Об условиях Фредгольма и разрешимости эллиптических краевых задачв неограниченных цилиндрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

С. Г. Крыжевич, В. А. Вольперт

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)

ОБ УСЛОВИЯХ ФРЕДГОЛЬМА И РАЗРЕШИМОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ*

1. Постановка задачи. Для эллиптических дифференциальных операторов, заданных в ограниченной области, проблема фредгольмовости хорошо изучена [1—3]. Известно, что любой оператор вида

n

Lu = uxx + Ayu + Ao(x, y)ux + Ak(x,y)uyk + B(x,y)u, (1.1)

k=i

соответствующий задаче Дирихле с нулевыми граничными условиями, фредгольмов и его индекс равен нулю. Однако, для операторов, заданных на некомпактных областях, это утверждение, вообще говоря, неверно. В статье [4] один из авторов рассмотрел случай, когда оператор L, заданный на неограниченном цилиндре, имеет конечные пределы, когда переменная вдоль оси цилиндра стремится к бесконечности. Были сформулированы достаточные условия фредгольмовости эллиптических операторов и выведена формула для вычисления индекса. В рамках настоящей работы показывается, что результаты статьи [4] можно обобщить на случай, когда коэффициенты оператора L не имеют пределов на бесконечности и представимы в виде сумм функций, зависящих только от переменной вдоль оси цилиндра и функций, равномерно стремящихся к 0.

Рассмотрим Q' - ограниченную область в Rn с гладкой границей. Определим Q = R х Q'. Обозначим переменную вдоль оси цилиндра Q через x, а переменные в перпендикулярном сечении через y = (yi,...,yn)T. Фиксировав числа S G (0,1) и m G N, рассмотрим пространства

U = {u G C2+6(Q ^ Rm): u\dn = 0} и X = C6(Q ^ Rm)

и линейный эллиптический оператор L : U ^ X вида (1.1) Предполагаем, что Ak(x,y) (к = 0,...,n) и B(x,y) суть C6 гладкие матрицы размера m х m. Пусть max(||Ak*, \B\c*) = M < +œ.

Рассмотрим следующие задачи Дирихле:

Lu = 0 (1.2)

и

Lu = f, f G X. (1.3)

Будем говорить, что оператор L фредгольмов, если размерность а пространства ограниченных решений задачи (1.2) конечна, а задача (1.3) имеет конечное число в условий разрешимости. Тогда величина

ind L = а — в

называется индексом оператора L. Будут рассмотрены следующие проблемы.

* Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ и Национального центра научных исследований Франции, совместный проект "Jumelage" (№01-01-22001), а также Министерства Образования России и Правительства Санкт-Петербурга, грант №PD-02-1.168. © С. Г. Крыжевич, В. А. Вольперт, 2004

(1) При каких условиях на оператор Ь любая задача (1.3) с ограниченной правой частью имеет ограниченное решение?

(2) Когда Ь является фредгольмовым и чему в этом случае равен его индекс?

Условимся обозначать символом | • | евклидову норму в конечномерных пространствах, а || • || —соответствующую матричную норму.

2. Разрешимость неоднородной задачи. Предположим сначала, что матрицы Ао и В не зависят от у, а матрицы Ак тождественно нулевые, то есть, что оператор Ь имеет вид

Ьи = ихх + Ау и + А(х)их + В(х)и. (2.1)

Рассмотрим пространство У = Н2 (О' ^ М). Пусть Шк (к € М)—собственные числа оператора Лапласа А' на У.

Имеют место следующие утверждения.

(1) 0 > > ш2 > ..., более того, шк ^ —сю.

(2) Кратность рк каждого собственного числа Шк конечна.

(3) Соответствующие собственные функции

^, (к € М, г = 1,...,рк) образуют ортонормированный базис пространства Ь2(О' ^ М). Запишем произвольную функцию и € и в виде ряда Фурье

то Рк

и(х,уУ) = ик(х)Фк (УУ).

к=1г=1

Аналогичным образом можем представить функцию / € X:

то Рк

/ (х,у) = ^52 & (х)ч>к (у).

к=1г=1

Умножая (1.3) на к и интегрируя по О', получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

ик" + А(х)ик' + (В(х) + Шк Ет)и\ = /к(х), (2.2)

где Ет единичная матрица размера т х т. Рассмотрим также однородную систему

ик" + А(х)ик' + (В(х) + Шк Ет)ик = 0, (2.3)

отвечающую задаче (1.2). Обозначим А к = %/—го\ = и\'/Х\, т1к = (и\,у1к)Т. Запишем систему (2.2) в виде

ч' = Рк (х)юк + Рк (х), (2.4)

где

( 0 Хк Ет\ / о \

Соответственно, система (2.3) принимает вид

4 = Рк (х)« • (2.5)

Пусть Ф(х) такая фундаментальная матрица системы (2.5), что Ф(0) = Е2т, а Ф(х, £) —матрица Коши системы (2.5).

Определение. Пусть I замкнутое выпуклое подмножество М. Система (2.5) дихотомична (гиперболична) на I, если существуют положительные константы С

8 и ии

(г) и и(г),

(1) Ф(х,£)ия'и(С) = и°и(х) для любых х,£ е I;

и X, а также пространства и?г) и и и,), определенные для всех Ь е I и такие, что

(2) и8(х) © ии (х) = М" для любого х е I;

(3) ||Ф(х,£)и0|| < Сехр(—Х(х — £))||и0|| для всех х,£ е I: х > и0 е и

(4) ||Ф(х,£)и0|| < Сехр(Х(х — £))||и0||, если х,£ е I: х < и0 е Щ

Обозначим через Пя(х) и Пи(х) проекторы на пространства ия(х) и ии(х), удовлетворяющие условию Пя(х) + Пи(х) = Е2т. Известно [5], что для любой системы (2.5), дихотомичной на I, существует линейный оператор СI, ставящий в соответствие правой части Г^, ограниченное решение системы (2.4). Он определяется по формуле

х Ь

С1 Гк(х)= / Ф(х,г)П8(г)Гк (г) аг — [ Ф(х,г)Пи(г)Гк (г) аг,

где а = МI, Ь = вир I. Если I = М, то соответствующее ограниченное решение единственно. Отметим также, что

2СН

8ир||£/^(х)||<^-8ир||^(х)||, (2.6)

I X I

где Н — константа, оценивающая нормы проекторов Пя и Пи в пространстве С0 (I). Сформулируем два условия на оператор Ь. Условие 1. Все системы (2.5) дихотомичны на М. Условие 2. Все системы (2.5) дихотомичны на М+ и на М_.

Отметим, что справедливость каждого из этих условий достаточно проверить лишь для конечного числа систем (2.5).

Лемма 2.1. Существует такое число N е М, что все системы (2.5) для к > N дихотомичны на М с константами С = 2 и X = 1/2. Нормы проекторов Пя'и оцениваются сверху числом 2.

Доказательство. Рассмотрим замену переменных г = х. Она приводит систему (2.5) к виду

« = Як (Ь)Ч • (2.7)

Здесь

0Е

т

ЯкЦ)= I (ШЫ + Е\ Хк) I .

Очевидно, что система

0 Е,

т

дихотомична с константами С = 1, X = 1, причем устойчивое и неустойчивое пространства ортогональны при любом Ь, то есть нормы проекторов равны 1.

По теореме Перрона [5], существует такое число е > 0, что если ||В(х)||/|(^к| < е и ||А(х)||/Хк < е, то система (2.7) дихотомична с константами С = 2 и X = 1/2. При этом углы между устойчивыми (неустойчивыми) пространствами для систем (2.7) и (2.8) меньше п/100. Таким образом нормы проекторов для системы (2.7) меньше 2.

Тогда система (2.5) дихотомична с константами С = 2 и X = Хк/2. Нормы проекторов остаются теми же, так как они не зависят от масштаба независимой переменной.

Поэтому, число N достаточно выбрать таким образом, чтобы была выполнена оценка

I > шах(1, М/е). Лемма доказана.

Эта лемма показывает, что константы дихотомичности для системы (2.5) могут быть выбраны не зависящими от к.

Отметим, что если выполнено условие 1, то задача (1.2) не имеет ненулевых решений, ограниченных на всей прямой.

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 1. Тогда оператор Ь обратим и оператор С = Ь-1 : X ^ и непрерывен.

Доказательство. Как уже было замечено, Ь взаимно однозначен. В противном случае, однородная задача (1.2) имеет ненулевое решение. Итак, достаточно установить справедливость следующих двух утверждений.

Лемма 2.2. В предположениях доказываемой теоремы

Ы № > 0. (2.9)

о> ||и||и

Лемма 2.3. При тех же условиях Ьи = X.

Доказательство леммы 2.2. Не умаляя общности, считаем, что ||и|| = 1. Тогда, в силу шаудеровских оценок [1] найдется такая положительная константа С, что

1 < С(ЦпЦао + ЦЬПЦх).

Если ||Ьи||х < (2С)-1, то ||и||со > (2С)-1. Следовательно, существует такая точка (х,у) € О, что 1и(х,у)1 > (3С)-1. Так как частные производные функции и не превосходят 1, найдется такое число <1 > 0, что Ци(х,^Нь2^') > <1 и такое число К > 0, что

К Рк

££(4 (х))2 > <2/2.

к=1 г=1

К

Рассмотрим следующую систему из 2т ^ рк обыкновенных дифференциальных

к=1

уравнений

Ж' = Р (х)Ж + ^ (х), (2.10)

где

Ш = (ю},...,ь&к), Р (х) = (Пая (Р1 (х),...,Рк(х)), ^ (х) = ^х),...,^ (х)) .

В силу леммы 2.1, можно выбрать константы Со, Хо и Но, таким образом, чтобы системы (2.5) были дихотомичными с константами Со и Хо, а нормы проекторов на устойчивые и неустойчивые пространства оценивались числом Но. Легко видеть, что система

Ш' = Р (х)Ш

обладает теми же свойствами. Тогда (2.10) имеет единственное ограниченное решение и оценка (2.6) справедлива. Таким образом,

ЦЬи(х, оь^) > (еК=1 ЕР= М(х))2) > Хо (ЕК=1 £Р= 1 (игк(х))2)1/2 Хо<о

2С0Н0 - 2а/2СоЯо'

И, наконец, поскольку вложение Со(О') ^ Ь2(О') непрерывно, найдется такая постоянная <2 > 0, что

^Щс^П) > ||Ьu(x, •)|С0(П') > 72. Следовательно, для каждого и € и \ {0}

\\Lu\lx . . ( 1

> тт —,<72

||и|^ - \2С

и неравенство (2.9) имеет место. Лемма доказана.

Доказательство леммы 2.3. Представим X в виде прямой суммы X = Х1 ф Х2,

где

N Рк

XI = {/ € X : I(х,у) = £ £ Мк(хЫ(у)};

к=1г=1

X2 = {I € X : ¡к(х) = 0, к = 1г =1,...,рк},

а N € N определяется по лемме 2.1. Аналогично, можно разложить и = и 1 ф и2 и ввести в рассмотрение такие операторы Ьг, Аг : иг ^ XI, что Ь = Ь1 ф Ь2, А = Д1 ф Д2.

Как следует из сказанного выше, Ь^1 = XI. Покажем, что ЬX2 = X2. В силу леммы 2.2 оператор Ь2 взаимно однозначен. Таким образом, достаточно проверить, что Ь2 фредгольмов и ш(( Ь2 = 0. Положим

Ь2 = Д2 +Л2, Ь2,ц = Д2 + ¡М, ¡1 € [0, 1].

По аналогии с леммой 2.1 легко проверить, что кег(Ь2,м) = {0} для любого ¡л € [0,1]. Лемма 2.4. При 0 < ¡л < 1 операторы Ь2^ нормально разрешимы. Возьмем произвольное ¡о € X2 и рассмотрим последовательность ¡к = Ь2,^ик, сходящуюся к I в X. Если ||ик||и < мы, не умаляя общности, можем предположить, что ик ^ ио в пространствах С2 (А) для любого компактного подмножества А С О. Очевидно, Ьио = ¡о. Вместе с тем, ио € и, так как легко видеть, что Аио € X.

В противном случае, мы можем предположить, что ||ик||и ^ го. Рассмотрим Ук = ик/ЦикЦ. Тогда Цук|| = 1 и ||ЬУк||х = ||1к||/||ик||и ^ 0, что противоречит утверждению леммы 2.2. Лемма 2.4 доказана.

Тогда поскольку оператор Д2 фредгольмов и та Д2 = 0, то же самое верно и для оператора ¿2.

Тем самым установлена справедливость утверждения леммы 2.3. Теорема 2.1 доказана.

3. Фредгольмовость. Выясним какие условия на оператор Ь достаточны для того, чтобы он был фредгольмовым. Сначала исследуем операторы, соответствующие системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1. Пусть .матрица Р(г) определена, непрерывна и ограничена при х € К. Тогда оператор

Ь = 4~- Р(х) : С^М Мт) С°(М Мт) ах

удовлетворяет условиям Фредгольма тогда и только тогда, когда система

и' = Р (х)и (3.1)

дихотомична как на К+, так на К-. При этом

та Ь = а+ - а-, (3.2)

где а+ и а- —размерности устойчивых пространств для г > 0 и г < 0 соответственно.

Замечание. Для линейных операторов Ь того же вида, действующих из Н1 в Ь2, аналогичный результат был получен Пальмером [6].

Доказательство. Если система (3.1) дихотомична на К+ и на К-, обозначим через М+ (х) и М- (х) устойчивые пространства системы (3.1) для х > 0 и х < 0 соответственно, а через М± (х) соответствующие неустойчивые пространства. Пусть

а = &ш(М- (0) П М+ (0)).

Отметим, что это размерность пространства решений системы (3.1), ограниченных на К.

Существуют решения ф+ (г) и ф-(г) системы

и' = Р (х)и + / (х), (3.3)

ограниченные на К+ и К- соответственно и определяемые по формулам

X + Ж

ф+ (х) = /Ф(х,г)п+ (г)/(г) аг - / Ф(х,г)п+ (г)/(г) аг,

0х х0 (3.4)

ф- (х) = / Ф(х,г)п- (г)/(г) аг -/ Ф(х,г)п- (г)/(г) аг.

-ж х

Здесь Ф(г,х) —матрица Коши системы (3.1), а матрицы Пи5(г) таковы, что

Щ(г) + Щ (г) = Ет

для любого г € К. Заметим, что все интегралы в правой части (3.4) сходятся и функции ф+ (г) определены корректно.

Обозначим через Ф(г) такую фундаментальную матрицу (3.1), что Ф(0) = Е. Ясно, что любое ограниченное на К+ решение ф(х) системы (3.3) может быть представлено в

виде ф(х) = ф+(х) + Ф(х)С, где С1 G U+ (0). Аналогично, все решения, ограниченные при t < 0, могут быть представлены в виде ф(х) = ф- (х) + Ф(х)С2, где С2 G Uu (0). Решение ф ограничено на всей вещественной оси тогда и только тогда, когда

ф+ (0) + Ф(0)С1 = ф- (0) + Ф(0)С2 (3.5)

для векторов С1 и С2, выбранных как выше. Равенство (3.5) может быть переписано в виде ф+ (0) — ф- (0) = С2 — С1. В силу произвольности выбора векторов С1 и С2, последнее равенство равносильно тому, что

ф+ (0) — ф- (0) G M0, (3.6)

где M0 = M- (0) + M+ (0). Итак, если система (3.3) имеет ограниченное решение, правая часть f должна удовлетворять в условиям, определяемым формулой (3.6). Здесь

в = codimM0 = m — dimM+ (0) — dimM-(0) +dim(M-(0) П M+ (0)).

Поскольку dim Mu (0) = m — dim Mt (0) = m — d-, легко видеть, что в = d- — d+ + a. Итак, оператор L фредгольмов и равенство (3.2) имеет место.

Предположим теперь, что система (3.1) не дихотомична по крайней мере на одном из лучей R+ или R-. Не умаляя общности предположим, что это R+. Покажем, что в этом случае оператор L не фредгольмов.

Известно [7,8], что существует такая ограниченная неоднородность f (х), что соответствующая система (3.3) не имеет решений, ограниченных на R+. Функцию f можно выбрать таким образом, чтобы \\f ||со = 1. Обозначим через ф(^ хо, uo) решение системы (3.3) с начальными данными и(хо) = uo. Ясно, что для любых х G R, uo G Rn

sup \ф(х,хо,uo)| =

Х^Хо

Введем обозначения T(uo,k) = min{x > хо : \ф(х, xo,uo)\ > к}. Заметим, что T(uo,k) = хо, если \uo\ > к. Кроме того, в силу теоремы об интегральной непрерывности, у любой точки uo G Rn существует такая окрестность Vo, что для любого vo G Vo выполнено неравенство T(vo,k) < T(uo,k + 1). Отсюда в силу компактности n-мерного шара радиуса к получаем, что при любых фиксированных хо и к функция T(-,к) ограничена.

Таким образом, существуют числовые последовательности и bk, удовлетворяющие следующим условиям:

(1) ai > 0;

(2) < bk < ak+i — 2 для всех к G N;

(3) inf sup \ф(х,ak ,u0)\>к.

uoeRm xe[ak,bk]

Определим функции fn(x), n G N по формулам:

f (х), если х G [a2nk,b2^k], к G N; (х — a2nk + 1)f (a2nk), если х G [a2^k — 1,a2*k], к G N; (b2nk + 1— x)f (b2nk), если х G [b2nk,b2nk + 1], к G N; 0 — в противном случае.

Отметим, что каждая из систем u' = P(x)u + fn(x) не имеет ограниченных решений, поскольку любое ее решение ф(Ь] на каждом из отрезков Jn<k = [a^kb^k] удовлетворяет оценке

sup \ф(х)\>2пк.

Отметим, что каждая нетривиальная линейная комбинация g = c\f\ + ... +

cn fn совпадает с функцией ck fk на бесконечном числе отрезков вида Jn<k, где к - наименьшее из таких чисел n, что ck =0. Таким образом, все решения системы

u' = P (x)u + g(x) (3.7)

неограничены. Это означает, что для любого подпространства Y С C0 конечной коразмерности существует такая функция g <// Y, что все решения системы (3.7) неограничены. Следовательно, оператор L не фредгольмов.

Теорема 3.2. Пусть оператор L, определенный формулой (2.1), удовлетворяет условию 2 и пусть размерности соответствующих устойчивых пространств для t > 0 равны d+, а для t < 0 равны d-. Тогда оператор L фредгольмов и

indL = £pk(d+ - d-). (3.8)

k=i

Замечание. В силу леммы 2.1 ряд (3.8) содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых.

Доказательство. Вернемся к рассмотренному при доказательстве теоремы 2.1 разбиению пространств X и U и оператора L. Как было показано, ind L2 = 0. С другой стороны, ind L = ind L\ + ind L2 (см. [4]). Следовательно, оператор L фредгольмов тогда и только тогда, когда L\ является таковым и indL = indL\. Оператор L\ может быть представлен в виде

Li = ®N=i ®Р=i L(k),

где операторы L(k) : C2+s(R ^ Rm) ^ Cs(R ^ Rm) задаются выражениями

d2 d

L(fc) = —j + A(x)— + B(x) + cukEm.

dx2 dx

Также рассмотрим операторы

d

dx

Tk = — - Pk(x) : C^R —> R2m) C°(R R2m).

В силу теоремы 3.1, все операторы Тк фредгольмовы и при этом т( Тк = d+ — dk С другой стороны,

N

та Ь1 = £ркт( Ь(к).

к=1

Итак, осталось показать, что все

Ь(к)

фредгольмовы и что та Тк = та Ь(к), к € N. Лемма 3.1. Рассмотрим следующее ограничение оператора Тк

Тк : С2+5(М ^ Rm) х С1+5(М ^ Rm) ^ С1+5(М ^ Rm) х С5(М ^ Rm).

Если оператор Tk фредгольмов, то и оператор Tk тоже и их индексы равны.

Доказательство. Все решения систем (2.5) имеют вид

'ш(х) = (п(х),у(х))т,

где у(х) = п'(х)/\к. Поскольку матрицы А(х) и В(х) являются -гладкими, вектор-функции у(х) имеют порядок гладкости а п(х) € С2+й(М ^ Мт). Таким образом,

кег Тк = кег %. __

Рассмотрим задачи Ткп = ] и Ткп = ]. Их условия разрешимости, задаваемые (3.6), совпадают, что завершает доказательство леммы.

Лемма 3.2. Если оператор Тк фредгольмов, то и оператор

Ьк

тоже, причем их

индексы совпадают.

Доказательство. Подстановка у(х) = п'(х)/\к определяет изоморфизм пространств кег Ь(к) и кег Тк. Надо показать, что и количества условий разрешимости для наших операторов совпадают. Рассмотрим систему

u

' = Xkv + /(x)

v' = + и - A(x)v + f2(x),

(3.9)

где

/1(x) G C 1+6(R ^ Rm), /2(x) G C6(R ^ Rm). Заменой q = v + /i(x)/Xk приведем систему (3.9) к виду

Ak q

q' = + и - A(x)q + g(x) (ЗЛ0)

где

g(x) =----Ь/2(ж) =: 7г(/ь/2)(ж).

Ak

Ограниченное решение системы (3.10) существует, тогда и только тогда, когда таковое найдется для системы (3.9). Если r = dimker Tk, существует ровно s = d- — d+ + r таких линейно независимых вектор-функций /= (/(j), /2'))Т, j = 1,...,s, что для любого /,

0 = / =(/i,/2)T G Lin {/(1),...,/(s)}

система (3.9) не имеет ограниченных решений. В силу леммы 3.1 можем считать компоненты (j = 1,...,s) C1+6-гладкими.

Положим g(j) = n(/(j), /2(j)). Тогда для любой нетривиальной линейной комбинации g(x) = cig(1) + ... + csg(s) соответствующая система (3.10) не имеет ограниченных решений. В частности, это означает, что все функции g(k) линейно независимы. Эта система линейно независимых функций не может быть пополнена, иначе число условий разрешимости оператора Tk будет больше s.

С другой стороны, система (3.10) имеет решение, ограниченное в C2+6(R ^ Rm) тогда и только тогда, когда таковое имеет система второго порядка

u" + A(x)u' + (B(x) + WkEm )u = g(x).

Значит, числа условий разрешимости наших операторов равны, что показывает справедливость утверждения леммы 3.2 и теоремы 3.2.

Замечание. Пусть С5-гладкие матрицы А(х,у) и В(х,у) представимы в виде Ао(х, у) = А°(х) + А1(х, у), В(х, у) = Во(х) + В1(х, у), а для оператора Ьо:

Ьои = ихх + Ау и + Ао(х)их + Во(х) (3.11)

выполнено условие 1 (условие 2). Тогда существует такое е > 0, что если

ЦА1^' < е, ВЦс* < е, ЦАкЦс> < е, к =1,...,п, (3.12)

то для оператора Ь, определяемого формулой (1.1), справедливо утверждение теоремы 2.1 (теоремы 3.2).

Величина е может быть найдена явно. Если оператор Ь° фредгольмов, то все его предельные операторы обратимы [9]. Если Ь1 = Ь° + К, то для соответствующих предельных задач

(Ь^Нт = (Ь0)цт + Кцт. Предположим, что для каждого предельного оператора

< 1.

Тогда задачи (Ь1)цт = 0 не имеют ненулевых решений. Отсюда можно вывести, что при линейной гомотопии между Ьо и Ь1 оператор остается фредгольмовым и его индекс не меняется,.

Замечание. Если оператор (3.11) удовлетворяет условию 2, то достаточно предположить, что оценки (3.12) выполнены при достаточно больших по модулю значениях х. В частности, это будет так, если предположить, что все возмущения, зависящие от у, стремятся к нулю при х ^ ±сю.

Summary

Kryzhevich S. G. Volpert V. A. On Fredholm Conditions and Solvability of Elliptic Problems in Unbounded Cylinders.

Linear elliptic problems in unbounded cylinders are considered. The solvability conditions and Fredholm property are studied, and a formula for an index is obtained for the second order operators with the coefficients that may not have limits at infinity.

Литература

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М., 1962.

2. Ландис E. M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М., 1971.

3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3: Псевдодифференциальные операторы. М., 1987.

4. Collet J. F., Volpert V. A. Computation of the Index of Linear Elliptic Operators in Unbounded Cylinders // J. Func. Anal. Vol.164. 1999. P. 34-59.

5. Perron O. Über Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Z. Vol. 29. 1929. P. 129-160.

6. Palmer K. J. Exponential Dichotomies and Transversal Homoclinic Points //J. Diff. Eqns. Vol. 55. 1984. P. 225-256.

7. Мамзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политех. ин-та. Вып. 51. 1954. С. 20-50.

8. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 883-891.

9. Volpert A., Volpert V. Properness ad topological degree for general elliptic problems // Abstract and Applied Analysis. Vol. 3. 2003. P. 129-181.

Статья поступила в редакцию 10 июня 2003 г.