа
последнего равенства второе тождество (3.12) трансформируется в (3.16). Формула (3.14) доказывается аналогично (здесь применяем равенства хт(а) = ут(а) = 0).
Следствие 3.3. Пусть Т € Т( К) и х,у € Ст .
Рслм существует интеграл / хё,у , то существует еще трина-
К
дцать интегралов: интеграл /уё,х и интегралы, (3.13) и (3.15).
К
Существование интеграла / уё,х хорошо известно. Поскольку
К
существует интеграл / х<1у, то в соответствии с [14, с. 117] одна
К
из функций х или у непрерывна во всякой точке £ € К, т.е.
Т(х) П Т(у) = 0 . Если Б = Т П Т(^), то, очевидно, ут = у3 , а
функция х непрерывна в каждой точке € Б . В шлу леммы 3.3
существует интеграл / хйу3 , а вместе с ним и интегралы J хйут ,
м К К
/ х(1ут и другие интегралы (3.13) и (3.15).
К
Следствие 3.4. Для любых х,у € вт справедливо
(хт ут)т= хт ут , (хт ут)т = 0, (хт ут)т= 0, (хт ут)т = хт ут.
Утверждение немедленно следует из формул (3.12) и (3.9).
м х, у € т
теграл / хё,у , то справедливо равенство К
4 4 4 4
1х(1у = 1х(1уТ — £ х(тк) у-/ ^6+ Е хЫ ук I Лпк .
а а £Т а т^ €Т а
Утверждение следует из леммы 3.3.
Замечание 3.7. Пусть x,y € Г [ил и x,y € BV], Если существует один из интегралов
/ Xcdyc, / ycdxc, f xdyc, f ycdx, f xcdy, f ydxc, (3.17)
K K K K K K
то существуют остальные интегралы (3.17) и
t t
[xy)c(t) = J xdyc + Jydxc.
a a
Если существует один из интегралов
f xcdyc, f ycdxc, f xdyc, f ycdx, f xcdy, f ydxc, (3.18)
K K K K K K
то существуют остальные интегралы (3.18) и
t t (xy) c( t) = x(a)y(a) + f xdyc + f ydxc.
aa
Если существует интеграл j xdy , то существует еще тринадцать
K
интегралов: интеграл f ydx и интегралы (3.17) и (3.18).
K
Замечание 3.8. Пусть x,y € Г [ил и x,y € BV], xcyc c xcyc, xcyc c , xcyc c , xcyc c xcyc
4. Топологические свойства
4.1. Полнота GT[а,Ь]
Поскольку GT = G при card T < ж , то GT - полное пространство, однако, как показывает следующий пример, при счетном T пространство GT не замкнуто в G по норме
||x|| = sup |x(t)|. (4.1)
teK
Пример 4.1. Функция х € С[0,1] такая, что х(0) = О и ж(£) = £{|} при £ ф О, является предельной (по норме (4.1)) для последовательности прерывистых функций
Поскольку функции хп имеют конечное число точек разрыва, то хп € вт для любо го Т . В частности, хп € вт для Т = Т(х), в то время как х € вт (см. пример 1.1), следовательно, пространство т не является полным по норме (4.1).
Таким образом, решетка пространств {Ст}тк) с°ДеРжит как полные, так и неполные пространства. Ниже мы покажем, т
Проверка аксиом нормы (4.2) не составляет труда. Более важно то, что норма (4.1) входит в семейство (4.2), - это имеет место при Т = 0 . Заметим также, что в соответствии с замечанием
3.1 функция хт зависит от выбора точки а € К, т.е. хт(•) = = хт(•, а) 1 поэтому и норма (4.2) зависит от а, т.е. У ■ ||т = У ■ ||^ •
Лемма 4.1. Пусть Т,Б € Т(К) .
1. Если Б С Т, то 0Т С в3 и для любого х € вт имеет
место неравенство ||х|3 ^ ||х|т .
2. Для любого х € вт справедливо ||х|| ^ ||х||т •
3. Если Т ~ Б, то От = О8 и в пространстве (= в3) нормы || ■ ||т и || ■ ||5 эквивалентны.
4- Для любых а, в € К нормы || ■ и || ■ ||в эквивалентны.
Доказательство. 1. Включение вт С в8 доках € т
имеет место равенство
х
т
хт II + Гх!
т
хт || + Уагхт.
(4.2)
х3( £) = хт (£) + хт\3(
(4.3)
следовательно, |xS(t)| ^ |xT(t)| + \x"|T\S для всех t € K , и поэтому |xS(t)| + \x]S ^ |xT(t)| + \x]T ^ |x|T . Поскольку последняя оценка справедлива при всех t € K, то ||x||S ^ ||x|T .
2. Неравенство |x| ^ ||x|T следует из предыдущего пункта при S = 0 .
3. Равенство GT = GS доказано в лемме 3.1. Если R = TП S ,
то в соответствии с первым пунктом GT = GS С GR и для любой x € GT имеют место равенства вида (4.3): xR(t) = xT(t)+xT\R(t), xR(t) = xS(t) + xS\R(t) . Вычитая одно из другого, получаем, что при всех t € K справедливо |xS(t) | ^ |xT (t) | + \x"|TAS , поэтому ||xS | ^ ||xT | + \x]M^ ^ выражая |xS | и |xT | че-
| x| S | x| T
|x|S ^ |x|T + 2\x]S\R = |x|T + 2\x]S\T ^
^ |x|T + 8 |x| • card (S\T) ^ (l + 8card (S\T)) • |x|T.
Мы воспользовались очевидными неравенствами |x-1 ^2 |x| и |x+1 ^ 2 |x| . Аналогично получается симметричное неравенство |x|T ^ (l + 8card(T\S)) • |x|S .
4. Через xT(t,a) и xT(t,/3) обозначим функции вида (3.8), подчеркивая их зависимость от точек а и в. В соответствии с
(3.6) следующие соотношения носят элементарный характер:
xT(t,a) = xT(t,e) + xT(в, a, xT(t,a) — xT(t,e) = xT(а, в),
|xT(t,a) — xT(t,e) | ^ \x]T, ||xT( • ,a | ^ ||xT( • ,в) | + \x]T,
l|x|a = 1И • ,a || + \x]T ^ ||xT( • ,в) || + 2 \x]T ^2 llxie.
Аналогично |x|^ ^2 |x|“, что и доказывает эквивалентность данных норм.
Следствие 4.1. Если card T < ж, то GT = G и нормы | • |T и | • | эквивалентны в G .
Достаточно взять Б = 0 в третьем пункте леммы.
Замечание 4.1. При счетном Т нормы ||-||т и ||-|| не являются эквивалентными в пространстве вт . Например, семейство функций хп € 0[0,1] , таких, что жга(£) = 0 при £ € [0, и жга(£) = {^} при £ € [^, 1] , вне множества Т= {^, ... } раз-
рывов не имеет. Очевидно, ЦхпЦ = 1 при всех п ^ 2 . С другой стороны, каждая из функций хп принадлежит вт , так как имеет конечное число точек разрыва (их количество равно п - 1).
хп
1, поэтому какое бы 7 > 0 мы не взяли, найдется функция хп из семейства, что ||хп||т > 7. Это означает, что пет такого 7 > О, что неравенство ||х||т ^ 7||х|| выполнено для всех х € вт .
Замечание 4.2. Для любого х € вт справедливы неравенства ||х| ^ ||х||т ^ ||х|| + 2 |~х~|т .
Первое неравенство мы уже доказали. Что касается второго, то в силу (4.2) и (3.8) справедлива цепочка ||х||т = ||хт ||+ |"х~|т ^ ^ ||х|| + ||хт|| + |"х~|т ^ ||х|| + Уагхт + |"х~|т = ||х|| + 2 |"х~|т .
Теорема 4.1. Пространство вт[а,Ь] банахово по норме || ■ ||т .
Т
очевидно в силу следствия 4.1. Пусть Т счетно и {хп} - фундаментальная последовательность в вт то норме || ■ ||т , т.е.
||хт хп ||т > 0 . ЕСЛИ Уп — (хп)Т И Хп — (хп)т , ТО хп — Уп^~" Хп ч т,п
гп(а) = 0 и согласно замечанию 4.2 и определению (4.2)
||хт — хп|| ->0, ||ут — Уп|| ->0, Цхт-ХпНву = Уаг (Хт -Хп) --->0
т,п т,п т,п
(применяем норму ||х||ву = |х(а)I + Уагх ). В силу полноты пространств в и ВУ существуют х,у € в и х € ВУ С вт, что
|хп - х|| > 0, 11Уп - у|| > о, |Хп - х||ву > 0, |Хп - х|| > 0.
п п п п
Так как \\г,п - (ж - у)У ^ ||жп - ж|| + \\уп - у\\ ^ 0, то ж - у = я.
п
у
вательности {уп} непрерывных в точках т& € Т функций, поэтому она непрерывна в этих точках, следовательно, у- = ук = 0, ж- = я- и жк = як • Таким образом, |~ж~|т = \г]т < ж, т.е. ж € вт , поэтому у € вт , жт = ят и жт = у + ят .
Так как 2^ = 0 , то ят = 0 . Действительно, если щп = я - яп, то щп € ВУ и Уаг щп = Уаг ^п + Уаг щпс. Поскольку 2п ^ 2 и все функции 2п непрерывны в точках множества К\Т, то и функции 2, щп непрерывны в этих точках. Тем самым Т(щп) С Т И ЩСп = щт = 2т - 2т = ят , следовательно,
Уаг ят + Уаг щпс = Уаг щ(п + Уаг щпс = Уаг щп = Уаг (я - 2п) ^ О,
пп
поэтому Уаг ят = 0 и, очевидно, гт = 0, жт = у, жт = я. Таким образом, (жп - ж)т = уп - у и (жп - жт = яп - я , следовательно,
||жп - ж||т = \уп - у|| + Уаг (х,п - я) ^ 0.
тп
Теорема 4.2. Алгебра вт[а, Ь], наделенная нормой || ■ ||т , является коммутативной банаховой алгеброй с единицей.
Доказательство. Роль единицы играет функция, тождественно равная 1 на [а, Ь] . Коммутативность очевидна, поэтому остается показать непрерывность умножения по норме || ■ ||т относительно, например, первой переменной. Действительно, если ж,у € вТ и щ = жу, то щ € вт и в соответствии с замечанием 4.2 и леммой 4.1 справедлива цепочка неравенств
||жу||т = ||щ||т ^ 1М1 + 2 рш]т ^
(4.4)
< 11жу|| + 2 ||ж\| \у]т+ 2 Гж1т НуН ^5 11ж11т 1М1т> следовательно, условие ||жп -ж||т ^ 0 влечет ||жпу -жу||т ^ 0.
а, Ь
Лемма 4.2. Имеет, место равенство
Т.
тет(к) V
Доказательство. Напомним (см. (3.4)), что Г состоит из тех функций ж € в , что ряд сходится. Вклю-
чение Г С П вт справедливо в силу включений Г С вт . т еТ( к)
ж € т ж € т Т ж € т
т €Т( К)
для Т = Т(ж), т.е. ряд Гж~|т(х) сходится, следовательно, ж € Г. Лемма доказана.
Легко проверить, что Г является нормированным пространством относительно нормы
| ж| | ж| т
т €Т( к)
и для любых ж € Г и Т € Т(К) имеют место оценки
||ж\| ^ ||ж||т ^ ||ж||г ^ 1|ж|| + 2 Гж]т(х) = ||ж|| + 2 Уагжс. (4.7)
Заметим также, что в соответствии с (4.2) норма || ■ ||т зависит от выбора точки а € К, т.е. || ■ ||т = Н'Н?; причем в силу леммы
4.1 нормы Н ■ У? и Н ■ Нв эквивалентны. Таким образом, норма Н ■ Нг также зависит от а , т.е. || ■ ||г = \| ■ > и нетрудно показать,
что для любых а, в € К нормы || ■ ||а и Н'11в эквивалентны.
'г
|
ж€
- Уагжс. (4.8)
Доказательство. В соответствии с замечанием
3.4 доказательство формулы (4.8) сводится к доказательству равенства ||ж||г = ||ж||т , где Т = Т(ж). Если Б € Т(К) и Р = ТПБ, то ж- = жк = 0 для любого тк € Б\Р, а так как ж € Г С вт , то
КУЧ - _1_ Х \ ---- КУ’Б I гр
11 ^-/ ||5 11 \ | I | | ^ 11 \ I ^ I I р ^
Жв(£) = х(£) — ХЛ= х(£) — Хр (£) = хт(£) + ХТ\Р(£),
следовательно, ||хвУ ^ ||хтУ + [х]Т\Р и ||х||з ^ ||хтУ + |"х~|т , Т.е. ДЛЯ любого Б имеем ||х||з ^ ||х|т , поэтому ||х||г ^ ||х||т . Обратное неравенство очевидно.
Теорема 4.3. Пространство Г[а, Ь] банахово по норме || ■ ||г .
Доказательство. Пусть {хга} , хп € Г, - фундаментальная последовательность, т.е. ||хт — хга||г —► 0. В силу
т,п
(4.7) эта последовательность является фундаментальной в каждом из банаховых пространств 0Т , Т € Т(К), по соответствующей норме || ■ ||т . Это означает, что для любого Т существует функция хт) € вТ такая, что ||хга — хт ||т ^0, а в силу
П
замечания 4.2 имеем ||хп — х<т) || ^ 0. Таким образом, все пре-
П
дельные функции х(т) совпадают между собой, т.е. хт = х для любого Т. Поскольку хт € вТ , то х € вТ для любого Т, по-
х€
||хп — х||г ^ 0 .
П
Действительно, для любого £ > 0 существует N такое,
что при т,п > N и Т € Т(К) выполнено ||хт — хга||т < £,
следовательно, при т ^ ж имеем ||х — хга||Т ^ £, поэтому
|хп — х||г = Бир |хп — х|т ^ £ . т ет( к)
Теорема 4.4. Алгебра Г[а, Ь] является коммутативной банаховой алгеброй с единицей по норме || ■ ||г .
Доказательство. В соответствии с (4.4) и (4.5) имеем ||ху||г ^5 ||х||г||у||г, откуда следует непрерывность умножения в Г .
Пространство ВУ[а, Ь] с нормой
Цх||Ву = |х(а)| + Уаг х (4.9)
М]
также является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Это утверждение хорошо известно для нормы (4.9), в которой а = а (см., например, [9, с. 337]), а для остальных норм отметим, что в семействе (4.9), зависящем от параметра а € [а, Ь], все нормы эквивалентны между собой. Напомним также, что в соответствии с замечанием 3.1 мы работаем с фиксированным а .
Лемма 4.4. Если х € ВУ, то при любом Т € Т(К)
х хт хт
и, в частности, для компонент Лебегова разложения функции справедливо равенство Уаг х = Уаг хс + Уаг хс .
Доказательство. Вторая часть утверждения хорошо известна (см., например, замечание 3.4). Пусть ^ =Т\Т(х), Р = Т П Т(х), К = Т(х)\Т. Поскольку х- = х^ = О для всех тк € ^, то хт = хр и хт = хр . Если г = хр и у = хр , то Т(,г) = Р и Т(у) = К. В соответствии с (3.10) справедливо
гс гТ(г) (хр)р хР , УС УТ(у) (х )д хЛ\Р хЛ ,
гс = гт« = (хР)Р = 0, ус = ут^ = (хр)л = хриЛ = хтм = хс, поэтому
Уаг хт + Уаг хт = Уаг у + Уаг г = Уаг ус + Уаг ус + Уаг хс + Уаг гс =
= Уаг хс+Уаг хд+Уаг хр = Уаг хс+ |~х]л + [х]р = Уагхс+ |"х]т(х) = = Уаг хс + Уаг х„, = Уаг хс + Уаг хс = Уаг х.
т (ж)
Лемма 4.5. Если х € ВУ, то при всех Т € Т(К)
||х|| ^ ||х||т ^ ||х||г ^ ||х||Ву. (4-11)
Доказательство. Первые два неравенства уже доказаны, что касается третьего, то достаточно показать, что 1|х||т ^ ||х||ву для любого Т € Т(К) . Действительно, в соответствии с леммой 4.4 и равенством хт (а) = х(а) справедлива цепочка равенств
1|х||Ву — ||х||т = |х(а) I + У&г х — ||хт || — Уаг хт =
= |х(а) |+Уагхт — ||хт || = |хт (а) | + Уагхт — ||хт || = ||хт ||Ву —||хт ||,
в правой части которой стоит неотрицательная величина. Таким
образом, ||х||г = яир ||х||т ^ ||х|Ву . т еТ( К
Замечание 4.3. Подводя итог, можем сказать, что вторая строка диаграммы (3.4) состоит из коммутативных банаховых алгебр с единицей, причем каждая из алгебр полна по своей норме, - это соответственно нормы (4.9), (4.6), (4.2) и (4.1). х€
х € х € т
то ||х|| ^ ||х||т (см. замечание 4.2). Хорошо известно, что пространства С и СВУ из диаграммы (3.4) также полны, каждое по своей норме, но мы на этом вопросе не останавливаемся.
5. Присоединенное умножение
т а, Ь
Согласно формулам из замечания 3.5 проекторы Рт : х ^ хт и Рт : х ^ хт являются эндоморфизмами пространства Ст , но не
т
т
к детальному обсуждению этого вопроса.
Определение 5.1. Если х,у € вт и а € К, то функция х = х ■ у = хт ут — хт ут называется присоединенным произведением функций х и у , а операция г" ■ С называется присо-
т
хт хт
раметра а, т.е. хт = хт(а) и хт = хт (£, а ; поэтому и г из определения 5.1 зависит от а, т.е. г = а) . Это означает, что т
а
ствни с пунктом 2 леммы 3.1 равенство в5 = От равносильно тому, что Б ~ Т, поэтому в пространстве вт(= О5) определены разные присоединенные умножения, зависящие от параметра Б ~ Т. Таким образом, в прострапстве вт (когда раз-Т
различпых присоединенных умножений, зависящих как от точки а € К, так и от разбиения Б ~ Т. Наиболее выпукло это просматривается в пространстве в, где, как мы знаем, выполнено равенство в = вт, сагс1Т < ж, т.е. в пространстве в определено двупараметрическое семейство различных присоединенных
а€К
Т . В частности, при Т = 0 имеем х ■ у = ху , т.е. обычное умножение входит в это семейство.
Термин ^присоединенное умножение© мы позаимствовали из теории ассоциативных колец и алгебр, где присоединенное умножение определяется равенством х о у = х + у + ху и строится, таким образом, из базовых операций сложения и умножения исходного кольца [алгебры] К (см., например, [12, с. 315]). В книге [13, с. 368] такое умножение называется звездным. Иногда присоединенное умножение определяется как х о у = х + у — ху. От-
К
имеет единицу, роль которой выполняет нулевой элемент (легко х о х о х отсутствие дистрибутивности (например, имеет место равенство х о (у + г) = х о у + х о г — х) не позволяют рассматривать самостоятельную алгебраическую систему < К, +, о > [соответственно
< К, +, о, ■ >], как кольцо [алгебру], хотя операция присоединенного умножения и выполняет существенную роль в теории. Ниже мы увидим, что присоединенное умножение из определения
5.1, весьма похожее на классическое присоединенное умножение (имеем х ■ у = хТу + хуТ — ху), лишено отмеченных недостатков.
Лемма 5.1. Если Т € Т(К); х,у € вт и А € С, то
(Ах)т = АхТ ; (Ах)т = АхТ ; (х + ут = хт + уТ ; (х + у)Т =
= хТ + уТ; (х ■ у) т = хт ■ уТ, (х ■ у)Т = хТ ■ уТ .
Доказательство. Равенства хТ ■ уТ = —хТ уТ и хТ ■ уТ = хТуТ очевидны из определения 5.1 и формул (3.9), а в силу следствия 3.4 справедливы цепочки равенств
(х ■ у)т (хТуТ хтут)т хтуТ хт ■ уТ,
(х ■ уТ = (хТуТ — хТуТ)Т = хТуТ = хТ ■ уТ.
Замечание 5.1. В процессе доказательства мы установили равенства (х ■ у Т = —хТуТ и (х ■ у)Т = хТуТ .
Лемма 5.2. Для любых х,у € вт существуют инте-
4 4 4 4
гралы / хТ ^уТ, / уТ ^хТ, / уТ ^хТ, / хТ ^уТ м
х(*)у(£) = хТ(£)уТ(£) + / хтйуТ + / утйхТ + (ху) (*),
х(*) ■ у(£) =хТ(£)уТ(£) + /хТйу^ + /уТ^ — (ху)Т(*).
а а
Доказательство. Первая формула доказана в лемме 3.4, а что касается второй, то для ее доказательства достаточно сложить левые и правые части обеих формул и получить тождество.
Теорема 5.1. Прост,ранет,во вт [а,Ь]; наделенное операцией присоединенного умножения, является коммутативной ассоциативной алгеброй (вообще говоря, без единицы). Она является банаховой по норме У ■ ||Т .
Доказательство. Ассоциативность присоединенного умножения следует из замечания 5.1:
(ж ■ у) ■ г = (ж ■ у)т гт — (ж ■ У т гт = жтутгт + жтут гт,
ж ■ (у ■ г) = жт (у ■ г)т — жт (у ■ г)т = жтутгт + жтут гт.
Коммутативность и дистрибутивность очевидны. При Т = 0 имеем ж ■ у = жу, поэтому в вт (при Т = 0 ) единицей является функция е(£), тождественно равная 1 на [а, 5] • Пусть Т ф 0 .
А. Если а € Т, то функция е(£) = 1 + / й{а — / йпа явля-
а а
ется единицей алгебры вт . Действительно, легко проверить, Го,^7“а — + г
ЧТО еЩ = < ^ ^ _ а , поэтому вк = = — Одт ДЛЯ
всех Тк € Т, где через т обозначен тот индекс, для которого а = тт . Следовательно, ет (£) = / й{а — / й^а, ет (£) = 1. Для
аа
любой ж € вт справедливо равенство (же)(£) = ж(а)е(£), поэтому (же)т(£) = ж(а)ет(£) и в силу леммы 5.2 (а также формул
(3.5) и равенств жт(а) = ж(а)) справедлива цепочка равенств
ж(£) ■ е(£) = жт (£) + / йжт + / жтйет — (же)т (£) =
t t
= x(t) + x(a) / d{a — x(a) / dna — x(a)eT (t) = x(t).
a a
Б. Пусть a € T. Одно из разбиений TL = {тк € T : Tk < a}
или Тд = (rfc € T : Tfc > a} не пусто.
1. Если TL = 0 , то Тд ^ 0 и определена вели чипа £ = inf Тд .
Если £ € Тд , то функция e(t) = 1 — / ^ ’ t > £
является единицей алгебры GT . Действительно, для всех Tk € Т
имеют место равенства е- = £km и е^ = 0, где через m
обозначен тот индекс, для которого д = тт. Следовательно, еТ (£) = — / ^£в и ет (£) = 1. Для любой х € вТ справедливо
а
(хе)(г) = | х^ ’ ^ < д > поэтому (хе)т = Хд—о), (хе)т = о,
(хе)- = (хе)к = 0 дая всех к ф т, (хе)Т (£) = —х(д — 0) / ^£в и
а
х(£) ■ е(£) = хТ (£) + / йхТ + / хТйеТ — (х^Т (£) =
аа
= х(£) — хТ(д) / й£в + х(д — 0) / ^£в = х(£).
аа
Воспользовались равенством хТ(д) = х(д — 0), которое имеет место в силу следующих обстоятельств. Так как а < д = тт < тк кт
в в
хТ Ш = — Е хкк / ^к+ Е хк I йПк =
Тк еТ а тк еТ а
= — (х(тт —о)—х(тт)) (£т( д)—£т( а) = хд)—хд —° )•
Если д € ТД , то в СТ единицы нет. Предположим противное, т.е. существует е € вТ такая, что для всех х € вТ справедливо равенство х = х ■ е = хТе + хеТ — хе. В частности, если х(£) = 1, то хТ (£) = 1, поэтому еТ (£) = 1. Таким образом, для любой х € вТ имеем (х — хТ) е = 0 .
Пусть т > д . Так как д - наибольшая из нижних границ разбиения Тд , то существ ует тт € Тд , ч то а ^ д < тт < т. Если
4 т
х(£) = М / ^Пт, Т О хТ (£) = 0 , Следователь НО, [М / йПт\е(т) = 0
аа
Ме т М е т
Таким образом, е(т) = 0 дая всех т > д. Это означает, в частности, что е(тк — 0) = е(тк) = е(тк + 0) = 0 для всех тк € ТД = Т,
следовательно, eT (t) = e(t), поэтому eT (t) = 0 для всех t > g, что противоречит условию eT (t) = 1.
2. Случай TL ^ 0, TR = 0 симметричен. Здесь определена величина Л = sup TL , и если A € TL , то в GT единицы нет, а если A € TL , то единицей является функция
ей=1+/<%={; , t;A.
3. Наконец, если TL ф 0, TR ф 0, то определены величины
A = sup TL и g = inf TR . Есл и Л € TL или g € TR , то в GT
единицы нет, а в противном случае (т.е. если Л € TL и g € TR )
единицей является функция
e(t)=i+/—a'^={°: ^€(A:l
Доказательство пунктов 2 и 3 предоставляем читателю.
Осталось доказать непрерывность присоединенного умножения по норме У ■ ||т относительно, например, первой переменной. В силу (4.4) для любых ж, у € GT
1 м м 1 м м
5 \\Х'У 11т = 5 \\хТУТ ~хтУт ||т < \\хТ\\т \\ут\\т + 11жт11т \\Ут\\т =
= 11жТ 1 llyTН + Гх1т 1У1т ; (НжТН + Мт)(11ут11 + 1У1т) = 11ж11т IMIt> следовательно, условие Нжп—ж||т ^0 влечет ||жп-у—ж-у II ^0.
т n 11 "т n
Замечание 5.2. Мы обнаружили, что в алгебре GT с присоединенным умножением не всегда имеется единичный элемент. При T = 0 или при а € T он существует, а вот при T ф 0 и а € T единичный элемент отсутствует тогда и только
а
T
что для всех конечных T алгебра GT имеет единицу. Существует, по крайней мере, три способа присоединения единицы в тех
случаях, когда она отсутствует в алгебре. Во-первых, множества
S = T U {а} и T эквивалентны, поэтому GT = GS , а поскольку а € S, то появляется единица. Во-вторых, в разбиение T можно добавить Л = sup TL и/ил и g = inf TR , если они отсутствуют.
ST этому GT = GS, а поскольку Л, g € S, то появляется единица. Наконец, можно воспользоваться стандартной процедурой присоединения единицы, переходя в алгебру GT х C с операциями
(ж, р) + (у, v) = {ж + у, у + v), ^ж, ^) = (vx, v^),
(ж, ■ (у, v) = (ж ■ у + ^у + vж, ^v)
e,
спективпым, на наш взгляд, является первый способ - добавление в T точки а, в этом случае и единица выглядит наиболее естественно, - она представляет из себя характеристическую функцию точки а, и с самого начала можно считать, что а € T .
Теорема 5.2. Каждый из операторов Рт : ж ^ жт и
Рт : ж ^ жт является эндоморфизмом алгебры GT с присоединенным умножением. Образ Im Рт ( = Кer Рт ) и ядро Ker Рт ( = Im Pт ) являются двусторонним,и идеалами алгебры. Операторы Рт и Рт являются непрерывными ортогональными (относительно присоединенного умножения) проекторами алгебры.
Доказательство. Первая часть утверждения составляет содержание леммы 5.1. Поскольку проекторы Рт и Рт связаны равенством Рт + Рт = I, то ImPT = КегРт и Кег Рт = Im Рт . Включение ж € Im Рт равносильно тому, жт ж у € T
ж ■ у = — жт ут , а в силу равенства (жт ут)т = жт ут из следствия 3.4 имеем ж ■ у € ImРт , т.е. IтРт - двусторонний идеал
T Рт
жт-ут = 0 носит элементарныйхарактер, поэтому Рт и Рт -ортогональные проекторы. Для доказательства их непрерывности
Рт Рт
Пусть последовательность {хп}, хп € вт, сходится к х € вт по норме ||-||т,т.е. ||( хп)т — хт || + Уаг ((хп) т — хт) —► 0 . Если все
п
хп € 1т Рт , то (хп)т = 0 , поэтому ||хт || = О , хт = 0 , х € 1т Рт . Если же хп € КегРт , то (хп) т = 0, поэтому Уагхт = 0, а так как хт (а) = 0, то хт = 0 и х € Кег Рт .
Итак, 1тРт и КегРт - замкнутые пространства, поэтому От = Iт Рт ® Кег Рт = Iт Рт ® Кег Рт , а Рт и Рт непрерывные проекторы [10, с. 151].
Нашей ближайшей целью является перенесение полученных результатов на пространства Г и ВУ, где в соответствии с замечанием 3.4 определены проекторы Рс ■. х ^ хс и Рс : х ^ хс .
5.2. Присоединенное умножение в Г[а,Ь) ив ВУ[а, Ь] Определение 5.2. Пусть х,у € Г[илиВУ], тогда функция г = х о у = хсус — хсус называется присоединенным произведением функций х и у , а операция I" о 6 называется присоединенным умножением в Г [или в ВУ] .
Замечание 5.3. Так же, как и в случае присоединенного произведения I" ■ 6, правило вычисления присоединенного произведения г" о 6 зависит от параметра а € К.
Лемма 5.3. Если х,у € Г[шшВУ] и X € С, то (Хх) с = Ххс, (Хх)с = Ххс , (х + у) с = хс + ус, {х + у)с = хс + ус,
х о у с хс о ус х о у с хс о ус
х, у €
4 4 4 4
/ хс(1ус, / ус(1хс, / ус(1хс, / хс(1ус существуют и
а а а а
х{г)у{г) = хс( г)ус{ г) + / хсЛус + / усЛхс + (ху) с( г),
аа
х(г) о у(г) = хс{ г)ус{ г) + / хсйус + / ус<!хс — {ху) с( г).
Утверждения следуют из включений ВУ С Г С вт и лемм
5.1 и 5.2, для этого достаточно взять в качестве Т разбиение Т(х) иТ(у), тогда Т(Хх) С Т, Т(х+у) С Т, Т(ху) С Т, хс = хт ,
ус ут Хх с Хх т х у с х у т ху с ху т
Теорема 5.3. Пространство Г [или ВУ], наделенное операцией присоединенного умножения, является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей. Она является банаховой по норме || ■ ||г [соот,вет,ст,венно || ■ ||ву] .
Нетривиальным здесь является лишь существование единицы, роль которой выполняет функция е{г) = 1 + / й^а — [ (1ца ■
аа
Если х € Г [илиВУ] и Т = Т(х) и {а} , то х,е € вт, а € Т и
гр г\ р - грс рс _ гр р - грт(х) рт(е) _ гр р - грт рт _ гр р - гр
'о ^д_/ ^д_/ с ^-^с 'Г ^ ^ ^ ^ *
Последнее равенство справедливо в силу пункта А теоремы 5.1.
Теорема 5.4. Каждый из операторов Рс : х ^ хс и Рс : х ^ хс является эндоморфизмом алгебры Г [ или ВУ ] с
Рс Рс
Рс Рс
Рс Рс
(относительно присоединенного умножения) проекторами. Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2. Замечание 5.4. Подводя итог, можно сказать, что проектор Рт : х ^ хт в О? шлш Рс : х ^ хс в Г [или в ВУ] г'расщепляетб соответствующее пространство на два замкнутых (по соответствующей норме) ортогональных (относительно при-
т
Т
странство функций скачков, скачки которых заданы в точках Т
пространство функций скачков. В ВУ - это пространство непрерывных функций ограниченной вариации и пространство функ-
х
ха
к проекторам Рт : х ^ хт в От ш Рс : х ^ хс в Г [или в ВУ] . Крайне любопытным выглядит тот факт, что множества , Г и ВУ, рассматриваемые как алгебры, ^расщепляются© на две замкнутые подалгебры, каждая из которых является двусторонним идеалом соответствующей алгебры.
6. Присоединенный интеграл
Определение 6.1. Пусть Т € Т( К) и х, у € .
Если существует интеграл / х<1у , то функция
к
4 4 t
/ х ■ йу= / хтdyт - / хтйут (6.1)
а а а
называется неопределенным присоединенным, интегралом функции х по функции у (точка а € К фиксирована).
Прежде всего отметим, что определение корректно, поскольку из существования интеграла / xdy следует существование инк
теграла / xdy , а в соответствии со следствием 3.3 оба интеграла
а
в правой части (6.1) существуют.
Как и в случае присоединенного умножения (см. комментарии к определению 5.1) в пространстве вт(= в5 при Б ~ Т) определено двупараметрическое семейство различных присоединен-
ху
а € К и разбиения Б ~ Т .При Т = 0 имеем / х ■ dy = / xdy,
аа
поэтому интеграл Римана-Стилтьеса также является присоединенным интегралом.
Заметим далее, что мы определили присоединенный интеграл как функцию переменной верхней границы интегрирования, причем нижняя граница интегрирования фиксирована и совпадает
а
проекторов Рт : х ^ хт( ■ , а) и Рт : х ^ хт( ■ ,а) . При таком
подходе мы сохраняем привычную двупараметрическую параметризацию, хотя, конечно же, для любых т,в,$ € [а, Ь] определе-в Ф Ф
ны величины §х ■ dy, / х ■ dy, / х ■ dy и сумма первых двух равна
Т в Т
третьей. Таким образом, мы можем вести речь не только о неопределенном, но и об определенном присоединенном интеграле и считать, что это есть величина
в в в
/ х ■ dy = /хт( ■ ,а) dyт( ■ ,а) — /хт( ■ ,а) dyт( ■ ,а),
Т Т Т
зависящая от параметров а,Т,т, в , однако в дальнейшем мы ра-
ботаем лишь с неопределенным присоединенным интегралом.
Комментарии к определению 6.1 закончим замечанием, что присоединенный интеграл линеен по каждому аргументу.
Лемма 6.1. Пусть х,у € СТ . Существование одного
из присоединенных интегралов / х ■ dy или /у ■ dx влечет су-
а а
ществование другого и равенство
ь * ь
/ х ■ dy + / у ■ dx = х ■ у .
а а а
Существование присоединенных интегралов следует из существования соответствующих интегралов Римана-Стилтьеса, а цепочка равенств
ь ь ь ь ь ь
/ х ■ dy + / у ■ dx = / хт dyт — / хт dyт + / ут dxт — / ут dxт =
а а а а а а
т т х т т х 1 а й II х у а
справедлива в силу формулы интегрирования по частям.
Лемма 6.2. Пусть х,у € СТ и существует интеграл г(1) = / х^у , тогда г €СТ, гт (£) = —/хт dyт и гт (£) = / хт dyт .
а а а
Первый интеграл в правой части (6.1) является функцией, непрерывной во всех точках разбиения Т, а второй является функцией скачков со скачками в Т, что и доказывает лемму.
Лемма 6.3. Пусть х,у,х € вТ и существует инте-ь ь ь
грал гш(Ь) = / у■ йх . Интегралы, / х-й'ш и / (х-у)■йх существуют
а а а
или пет одновременно. Если интегралы, существуют, то ь /в \ t
/х^) ■ й ( /у ■ йх\ = / (х ■ у) ■ йх. (6.2)
а а а
Доказательство. Согласно лемме 6.2 справед-ь ь
лнво -ш € вТ, -шт (£) = — / уТ йхт, -шт (£) = / ут йхт , следовательно,
аа
для левой и правой частей (6.2) (обозначим их ах и 02 ) имеем
ь ь ь /в \
стх = /хтй,шт — /хтйгшт = /хт(в) й( /утйхт) +
а а а а
ь /в \ ь t
+ / хт( / ут йхт \ = / хт ут йхт + / хт ут йхт,
&2 = /(хтут — хтут) ■ йх = /хтутйхт + /хтутйхт.
а а а
Последнее равенство справедливо в силу замечания 3.4.
Определение 6.2. П усть х,у €Г [ил и х,у €ВУ]. Если существует интеграл / хйу , то функция
к
ь ь ь
/ х о йу= / хсйус — / хсйус (6.3)
а а а
называется неопределенным присоединенным, интегралом функ-
ции х по функции у (точка а € К фиксирована).
Определение корректно, поскольку из существования инте-
1
грала / хйу следует существование интеграла / хйу, а в соот-
К а
ветствии с замечанием 3.7 оба интеграла в правой части (6.3)
существуют. Как и в случае присоединенного интеграла (6.1) семейство различных присоединенных интегралов (6.3) зависит от а € К. Присоединенный интеграл линеен по каждому аргументу.
Лемма 6.4. Пусть х,у € Г [или х,у € ВУ ]. Суще-
1 1
ствование одного из интегралов / х о йу или /у о йх влечет
аа
существование другого и равенство
1 1
/ х о йу + / у о йх = х о у
1
х, у € х, у €
1
ствует присоединенным интеграл г(Ь) = / х о йу, тогда г € Г
а
1 1 [ соответственно г € ВУ ], гс{£) = — / хсйус и гс{£) = / хсйус .
аа
Лемма 6.6. Пусть х,у,г € Г [или х,у € ВУ ] и су-1 11
ществует /у о йг. Интегралы / х о й^ и / (х о у) о йг
а а а
существуют или нет одновременно. Если интегралы существуют, то
1 , в \ 1
/ х(^ о й ( J у о йг) = / (х о у) о йг.
ааа
Утверждения следуют из включений ВУ С Г С вТ и лемм
6.1 - 6.3, для этого достаточно взять в качестве Т разбиение Т(х) и Т(у) или Т(х) и Т(у) и Т(г) .
7. Прерывистые функции, заданные на интервале
Зафиксируем интервал К = (а, Ъ) (ограниченный или неограниченный) и через 0 = 0(а,Ъ) обозначим пространство [ алгебру ]
прерывистых функций, т.е. функций х : К ^ С, обладающих конечными пределами х{Ь — 0) и х{Ь + 0) при всех Ь € К . Через Сь = вь(а, Ь) [ через вд = Сд(а, Ъ) ] обозначим подпространство в в, состоящее из непрерывных слева [ справа ] прерывистых функций. Через ОцОС = 0^ос(а, Ь) обозначим пространство таких функций х : К ^ С, что для любого от резка [а, @] С К функция-сужение х : [а, @] ^ С принадлежит Оо[а,0\ .
Замечание 7.1. Аналогично утверждению леммы
х€
ственным образом представима в виде суммы х = хь + х0 двух функций хь € вь и х0 € . Симметричное представление
х = хд+ х0 , где хд € вд , х0 € С^00 , также имеет место. При этом операторы Р : х(Ь) ^ хь (Ь) = х(Ь — 0) и : х(Ь) ^ хд (Ь) = х(Ь + 0) являются проекторами в С (см. замечание 2.1).
Аналог (1.1) имеет вид (смысл пространств понятен):
АС1ос ^ СВУ1ос ^ С ^ КС1ос
\ \ .
|3у1°с 0 К100 ^ ^1ос
х, у € а, Ь
зывать эквивалентными (и писать х ~ у ), если х — у € 01°с(а, Ь) . Это равносильно тому, что для любого отрезка [а, в] С К функции-сужения х, у : [а, в] ^ С эквивалентны в пространстве С [а, в] • Легко проверить, что если непрерывная функция /(•) действует из С в С, то эквивалента ость х ~ у влечет эквивалентность /(х(•)) ~ /{у{•))• Действительно, вклю-/ х • , / у • € а, Ь г х — у
г € с(а, Ь) м г(Ь — 0) = 0 для любого Ь € К , а так как х(Ь — 0) и у(Ь — 0) существуют, то х(Ь — 0) = у(Ь — 0) . Если т ^ Ь — 0 , то х{т) ^ х{Ь — 0) и у(т) ^ у(Ь — 0), а поскольку / непрерывна, то /(х(т)) ^ /(х(Ь — 0)) и /(у(т)) ^ /(у(Ь — 0)) . Таким образом, ■м(т) = /{х(т)) — /(у(т)) ^ 0 , т.е. ад(Ь—0) = 0 при Ь € К , поэтому ад € ^ос(а, Ь). Остается вспомнить, что /(х(•)), /(у(•)) € в(а,Ь) .
Замечание 7.3. Произвольное конечное или счетное множество Т = {т\,т2,... } попарно различных точек тк € К
К
разбиений К обозначим через Т(К) . Пустое множество мы также включаем в Т(К) . Через 0^,, [через Г1ос ] обозначим пространство таких функций х : К ч С, что для любого отрезка [а, в С К функция-сужение х : [а, в] ч С принадлежит пространству в5[а, в) [соответственно Г1ос[а, в ]; где Б = ТП [а,@].
8. Обобщенные прерывистые функции
Пространство О = 0{а,Ь) , состоящее из финитных функций про-а, Ь
фупкций. В нем определено понятие сходящейся последовательности: будем говорить, что последовательность основных функций {рп} 1 рп € О, сходится к основной функции р € О (и писать рп —л р ), если у всех функций рп и р есть общий носитель [а, в С К и Уаг (рп — р) чО.
[а,@] п
Пример 8.1. Если К = С , последовательн ость {^п}, 7„ € С, такова, что 7„ -► 0, т > О, рп{г) = 7„(1 - |£|) при
| Ь \ ^ т и рп(Ь) = 0 при | Ь I ^ т , то рп —Ч 0 . Здесь [а, в - это любой отрезок, содержащий отрезок [—т, т], а р(Ь) = 0 .
Через 01 обозначим пространство линейных непрерывных функционалов I : 0(а, Ь) ч С (непрерывность означает, что сходимость последовательности основных функций рп —л р влечет сходимость (£,рп) —л (£,р) ), а его элементы назовем обоб-
п
щенными функциями {распределениями).
Всякая (обычная) функция х € Ь1ос порождает обобщенную функцию 1Х € О' {&х,р) = (Ь) / р(Ь)х(Ь)в,Ь , заданную
к
через интеграл Лебега. Линейность функционала 1Х очевидна, а непрерывность следует в силу следующего обстоятельства. Если рп —л р, то у функций рп и р есть общий носитель
[а, в С К и Уаг ((рп — ( ^ 0 . Поскольку х € Ь1ос , то функция
[а,в] п
У^) = / х(з) йз абсолютно непрерывна на [а, в] , а в соответствии
а
с [3, с. 249] и следствием 1.5 справедлива цепочка
в в в в
{1х,(п) = Щ / (п{ 1)х{г)(И = / (п йу= — / уй(п-► — ! У&р =
а а а п а
в в = $ (йу = (ь)/ ((г)х(г)м = (£х, (.
аа
Если х € АС1ос , то х почти всюду дифференцируема, причем х' € £1ос и (£х,( = (Ь) / (^)х'( 1)йЬ = / (йх. Послед-
к к
х€
любой прерывистой функции х € в , и это наблюдение дает нам основание ввести следующее обозначение: (£х/, () = / (йх ,
к
х€
многом повторяет доказательство непрерывности функционала ( ^ (£х,())■ Более того, работая в дальнейшем только с прерывистыми функциями х € в , мы вместо обозначений (£х, ( и {£х!, ( будем использовать обозначения
(х,()=/((г)х(г)йг и (х',(=1(йх, (81^
кк
называя функционалы обобщенной прерывистой функцией и обобщенной производной прерывистой функции соответственно. Замечание 8.1. Первый из интегралов (8.1), вооб-
х€
тегралом. Отметим также следующее обстоятельство. Поскольку (х,() = (у',(), где у^) = / х(з)йз, то имеет место следующая
а
диаграмма включения семейств функционалов (8.1):
{( ^ (х,() }хеС С {( ^ (у',() }уеС С Б'. (8.2)
Другими словами, всякая обобщенная прерывистая функция является обобщенной производной от некоторой другой прерывистой функции, причем включения в диаграмме - строгие. В истинности последнего утверждения легко убедиться, показав, что £-функция ( ^ ((0) принадлежит второму, но не принадлежит первому семейству.
Теорема 8.1. Пусть х € в(а,Ь) . Для того чтобы равенство {х, () = 0 имело место при всех ( € Б(а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы х € 01°с(а,Ь) .
х, (
выполнено при всех ( € Б. Зафиксируем произвольный отрезок [а, в С К и какую-нибудь функцию ( € Б, носитель которой принадлежит [а, в • В силу леммы 2.3 для функции-сужения х : [а, в) ^ С имеет место представление х = хь + х0 , где хь € в ь [а, в), х0 € С0 [а, в) • Согласно замечанию 2.2 произведе-(х а, в
имеем (х0, ( = 0 . Тем самым (хь, ( = 0 и, в частности, справедливо равенство (хь ,Тр) = 0 , следовательно, (хь, Ые ф) = 0 . Таким образом, для любой функции ( € Б, носитель которой принадлежит [а, в , имеем
(Иехь , Ие() = 0 и (1т хь , Ие()=0. (8.3)
Допустим, что существует £ € (а, в такое, что Иех^£) ф 0 (можно считать, что Иех^£) > 0). Поскольку Иехь € вь [а, в) , то существует 5 > 0 такое, что Иех^т) > 0 для всех т из полуинтервала (£ — 5, £] С (а, в • Если функция ( € Б такова, что 11е ((т) > 0 при т € (£ — 5, £) и Ые((т) = 0 при т € (£ — 5, £), то (Иехь ^е( > 0, что противоречит (8.3). Таким образом, Иех^£) = 0 для любого £ € (а, в , следовательно, Иех^ £) = 0, апалогичп о 1т хь( £) = 0 , поэтому хь( £) = 0, а сужение функции х та отрезок [а, в совпадает с функцией х0 из пространства С0[а, в] • Поскольку последнее утверждение верно а, в х €
Достаточность. Если x € G^00 , то для любого р € D прерывистая функция y = ^x финитна, причем в силу замечания
2.2 справедливо включепне y € . Согласно лемме 2.1 имеем
{x,^) = / y(t) dt = 0. к
Теорема 8.2. Пусть x € G (a,b) . Для того чтобы равенство (x', р) = 0 имело место при всех р € Da, b) , необходимо и достаточно, чтобы x ~ const.
Доказательство. Необходимость. Функция, тождественно равная 1, порождает функционал (1,р) = J p(s)ds .
к
,p
t
тех р € D , что функция ф^) = f p(s)ds также припадлежит D .
a
О функции ф можно сказать следующее. Включение ф € CBVloc очевидно, более того, ф € АС1ос . Кроме того, если [а, в С K
p
ф(Ь) = 0 для любого t < а и ф(t) есть величина постоянная при t > в (если обозначить ее через с, то, очевидно, с = (1, р) ). Таким образом, если (1, р) = 0 , то с = 0 , следовательно, ф фиф € D ф € D ф
с = 0 и (1,р) =0.
Зафиксируем функцию р такую, что (1, ро) = 1, произвольную функцию р € D , и пусть с = (1, р) . Если р\ = р — с ро , то
t
, p ф t p s ds
a
жит D . Поскольку ф\ € АС1ос , то справедлива цепочка
(x, р\) = / р(t)x(t) dt = f x dфl = — f фldx = —( x', фх) = 0, к к к
поэтому ^,р) = с (x, ро) = (x^o) (1, р) • Таким образом, для любого р € D выполнено равенство (x — (x, ро), р) = 0, поэто-
x — x, р €
и, следовательно, x ~ const.
Достаточность. Если x(t) = с + x0(t), с € С , x0 € , то
для любого р € D справедливо (x',(p) = f pdx^ = —f x0dp , а
K K
поскольку x € Gq0C , то в силу леммы 2.1 имеем (x1 ,р) = 0.
9. Присоединенные обобщенные производные
9.1. Канонические уравнения в пространствах присоединенных распределений
Теорема 8.2 применима при решении абстрактных уравнений, заданных в терминах обобщенных прерывистых функций. В соот-
x€
ждает в D функционал x' вида (8.1), при чем (x' ,р) = 0 при всех р € D тогда и только тогда, когда x ~ const.
Зафиксируем разбиение T € T(K) . Для любых x € Gfoc (см. замечание 7.3) и р € D существует присоединенный интеграл (6.1), поэтому определен линейный непрерывный функционал
{x,p) = {x,p)т = /р ■ dx. (91) K
Поскольку р - непрерывная функция, то рт = 0, следовательно, f р ■ dx = f р dxT , а тождество (x ,р) =0 справедливо тогда KK
и только тогда, когда xT ~ const. При T = 0 имеем x = x'.
Для функций x из Г1ос [ или ВVloc ] и произвольпых р € D
существует присоединенный интеграл f р о dx, понимаемый в
K
D
(x,^^= fр о dx■ (9.2)
K
Из-за непрерывности р справедливо J р о dx = J р dxc , а то-
KK
x, р =
xc ~ const (поэтому xc = const). Полученные результаты можно свести в следующую таблицу.
Таблица 1
х € G х € G^c x € Г1ос [ или x € BVloc]
(х',<р) = 0 (х,р)т = 0 (x,p) = 0
х ~ const хт ~ const Xе = const
x(t) = с + r(t) Ус£ С У г € Gl°c x(t) = h(t) + r(t) Ук € Hl0C[T] Vr € Gl°c[T] x(t) = h(t) Ук <E Hloc
В последней строке таблицы использованы следующие обозначения: Hloc = Hloc(K) - пространство [алгебра] таких функций х : K ^ С, что доя любого от резка [а, @] С K функция-сужение х [а, в ^ С является функцией скачков. Функции из Н1ос также будем называть функциями скачков. Для любого M С K пространство [алгебра] Hloc[M] = Hloc(K)[M] состоит из тех функций х € Н1ос, что Т(х) С M , a Gl°c[M]±Gl°c(K)[M] состоит из тех функций х € Gq0C , что x{t) = 0 доя всех t € M (что равносильно тому, что х непрерывна во всех точках M ).
Замечание 9.1. Если T = 0, то доя функций h
из Н1ос[0] выполнено T(h) = 0, т.е. h(t) = const, поэтому Н1ос[0] ~ С, и в дальнейшем мы будем отождествлять Н1ос[0] С0 чить первую колонку таблицы 1 во вторую. В пользу такого объединения можно также добавить равенства хт = х и Gfoc = G, T0
t t
соответствии с которыми при T = 0 справедливо f х-dy = f хйу
а а
и поэтому (х, ф)0 = (х', ф при всех х € G и р € D .
Замечание 9.2. Согласно (3.6) и (3.8) справедливо тождество хт(t, а) — хт (t, в) = const, поэтому функционалы (9.1) и (9.2) не зависят от а € K .
Замечание 9.3. Функционалы вида (9.1) и (9.2) будем называть присоединенными обобщенными производными {присоединенным,и распределениями). Уместно также отметить, что для любых функций х из Г1ос [или из ВУ1ос ] определены
как функционалы (9.2), так и функционалы (9.1). Для любых
к
\о, \\,... , Хк € М таких, что Х3 ^ 0 и £ Х3 = 1, и для любых
3=0
Т,... ,Тк € Т( И) через X обозначим множество тех x ев, что х € Г1ос [ и ли х € ВУ1ос ] п ри Хо > 0 и х € в Тс при вс ех ] ^1 таких, что Хз > 0. Попятно, что X = Г1ос [ или X = В У1ос ] при Хо > 0, а при Хо = 0 справедливо X = Р| ,
где и = и Т3 (СМ. ЛвММу 3.1), 3 - это множество тех индексов
] = 1,... , п, тоо Хз > 0. Всякая функция х € X определяет в В линейный непрерывный функционал
— о к
(х, ф)т = Х0 (х, Хз(х, ф)тз,
3=1
который будем называть взвешенным распределением. Что касается уравнения (х, ф)т = 0 , то при 3 = 0 справедливо Хо = 1, поэтому уравнение принимает вид (х ,ф = 0, и его решения мы знаем. При 3 ф 0 уравнение эквивалентно совокупности
( Хохс + £ Хз хт = 7 + д
{ 33 V7 € С Уд €0*ос. (9.3)
[ х € X
Для всякого уравнения (9.3) справедливо: разность х — д является функцией скачков, поэтому условие х € X равносильно тому, что д € X; функция д непрерывна в точках разбиения Т = П Т3 , поэтому д € С[Т] П X , а совокупность равносильна
( х=у+д
у = Х0хс+Т, 3 хт+ 7 У 7 € С уд €ОЦ*[Т] П X.
I зез 3
Так как g(t—0) = g(t+0) = 0, то для функции yT (непрерывной в точках t € T, где yT (t—0) = yT(t) = yT (t+0)) при t € T имеем
yT( t+0) — yT (t —0) = y(t+0) — yt —0) = x(t+0) — x(t—0) = 0.
Последнее равенство справедливо в силу следующего обстоятельства. Переходя в (9.3) к пределу при т ^ t—0 и при т ^t+О ,
получаем, что £ Xj [xTj (t+0) — xTj (t—0)] = 0 для всех t € K , no-3&J
этому [ Xj] [x(t+0) — x(t—0)] = 0 , где J(t) = {j € J : t € Tj} .
j€.J(t)
Первый сомножитель равен нулю тогда и только тогда, когда J(t) = 0, что равносильно тому, что t € T. Следовательно, для t € K\T действительно имеет место равенство x(t—0) = x(t+0) . Итак, yT (t+0)— yT (t—) = 0 для всех t € K , поэтому функция
yT
замечания 7.1 и 7.2), следовательно, yT ~ с = const. Разность yT—с непрерывна в T и принадлежит пространствам и X
(как функция скачков), поэтому r = yT — с + д € G^0C[T] П X. Включение h = с + yT € Н10C[T] очевидно, поэтому семейство всех решений уравнения (х,фт = 0 имеет вид
x(t) = h(t) + r(t) Vh € Hl0C[T] Vr € C[T] П X
и отличается от семейства решений уравнения (x, ф)T = 0 лишь rT
вескамиС в виде функций скачков) могут появиться, если в определении взвешенного распределения отказаться от ограничений типа Xj ^ 0, однако мы на этом вопросе не останавливаемся.
Пусть T € T(K) и f € G - произвольная прерывистая функция. Уравнение (x,p)T = (f,p) для x € Gfoc равносильно
f p-dx = f p{t)^t)dt = f ф)й( f f(s)ds)= f ф)f f(s)ds).
K K K a K a
Последнее равенство справедливо в силу непрерывности функ-t t
ций p(t) и f f(s) ds . Следовательно, xT (t) — f f(s)ds ~ const,
a a
t
поэтому x{t) = f f(s) ds + h(t) + r(t), где h€Hl0C[T], r € G^0C[T].
a
Если присоединенная производная понимается в смысле определения (9.2), ах € Г1ос [или x € BVloc ], то решениями уравне-о t ния (х, p) = (f, p) являются функции x{t) = f f(s) ds + h{t),
a
h€
f
существенно расширяется: вместо констант к интегралам прибавляются функции скачков и, возможно, функции из G^00 .
f€
однако мы работаем лишь с прерывистыми функциями.
Пусть X С G - произвольное подмножество. Каковы бы ни были T € T(K), оператор V : X ^ G foc x € X
порождают в D функционал р ^ J р ■ (Nx . В дальнейшем для
к
x
(Vx,p) = (Vx,p)т= / р ■ (Nx. (9 5)
к
Оператор V : X ^ Г1ос [или V : X ^ BVloc ] и произвольная x € X D
о
x
{Vx,p)=jp о (Nx. (9.6)
к
x
ветствии с замечанием 9.1 семейство (9.5) содержит функционал ((Vx)', p), соответствующий разбиению T = 0 .
Замечание 9.4. Если X = CBVloc и Vx = x, то все решения, приведенные в табл. 1, г'схлопываютсяб в одно об-xt
ского уравнения x' = 0 и с равенством (сс, p) = (x, p)T , справедливым для любых непрерывных x и T € T( K .Если X = C , то присоединенная производная определена в Gfoc и Г1ос , - здесь также x(t) = const. Если X = ВУ^с - пространство [алгебра] непрерывных слева функций локально ограниченной вариации (очевидно, ВУ^0С = BVloc П GL ), то решения x(t) = const остаются лишь для первого уравнения, а во втором и третьем случае решениями являются непрерывные слева функции скачков x(t) = h(t) (соответственно h € Н1'0C[T] П GL и h € H1'°c П GL ).
Обобщая данные табл. 1 на произвольный оператор V с обла-X
о
xx
строке табл. 1 приведены все решения соответствующих уравнений, а в последней строке табл. 2 выписаны лишь совокупности уравнений, эквивалентные этим уравнениям.
Таблица 2
V.T £ C,L Vx e Г1ос [илиУх 6 BVl0C]
(Vx,ifi)T so (Vx,p) = 0
(Vx)T ~ const (Vx)c = const
f (Vx)T(t) = с + r(i) \ xeX Vc e С Vr € Gl°c Г (Vx)c(i) = с } xel Vc € С
Пример 9.1. Пусть T € T(K) (допускается T = 0),
t
а € K , X = GjTc , q € CBVloc и (Vx)(t)± x(t) — / x dq . В частном
ь
случае, когда д€ АС1ос, справедливо (Ух)^) = х^) — / д'(в)х(в)йв
а
и (Ух)' = х' — д'х , поэтому уравнение ((Ух)',р) = 0 равносильно уравнению (х', р) = (д'х, р) или х' = д'х .
Уравнение (Ух,р)т =0 эквивалентно совокупности
х{Ъ) — /хйд = у(1) + т^) VV € Н1ос[Т] Vг € ^0С[Т|,
а
а в силу (1.2) и леммы 2.1 справедливо представление
х&) = е-*ы + / в-*м ^(в)] ея^+т^).
а
Через Н обозначим функцию, стоящую в квадратных скобках. Очевидно, она является функцией скачков и Н € Н10С[Т] . Легко проверить, что отображение V ^ Н является биекцией Н1ос[Т], поэтому всякое решение уравнения (Ух,р)т = 0 представимо в виде х{Ъ) = НЩе^ + т^) через произвольные Н € Н1ос[Т] и г € в^Т] . Если Т = 0 , то согласно замечанию 9.1 справедливо
х^) = еед(^ + г(£) . Если X = Г1ос [или X = ВУ1ос ], то уравнение
О
(Ух,р) = 0 равносильно совокупности уравнений
ь
х^) — /хйд = v(t) VV € Н10с.
а
Повторив выкладки, получим, что х^) = Н^) ед^ , где Н € Н1ос .
Таблица 3
х € 0^ х € Г1ос [илих € ВУ1ос]
(Ух, р)т =0 (Ух,р) =0
х(£) = /г(£) е+ г(£) V/! € Н1ос[Т] Уге01°с[Т] х(£) = /г(£) УЬ € Н1ос
Замечание 9.5. Каковы бы ни были разбиения
£ .
Б\,... , Бт € Т( К операторы У,- : X ^ в. , ^ = 1,... ,т, оператор Уо : X ^ Г1ос [или Vо : X ^ ВУ1ос ] и функция х € X, они порождают в В линейный непрерывный функционал
_1_ _1_ — о т ,
(Ух,(р) = (Ух,(р)8 =(У0х,<р) + £ (VзХ,(р)^,
3=1
и определено уравнение (Ух , р) = 0 , равносильное совокупности
т
(У0 хЧЪ+Ц (У3 х.$ = С + Т®
3=1 Vc € С Vт € ,
х € X
однако на его особенностях мы не останавливаемся.
9.2. Об импульсных уравнениях
Следуя [15; 16] импульсным будем называть уравнение
х&) = Яьх№)<2№,
заданное в терминах обобщенных функций (распределений). Через х и ф обозначены соответственно п-мерные и т -мерные векторные функции, а матричнозначная функция / : П ^ Спхт задана в области ПС М х С п . Простейшим (по записи) представителем является импульсное уравнение х = 5^)х, однако уже для его решения существующие в настоящее время подходы дают зачастую противоречащие друг другу результаты. Мы вернемся к этому уравнению в примере 9.2 и в замечании 9.8.
С позиций присоединенных обобщенных производных появля-
О
хх
ь
ратор V : Xй ^ Сп имеет вид (Ух)^) = х^) — //(в,х(в)) йф(в) .
[ Конечно, первое уравнение - это семейство уравнений, зависящее от разбиений Т .] Здесь X С в , компоненты вектора ф при/
ящей работы мы ограничимся достаточно простым случаем таких уравнений, а наиболее общим импульсным уравнением можно считать систему (см. замечания 9.3 и 9.5)
| (xi,^p)Ti = (ViX,^p)Si 1 г = 1,... ,п ’
В которой взвешенные распределения (хг,р)т 1, г = 1,... ,п , порождены некоторыми разбиениями Тц,... , Т^к и коэффициентами Ада, •••, • Функционалы (V iX,p)Si порождены разбиени-
ямп Бц,... , Бт и операторами (Уу х)(1)= / /ц( в,х(в))(1фз( в),
а
г = 1,... ,п, ^ = 0,... , т, и имеют вид
— о т .
( Уг х, р)^ = (Ум х,р)+Т. (У 3 х, р)^ .
3=1
Перейдем, однако, к изучению более простого уравнения, прототипом которого служит система обыкновенных дифференциальных уравнений х' = ф'Ах, где А - квадратная матрица, ф € АС1ос - скалярная функция.
Пусть Т € Т( К) ; а € К, ф € ВУ1ос (допускается Т = 0 и
Т{Я) = 0)-, X = {х € вТос '■ Т(х) П Т(ф) = 0} , А - квадратная матрица порядка п с элементами Агз € С. Для оператора
(Ух)(£) = х(1) — / Ах йф , действующего из Xn в 0^^п (в прямое
а
пт у € вопределено уравнение (Ух, р)т = (у, р)т таи Ух = у .
Замечание 9.6. В силу следствия 3.1 оператор V
ху
ми у € в) входит уравнение Ух = / , где / - произвольная
прерывистая векторная функция. Дело в том, что в соответствии
/, р
вой части этой цепочки.
ху
( (Ух)т — ут = 7 + д
V 7 € С п V д €(^1.
{ х € Xn ,п
В силу уравнения д непрерывна в точках Т, поэтому д €в ^ [Т] .
Пусть Р = Т П Т(ф), К = Т(ф)\Т, Б = Т\Т(ф), и = Т и Т(ф).
Справедливо ут = уи+ ук и ф= д + фЕ+ фР , где д = фс €СВУ1ос, поэтому уравнения из совокупности имеют вид
х(Ь) — / Ах(д = уи(Ь) + [уЕ(Ь) + / Ах(фк] + [хт(Ь) + 7] + д(Ь).
аа
(9.7)
ь
Воспользовались тем, что поскольку Р С Т, то (/ х (фр)т = 0 .
а
Согласно лемме 3.3 функции, стоящие в квадратных скобках, являются функциями скачков, причем если обозначить их через и и V соответственно, то и € Нпс [Я] и V € Н[Т] . Все функции (кроме V), входящие в (9.7), непрерывны во всех точках Ь € Р, поэтому и V непрерывна там, т. е. V € Н^ [Б] . Следовательно, совокупность уравнений превращается в совокупность систем
ь
х(Ь) — / Ах йд = уи(Ь) + и(Ь) + v(t) + д(Ь)
а
и(Ь)=уя(Ь) + /Ах(фя V v [Б] V д [Т].
а
х € Xп
(9.8)
ид
непрерывны в точках Ь € Я, поэтому функция г = и+д, а вместе
с ней и гь (напомним, что гь(£) = — 0)) также непрерывна
в точках разбиения Я. В соответствии с замечанием 7.1 имеет место представление и = пь+ и0 , где иь € в” , и0 € в^ [К\Я] . Поскольку иь € НПс[Я], иь = хь , а хь непрерывна в Я, то иь(Ь) - вектор-константа ( = иь(а) К поэтому и(Ь)=иь(а)+и0(Ь), т. е. и - функция, эквивалентная вектор-константе (и — с € С п).
Если §(•) = иь(а) + у(•) (очевидно, § € [№] ) и г = и0 + д
(очевидно, г непрерывна в точках разбиения Т), то первое урав-
пение (9.8) принимает вид х(Ь) — / Ах(д = уи (Ь) + §(^ + т(Ь) . В
а
силу этого уравнения функция г непрерывна в точках разбиения Т(ф), поэтому г € вц°П [ТиТ(ф)] = [Щ . Таким образом,
ху
х(Ь) — / Ах(д = уи( Ь) + §(1) + г^)
а
х € Уп V§ €НПСИ Vг €0^р],
где через Уп обозначено линейное многообразие
Уп= {х € Хп | ук{г) + / Ах (Щк - с € Сп}.
а
Согласно (1.2) каждое уравнение совокупности эквивалентно х(£) = Ф(£) + еА?^ [е-Ад(а)(уи(а) + §(а)) + J е-Ая(•) (§] +г(Ь),
а
(9.9)
где Ф(Ь) = / еА^-<?М) (уи (в) - функция, зависящая лишь от
а
исходных параметров. Через Н обозначим функцию, стоящую в квадратных скобках (9.9). Отображение § ^ Н является биекцией Н^с [£], поэтому Ух = у равносильно совокупности
( х(г) = Ф(г) + еАд^ цг) + г (г)
\х € Уп VН €Нп°с[№] Vг €в[,осп[р.
Это, в свою очередь, эквивалентно тому, что
х(^ = еАФ) [Ц^ + 1е-А^•) (уи ] VН€Н Vг €вц°ПЩ,
а
(9.10)
где через Н обозначено линейное многообразие Н={Н № | уЛ^ + 1 А[Ф(в) + еА^ Цв)](«2я{ в) - с € С п} =
а
= {н €нпос № | у Л ь)+/ АеАд(^ [н(в)+!е-Ад (уи\ (дн{ в) - с € с п}.
аа
Таким образом, доказана
Теорема 9.1. Пусть Т € Т(К) > а € К , ф € ВУ1ос ,
X = {х € в^ : Т(х) ПТ((^) = 0} , А - квадратная матрица поТ п
рядка п с элементами А^ € С . Для оператора V : Хп ^ С1о’с , что (Ух)^) = х^) — / Ах (Щ , и для любого у €в 1(,ф уравнение
а
(Ух, фТ = (у, фт разрешимо тогда и только тогда, когда Н ф 0 . При этом семейством решений является многообразие (9.10).
Следствие 9.1. Если Т Т(<^), то Я = 0, поэтому Н = [Т\Т(ф)] , а семейством решений уравнения
(Ух, фТ = (у, фт является многообразие (9.10), в котором Щ = Т :
х(^ = еАФ) [Ц^ + 1е-А^•) (уТ ] VН€Нп°с[Т\Т(д)}
а
V г €в 10С [Т].
0,п1- ^
Если к тому же Т !Э Т(у), то уТ = ус - непрерывная функция, а совокупность х(1) = еАд^ [с + / е-Ад( ^ ((ус] , с € С п , является в
а
этом случае семейством всех непрерывных решений уравнения.
Пример 9.2. При любом ^функция Q = ( 1—+ порождает ^^^^цию р ^ р(0), поскольку
{Q',p) = / pdQ = (l—v)f<pd£ + vf<pd'n = р(0). к к к
t
Другими словами, Q' = 5 . Если (Vx)(t) = x(t) — f xdQ, то при
a
любом T € T(K) уравнение {Yx,p)T = 0 можно интерпретировать как импульсное уравнение X = 5(t)x . Здесь мы имеем n = 1, ^=1, у = 0, T(Q) = {0} и q = const. Следовательно, если 0 € T, то множество всех решений уравнения имеет вид
x(t) = h{t) + r{t) Vh€Hloc[T\{0}] Vr€G‘oc[T].
Константы, и только они, являются непрерывными решениями уравнения. Если же 0 € T , то U = T U {0} , S = T, R = {0} и
t
Н= {h €Hl0C[T] | / eq 0 hdQ -const} = {h €Hloc[T] | h(0) = 0},
a
а множество всех решениЦ уравнения имеет ВИД
x(t) = h(t) + r(t) Vh€H Vr £Gl°c[T U{0}].
Единственным непрерывным решением при 0 € T является x = 0 .
T
ние (Vx, р)T = 0 имеет нетривиальные решения (решение x = 0 очевидно). Действительно. При у = 0 справедливо
x(t) = eAq^ h(t) + r(t) Vh € Н Vr €Gjn[U], (9.11)
t
где H = {h € НПс[S] | / eAq(•) hdQR - c € Cn} . Если все разры-
a
Q Q t— Q t
всех t € K, то H = НПС[S] ф 0. Заметим, что в этом случае при n = 1 семейство (9.11) содержится в семействе решений из
первой колонки табл. 3. г'Лишнимиб там являются функции, имеющие разрывы в точках разбиения Т^) . Если у Q имеются неустранимые разрывы, то Н состоит из тех Н € Н 1°с [5], что Н(Ь) = 0 как только Ь € К и Q(t—0) ф Q(t+0) . Другими словами,
н = {н € н£сИ | Н{г) ^(г+о) - <3(г—о)] = о V* € л}.
Если искать только непрерывные решения, т.е. если X = С, то для ядер Q с устранимыми разрывами семейство решений уравнения Ух = 0 состоит из функций х(Ь) = еЛд^ с, с € Сп. Сравнивая с непрерывными решениями из примера 9.1, замечаем, что непрерывные решения г'не реагируют© на отдельные импульсные устранимые воздействия на непрерывное ядро. Если же Q имеет неустранимые разрывы, то единственным непрерывным решением является функция, тождественно равная нулю.
Пример 9.3. Пусть Т = 0, а = 0 , = %(— 1} (*) -
характеристическая функция интервала (—1 , 1), п = 1, А = 1, у € С. Имеем Б = 0, Н1ос [0 и С, К = и = Т(^) = {—1,1} ,
д = 1 и Н={с € С | / (с + у) dQ — сог^ } . Если у(Ь) = Ь , то
о
с= —1, а х(Ь) = Ь2 — 1 + г(Ь) - г'единствеппоеС решение (с точностью до слагаемого г € ^ос [и)). Если у(Ь) = Ь , то Н = 0 .
Теорема 9.2. Пусть а € К, Q € ВУ1ос , А - квадратная матрица порядка п с элементам и А^з € С . Для оператора V : Хп —— ГПс такого, что Х= {х €Г1ос : Т(х) ПТ^) = 0} ,
(Ух)(г) = х(Ь) — / Ах dQ , и для любого у € ГПс семейство реше-
а
о о
ний уравнения (Ух,р) = (у, р) представимо в виде (где q = Qc) х(г) = еЛ^ [Ц^ + !е-Л^•) dyc] VН €НП0С[К\Т{ф]. (9.12)
а
Совокупность х(Ь) = еЛд^ [с + /е-Лд(^ dyc] , с € Сп , является
а
семейством всех непрерывных решении уравнения.
Доказательство. Уравнение Ух = у равносильно совокупности уравнений
( (Ух)с - * = 7 V7 € сп
[ х € Хп
г
Так как Q = q + Цс, q € СВУ1ос и (/ Ах dQc)c = 0, то уравне-
а
4
ния принимают вид х(Ь) — / Ах dq = ус(Ь) + [ хс(Ь) +71 ] . Функция,
а
стоящая в квадратных скобках (обозначим ее у), является функцией скачков, т.е. у € Н Пс • Все функции (к роме у), входящие в уравнение, непрерывны во всех точках Ь € Т^), поэтому и у непрерывна там, т. е. у € НПС [К\Т^)] . Согласно (1.2) уравнение эквивалентно (учитывая, что введенное ниже отображение у ^ Ъ является биекцией НПС[К\Т(Q)])
г гг л
х(Ь) = еА^ | \[е-А^а(ус(а)+у(а)) + / в-Ад-')dу] + /в-Ад-')dyc \ =
= вАд(-г [Ъ(Ь) + /в-Ад(-') dyc].
а
Замечание 9.8. Легко заметить, что семейство решений (9.12) (обозначим его X) есть объединение семейств решений из следствия 9.1, у которых г = 0, взятое по всем Т, что Т ^ Т^) и Т(у) . Если обозначить эти семейства через Xт , то
х = и Хт.
т эт^) ит(у)
Множества непрерывных решений в семействах X и Xт совпадают. В частности, решениями импульсного уравнения х = 5(Ь)х
О
из примера 9.2 (т.е. уравнения (\,р) = 0) являются функции х = Ъ € Н1'0С[К\{0}] , а непрерывные решения - это константы.
9.3. О сингулярных уравнениях
Естественным обобщением уравнений из предыдущего пункта
і
являются уравнения с оператором (Ух)(і) = В(і)х(і) — / AxdQ ,
а
где В - это функциональная квадратная матрица порядка п.
Данный оператор, в свою очередь, допускает обобщение вида
і
(Ух)(і) = В(і)х(і) — / [ dQ ] х , где Q - квадратная матрица поряд-
а
ка п с элементами Є ВУ1ос . В последнее семейство входит
і і
также семейство операторов вида (Ух)(і) = / Р йх — / [ dQ ] х , где
аа
Р - квадратная матрица порядка п с элементами Р^ Є ВУ1ос . [Достаточно проинтегрировать по частям первое слагаемое, а векторная константа Р(а)х(а) никак не влияет на уравнение.] ВР
речисленные уравнения будем называть сингулярными [17].
Пример 9.4. Легко проверить, что решением системы
хх
обыкновенных дифференциальных уравнений < . явля-
хх
ются функции хі(і) = хг(і) = сеі, і Є К, (при любом с Є С), поэтому не всякая начальная задача разрешима. В то же вре-
О
мя уравнение (Ух, р) = 0 , заданное в терминах присоединенных
( 1 0 \ і
распределений через оператор (Ух)(і) = ( ^ ^ ) х(і) — / х(^йв
(где Х = Г1ос , V : X ^Г2°с ), эквивалентно совокупности
t
xi(t) — f xi(s) ds = h(t)
а
t
x\(t) — f x2{s) ds = h(t)
VЄ Hl0c.
Согласно примеру 9.1 решением первого уравнения являются
функции xi(i) = h(t) et, h € Hloc . Вычитая второе уравнение
t
из первого, получаем J (x2(s) — xi(s)) ds = h(t) — h(t) • Левая
часть - непрерывная функция, поэтому правая часть (как функция скачков) равна константе. При £ = а левая часть равна
*
нулю, следовательно, / (ж2(в) — х(^ Лв = 0 для всех £ € К , по-
этому Ж2 — Ж\ (см. лемму 2.1), Т.е. Ж2 = Ж1+Г , где г € 0^0СПГ1С1С . В частности, каковы бы ни были (£о, Жю, Ж20) € К х С2 , функции
(+\-\ Ж1$ег-г°, £^г0 М-( жюв*-*0, г<г0
Ж { Ж20 в- , Ъ \ж2й в- , £ ^ *0
являются решением системы и удовлетворяют начальным условиям Жх(£о) = ^ И Ж2(£о) = Ж20 •
Пример 9.5. Пусть К = М, Х = {ж€в : гж{г) € Г1ос} ,
*
^ € М . Оператор V : Х ^ Г1ос , что (Уж)(£) = 1ж(1) — ^ / ж(в) Лв ,
а
о
порождает уравнение (Уж, <р) = 0 . Оно разрешимо, так как ж = 0
Ж€ Х
*
нения, тогда существует 7 € С , что (Ьж^))с — ж(в) Лв = 7.
а
В соответствии с замечанием 3.7 справедливо (Ьж^))с = 1ж(1) — *
—(£ж(£))с = £ж(£) — / вЛжс(в), следовательно,
а
*
£ж(£) — V € Н1'°с[М\{0}] .
а
*
Мы обозначили у(1) = 7 + /вйжс(в), поэтому в силу специфи-
а
ки правой части справедливо V € Н1ос , причем V непрерывна в нуле. Так как ж € в, то функция 1ж(1) тоже непрерывна в пуле, поэтому Нт т ж(т) = Нт т ж (г) = 0, следовательно, для
тнО—0 т н0+0
1 , /,ч . Г I £ I1—м, £ Ф о
функции п{ъ) = < д £ — о справедливы равенства
Нт Н(т) | г Г = Нт Н(т) | г Г = 0. (9.13)
тнО—0 т н0+0
Зафиксируем отрезок [а, в С (0, го) (или [а, в С (—го,0)). Если q(t) = t 11 \^—1 , t £ [а, в ; то q '(t) = ц 1t |M_1 , поэтому
t t
v(t) = tx(t) — ц f x(s) — ц/ MX \ s \M_1 ds =
a a
t t t
= — / hdq = h(a) q(a) + j qdh = v(a) + f qdh,
a a a
t t s t
h(t) — h(a) = f dh = f q—1 (s) d ( f q dh) = f q—1 dv .
a a a a
Таким образом, для сужений h \( 0,^) и h \(_те,о) справедливо
h \(о го) £ Н1ос( О, ГО и h \(—те,о) £ Н1ос(—го, 0). Кроме того, h удовлетворяет условию (9.13), следовательно, всякое решение
О
уравнения (\x, X =0 представимо в виде
( h\(t) \ t \^~l , t < 0
x(t) = < с , t = 0 ,
[ h2{t) \ t \^—1 , t > 0
где h £ Н1ос(—го,0), c £ C, h2 £ Н1ос(0, го), причем функции
скачков h, h2 таковы, что lim hi(X \ т \ м = lim h2(X \ т \м = 0.
т ——0—0 т—0+0
Отметим некоторые любопытные решения уравнения. В первую очередь заметим, что при ц ^1 существуют непрерывные решения. Действительно. Если ц = 1, то константы, и только
ц>
для непрерывности необходимо hl(t) = C\ при всех t £ (—го,0), bi{t) = С2 при всех t £ (0, го) и, следовательно, с = 0, поэто-
t4\ \ + \U—lf с\, t ^0
му непрерывные решения имеют ВИД x(t) = \ t \ | с t>0’
где Cl, С2 £ C . Следует отметить, что нет непрерывных функций,
x x x
В то же время эта задача имеет решения, непрерывные в нуле. В качестве иллюстрации приведем такое решение для уравнения, в
котором ц = 2 . Без ограничения общности считаем, что Xo = 1 • Пусть h\(—t) = h2(i) = [у] - целая часть числа у (при t > 0 ), а с = 1. В силу четности x достаточно считать, что t ^ 0 . Итак, х(0) = 1 и x(t) = t [у] при t > 0. На каждом полуинтервале t € (fcqrr, \ ] 1 к = 1,2,... , имеем x(t) = fci, т.е. х линейно возрастает от величины до 1. Тем самым ж(0+0) = 1 = х(0—0) .
x£
в правой части тождества 1 — x(t) = t {|} стоит функция из при-
t £ , t
—x
[0,1] .При ц < 1 единственным непрерывным решением, определенным на всем R, является тривиальное решение x = 0 , однако существуют решения, непрерывные в нуле, отличные от тривиального. Например, если ц = 0, h\{—t) = /гг(£) = [у] 1 при
0 < t ^ 1, h (—t) = h2(t) = 1 при t^l и с=1,то для решения x
выкладки и показать непрерывность в нуле и неограниченность
,
имеющих неограниченную вариацию на каком-нибудь отрезке, сингулярные же уравнения подобное явление обнаруживают.
9.4. О функционально-дифференциальных уравнениях
В отличие от предыдущих пунктов в дальнейшем будем вести речь не только о тех решениях, которые определены па всем K, но и о тех, которые определены на внутренних интервалах K . Объединение G = G(K)= U G(I), взятое по всем интервалам
ICK
1 С K, представляет собой совокупность прерывистых функций
x{t), t £ I (каждая функция x со своей областью задания I). Для любого X С G через XI) обозначим семейство тех функций x : I ^ C, что x £ X. Зафиксируем разбиение T £ T( K) и оператор V : X ^ G , действующий из в G(I) при всех
I С K. Будем прерывистая функция x £ X(I)
является решением уравнения Уж = 0, если Уж € (I) и
(Уж,р)в = О для всех р € 0(Д (где Б = Т П I). Совокупность
всех таких решений обозначим через Ху (I) . Будем говорить, что прерывистая функция ж € Х(1) является решением уравнения ° 1 °
Уж = 0, если Уж € Г10с(1) и (Уж,р) = 0 дая всех р € 0(1) .
°
Совокупность всех таких решений обозначим через Ху (I) .
Объединение Ху = и Ху (I), взятое по всем I С К, будем
1СК
ж
Ху определен частичный порядок: решение ж\(Ь), Ь € Д , предшествует решению ж2(Ь), Ь € Д , если Д С Д и ж(^) = при всех Ь € Д . Максимальные элементы этого частичного порядка будем называть непродолжаемыми решениями уравнения
°
Уж = 0 . Аналогичным образом определяется семейство Ху всех °
ж
этого уравнения.
Замечание 9.9. Все решения, о которых шла речь
К
следовательно, являются непродолжаемыми решениями соответствующих уравнений. Тем не менее, при любом I С К существуют и другие непродолжаемые решения этих уравнений. Например, в примере 9.5 имеются непродолжаемые решения вида ж(Ь) = Н(Ь) | Ь | М_1 , Ь € I, где I = (—го,0) либо I = (0, го), а Л, таковы, что нарушается условие ^(т) | т |м = 0 либо
Нт0Нт) | т |м = 0 . Более того, для любого I С К можно указать непродолжаемые решения вида ж(Ь) = Н(Ь) | Ь |м_1 , Ь € I.
Замечание 9.10. Пусть Т € Т( К) • В частном случае, когда X С £ таково, что Х(Д С в(I) при любом I С К (где Б = ТП^оператор Е-.Х(где £ = £(К = и ^(Л ),
1СК
действующий при каждом I С К из Х(Д в Lloc(I), порождает
новый оператор V следующего вида. Областью задания V является множество пар (х, а) € ХЛ х I ПРИ всех I — К , а действие оператора определяется правой частью выражения
У(х(Ь),а) = — /(Ех)(в)йв. (9.14)
а
При любых а € I, х € ХЛ и V € справедливо ра-
венство {Чх,ф)Б = (х,р)в — (Ех,<р), следовательно, уравнение Ух = 0 принимает вид х = Ех, а при Т = 0 имеем х = Ех, поэтому в соответствии со сложившейся традицией [18; 19] будем называть такие уравнения функционально-дифференциальными. Если каждое Х(Л содержится в Г1ос(/) [или в ВУ1ос(/) ], то определена присоединенная обобщенная производная (9.2) и для всех а € I, х € ХЛ и V € ^(^ выполнено
◦ О
(Ух, р) = (х, р) — (Ех, р) , т.е. определено еще одно функциональ-
О О
но-дифференциальное уравнение Ух = 0 , имеющее вид х = Ех . Так как У(х(Ь),а) — V(х(Ь),@) = сог^ для любых а, в € I, то
О
уравнения х = Ех и х = Ех не зависят от параметра а.
О
х Ех х Ех ( х(Ь) — /(Ех)(з) йв = Н(Ь) + т(Ь) VI — К
\ а
{ х € ХЛ VН €Н1ос(1)[Т] Vг €С‘0С(Л[Т]>
(9.15)
ХЛ — /(Ех)(в) МЛ V1 — К (916)
х € ХЛ Vн €Н10С(Л
соответственно. Более точным обозначением для пространств из
(9.15) является Н1ос(1)[Т ПI] и 01°С(1)[Т ПI] . Оно подчеркивает зависимость разбиения от интервала I, однако перегружает запись. Отметим еще, что в силу замечаний 9.2 и 9.10 всегда можно считать, что а € I фиксировано.
В соответствии с определением (9.14) решения уравнения
(9.16), если они существуют, представляют собой сумму локально абсолютно непрерывной функции (интегральное слагаемое в
(9.16)) и функции скачков (правая часть (9.16)). Решения уравнения (9.15) могут иметь добавки в виде функций из пространства С>ос , причем для ряда операторов Е зависимость решений от слагаемого г Є носит весьма существенный характер.
Будем говорить, что оператор Е : X ^ 0 - сильный, если для любых х,у Є X таких, что х — у , следует Ех — Еу. Если оператор Е не является сильным, будем называть его слабым. Например, если непрерывная функция /(•) действует из С в С, то согласно замечанию 7.2 оператор Е : х(•) ^ /(х(•)) -сильный. Слабый оператор приведен в примере 9.8.
Е
замена х = у + г приводит уравнение (9.15) к виду
У(і) — /(ЕУ)(з) йв = Цг). (9.17)
а
Это означает, что если у : I ^ С - какое-нибудь решение урав-
у
суммой локально абсолютно непрерывной функции и функции скачков и, во-вторых, всякая прерывистая функция х : I ^ С, у х Ех
Е
х Ех
у
ства С[)ос(^[Т] . Как показывает приводимый ниже пример 9.8,
Е
Пример 9.6. Пусть Т Є Т(К , X = и (I) (ли-
ІС К
бо X = и Г1ос(Л , либо X = и ВУ1ос(1)), (Ех)(і) = рфхф ,
ІСК ІСК
р Є р Є Е
і
Оператор (9.14) принимает вид У(х(г),а) = х(г) — /хйд, где
а
q(t) = J p(s) ds, поэтому мы попадаем в условия примера 9.1.
а
о
Следовательно, все решения уравнения x = Fx имеют вид t
x(t) = h(t) exp f p(s) ds, t € I, VI С K V h € H1'0C(I).
а
I
жаемых решений уравнения. Например, если I = (а, @), а = а,
в < Ь, а функция h такова, что пет предела lim h(r), то
т ^в—о
соответствующее решение - непродолжаемое (если бы предел существовал, мы могли бы продолжить решение на полуинтервал [в, b) нулем). Аналогично для уравнения X = Fx .
Пример 9.7. Если f : П ^ Cп задана и непрерывна в области О С R х Cп , то определены интервал K = (а, Ь), где
a t b t Fx t f t, x t
(t,x еП (t,x еп
ствующий из X в Gn . Множество X состоит из тех функций x(t), t € I, что I С K, x € Gn(I) и (t, x(t)) € О при всех t € I. Если вместо включений x € Gn(I) потребовать x € G^7’^I) при некотором T € T(K) или x €ГПс (I), то для оператора (9.14)
t t V{x{t),a) = x(t) — / (Fx)(s)ds = — / f (s, x(s))ds
аа
о
x Fx x Fx рых служит система обыкновенных дифференциальных уравнений x; = f(t,x). Уравнения равносильны совокупностям (9.15)
F
казательство этого утверждения повторяет доказательство для функций из замечания 7.2), то решение совокупности (9.15) сводится к решению (9.17).
Отметим любопытные решения некоторых уравнений. Пусть П = R х C, f(t, x) = x2 . Семейство непродолжаемых решений
обыкновенного дифференциального уравнения х' = х2 выглядит следующим образом: х = 0 является непродолжаемым решением; если константа с € К такова, что с ф 0, то функция ж(£) = —^ ^ М., также является непродолжаемым решением;
наконец, для любого с € М функции ж(£) = ^ , £ € (—оо, с), и ж(£) = ^ , £ € (с, оо), - непродолжаемые решения. Покажем, что при любом е > 0 периодическая прерывистая функция
х{^) = —1 г , £ € М, является решением уравнения х = х1. £+1 -{£}
Действительно. Пусть Ь ^0 и и = [Ь], тогда {Ь} = Ь — п, а на каждом полуинтервале в € [к — 1, к) , к = 1,...,п, справедливо ж(5) = £+1 3 ' Следовательно, для интегрального слагаемого из
(9.16) имеет место цепочка равенств
(для отрицательных t выкладки аналогичны).
Пусть П = R х {х £ С : Ыеж > 0, 1тж = 0} , f(t,x) = —2л/х. Непродолжаемые решения обыкновенного дифференциального уравнения х' = —2л/х имеют вид x(t) = (c—t)2 , t € (—оо,с) , т.е. пет ни одного решения, определенного на всем R . Покажем, что прерывистая (периодическая) функция x(t) = (1 — |t})2 , t € R,
О __
удовлетворяет уравнению x = —2 уx. Действительно. Пусть t ^0 и n = [t], тогда {t} = t — п,ана каждом полуинтервале s € [k — 1, k), k = 1,..., n, справедливо x(s) = (k — s)2 . Следовательно, для интегрального слагаемого из (9.16) имеет место
t n k
t
f x2(s) ds =
0
+/
n
(e+n+1 — s)2
ds
£+n+1—t
1
где h(t)= e ^ , t € R, - функция скачков, т.е. h € Hloc(R) £(£+1)
n k t
2 / a/z(s) ds = —2
^ / (k — s)ds — 2/ (n+1 —X ds
о
k k—
n
= E (k — s)2 |J:—x + (n+1 — s)2 |П = (n+1—t)2 — (n+l) = x(t) — 4t), k
где = 1 + [t] 7 t € R, - функция скачков, т.е. h € Hl0C(R) t
Пример 9.8. Если (Fx)(t) = x(0) 9(t), где 9(t) - функция Хевисайда, т.е. Q(t) = 0 при t ^ 0 и Q(t) = 1 при t > 0, то F
J — x(0){t6(t) — ) =VI С R: 0€ I
[ x €Г1ос (I) V h €Н1ос (I)
(интеграл вычислили интегрированием по частям). Подставив в это равенство t = 0, исключив а в (а) и введя обозначение
°
c = x(0) , получаем множество всех решений уравнения x = Fx -это функции x(t) = c (l+te(t))+h(t) — h(0), t € I, с произвольными параметрами c € C, 0€ I С R, h € H1'°c (I) . Н^^^ывные пепродолжаемые решения - это функции x(t) = c (l + t^t)) , t € R
решений уравнения-аналога x'(t) = x(0) ^t), понимаемого как
t
равенство п.в. (т.е. уравнения x(t) —x(a) = f x(0)e(s)ds). Что ка-
a
сается уравнения x = Fx (при некотором T), то проделав аналогичные выкладки с совокупностью (9.15), получим семейство
x(t) = c (1 + te(t)) + h(t) — h(0) + r(t) — r(0), t € I,
с параметрами c € C, 0€ I С R, h € Hl0 C(I)[T], r € G‘° C(I)[T] . Отметим любопытное явление, характерное для уравнений со слабым оператором. При T = 0 ураопепие имеет вид x' = Fx , а его решения - это функции x(t) = c (l +1 e(t)) + r(t) — r(0), t € I, r € I
x' t x в t
r
r
Исследования, посвященные слабым операторам, анонсированы в [20] и готовы к печати в рамках другой работы.
9.5. Об уравнениях с разрывной правой частью
Мы вскольз затронем этот важный класс уравнений [21], проиллюстрировав применимость теории присоединенных распределений на следующем примере. Пусть П = R х {x € C : Imx = 0} ,
( —1 , x < 0
f(t,x) = — signx= — < y , x = 0 , (t,x) € О,
[ 1 , x > 0
- разрывная no x функция, зависящая от параметра y € R. При y = 0 непродолжаемые решения уравнения x' = — sign x ,
x t — x а
= — / sign x(s) ds ), имеют вид x(t) = ± | c — ^ ^ ^ c ’ t € R,
а при y ф 0 непродолжаемые решения этого уравнения имеют вид x(t) = ± (c — ^ t € (—го, c) . Покажем, что при любом y прерывистая (периодическая) функция x(t) = 1 — {t^ t € R,
°
x — x
x t > t x t
t
— x s ds — t x t — h t h t t t € R
о
h € R
Список литературы
1. Демышев А.С., Родионов В.И. О прерывистых функциях нескольких переменных // Тез. докл. Рос. унив.-акад. конф. Ижевск, 2004. Ч. 2. С. 77-78.
2. Honig Ch.S. Volterra-Stieltjes integral equations. Mathematics Studies
16. Amsterdam: North-Holland, 1975. 152 p.
3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. 3-е изд. М.: Наука, 1974. 480 с.
4. Родионов В.И. О пространстве регулярно дифференцируемых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. Вып. 1(29). С. 3-32.
5. Курцвейль Я. Об обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнениях, обладающих разрывными решениями // ПММ. 1958. Т. 22, Ґ 1. С. 27-45.
6. Родионов В.И. Квазиинтегральные уравнения в пространстве прерывистых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1997. Вып. 2(10). С. 3-51.
7. Родионов В.И. Квазиинтегралы // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, Ґ 6. С. 859.
8. Hildebrandt Т.Н. Introduction to the theory of integration. N.Y.; L.: Academic Press, 1963. 385 p.
9. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд. М.: Наука, 1981. 544 с.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 448 с.
11. Tvrdy М. Regulated functions and the Perron-Stieltjes integral // Casopis pest. mat. 1989. Ґ 114. P. 187-209.
12. Общая алгебра. T.l. / Под ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука, 1990. 592 с.
13. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.
14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. 5-е изд. М.: Наука, 1969. 656 с.
15. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.
16. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев.: Вища шк., 1987. 288 с.
17. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 224 с.
18. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
19. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: АНО ґИнститут компьютерных иссле-дованийЄ, 2002. 384 с.
20. Родионов В.И. Об уравнениях со слабым оператором // Тез. докл. Рос. унив.-акад. конф. Ижевск, 2004. Ч. 2. С. 88-90.
21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
