CC BY
24
УДК 517.5 + 517.9
© В.И. Родионов
rodionov@uni.udm.ru
О СИЛЬНЫХ И СЛАБЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕРЫВИСТЫХ ФУНКЦИЙ
Ключевые слова: прерывистая функция, обобщенная функция, функционально-дифференциальное уравнение.
Abstract. Concepts of strong and weak operators on the space of regulated functions are defined. Solvability of equations (X,<^) = (Fx,ip) with special strong and weak operators F are proved. Explicit forms of continuous and regulated solutions are proved.
1. Обобщенные производные прерывистых функций
Зафиксируем интервал K = (a, b) (ограниченный или неограниченный) и через G = G (a, b) обозначим пространство прерывистых функций, то есть функций х : K ^ C, обладающих конечными пределами x(t — 0) = lim х(т) и x(t + 0) = lim х(т)
т—t—О т ——t~t~0
для всех t е K . Через Gl=Gl( a, b) [через Gfl = Gfl( a, b)] обозначим подпространство в G, состоящее из непрерывных слева
a, b
чим пространство функций х : K ^ C таких, что для любого отрезка [а, в С K сужение х : [а, в ^ C принадлежит G0[a,@] (где G0[a, в — эт0 пространство таких функций х : [а, в ^ C , что при любом е > 0 множество {t е [а, в : |х(^ I ^ е} со_ стоит из конечного числа точек). Согласно [1, с. 19] для любых х е G‘oc Ht е K справедливо х^ — 0) = х^ + 0) = 0, поэтому Gq00 С G . Более того, справедливо утверждение о том, что функ-хе
x = xL + x0 двух функций xL Є GL И x0 Є Gg0C . Симметричное представление x = xR + x0 , где xR Є GR , x0 Є G^00, также имеет место. При этом операторы Р : x(t) ^ xL(t) = x(t — 0) и Q : x(t) ^ xR(t) = x(t + 0) являются проекторами в G . Мы называем функции x, у Є G эквивалентными и пишем x ~ у , если x — у Є G^00 . Очевидпо, Px ~ x ~ Qx для любых x Є G .
Через BVloc = BVloc(a, b) обозначим пространство функций локально ограниченной вариации, а через CBVloc = CBVloc(a, b)
— его подпространство, состоящее из непрерывных функций. Включение BVloc С G хорошо известно.
Пространство D = D(a, b), состоящее из финитных функций пространства CBVloc, называется пространством основных функций. В нем определено понятие сходящейся последовательности: говорим, что последовательность функций {рп} , рп Є D, сходится к функции р Є D (и пишем рп р ), если у всех функций рп и р есть общий носитель [а, в С K и Var (рп—р) ^ 0.
[а,в п
Через D1 обозначим пространство линейных непрерывных функционалов I : D ^ C (непрерывность означает, что сходимость последовательности основных функций рп —^ р влечет сходимость (I, рп) —> (I, р) ), а его элементы назовем обобщен-
п
ными функциями (распределениями). Если x Є G , то в D' определены линейные непрерывные функционалы
(x, р) = J^t)^t)dt и (x, р) = J^dx, м -п
K K 1 ' ’
где второй функционал задан через интеграл Римана-Стилтьеса (он существует [2; 3]) и называется обобщенной производной.
Теорема 1.1. [4, теорема 8.2]. Функция x Є G явля-
ется решением обобщенного уравнения (x, р) =0 тогда и только тогда, когда x ^ comt. Непрерывная функция x Є С являет-
x, р =
Пусть X С G — произвольное множество. Произвольные оператор V : X ^ G и функция x € X порождают в D линейный непрерывный функционал (Vx, р) = f р dVx , поэтому мож-
K
но ставить вопрос о разрешимости уравнения (Vx, р) = 0. В соответствии с теоремой 1.1 равенство (Vx, р) = 0 справедливо при всех р € D тогда и только тогда, когда x € X и Vx ~ const. Таким образом, процедура решения уравнения (Vx, р) =0 сво-
„ Г Vx = с + r xX
всевозможных параметрах с € С и r € G^ .
Произвольные оператор F : X ^ G и точка а € K поро-
t
ждают новый оператор V : X ^ G , (Vx)(t) = x(t) — /(Fx)(s) ds ,
а
для которого уравнение (Vx, р) = 0 (согласно (1.1) оно равно-
x, р = Fx, р
x Fx
| x№ - /(+ vс € С vr ^loc_ (L2)
I x € X°
Предположим, что при некоторых с и r уравнение (1.2) раз-x€X
Fx € Fx
t
первообразная J(Fx)(s)ds локально абсолютно непрерывна, а
а
так как r(t — 0) = r(t + 0) = 0 при всех t € K, то
t
x(t — 0) = с + /(Fx)(s) ds = x(t + 0), (1.3)
а
x
x
разрывов, обозначить через у, то при всех t € K выполнены
равенства y(t) = x(t — 0) = (Px)(t) . Здесь уместно отметить, что у
она является регулярно дифференцируемой (как первообразная
Fx
ми, у € RD = RD(a, Ъ) . Отметим еще, что справедлива цепочка включений с RD С Liploc С АС1ос С С, где ; Liploc , АС1ос и С — соответственно пространства непрерывно дифференцируемых, локально липшицевых, локально абсолютно непрерывных и непрерывных функций, определенных на (а, Ъ) . Уместно также отметить, что если искать лишь непрерывные
решения (то есть x € X С С ), то (1.3) превращается в уравнение t
x t — Fx s ds с x
а
x Fx t
есть x удовлетворяет уравнению x(t) — f (Fx)(s)ds = x(a) при
а
любом a € K, и, таким образом, имеет место следующая
Теорема 1.2. Пусть X СС; F : X ^ G — произ-
x€X x, р = Fx, р
тогда, когда она является решением, функционально-дифферен-
x Fx
Таким образом, при переходе от, функционально-дифференциального к обобщенному уравнению новых непрерывных решений появиться не может, в то же время, как мы увидим, ниже, могут', появиться новые прерывистме решения, все точки разрыва которых устранимые.
X С F
X ^ G называется сильным, если множество X таково, что Pz € X для любого z € X, а сам оператор F таков, что эквивалентность u ~ v влечет эквивалентность Fu ~ Fv для любых u, v € X . Если F не является сильным, он называется слабым.
Заметим, что в [4] в определение сильного оператора мы не
включали первое условие. Очевидно, сильный оператор в настоящей трактовке является сильным и в смысле определения [4].
Лемма 1.1. Пусть X С в . Оператор ^ : X ^ в является сильным тогда и только тогда, когда для любого х € X справедливо Рх € X и ^Рх ~ ^х .
Если ^ — сильный оператор, то эквивалентность Рх ~ х влечет №х ~ ^х . С другой стороны, если и, V € X таковы, что и ~ V , то Р^ = Р^ и ^и ~ ^Ри = №v ~ ^ .
Допустим далее, что оператор ^ : X ^ в в совокупности
(1.2) — сильный, тогда уравнение (1.3) принимает вид
у(*) - Л= с (1.4)
а
(поскольку у = Рх € X и ^у = ^Рх ~ ^х, а в соответствии с [1, с. 19] первообразные от эквивалентных функций ^у и ^х со-
ух
шением функционально-дифференциального уравнения у = ^у и, таким образом, доказана следующая
Теорема 1.3. Пусть X С в, оператор ^ : X ^ в
— сильный, х € X, у = Рх (поэт,ом,у у € X). Следующие утверждения эквивалентны:
1) х —решение уравнения (х,^) = (^х,^>);
2) у €СП X и у —решение уравнения (у,^) = (^у,^>);
3) у € С П X и у — решение функционально-дифференциального уравнения у = ^у ;
4) у € 1Ш П X и у — решение уравнения (у, = (^у, ^>) ;
5) у € Ш) П X и у — решение функционально-дифференци-
ального уравнения у = ^у .
Пример 1.1. Пусть непрерывная функция / : П ^ С задана на произвольном множестве ОС М х С, а
^ = {х € в (К) : (¿,х(£)) ^и (¿, (Рх)(£)) € О V £ € К},
где интервал К = (а, Ъ) таков, что а ^ т£ £, а Ъ ^ шр £.
(М) еП (*,х еп
Оператор ^ : X ^ в(К) такой, что (^х)(£) =/(¿, х(£)), явля-
К
импликация х € X Рх € X очевидна. Для любого £ € К
Нт^(г,х(т)) = (¿, Нт^х(г)) = (МРх)(£)), (1-5)
/
Ит Лт-.^т)) = / ( Ит (г,х(г))) = / (^ (Рх)(£))>
Т^ С—0 Т^ с —и
поэтому (^х)(£) ~ (Р^х)(£) = (^Рх)(£) ; ЧТО и требуется. Таким образом, сильный оператор (^х)(£) = /(£, ^(£)) и произвольная
точка а € К, во-первых, порождают оператор V : X ^ в (К),
с
(Ух)(£) = х(£) — //(5,х(з)) , и уравнение (Ух, ^ = 0, равно-
а
сильное уравнению (х,^) = (/(-,х),^>) ! а во-вторых, в силу теоремы 1.3 функция х € X является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда она эквивалентна некоторому непрерывно дифференцируемому решению у € X обыкновенного дифференциального уравнения у = /(¿,у) .
Если П замкнуто, а ^ = {х € в (К) : (¿,х(£)) € О V £ € К}, то в силу (1.5) справедлива импликация х € X Рх € X, поэтому оператор ^ : X ^ в (К), (^х)(£) = /(£, х^)) > — сильный, и для него справедливо утверждение теоремы 1.3. Если же О не является замкнутым, то утверждение теоремы 1.3 для оператора ^ : X ^ в (К) в зависимости от К и П может быть как истинным, так и ложным. В качестве иллюстрации приведем пример, в котором /(£, х) = х , а О поочередно принимает значения М2 , {(£, х) € М2 : х > 0} и {(¿,х) € М2 : х > £} .
К М К, М
ство прерывистых функций со значениями в М, X СС,а опе-
с
ратор ^ : X ^ в таков, что ^х = х, (Ух)(£) = х(£) — / х(з) ^ .
о
Если х € X — какое-нибудь решение уравнения (Ух,^) = О
1
или (х, ^) = (х, , то в силу (1.2) х(£) — / х(з) ^ = с + г(£) для
о
1
некоторых с € М и г € 0^ос . Следовательно, у(£) — / у(з) = с,
о
где функция у = х — г непрерывна (в силу уравнения). Очевидно, у является решением дифференциального уравнения у = у , поэтому у(£) = с ес. Поскольку х € X, то семейство всех решений уравнения (х,^) = (х,^) зависит от исходного множества X и представимо в виде пересечения { х(£) ~ с ес : с € М } П X.
Если, например, X = С , то, очеводно, Е — сильный оператор. Семейство решений имеет вид { х(£) ~ сес : с € М } , что подтверждает истинность утверждения теоремы 1.3.
Предположим далее, что X = {х € в : х(£) > О V £ € К} . Допустив с < 0 , получаем х(£ — 0) = сес < 0 , а, с другой стороны, х(£—0) = Ит х(г) ^ 0 . Полученное противоречие означает, что
т ^ с—0
с ^ 0. Допустив с = 0, получаем, что х € С^00 , поэтому, папри-
1 1
мер, / х(£) = 0 . С другой стороны, / х(£) > 0 (поскольку
о о
х(£) > 0 для всех £ € К), следооательн о, с > 0 . Таким об разом,
семейство решений имеет вид { х(£) ~ сес : с > 0, х(£) > 0 } . (Мы видим, что для данного слабого оператора Е утверждение теоремы 1.3 остается справедливым. Слабость Е имеет место в силу следующего обстоятельства: если, например, г(£) = ¿2 при £ Ф 0 и ¿(О) = 1, то г € X, однако Рг € X, поэтому любой оператор X ^ С является слабым.)
Пусть, наконец, X = {х € в : х(£) > £ V £ € К} . Предположив с < е—1, обнаруживаем (а, в такой, что 1 € (а, в и сес < £
при всех £ € (а, в • Следовательно, для £ € (а, в справедливо х(£ — 0) = сес < £ , а, с другой стороны, х(£ — 0) = Ит х(г) ^ £ ■
т ^ с—0
Полученное противоречие означает, что с ^ е—1, причем Рх € X, когда с > е—1, и Рх € X, когда с = е—1. Таким образом, со-мейство решений имеет ВИД { х(£) с ес : с ^ е—1, х(£) > ¿} !
а семейством всех непрерывных решений является множество { x(i) = c e*, c > е-1} . (Мы видим, что для данного слабого оператора F формулировка теоремы 1.3 не верна, — всякая функция x(i) ~ et-1 , принадлежащая X , является решением уравнения (x,p) = (x,p), однако (Px)(i) = et-1 € X . Другими словами, существуют решения x € X уравнения (x,p) = (x, р) , для которых нет эквивалентной им непрерывной функции y € X, являющейся решением дифференциального уравнения y = у. F
если, например, z(i) = i2 + i при i ф 0 и z(0) = 1, то z € X, однако Pz € X, поэтому любой оператор X ^ G — слабый.)
Пример 1.3. Пусть К = R, X = G = G(K, R) . Если (Fx)(i) = x(0) f(i) , где функция / € G фиксирована и такова, что /€ , то оператор F — слабый (например, если u(i) = О
при ^ и «(0) = 1, а v(i) = 0, то (Fu)(i) = f(i), (Fv)(i) = 0
t
и и ~ v, однако Fu / Fv). Если (Vx)(i) = x(i) — /(Fx)(s)ds,
а
(Vx, p) = 0 или (X, р) = (Fx, p) , то совокупность (1.2) имеет вид t
x(i) — x(0) / f(s) ds = 7 + r(i) V y € R V r € G^0с .
а
Подставив в равенство i = 0, исключив из него а и введя обо-cx
(x, p) = (Fx, p) , — это функции
t
x(i) = c (l + / f(s) ds) + r(i) — r(0) (1.6)
о
с произвольными параметрами c € R и r € Gq0C . Это семейство существенно отличается от семейства решений функционально-
y i y / i
t
как равенство п.в. (то есть уравнения y(i)—J у(0) f(s) ds = y(a)),
а
t
и имеющего вид y(i) = c (1 + J f(s) ds) , c € R. Если, например,
о
4
с = 1, а г такова, что г(0) = 1, то функция ж(Ь) = / /( ^ ^ + г(Ь)
о
является решением обобщенного уравнения (ж, р) = (Еж, р), в то
же время функция у(Ь) = (Рж)(Ь) = / /(з) решением функцио-
0
нально-дифференциального уравнения у(Ь) = уф) /(Ь) не является. (Мы видим, что и для данного слабого оператора Е формулировка теоремы 1.3 не верна: пункт 1 не влечет пункты 2-5. Подобное явление мы наблюдали в предыдущем примере, однако здесь имеется и обратное явление: из пунктов 2-5 не следует пункт 1. Пусть, например, ж(Ь) = 1 + / /(з)^з при Ь ф О
о
и ж(0) = 0, тогда у(Ь) = (Рж)(Ь) = 1 + //(з)^з — решение
о
функционально-дифференциального уравнения у(Ь) = уф) /(¿) , в то же время само ж решением уравнения (Ж,р) = (Еж,р) не является, — правая часть равна 0 при всех р, а левая — пет.)
Заметим, что при / € 0^ос оператор (Еж)(Ь) = ж(0) /(Ь) является сильным (здесь / /(в) ^ = 0 , ж(Ь) = 7 + г(Ь) и у(Ь) = 7).
а
Пример 1.4. Если в условиях примера 1.3 множество X С в состоит из непрерывных в пуле функций, то при любом / € в оператор Е : X ^ в, (Еж)(Ь) = ж(0) /(Ь), является сильным. Действительно, так как ж(0 — 0) = ж(0), то очевидны импликация ж € X Рж € X и равенство ЕРж = Еж . Таким
образом, в силу теоремы 1.3 функция ж € X является решением уравнения (ж,р) = (Еж,р) тогда и только тогда, когда она
эквивалентна некоторому у(Ь) = с (1 + / /(з) , с € М . Заме-
о
тим, что данное утверждение согласуется с формулой (1.6), по-
ж
в пуле функции г и поэтому г(0) = г(0—0) = 0 .
В дальнейшем в § 2 изучается достаточно широкий класс обобщенных уравнений, в который попадает уравнение из приме-
§
/€
а соответствующие функционально-дифференциальные уравнения этого класса являются интегро-дифференциальными.
2. Об одном семействе слабых операторов
В предыдущем параграфе мы выяснили, что для сильных операторов Е : X ^ в решения уравнения (ж,р) = (Еж, р), заданного в обобщенных функциях, могут отличаться от непрерывных решений лишь функциями из подпространства . Как
Е
принципиально иная, здесь могут появиться г'новые решения© —
ж уж
(у, р) = (Еу, р) не является. И если в примере 1.2 данное явление носит достаточно искусственный характер (за счет манипулирования областью определения П), то в примере 1.3 оно весьма существенно и требует изучения с более общих позиций.
2.1. Представление прерывистых решений
Конечное разбиение Т = (тх,... , тп} (набор попарно различных точек из К ) и квадратные матрицы /0, /, • • • , /п € втхт (другими словами, /к € в при всех к = 1,... , п и г, ] = 1,... , т ) порождают слабый конечномерный оператор
п
(Еж)(Ь) =/0(Ь) + Е /Чь)жЫ,
к=!
действующий из Отхт в (Цтхт ; и уравнение (ж,р) = (Еж, р), для которого будем применять символическую запись
п
ж(Ь) = /0(Ь) + £/ к( Ь)ж(т*) • (2.1)
к
Если г — это матрица из прерывистых функций, то под обобщенными функциями (г, ф и (г, ф мы понимаем матрицы с компонентами (г^, ф и (г^, ф соответственно. Таким образом, уравнение (2.1) — это система уравнений Жу(¿) = (Еж)у(¿), г, = 1,... , т, заданных в терминах обобщенных прерывистых функций. Заметим еще, что при /0(£) = 0 уравнение (2.1) будем называть однородным,, а иначе — неоднородным,.
Замечание 2.1. Пусть А € Стхт и Х(£,т) — матрица Коши системы обыкновенных дифференциальных уравнений у(£) = А(г)у(г) (где у — вектор длины т). Покажем, что замена переменной ж(£) = Х^, а)ж(¿) , возмущения /0(£) =
= Х^а)/0 (¿) и коэффициентов /Ъ(£) = а/^¿)Ха, Т*;) ;
к = 1,... , п , приводит обобщенное матричное уравнение
П
ж(£) = А(г) ж(г) + /0(*) + Е /*(*) ж(ть) (2.2)
& = 1
к уравнению вида (2.1). (Это наблюдение демонстрирует каноничность уравнения (2.1).) Действительно. Пусть ж € втхт — какое-нибудь решение уравнения (2.2). Согласно теореме 1.1 при любом а € К существуют матрицы с и г( •) с коэффициентами
из С и Сд0С такие, что ж(£) — /(Еж)^) ^ = с + г(£), где через
а
(Еж)(•) обозначена правая часть уравнения (2.2). Следовательно, справедливо равенство ж(£) — / А(з) ж(з) ^ = М(£) или
а
4
х(£, а ж( X5, а х( ^
а
4 п 4
где М(£) = С + г(£) + / /0(^^8 + Е / /8)ж(тъ) ^ . Поскольку
а &=1 а
А(§) X5) а) = а), то после интегрирования по частям по-
t
лучаем, что F(a) + /X(s, a) dæ(s) = ht), поэтому
а
t t
F(t) = F(a) + /dï = F(a) + /X(a, s)X(s, a dF(s) =
а а
t s t
= F(a) + / X(a, s) d[ JX(t, a dF(t)] = F(a) + /X(a, s) dh(s).
а а а
Доказательство замечания завершает цепочка равенств
Г П __ -|
J>dF = J>(t)X(a:,t)dht) = J>(t) f0(t) + E /fc(t)F(rfc) dt,
к к к L fc=i J
n
то есть (F, ф = (F F, ф, где (F7 F)(t) = /0(t) + E fHt)F(rfc) —
fc=i
оператор требуемого вида.
Пусть Tk = T \ {тк} и a € K . Ниже доказывается, что всякое решение æ уравнения (2.1) допускает представление в виде
tnt
x(i)=XT(i)[Ki) +со +/ f°(s)ds] + £ хт (i)[F + //fc(s)ds] cfc,
а fc= 1 Tk
(2.3)
где О), ci, - - - , cn — комплекснозначные матрицы, а матрица r(•) состоит из элементов пространства . Через xs(i) обозначена характеристическая функция множества S = K \S, то есть %s(i) = Xg(i) = 1 — Xs(^) ; гДе Xs(^) — характеристическая функция множества S . Через E обозначена единичная матрица.
Утверждение 2.1. Каковы бы ни были матрицы
1о
о
Со € Cmxm и r € (G*0c)mxm, функция
X°(t)= xT{t) [r(t) + Со + ff°(s)ds] (2.4)
является решением уравнения (2.1).
Действительно, так как хт (тО = 0 для всех к , то х0(тк;) = О и (Ех0)(£) = Л (¿), а поскольку ж°(£) эквивалентна регулярно
дифференцируемой функции У°(£) = Со + / /°(з) , то для всех
а
ф € ^ имеем (ж0, ф = (у0, ф = (/0, Ф = (Ех0, ф) .
Замечание 2.2. Поскольку для а, в € К справед-
4 4 в
ЛИВО Со + / /°(«) ¿5 = 7о + / /°($) , где 7о =Со + / /°(з) ¿5 , то
а в а
а
Утверждение 2.2. При каждом к = 1,... , п функция хк(1) = %т (¿) [Е + / («) ] является решением одно-
к тк
родного уравнения (2.1). Каковы, бы, ни были матрицы Сх,... , сп
П
и функция х0 вида (2.4); функция х(£) = х0(£) + Е хк(¿) Ск (она
й=1
э/се (2.3)) является решением неоднородного уравнения (2.1).
Действительно, поскольку хт (т) = ¿гк при всех г и к,
тк П
то жк(т) = ¿гйЕ и (Ехк) (¿) = Е/г(¿)хк(Тг) = /к(¿), а так
г=1
как хк(¿) эквивалентна регулярно дифференцируемой функции ук(¿) = Е + / /к(в) ^ , то (хк, ф = (Ук, ф = (/к, ф = (Ехк, ф .
Тк
Вторая часть утверждения очевидна в силу утверждения 2.1.
Замечание 2.3. Все точки разрыва функции (2.3) являются устранимыми и справедливо равенство
4 п 4
(Рх)(*)= [со + //0(5)^] + Е [Е+//к(5)^]с*. (2.5)
а к= 1 Тк
х
уравнения (х,ф = (Ех, ф вида (2-1), однако Рх может не быть его решением (см. пример 1.3, в котором п = 1, Т\ = 0, /0 = 0,
/ = /). С другой стороны, если непрерывная функция у представима в виде у = Рх (в виде (2.5)), то, как мы сейчас установим, уравнению (Х,<р) = (Ех,ф) удовлетворяют не произвольные прерывистые функции х ~ у , а лишь те из них, для которых справедливо представление (2.3) (см. тот же пример 1.3).
Теорема 2.1. Уравнение (2.1), заданное в терминах обобщенных прерывистых функций, разрешимо. Всякое его реше-х
ные матрицы во, в\,... ,вп и матрица г(•) с компонентами из
х
х справедливо равенство (2.5) и х(гк) = вк при всех Тк € Т.
Доказательство. Разрешимость уравнения уже доказана. Заметим также, что согласно замечанию 2.2 зависимость от а € К носит формальный характер. Пусть х € втхт
— какое-нибудь решение уравнения (2.1). В соответствии с (1.2) существуют матрицы 7 € Стхт и г(•) с компонентами из
такие, что х(1) — /{Рх)(з) йз = 7 + г(^ , £ € К. Введя обозна-
а
чения ск = х(тк) и у(^ = х(1) — г(1), замечаем, что Рх = Ру и
4 п t
у{£) = 7 + / /°(в) йз + Е / /к(в) йз вк — непрерывная функция
а к=1 а
п а
(поэтому Ру = у ). ЕСЛИ во = 7 — Е [Е + / /к(в) йв] вк , то
к=1 Тк
4 п t
(Рх)(г) = + //0(в)йв] + Е [я + //к(в)^] вк,
а к= 1 Тк
что и доказывает (2.5). Обозначив функции, стоящие в квадратных скобках, через у0(£) и ук(¿) соответственно, получаем
п
К£) + у&) = г(г) + у°(г)+ Е уЧ*) вк.
к
Утверждается, что х = г , где г(•) — функция вида (2.3):
п
Ф) = хт^)[г(г) + у°(*)] + Е хт^)ук^)ск.
к=1 к
Действительно, для разности 5(£) = х(£) — г(Ь) справедливо
П
Н^ = хЛ V [ г(г) + у0(£) ] + Е х^ (£) уЧ £) ск,
к=\
причем если £ € Т, то хт{ £) = 0 , Хтк( £) = О и ¿(¿) = 0 . Если же £ = тг для некоторого г, то уг( £) = уг{ тг) = Ей, следовательно,
Е ук{тг) Ск =
к к г
П
= (г(тг) + у0(тг) + Е у\тг) Ск) — = хтг) — <к = 0.
к
Таким образом, ¿(¿) = 0 . Теорема доказана.
Функция (2.5) регулярно дифференцируема, а все разрывы х
причем х(тг — 0) = х(тг + Щ = (Рх)(тг) и х(тг) = сг. Следовательно, г'импульсныйС скачок функции х в точке тг € Т равен
х тг — — х тг х тг — х тг х тг — х тг
п п (2-6)
= [со+ //0(«)^] + Е [Е+]'/ Ч ^Л^Ск,
а к\ кфг
а г'импульсныйС скачок в любой другой точке £ € К \Т , если он имеется, равен скачку функции г € С^00 .
Замечание 2.4. Замечание 2.1 позволяет сформулировать аналогичные утверждения для уравнения (2.2).
2.2. Представление непрерывных решений
Среди решений (2.3) уравнения (2.1) могут оказаться функции, вообще не имеющие разрывов, — это выполнено тогда и только тогда, когда Хт(£) г{£) = 0 и найдутся матрицы Со,С\,... ,Сп такие, что правые части (2.6) равны нулю при всех г = 1,... ,и:
[ Со + / ] + Е [ Е + п / Чз)& ] Сз= 0. (2.7)
а у зфг т3
Это условие будем называть условием непрерывной разрешимости уравнения (2.1). Для однородного уравнения (2.1) система
(2.7) относительно Со,С1,... ,сп также однородна и поэтому разрешима, причем имеет и нетривиальные решения. Рассмотрим случай т = 1. Если х € С — какое-нибудь решение однородного уравнения (2.1) (поэтому Рх = х), то х представимо формулой (2.5), в которой /° = 0, а коэффициенты Со,... ,сп этого представления удовлетворяют условию непрерывной разрешимости
(2.7). Пусть ао(£) = 1, оД¿) = 1 + / /'(з) йз для всех ] = ,п,
Тз
а а(Ь) = (ао(Ь),... , ап(¿)), с=(с$,... , сп) — векторы пространства Сга+1 . Тогда формула (2.5) принимает вид х(£) = (а(£),с) (где (п,у) — скалярное произведение в Сп+1), а условие (2.7) превращается в систему (а(т¿) — ei, с) = 0, г = 1,... ,п, где вг = {0,... , 1,... , 0) € Сп+1 — базисные векторы. Если г — ранг матрицы этой системы и з = п + 1— г, то з ^1 и существуют
векторы Н\,... € Сп+1 такие, ч то , а общее ре-
£
шение системы (2.7) представимо в виде с = Е Лк Ьк через про-
к=1
извольпые параметры Лх,... , Л£ € С . В частности, для любых допустимых г ш к справедливо равенство ( а(г^) — , Нк ) = 0 .
5 _
Тем самым х(£) = Е ^к {&№), Ьк) для некоторых констант к=1 _ _
Ах,... , А5 . Покажем, что функции (а(£), Н\),... , (а(£), к3) линейно независимы. Если это не так, то существуют ^\,... , такие,
5 5 _
что Е I №к |2 ф 0 и Е №к (а(£), Л-й) = 0 . Следовательно, кк
5 _ 5 _ 5 _
(ег, Е ~рфк) = Е = Е Ик{а(п),]гк) = О
к к к
5 _
при всех г = 1,... ,п, поэтому вектор ¡1 = Е ~Рфк имеет вид
к
s _
h = (e, 0,... , 0), причем e = (a(t), h) = E №к (a(t),hk) = 0, но
fc=i
|e|2 = (h, h) = 'EiHihuHjhj) = E HiTij (hi,hj) = s E \Чк |2 Ф 0.
i,j i,j k
Итак, при m = 1 размерность пространства непрерывных решений однородного уравнения (2.1) равна размерности пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (2.7), причем общее непрерывное решение имеет вид
x(t)='Zbk(a(t),hk) V Ai,... ,XS € С ,
fc=i
где h\,... ,hs — ортонормированный базис пространства решений однородной системы (2.7), а функции (a(t), h\),... , (a(t), hs) линейно независимы. Неоднородное уравнение (2.1) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешима неоднородная система
(2.7), при этом общее непрерывное решение уравнения имеет вид
x(t) = x°(t) + E Afc (a(t),hk) V Ai,... ,AS6C,
fc=i
где x°(t) — частное решение, порожденное каким-нибудь решением неоднородной системы (2.7).
Таким образом, условие разрешимости системы (2.7) является необходимым и достаточным для непрерывной разрешимости уравнения (2.1) и проверяется методами линейной алгебры.
Пример 2.1. При n = 1 всякое непрерывное решение
t t
уравнения (2.1) имеет вид x{t) = f f°(s)ds+ [Е+ f fl(s)ds] c\,
ri ri
где c\ — произвольная постоянная матрица. Действительно, если x — какое-нибудь непрерывное решение (поэтому Рх = x ),
то в его представлении (2.3) необходимо xT(t) Ht) = 0, а усло-
ri
вие непрерывной разрешимости означает, что Со + f f°(s) ds = 0 ,
а
r r
x t f s ds Е f s ds С
ri ri
Пример 2.2. Пусть в уравнении (2.1) п = 2 , т = 1, = 1; = ТОЧКИ Т\,Т2 € М произвольны. Семейство
всех прерывистых решений уравнения допускает параметрическое представление вида (2.3) через произвольные постоянные с0, С1, с2 € С и функции г € С^00 . Относительно непрерывных решений отметим следующее. Условие (2.7) непрерывной разрешимости означает, что с2 удовлетворяют системе
Со + / /0(в) ¿5 + [ 1 + ит1 - т2 ) ] С2 = о ,
а
г2 (2-8)
со + I ¡°(8) ^ + [ 1 + Т2 - п) ] сх = 0.
При / (Ь) = 0 система разрешима. Более того, во всех случаях, кроме одного, а именно когда т\ = — ^ и тг = -1, ранг матрицы системы равен 2. В этом исключительном случае ранг равен 1 (поэтому здесь одна базисная и две свободные переменные). Тем самым со = 0 , константы с\, с2 произвольны, а общее непрерывное решение является двупараметрическим и имеет вид х(Ь) = сх [2Ь + 3] + с2 [4Ь2 — 1] (что следует из формулы (2.5), имеющей вид (Рж)(£) = Со + С\ [ 1 + £ — Т\ ] + С2 [ 1 + \ (¿2 — т|) ]). При (тх,72) ф ( — |) семейство решений является однопара-
метрическим (здесь одна свободам и две базисные переменные),
1 (+1 Л\
описывает все
1 + г - тх | (Г - т{)
£ — т2 1 + | (¿2 - г!'1
а формула х(Ь) = с
■ " ' ' 2 ^ “ '2,
непрерывные решения уравнения + (формулу
легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение).
Если функция /° произвольна, то при (п, 72) ф (—— |) семейство непрерывных решений остается однопараметрическим. Например, если т\ = 1, 72 = л/3 , с € С
\/з *
ж(£) = с [ ¿2 — 1 ]-%= / /°(¿>) + Г /°(¿>) удовлетворяет урав-
Л/З 1 х
нению ¿(¿) = ж(1) + ¿ж(\/3) + /°(£) • Если же (тх, гг) = (—^, —|), то система (2.8) разрешима в том и только в том случае, когда
-1 /2
/ /°(в) йв = 0 , причем в случае разрешимости общее непрерыв--/
1
ное решение имеет вид х(Ь) = / /0 (в) й8+сх [2Ь+3]+сг [4Ь2 — 1] .
-/
Заключительная часть параграфа посвящена исследованию вопроса об однопараметрическом представлении семейства непрерывных решений уравнения (Х,р) = {Ех,ф) вида (2.1) при т = 1. (Исследование случая т > 1 и многопараметрического представления непрерывных решений оставляем читателю.) Разбиение Т = ,тп} и функции Ьо,Ь\,... ,Ьп : К ^ С
порождают функциональное уравнение
х(Ь) + Е Ьк{Ь)х{г^ = Ь0(Ь)
к=!
(2.9)
и определители А и Б(Ь) порядка п и п + 1 соответственно:
1 + ^(^ ... Ьп{ п)
А =
Ь\{Гп
1 "Ь Ьп{Тп)
(2.10)
о(ь) =
Ьо(Ь) ^(Ь)
Мп) 1 + Ып)
Ьо(тп) Ь\ (Тп)
Ьп( Ь Ьп( п)
1 "Ь Ьп{тп
(2.11)
Лемма 2.1. Определители А и Б(Ь) удовлетворяют
п
тождеству Б(Ь) + Е Ьк{Ь)Т)(гк) = Ьо(Ь) А . Уравнение (2.9) шие-к
еш единственное решение тогда и только тогда, когда А ф 0. Эт,им, решением является функция х{Ь) = Б(Ь)/А , Ь € К .
казатель к
Ъо(тк) Ъ тк . . . Ъп( тк)
Ъо (п) І + Мп) ••• Ъп{ ті)
®(тк) = —
Ъ тп Ъ тп . . . 1 "Ь Ъп{тп)
0 0 ... -1 ...
Ъ0(п) 1 Ът . . . Ък т . . . Ъп(ті)
Ъо{тк) Ъ тк . . . Ък тк . . . Ъп(тк)
ЪоЫ) Ъ тп тп к Ъ . . . Ъп Ы
Вычли к -ю строку из нулевой (заметим, что нумерацию строк и столбцов мы ведем от 0 до и). Таким образом,
°(£) + Е М¿)Щтк) =
к=1
Ь0(і) 0 ... О
Мп) І + Мп) ••• Ьк{ п)
Ъъ{тк) Ьі(тк)
1 + Ък{ тк)
О
ъп{ ті) М тк)
= Ь0(і)А.
Ьо(тп) Ъ]_{тп) ... Ък{ Тп) ... 1 + Ъи{ Ти)
Уравнению (2.9) соответствует система линейных алгебраических уравнений относительно переменных х\,... ,хп:
Хі + Е Ъу (т^ Хз = Ъ0(п)
3=1
І = 1, • • • ,и
ЕЛу Хз = Ып)
3=1 , і2-12)
І = 1, • • • ,и
где Ду — элементы определителя (2.10).
При А ф 0 одним из решений уравнения (2.9) является функция х$) = Б(£)/Д , поэтому уравнение разрешимо. Если х1 (•) и х2(■) — два решения уравнения, то векторы (х1(т\),... ,х1(тп)) х т , . . . , х тп
НО, х1(т^ = х2(т^ ДЛЯ всех ]=!,... ,П, поэтому х (■) = х (•) .
х
решений системы (2.12) является вектор (х{т\),... ,х(тп)), по-
х , . . . , хп х , . . . , хп
п
два решения системы и хк(■) = Ъо(■) — Е ЪЛ■) хк , к = 1,2, то
7=1
хк{тг) = хк ДЛЯ всех 1 = 1,... , П , ПОЭТОМу фуНКЦИИ х (■) И х (•)
х ■ х ■
х~7 = х(т^ = х(т^ = х2 для всех ] = !,... ,п, поэтому А ф 0 .
Пример 2.3. Уравнение х(£)+зт£-х(0)+соз ¿-х(|) =0 имеет бесконечно много решений: х(1) = с(соз£ — ип ¿), с € С. Здесь определитель (2.10) равен нулю.
Разбиение Т = [т\,... , тп} и функции /0, ¡1,... , /п € в (К) порождают скалярное уравнение {х,р) = (Гх,(р) вида (2.1), а произвольная точка (то,хо) € К х С порождает функции
АгЛ¿) = ^ + / /7(в)с1в при (г,.?')^(0,0), Д0о(£) = х0 + / ¡°(8)г1в
П т0
и определители Д(£) и Б(£) порядка п и п + 1 соответственно:
т=
Ац(£)
(¿)
Дш(
Апп(
Б^ = Б(^т),хо) =
Аоо(^) Аог(^) Аю(£) Ац(^)
Дпо (¿) (¿) ... Дп^ ¿)
Теорема 2.2. 1. Определители Д(£) и Б(£) удовле-
п t
творяют тождеству Б(£) — Е [ / /к{8) ^8 ^(т^) = Доо(£)А(то).
к=1 то
2. Задача, состоящая из скалярного уравнения (x,ip) = (Fx,ip) вида (2.1) и начального условия х(то) = Хо , имеет единственное непрерывное решение тогда и только тогда, когда Д(то) ф 0. Этим решением, является функция x(t) = D(t; tq, xo)/A(to) .
3. Для скалярного уравнения (X,ip) = (Fx,<p) вида (2.1) следующие утверждения эквивалентны:
a) пространство непрерывных решений уравнения одномерно;
b) A(t) ф О ;
c) Д(т^) ф О при некотором k = 1,... ,п .
При, этом общее непрерывное решение уравнения имеет вид x{t) = D(t; tq, c)/A(to) , c € С , где то € K — произвольная точка такая, что Д(то) ф О. В частности, общее непрерывное решение однородного уравнения имеет вид x(t) = cA(t),c € С .
4. При любом с € С непрерывная функция x(t) = cA(t) является решением, однородного уравнения (2.1).
Доказательство. 1. Для всех i = 1,... ,п справедливы равенства Д^(t) — Доо(t) = —Доо(ъ), а при всех j > О имеем Aij(t) — Аoj(t) = êij — Aoj(Ti) . Следовательно, вычитая в t
Доо^) Aoi(-t) ... А$п( t)
—Доо (Ti) 1 — Д01 (Ti) ••• —Д 0п(Ti)
L'\t) = =
Доо {тп) До1 {тп) ... 1 Д 0п( тп)
Доо^) —До1 (ty ... —Д 0п( t)
Доо (Tl) 1 — Д01 (Tl) ... — Д 0п( Tl)
Доо {тп) До1 {тп) ... 1 Д 0п( тп)
—
бец. Таким образом, D(t) имеет вид (2.11), где bo(t) = Aoo(t)
и bj(t) = —Д0j(t) при j > 0. Следовательно, в силу леммы 2.1
п
имеет место равенство Б(£) — Е А ок( і)В(тк) = Аоо(і) А , где
к=1
1 — А0і (п) ... —Д 0п( п)
Д =
Д(т0), (2.13)
тп . . . — п тп
что справедливо в силу равенства 5^ — До^(т^ = Д^(то).
2. Задача, состоящая из скалярного уравнения (х, ф = (Ех, ф) вида (2.1) и начального условия х(то) = хо , эквивалентна инте-
гральному уравнению х(і) —х$ = / ^ [ / /к(х(тк)
или х(Ь) — Е Аок(Ь)х(тк) = Аоо(Ь) • Последнее уравнение имеет к=1
вид (2.9), а для соответствующего ему определителя (2.10) имеет место равенство (2.13). В силу леммы 2.1 данное уравнение, а вместе с ним и исходная задача, имеет единственное непрерывное
т
является функция х{Ь) = Б(£)/Д(то), Ь € К .
3. Ь) а ■ Если Д(Ь) ф 0, то существует то € К такое, что Д(то) Ф 0 .Так как х € С , то уравнение (X, ф ф (Рх, ф) эквива-
лентно совокупности уравнений х{і) — /(Ех)^) йв = с, с Є С , а
то
щей единственное решение х(Ь) = В(Ь;то,е)/А(та) . Таким образом, семейство X всех непрерывных решений исходного уравнения (х,ф ф (Рх,ф имеет вид X = { В(Ь;т0,с)/А(то), с € С}, причем для любых констант С\,С2 € С имеет место равенство В(Ь; то, сх) — Б(Ь; то, С2) = (сх — С2) Д(Ь), поэтому сИтХ = 1.
а Ь) . Если пространство непрерывных решений неоднородного уравнения (2.1) одномерно, то таковым же является и пространство Хо непрерывных решений однородного уравнения.
п
то
к=1 то
п
каждое из них эквивалентно задаче
имею-
Тем самым X имеет вид X = { c£(t), с € C } , где непрерывная функция £(•) такова, что £(t) ф 0. Зафиксируем то € K такое, что £(то) ф 0 . Каждая из функций с£(•) является единственным
n t
решением уравнения x(t) — Е [ / f Hs) ds] х(тк) = с{(то), поэто-
k=l то
т
Ъ) с) . Предположим, что A(t) ф 0, но А(т^) = 0 для
всех к = 1,... , n . Положив хо = 1 и f фО, получаем равен-
n t
ства D(t) = A(t) и A(t) — Е [/ f k(s) ds] Д(тк) = Д(то), поэтому
k = l то
Ait) = Д (то) доя всех t,To € K . Следовательно, A(t) ф const, причем A(t) ф 0 , а обратная импликация тривиальна.
Если f = 0, то D(t;To,Xo) = хо A(t), поэтому x(t) = cA(t)
— общее непрерывное решение однородного уравнения (2.1).
t ф t ф
тривиален.
Замечание 2.5. Согласно замечанию 2.1 для уравнения (2.2) легко сформулировать аналог теоремы 2.2: в этом
tt
соответствии с заменой, предложенной в замечании.
тт
чальная задача (Х,р) ф (Fx,(p) , х(то) = хо имеет единственное непрерывное решение, поэтому в соответствии с [8, с.16] она является корректно поставленной. Она перестает быть таковой, если т
пых решений, либо имеет их бесконечно много. Однако в классе прерывистых функций данная задача всегда разрешима. Таким образом, процедура регуляризации, предложенная в [8], позволяет на основании минимизации функционала ||х — Рх|| , заданного на множестве функций вида (2.3) таких, что г{•) = 0, находить псевдорешения и нормальные решения задачи (в классе прерывистых функций).
3. Об одном семействе сильных операторов
Произвольные функции € ВУ1ос и / € в и точка а € К порождают оператор Е : X ^ в, (Ех)(1) = /(¿) + JxdQ, где
а
через X обозначено подпространство X Св, состоящее из тех
в
х € в , что при всех в € К существует интеграл / х dQ . Если,
а
например, ^ ^^^^^^тна, то X = в. Через (а, в) обозначим отрезок [а, в] при а ^ в ■, а иначе (а, в) — это отрезок [в, а) . Согласно [9, с.117] функция х € X тогда и только тогда, когда она непрерывна в каждой точке разрыва функции Q. Другими словами, Т(х) П Т(<^) = 0 , где Т(и) обзначает множество точек разрыва функции и € в (заметим, что в соответствии с [1, с. 17] пересечение Т(и) П (а, в) — не более чем счетное множество).
Покажем, что Е : X ^ в — сильный оператор. Если х € X и 2 = х—Рх, то г € Сд0С , причем г(£) = х{£) — х(£—0) = 0 = г(£—0)
в
для любого £ € Т^), поэтому интеграл / существует и
а
равен 0. Действительно, сужение Q : (а, в) ^ С представимо в виде суммы Q = д + 6 (см. [10, с. 206]), где д € СВУ(а, в) , а в : (а, в) ^ С — функция скачков, имеющая вид
6(£)= Е [—Q- ¡^к + ^!(пк], Е (|Q-K|Qk0 ^
Тк €Т а а Тк&Т
Т = Т{0) П (а, в) Q- = Q(Тк — 0) — Q(тк), <^к = Q(тk + 0) — Q(Тк),
&<‘Ч — : Тк- Пкт{4 ; £
Если вк( t) = Q- ¡ (^к — QІ ¡ (щ,то 6{г) = — Е вк( £) — рав-
а а Тк £Т
( а, в)
и Тк
ведливо ¡ и(£к = и{тк) / (£к и ¡ и(1]к = и{тк) / (щ, поэтому
а а а а
в в
/п(9к = и{тк) Ок(Р) • Поскольку х(тк) = 0, то / г (0 = 0, а так
а а
в
как г Є С[,ос ид Є СВУ(а,Р) , то § г (д = 0 (см. [4]). Таким оба
І І разом, (ЕРх)(і) = /(і) + /Рх(ф = /(£) + / х (ф = (Ех)(і) для всех
аа
і Є К, а импликация х Є X Рх Є X очевидна.
Поскольку Е — сильный оператор, то в силу теоремы 1.3 процедура решения уравнения (Х,<р) = (Ех,<р) сводится к поиску регулярно дифференцируемых решений интегро-дифференциального уравнения у = Еу . Другими словами, если х Є X — какое-нибудь решение уравнения (х,<р) = (Ех,<р) и у = Рх, то у Є ІШ П X = ІШ и у = Еу почти всюду. Если г = Еу , то
І
у(а)\ , Г л ( 0 -Л
о; Vф)
“« = (&’) = ($)+/ *'
у^) — / ¿2- у = Ь(1), £ €(а,@), (3.1)
а
где 2в)= уй^^^^^чим через С(£,т)
матрицу Коши уравнения (3.1). Согласно [11] она существует и справедливы тождества: С{1,г) — / ¿2(в) ■ С(в,т) = Е;
Т
4
С(*,т) — /С(м) ■ ¿2с{г,з)с{8,т)=с{1,т)', с(г,г)=Е.
Т
Кроме того, С : (а, в) ^ С2х2 непрерывна, имеет ограниченное изменение по каждой переменной, а единственным решением
(3.1) является функция = С(1,а)Ь(а) + / С{Ь,т) ■ б,Ь{т) . В
а
частности, функции у и г удовлетворяют системе уравнений У&)= Сп(г,а)у(а) + Си(Ь,а) ¡(а) + / С^{г,т) ¿[¡(т) + /уйв)],
z(t) = C2X{t,a)y{a) + C22(t,a) f(a) + f C22{t,T) d[f(T) + f y dû],
a a
y
ft
проинтегрировав интеграл f C\2(t,T) df(T) по частям, получаем
a
y(t) = Cn{t,a)y{a) - f f(T)drC2{t,T) + f Сг2^,т)у{т)<В{т)
aa
(в силу равенства C{t,t) = E справедливо C\2{t,t) =0). Пусть bo(t) = Cn(t,a)y(a) - f f^)dTCX2{t,T) , bk(t) = Cvz{t,Tk) вк{t).
a
Функция вк{t) ограничена (она постоянна при t < Tk и при t > тк и разрывна разве что в точке тк ), a lim C\2(t, тк) = 0 , по-
t^Tk
этому lim Ьк(t) = 0 = Ьк(Тк), следовательно, все Ьк ■. (а, ß) ^ C
— нен^р^вные функции. Заметим, что функция b0 тоже непрерывна. Очевидная оценка (через sup-нормы)
\Ьк^)у{Тк) 1 < \\y\\(a,ß) • llC12\\{a,ß)'> • {\Qj\ + \Qt \), t € (a,ß),
означает, что функциональный ряд Е Ьк{ t)у(тк) абсолютной
Tk&T
равномерно на (а, ß) сходится. Следовательно,
f С\2$,т)у{т)Щт) = - Е Ьк{t) у{тк), t €(a,ß),
a Tk eT
а у\{a,ß) удовлетворяет уравнению y(t) + £ Ьк(t)y{T^ = b0(t) .
Tk eT
l0. Если cardT < œ, то y(t) при t € (a,ß) удовлетворяет уравнению (2.9), a элементы Aj определителя (2.10) имеют вид
Ti Ti
A-ij = öij + Ci2{Ti, Tj) [Qj f dCj — Qj fdVj] ■
aa
Пусть а < ß, и предположим, что а ^ т\ < ■ ■ ■ < Tn ^ ß, где n = card T . Тогда, очевидно, Д^ = 1, Aij = 0 при i < j и, следовательно, Д = 1. Эти же равенства имеют место и в том случае,
когда в < а и в ^ тп < ... <т\ ^ а. Таким образом, в соответствии с леммой 2.1 сужение у : (а,в)^ С принадлежит множеству Х(а, в) = { Бс(-)|(а,в>, с € С } , где Бс(Ь) — определитель вида (2.11), построенный по разбиению {т\,... ,тп} (независимо ОТ порядка т^ <...< Тгп ) и функциям Ъо(Ь), ... , Ъп(Ь) . Все эти функции, кроме Ъо(£), зависят лишь от исходных параметров уравнения (х,(р) = (Ех, ф , а функция Ъо(Ь) зависит еще от величины у {а) (от константы с € С ), что и отражено в обозначении Бс(Ь) . Таким образом, если сагс1(Т(ф)П(а, в)) < ж , то семейство Х(а,в) является общим решением интегро-дифференциального
уравнения х(Ь) = /(¿) + / хйф (при Ь € (а, в) К а для сужения
а
У I (а,/з> имеет место равенство у(Ь) = Бс(Ь) при с = у(а).
В силу второго тождества для матрицы С{Ь,т) справедливо равенство Си^,т) = / Си з) йз , поэтому Ъо(Ь) — Сц^, а У (а) =
Т
11 Т
= — / f(т)dТ[f Сц^, з) йз] = / Сц(Ь,т) /(т) йт , следовательно,
а т а
у^) = Б^а (Ь) =
Сп(г,а)у(а) + / Си(г,т)/(т)йт Ъ^Ь) ... Ъп(Ь)
а
_ Сц{т1,а)у{а) + /Сц(т1,т)/(т)йт И-Ъ^п) ... Ъп(п)
а .
Тп
Сц(тп,а)у(а) + / Сп(тп,т)/(т)йт Ь(т^ ... 1 + Ъп(тп)
а
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 3.1. Если функция ф € ВУ10С(К) имеет на
отрезке (а, в) С К лишь конечное число точек разрыва, то всякое непрерывное решение интегро-дифференциального уравнения
у(Ь) = ¡'(Ь) + / у(Щ при Ь € {а, в) представимо в виде
у(г) = Кп(Ь,а)у(а) + / Яп{г,т)^т)йт, Ь €{а,в), (3.2)
где через Кп(Ь,т) обозначен определитель порядка и+1: Яп{ Ь,т) =
Сп(г,т) Ьг(Ь) ... Ьп( Ь)
С^{т1,т)Х{а,п)(т) 1 + ^(^ ... Ьп( П)
Сп{тп,т)Х{а,гп)( т) Ытп)
Сц{г,т) Си{т1,т)Х{а,п)( т)
Сп{тп,т)Х(а,гп)( т) Сп{тп,т1)91{тп
. . . Ьп тп
С^{г,тп) 9п{Ь) С т , тп 9п т
1
Легко заметить, что функция Кп{Ь, т), (Ь, т) € {а, в)2 , ограничена, непрерывна по Ь при фиксированном т и является кусочно непрерывной функцией по т при фиксированном Ь .
2°. Если множество точек разрыва у ф та отрезке {а, в) счетно, то формула (3.2) также имеет место. Роль ядра К^(Ь,т) в этом случае выполняет предельная функция последовательности { Кп{Ь,т) }^х в эир-норме. Непрерывность по Ь у предель-
т
рывистой. Мы приводим эти утверждения без доказательства.
.
уравнения у(Ь) = ЛЬ) + / у(Щ и начального условия у (а) = уо ,
а
справедлива процедура продолжения решения с произвольного отрезка {а, в) та весь интервал К .
.
прерывистых решений уравнения (х, ф = (Ех, ф .
Список литературы
1. Honig Ch.S. Volterra-Stieltjes integral equations. Mathematics Studies 16. Amsterdam: North-Holland, 1975. 152 p.
2. Hildebrandt Т.Н. Introduction to the theory of integration. N.Y.; L.: Academic Press, 1963. 385 p.
3. Дерр В.Я. Об одном обобщении интеграла Римана-Стилтьеса // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1997. Вып. 3 (11). С. 3-29.
4. Родионов В.И. Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2005. Вып. 1 (31). С. 3-78.
5. Родионов В.И. О пространстве регулярно дифференцируемых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ Ижевск, 2004. Вып. 1 (29). С. 3-32.
6. Азбелев И.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002. 384 с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1969. 656 с.
10. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.
11. Пешков Д.С., Родионов В.И. О линейных импульсных системах // Вести. Удм. ун-та. Сер. 1"Математика6. 2006. Г1 1. С. 95-106.
