Обобщенные решения нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

Том 1 (2007), № 1, С. 322—329

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 517.983.51

Обобщенные решения нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

М. В. Фалалеев (mihail@ic.isu.ru)

Институт математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск

Аннотация. Данная заметка представляет собой продолжение цикла работ автора по вопросам построения теории обобщенных решений вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и посвящена исследованию разрешимости в классе распределений задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка с переменными операторными коэффициентами. Такие задачи, в случае фредгольмовости оператора при производной, сводятся к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с ядром общего вида. Использовав, во-первых, полученные ранее результаты о разрешимости таких систем в классе непрерывных функций и, во-вторых, теорию фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов в банаховых пространствах, удалось построить обобщенное решение рассматриваемой задачи в классе обобщенных функций с ограниченным слева носителем. Исследована связь полученного обобщенного решения с непрерывным решением этой же задачи. Приведена формула для фундаментальной оператор-функции нестационарного дифференциального оператора первого порядка в регулярном случае.

Ключевые слова: фредгольмов оператор, уравнения Вольтерра

Введение

Рассматривается задача Коши вида

Бх(г) = А(г)х(г) + / (г), (0.1)

х(0) = хо, (0.2)

где Б, А(г) — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2, Е\, Е2 — банаховы пространства, Б (Б) С Б(А(г)), Б (Б) = Б (А(г)) = Е1, Б — фредгольмов [1], А(г) — сильно непрерывная оператор-функция класса

С^(Е1), причем Л*(Ь) существует при почти всех Ь, Е(В) = Е(В), f (Ь) достаточно гладкая функция со значениями в Е2.

Задачи вида (0.1) — (0.2) не всегда разрешимы в классе С 1[0;+то), поэтому в работе строятся обобщенные решения этой задачи в классе распределений с ограниченным слева носителем. Исследована связь между построенным обобщенным и гладким решениями задачи (0.1) —(0.2).

1. Непрерывные решения задачи (0.1) —(0.2)

Пусть I = 1,... ,п} — базис ядра N (В), ф[, I = 1,... ,п — базис ядра N (В*), Г — оператор Шмидта [1] соответствующий В.

Обозначим через и(Ь) : Е2 — Е2 разрешающий оператор [2] уравнения

Х(Ь) = Л(Ь)Гх(Ь), (1.1)

тогда решение задачи Коши для уравнения (1.1) с начальным условием Хо представимо в виде

х(Ь) = и (Ь)Хо.

Для разрешающего оператора и(Ь) справедливо представление (см. [2]):

* со *2

и (Ь) = /2+1 Л(и)ГМ1+^11Л(Ьк )ГЛ(Ьк-1)Г ... Л(и)ГМ1... (Ик, о к=2о о о

причем

ь

и(Ь) ||< ехр I II Л(т)Г II (т,

и(Ь) непрерывно обратим, т.е. и 1(Ь) € С(Е2), и

й(Ь) = Л(Ь)Ги (Ь), и (0) = /2, и-1(Ь) = —и-1(Ь)Л(Ь)Г, и-1(0) = /2,

/2 : Е2 - Е2 — единичный (тождественный) оператор.

Далее используются терминология и обозначения работ [3, 4, 5].

Лемма 1. (вспомогательная). Обобщенная оператор-функция

£(ь)= и(ь)(/2в(г) *и-1(Ь)),

действующая на обобщенные функции д(Ь) € К'(Е2) по правилу £(Ь)д(Ь)= и(Ь)(/2в(Ь) *и-1(Ь)д(Ь)'

324 М. В. ФАЛАЛЕЕВ

является фундаментальной [3, 4] для дифференциального оператора

[125'(Ь) * —Л(Ь)Г)

на классе обобщенных функций д(Ь) € К'(Е2), для которых существует свертка /2в(Ь)*и-1(Ь)д(Ь) (таковым будет,, например, класс К+ (Е2)

[3, 4]).

Доказательство. Действительно, Уд(Ь) € К'(Е2) справедлива следующая цепочка равенств

/25'(Ь) * —Л(Ь)Г)£(Ь)д(Ь) = ( [и(Ь)^) *и-1(Ь)д(Ь)

—Л(Ь)ги(ь) (120(1) *и-1(Ь)д(Ь)) = и'(ь) [/20(1) *и-1(Ь)д(Ь)) + +и(1){/25(1) *и-1(1)д(1)) — Л(Ь)Ги(Ь)(/2в(Ь) *и-1(Ь)д(Ь)) = = Л(Ь)Ги(Ь)(/2в(Ь) *и-1(Ь)д(Ь)) + и(Ь)и-1(Ь)д(Ь) — —Л(Ь)Ги (ф2в(Ь) *и-1(1)д(1)] = д(Ь) = /25(1) * д(Ь),

т.е.

/25'(Ь) * —Л(Ь)Г) £(Ь) = /25(Ь)

что и означает, согласно определению фундаментальной оператор-функции [3, 4], справедливость утверждения вспомогательной леммы. □

Введем следующие функции: ь

Ьь (Ь) = — I {и (Ь)и-1(т )(Л(т )хо + f (т)) ,фь) (т,

Ккг (Ь, в) = (и (Ь)и-1(в)Л(в)<рк, Фь), к, I = 1,...,п.

Пусть выполнено условие

А) все функции Ккь (Ь, в) аналитичны в окрестности точки (0; 0) при \Ь\ < Е и |в| < Е и все их частные производные до (т — 1)-го порядка включительно обращаются в нуль в точке (0;0), но не все частные производные т-го порядка равны нулю в точке (0;0).

Обозначим через Кц матрицу из (г; ])-коэффициентов Маклорена функций Ккь(Ь,в) и назовем точку Ь = 0 регулярной для матричной функции К(Ь,в) =|| Ккь(Ь,в) ||, если обратима матрица ^г+]=т Кц, т.е.

X] Кгз = 0.

г+]=т

Введем следующий ряд матричных функций

K-

Lk(Л) = У^ -;--—, к = m,m + 1,...

j Л + j + 1

и назовем характеристическим уравнением задачи (0.1) - (0.2) уравнение

det Lm (Л) = 0.

Для каждого целого неотрицательного корня Ло характеристического уравнения будем предполагать выполненным условие

В) матрица Lm(^o) имеет полный обобщенный {^л— L^^ ^o^-жор-

данов набор [3, 5] элементов {ё^, i = 1,...,no, j = 1,...,pi}, здесь no = dim N(Lm^o)) = n - rangLm^o).

Следуя [3, 5] кратностью целого неотрицательного корня Лo назовем число

mo = max{pi, i = 1,..., no}, а его показателем величину

Qo = Pi + P2 +-----+ Pno ■

В [3, 5] приведена и доказана следующая

Теорема 1. Если выполнено условие А), характеристическое уравнение имеет r неотрицательных целых корней 0 < Л1 < Л2 < ... < Лг кратностей mi, m2,..., mr с показателями Qi,Q2, ■ ■ ■, Qr, для каждого из которых выполнено условие В), t = 0 регулярная особая точка для K(t,s) и bl(0) = Ь\(0) = ... = b(m)(0) =0, l = 1,...,n, тогда задача Коши (0.1) - (0.2) имеет (qi + Q2 + ... + Qr) — параметрическое непрерывное решение вида

n

x(t) = xo + Tv(t) +J2&(t)Vi,

i=1

где

t n

,(t) = i U(t)U—1(t)[A(t)xo + f (T) + £ Ut)A(T)<fii) dT,

i=i

числовые функции & восстанавливаются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го 'рода

t

j K(t,TШт)dT = b(t),

o

(здесь £(г)= (Ш,Ш,...,Ш) ,Ь(Ь) = Ь (г),Ь2(г),...,Ьп(Ь)) — вектор-столбцы) в виде логарифмо-степенных рядов, часть коэффициентов которых содержат свободные параметры и выражаются через элементы обобщенных {—к— ь№г (\г)}-жорданов набор.

Одно из жестких условий этой теоремы, а именно, Ь(0) = Ь(0) =

... = Ьт(0) = 0, можно снять, если строить решение задачи (0.1) -(0.2) в классе распределений.

2. Обобщенные решения задачи (0.1)-(0.2).

В обобщенных функциях задачу (0.1) - (0.2) можно переписать в виде

[3, 4]

(.В5'(ь) * —л(ь))х(г) = f (ь)в(ь) + Вхо5(ь). (2.1)

Будем искать обобщенное решение в виде следующей суммы

п п

Х(Ь)=Г5(Ь) * у(Ь) + (хо + Е Ш^г)в(Ь)+52 ^г • <рг, (2.2)

г=1 г=1

т

Ыг = Е ^5(Л(Ь) € П+ [6], (2.3)

3=1

Як 5(Ь) * у(Ь) = 0, Як = (;фк), к = 1,...,п, (2.4)

у(Ь) € К+ (Е2).

После подстановки (2.2) в (2.1) получим относительно у(Ь) дифференциальное уравнение

п

(/25'(Ь) * —Л(Ь)Г)у(Ь) = (Л(Ь)хо + f (Ь) + £ Л(1)^г • т)в(Ь)+

г=1

п

+ Л(Ь)рг • Щ,

г=1

решение которого, в силу вспомогательной леммы, имеет вид

п п

у(Ь) = £ (1)( Л(Ь)хо + f (Ь) + £ Л(1)^г • т) в(Ь) + £ №(Ь)Рг • Щ

г=1 г=1

или

ь п

у(Ь) = (и(Ь)и-1(т)(Л(т)хо + f (т) + £ Л(т)<рг • £г(т))(т + (2.5)

г=1

п

+ Е Е(г)А(г)<Рг ■ ■тг

г=1

Непосредственными вычислениями находим

3=о

х (3)

и (г)( и-1 (ь) А(ь)^,

в(г)-

г=о

3-1 (3-1-1

г=о I ц=о

(м)

>5(1)(Ь)

г=о<

Подставив теперь выражение для у(Ь) в соотношения (2.4), получим следующую систему интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода

Е / Кгк(Ь, т)Ат = Ьк(Ь) - ± Е—)3Сгзд30 + г=1о г=1з=о

П т 3-1 3-1-1 рЗ-1-1^ (0 0)

+ЕВ-1)3СгзВ-1)1 Е СМС3-М-1 д дт: =

г=13=о 1=о м=о

которая, в силу условия А), окончательно принимает вид ±

д3 Кгк (Ь, 0)

, к = 1, . .

(2.6)

Е Кгк (Ь,т Шт )йт = Ьк (Ь) - £ ^(-1)3 Сг3 д КТу 0), к = 1,...,п

дт 3

г=1 о г=1 3=о

и разрешима относительно £г(т), если

^ и п-т( 1)3 93Кгк(Ь,0)\ 0 1 0 , .

к(Ь) !^(-1)3сг3-дт3-) = 0, 1 = 0,---,т,к = п.

\ г=13=о /

Эту систему линейных алгебраических уравнений (относительно Сг3) можно переписать поблочно в векторно-матричном виде следующим образом

( — 1)т-1 1

К1 т-1 Ст-1 = — I)! Ь (0) + Ат-1+1К1т-1+1Ст-1+1- (2.7)

Ат-1+2К1 т-1+2 Ст-1+2 + ... + (-1)1+1А1тКг т cm, I = 0,.

, т,

где С3 = (013 ,С23 ,...,сп^,] = 0, т — вектор-столбцы. Если

(1вЬК1т-1 = 0,1 = 0,1,...,т, то система (2.7) однозначно разрешима относительно 03, ] = 0,1,... ,т и следовательно все составляющие обобщенного решения (2.2) полностью восстанавливаются. Таким образом доказана следующая

Теорема 2. Если выполнено условие А), характеристическое уравнение имеет r целых неотрицательных корней 0 < Xi < X2 < ... < Xr кратностей Ш\,Ш2,... ,mr с показателями qi,q2,...,qr, для каждого из которых выполнено условие В), t = 0 регулярная особая точка для K(t,s) и detK\m-\ = 0, l = 0,1,...,Ш, тогда задача Коши (0.1) -(0.2) имеет (qi + q2 + ... + qr)-параметрическое обобщенное решение вида (2.2), (2.3), (2.5), в котором числовые функции £i(t) восстанавливаются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го 'рода (2.6) в виде логарифмо-степенных рядов, часть коэффициентов которых содержат свободные параметры и выражаются через элементы обобщенных { —k— Lmn (Xi)}-жорданов набор, а числовые коэффициенты сингулярной составляющей (2.3) обобщенного решения однозначно восстанавливаются из системы (2.7).

_ _! _(

Следствие 1. Если в условиях теоремы 2 b(0)= b (0) = ... = b 40) =

0, то обобщенное решение (2.2) окажется классическим (гладким) из теоремы 1.

Замечание 1. Условие A(t) Е C^(R1) в задаче (0.1) —(0.2) можно ослабить, в этом случае обобщенное решение можно будет построить по этой же технологии, но уже в шкале пространств обобщенных функций конечной гладкости [4].

Список литературы

1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.— 528 с.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970.— 536 с.

3. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.— 548 p.

4. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // СМЖ.— 2000.— Т. 41, № 5.— С. 1167-1182.

5. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Вестник Челябинского университета. Сер. 3. Математика. Механика. / Под ред. В.Д. Батухтина.— Челябинск: Изд-во Челяб. ун-та, 1999.— №. 2— С. 126-136.

6. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1979.— 320 c.

M. V. Falaleev

The Generalized solutions of the nonstationary degenerated differential equations in Banach spaces

Abstract. This paper continues a series of papers on the problems of the construction theory of the generalized solutions of singular differential equations in Banach spaces and is focused on the investigation of Cauchy problem solvability in the class of distributions for a singular differential equation of the first order with variable operators coefficients. These problems in the case of the Fredholm operator by derivative can be reduced to the investigation of the system of integral Volterra equations of the first kind with the kernels of general types. Based on the results of solvability of these systems in the class of continuous functions and the theory of fundamental operator-functions of degenerated differential operators in Banach spaces, we can construct the generalized solutions of the considered problem in the class of generalized functions with left-bounded support. The connection between the obtained generalized solution and the continuous solution of this problem was investigated. The formula of the fundamental operator-function of the nonstationary differential operator of the first order in regular case was obtained.