Обобщенные функции, заданные через присоединенный интеграл Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5 + 517.9

© В. И. Родионов

[email protected]

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ЧЕРЕЗ ПРИСОЕДИНЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Ключевые слова: обобщенная функция, прерывистая функция

Abstract. The concept of adjoint distribution on the space of regulated functions are defined. Contrast analysis of distributions and adjoint distributions are realized.

Введение

Произвольная функция х € БУ[0,1] имеет производную X , понимаемую как производную почти везде, и обобщенную производную X, причем суммируемая функция X сама порождает обобщенную функцию, а равенство обобщенных функций X = X имеет место в том и только в том случае, когда х абсолютно непрерывна [1, с. 348]. В [2] мы предлагаем конструкцию присо-

О

единенной обобщенной производной х, для которой справедливо

О

утверждение: равенство обобщенных функций X = х имеет место тогда и только тогда, когда х представима в виде суммы абсолютно непрерывной функции и функции скачков [1, с. 336].

Достаточно убедительная аргументация в пользу применения присоединенных обобщенных производных продемонстрирована в [2] при исследовании импульсных систем на этапе интерпретации результатов. Поясним сказанное на примере простейшего импульсного уравнения с!х = (10 ■ х , где в(-) — функция Хевисайда. Это уравнение, записанное в терминах обобщенных функций [1,

с. 208], имеет вид у = 0, где у(Ь) = х(Ь) — / хй0 , и имеет всего

одно решение x = 0. Если же производные понимать классически, то для почти всех t должно быть выполнено x;(t) = 0, а семейство решений перестает быть обозримым (сюда входят константы, функции скачков, сингулярные функции [1, с. 347] и др.). В терминах присоединенных обобщенных функций [2] семейством

О

всех решений уравнения У = 0 являются функции скачков, непрерывные в нуле (в частности, семейством всех непрерывных решений является совокупность функций-констант). Мы видим, что в первом случае решений «крайне мало», во втором — «слишком много», а третий случай — компромиссный.

§ 1. Присоединенные обобщенные производные

Зафиксируем интервал K = (а, b) (ограниченный или неограниченный) и через G = G(a, b) обозначим пространство прерывистых функций, то есть функций x : K ^ C, обладающих конечными пределами x(t — 0) = lim х(т) и x(t + 0) = lim х(т)

т ^t—0 r^i+0

для всех t € K. Через G0oc = G0oc(a, b) обозначим пространство функций x : K ^ C таких, что для любого отрезка [а, в] С K сужение x : [а, в] ^ C принадлежит G0 [а, в] (где G0 [а, в] — это пространство таких функций x : [а, в] ^ C, что при любом е > 0 множество {t € [а, в] : |x(t) | ^ е} состоит из конечного числа точек). Согласно включению G0oc С G называем функции x, y € G эквивалентными и пишем x ~ у , если x — y € G0oc .

Через BVloc =BVloc(a, b) обозначим пространство функций локально ограниченной вариации, а через CBVloc =CBVloc(a, b)

— его подпространство, состоящее из непрерывных функций. Пространство rloc = rloc (а, b) такое, что BVloc С rloc С G, состоит из функций x, представимых в виде x = xc + xc, где xc € C = C(a, b) — непрерывная функция, а xc € Hloc = Hloc(a, b)

— «функция скачков» (то есть для любого отрезка [а, в] С K сужение xc : [а, в] ^ C является функцией скачков).

Пространство D = D(a, b) , состоящее из финитных функций пространства CBVloc, называется пространством основных функ-

ций. В нем определено понятие сходящейся последовательности: говорим, что последовательность функций {рп} , рп € D, сходится к функции р € D (и пишем рп —^ р ), если у всех функций

рп и р есть общий носитель [а, в] С K и Var (рп — р) ^ 0 .

[а,в] п

Через D; обозначим пространство линейных непрерывных функционалов I : D ^ C (непрерывность означает, что сходимость последовательности основных функций рп —^ р влечет сходимость (I, рп) —► (I, р) ), а его элементы назовем обобщен-

п

ными функциями. Если x € G , у € Г1ос , то в D' определены линейные непрерывные функционалы D ^ C :

О

(x, р) = / р(^) x(t) dt, (X, р) = / р dx (у, р) = J р о dy,

K K K

где второй функционал задан через интеграл Римана-Стилтьеса и называется обобщенной производной, а третий функционал задан через присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса и называется присоединенной обобщенной производной. Напомним [2], что присоединенный интеграл определен на функциях u, v € Г1ос и

в в в

вычисляется по формуле J uodv = J ucdvc — / uc dvc (он существу-

а а а

в

ет тогда и только тогда, когда существует интеграл f udv ).

а

Теорема 1.1. Функция x € G является решением обобщенного уравнения (x, р) = 0 тогда и только тогда, когда x ~ const. Непрерывная функция x € C является решением обобщенного уравнения (x, р) = 0 тогда и только тогда, когда x = const. Функция x € Г1ос является решением обобщенного уравнения (x, р) = 0 тогда и только тогда, когда x € Hloc . Непрерывная функция x € C является решением обобщенного уравнения (x, р) = 0 тогда и только тогда, когда x = const.

Решения уравнений (x, р) = (у, р) и (x, р) = (у, р) будем называть «первообразными» функции у € G .В каждом из четырех

случаев теоремы 1.1 имеем первообразные: х = г + У, х = У, х = Н + У , х = У , где У(¿) = с + / у(з) ^ , а г € 00°° , Н € Н1ос —

а

произвольные функции (точка (а, с) € К х С тоже произвольна).

Множество X С 0 , оператор V : X —► 0 и функция х € X порождают в О' функционал (Vх,^>)= / <£^Ух , а множество

K

X с Г1ос , оператор V : X — Г и функция х € X порож-

О

дают в 01 функционал ^х,^>)= [ <р о ^Ух. В соответствии с

к

О

теоремой 1.1 каждое из уравнений (Vх, ^>) = 0 или ^х,^>) = 0 равносильно совокупностям уравнений

^х)(£) = с + г(£) Г ^х)(£) = ^(¿)

х € X | х € X .

V с € С V г € 00°° V V € Н1ос

Если, например, ^х)(£) = х(£) — / х(з) ^ , то в первом случае по-

0

лучаем семейство решений х(£) = се4 + г(£) , с € С, г € 00°° , а во втором случае имеем х(£) = Н(£) е4, Н € Н1ос . При X = С в обоих случаях совокупность решений имеет вид х(£) = се4.

Решая приведенные совокупности уравнений, можно провести сопоставительный анализ решений для следующих типов уравнений: импульсные уравнения, сингулярные уравнения, функционально-дифференциальные уравнения, интегро-дифференциаль-ные уравнения, уравнения с разрывной правой частью и др.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

2. Родионов В.И. Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Изв. Ин-та матем. и ин-форм. УдГУ. 2005. Вып. 1 (31). С. 3-78.