О разрешимости нелинейных эллиптических краевых задач на неограниченных цилиндрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Г. Крыжевич, В. А. Вольперт

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ*

§ 1. Постановка задач

Одной из важнейших проблем, возникающих при исследовании нелинейных краевых задач, является вопрос о существовании ограниченных решений и о структуре образуемого этими решениями множества. Для линейных эллиптических задач этот вопрос достаточно хорошо изучен. Известно, что операторы L вида

П

Lu = uxx + Ayu + Ao(x, y)ux + ^2 Ak(x,y)uyk + B(x,y)u,

k=i (1-1)

(x,y) = (x,yi,---,yn) e ü,

соответствующие задачам Дирихле с нулевыми краевыми условиями, фредгольмовы и их индексы равны нулю, если ü — область задания оператора L — ограничена [1—3]. При этих условиях оператор обратим тогда и только тогда, когда 0 не является его собственным числом. В статье [4] обсуждался вопрос обратимости нелинейных операторов.

Для краевых задач на неограниченных областях эти утверждения, вообще говоря, неверны. Однако для операторов L, заданных на неограниченных цилиндрах, задачи обратимости и фредгольмовости решались авторами в работах [5-7]. Рассматривалась ü' —ограниченная область в Rn с гладкой границей, цилиндр ü = R х ü' и функциональные пространства

U = {u e C2+s(ü ^ Rm): u\dn = 0} и X = Cs(ü ^ Rm).

Изучались операторы L вида

Lu = uxx + Ду u + A(x)ux + B(x)u. (1.2)

В качестве x выбиралась переменная вдоль оси цилиндра ü, а в качестве y переменные в перпендикулярном сечении ü'. Исследовались краевые задачи

Lu = 0 (1.3)

и

Lu = f, f e X. (1.4)

Искомая функция u и неоднородность f раскладывались в ряды Фурье по собственным функциям ¡¿>1к оператора Лапласа в О', соответствующим собственным числам

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ и Национального Центра Научных Исследований Франции, совместный проект «Jumelage» (№01—01—22001), а также Министерства Образования России и Правительства Санкт-Петербурга, грант №PD-02-1.168, МАС, грант №0301-06493 и научной программы министерства образования РФ «Университеты России», грант УР №01.04.045.

© С.Г.Крыжевич, В.А.Вольперт, 2004

^k = —^І- Если pk —кратности собственных чисел Wk, то

ж Рк

u(x,y) = J2Y1 ui (x)vk (y);

k=1 i=1 ж Рк

f (x,y) = J2Y1 fk (x)^ik(y)-

k=1i=1

Полагая vk = uik'/Xik, wk = (и\ ,v‘tk)T, мы можем свести краевые задачи (1.3) и (1.4) к

бесконечным наборам 2т-мерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматривались следующие условия на системы (1.5).

Условие 1. Все системы (1.5) дихотомичны на М.

Условие 2. Все системы (1.5) дихотомичны на М+ и на М_.

Как было показано в работе [6], справедливость каждого из этих условий достаточно проверить лишь для конечного числа систем (1.5).

Пусть Ь : и ^ X — фредгольмов оператор. Обозначим

Индексом оператора Ь называется величина іпіі Ь = а(Ь) — в(Ь). В статье [7] доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Для того, чтобы оператор Ь вида (1.2) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1.

Теорема 1.2. Для того, чтобы оператор Ь вида (1.2) был фредгольмов, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял условию 2. При этом индекс рассматриваемого оператора может быть найден по формуле

(1.5) при Ь > 0 и при Ь < 0 соответственно, а рь — кратность собственного числа .

Условие дихотомичности эллиптических операторов, рассмотренное в работе Паль-мера [8], тем самым сводится к набору условий дихотомичности (гиперболичности) систем (1.5).

В настоящей работе изучается нелинейная задача вида

wk' = pk (x)wk

(1.5)

и

wk' = pk (x)wk + Fk(x)

(1.6)

соответственно. Здесь

a(L) = dim ker L, [3(b) = codim LU.

k=1

где d+ и d- —размерности пространств M'S’+(t) и M'S’ (t), устойчивых для систем

Lu + g(x,y,u,ux,uy1, . .. ,uyn) = 0.

(1.8)

Выясняется, при каких условиях на оператор Ь и нелинейность д задача (1.8) имеет ровно одно ограниченное решение и когда такие решения образуют конечномерное многообразие. Для нелинейных краевых задач устанавливается справедливость утверждений, аналогичных тем, что известны в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, теореме о существовании ограниченного решения возмущенной гиперболической системы и теореме Перрона о существовании устойчивых и неустойчивых многообразий для возмущенной системы [9,10].

В дальнейшем будем обозначать Ои = д(■, ■, и, их, иУ1иУп).

§ 2. Разрешимость линейной неоднородной задачи и формально сопряженный оператор

Пусть оператор Ь имеет вид (1.2). Помимо условий 1 и 2, рассмотренных выше, введем в рассмотрение следующее.

Условие 3. Все системы (1.5) дихотомичны на М+ и на М- и при этом для любых к,1 € N устойчивое при 1 > 0 пространство М^’+(1) системы (1.5) и неустойчивое при 1 < 0 пространство Ми (1), взятые при 1 = 0, пересекаются трансверсально.

Лемма 2.1. Для того, чтобы оператор Ь удовлетворял условию 3, необходимо и достаточно, чтобы он был фредгольмов и при этом имело место равенство в = 0.

Доказательство. Достаточность. В силу теоремы 1.2, фредгольмовость оператора Ь влечет выполнение условия 2. Пусть М^’+(0) + М(0) = М2т для некоторого к € N. При доказательстве теоремы 3.1 (см. [6]) показано, что система (1.6) имеет ограниченное решение тогда и только тогда, когда

ф+(0) - ф-(0) € М = М‘1’+(0) + Мик’-(0), где

ф *(о,*)п+ (т (ь) м, (21)

ф-(0)= Г фк(0,ь)п-(Ь—(ь)3,Ь.

образом. Следовательно, П“^).^(1) —произвольный элемент пространства Ми’+(Ь), а Ф(0,1)П+(1)^|(1) —пространства М^+(0). Тогда ф+(0) может принимать любое значе-

Здесь Ф а(Ь, з) —матрицы Коши системы (1.5), а П^’^(Ь) и Щ’^Ь) суть проекторы на соответствующие устойчивые и неустойчивые пространства. Покажем, что если М = М2т, то существует такая правая часть —к, что (2.1) неверно. В самом деле, для любого фиксированного момента Ь значение —к(Ь) может быть выбрано произвольным

1+( '

*+(0— (Ь) — простра

ние из М^+(0), а ф-(0) — любое значение из пространства Мк-(0). Более того, ф+(0) и ф- (0) могут быть выбраны независимо, так как ф+ (0) зависит только от значений —к (Ь) при Ь > 0, а ф- (0) —только от значений —к (і) при Ь < 0. Итак, если (2.1) имеет место для всех —к, то

М1’-(0) + МЦ’+ (0) С М1’+ (0) + М,“’-(0). (2.2)

Если М6к’+(0) + Мик’-(0) = М2т, то М£’+(0) С М6к’+(0) + М^’-(0), так как М£’+(0) + Мак’+(0) = М2т. Таким образом, найдется такая функция —к Є С1+&(М ^ М2т), что соответствующая система (1.6) не имеет решений, ограниченных на всей оси. Следовательно, существует такая функция ](х,у), что соответствующая задача (1.4) не имеет решения, и, значит, в > 0.

Необходимость. Если оператор L удовлетворяет условию 3, то он удовлетворяет условию 2 и, стало быть, фредгольмов. Рассмотрим пространства M0 = М£-+(0)ПMU' (0). Заметим, что для любого ограниченного решения u задачи (1.3) его коэффициенты Фурье игк (x) должны быть такими, что wlk (0) Є M0 для любых к Є N, i = 1,.. .,pk. Следовательно,

a(L) < ^Pк dim M0.

к =1

Заметим, что

dim M0 = dim Mk + + dimM^'- — 2m = dim Mk + — dim Mk-.

Из двух последних соотношений и из формулы (1.7) следует, что a(L) < ind L. Это означает, что в = 0. Лемма доказана.

Если матричная функция A(x) принадлежит классу гладкости С1+г, формально сопряженный оператор L* имеет вид

L*u = Ди — AT (x)ux + (BT (x) — AT (x))u,

где AT и BT суть транспонированные матрицы A и B. Отметим, что L* действует из U в X. Покажем, что условие 3 равносильно тому, что А = 0 не является собственным числом формально сопряженного оператора.

Теорема 2.1. Если оператор L фредгольмов, то L* — тоже, причем

в (L) = a(L*), a(L) = p(L*), ind L = —ind L*. (2.3)

Доказательство. Рассмотрим задачу

L*u = 0. (2.4)

Тем же способом, что и в § 1, эту задачу можно свести к системам дифференциальных уравнений

Ck = —P* (x)Ck, (2.5)

каждая из которых является сопряженной с соответствующей системой (1.5). Фундаментальные матрицы Ф k(t) и Ф k(t) систем (1.5) и (2.5) могут быть выбраны так, чтобы Ф к(£)Фk(t) = E. Таким образом, условие 2 справедливо или нет одновременно для операторов L и L* , при этом все соответствующие устойчивые пространства для оператора L являются неустойчивыми для оператора L* и наоборот.

Пусть оператор L фредгольмов, тогда он удовлетворяет условию 2. Следовательно, оператор L* удовлетворяет тому же условию и, значит, фредгольмов. Более того, поскольку параметры a и в связаны с устойчивыми и неустойчивыми пространствами соответствующих систем (1.5) и (2.5), справедливость соотношений (2.3) следует из сказанного выше. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть оператор L удовлетворяет условию 2. Он удовлетворяет условию 3 тогда и только тогда, когда задача (2.4) не имеет ограниченных решений.

§3. Нелинейные задачи.

В этом параграфе для нелинейных операторов, представляющих собой малые возмущения линейных эллиптических, будут доказаны аналоги теоремы об обратной функции и теоремы о неявной функции. Условимся обозначать г = (х, у). Фиксируем а > 0. Рассмотрим задачу (1.8), предполагая, что нелинейность д такова, что

|^(и)||с° < кі; \\Gui — Сп2\\х < ^2І|мі — П2\\и (3.1)

для любых и,иі,2 Є и.

Теорема 3.1. Пусть оператор Ь, заданный формулой (1.1), непрерывно обратим, то есть найдется такой оператор С : X ^ и, что Со Ь = Ь оС = id и ||С|| <

+то. Тогда существует такое число ко > 0, что для всех нелинейных возмущений

д, удовлетворяющих (3.1) с к2 < ко, задача (1.8) имеет единственное ограниченное решение.

Замечание 3.1. В силу теоремы 1.1, для операторов вида (1.2) достаточно потребовать выполнения условия 1.

Доказательство. Задача (1.8) равносильна следующей:

и = Ти := —СGu. (3.2)

Если для д выполнены оценки (3.1), отображение Т : и ^ и определено корректно и, если константа к2 достаточно мала, является сжимающим. Так как пространство и полно, задача (3.2) имеет единственное ограниченное решение и* Є и. Теорема доказана.

Приступим к изучению вопроса о существовании многообразий ограниченных решений для нелинейных систем. Для произвольного а > 0 обозначим Ба = {и Є и : ||и||и < а}. Предположим, что оператор Ь удовлетворяет условию 3. В этом случае задача (1.2) имеет пространство ограниченных решений Ш = Кег Ь размерности а. Выберем в нем базис: иі,.. .,иа. Не умаляя общности, считаем, что ||иі||и = ... = ||иа||и = 1. Рассмотрим изоморфизм Л : Ма ^ Ш, заданный формулой Л£ = £іиі + ... + £аиа, где £ = (£і,...,£а )Т Є Ма.

Теорема 3.2. Пусть Ь удовлетворяет условию 3, |^(0)|| < кі и для некоторого а > 0 второе неравенство (3.1) справедливо при любом выборе иі,2 Є Ба. Существуют положительные константы к и Б и такая окрестность 0 Є 2 С Ма, что если кі < к (і = 1, 2), то найдутся подпространство V С и и непрерывное отображение К : 2 ^ V, для которых справедливы следующие утверждения:

1) V 0 Ш = и, (3.3)

2) ||Д(0)|| <Бкі,

3) ІК(£і) — К(6)|| < Бк2І£і — для любых £і,2 Є 2,

4) для любого £ Є 2 функция и*(-, £) = Л£ + К(£) является ограниченным решением задачи (1.8),

5) если функция и Є Ба является решением задачи (1.8), то существует такое £ Є 2, что и = Л£ + К(£).

Доказательство. Из результатов общей теории фредгольмовых операторов [3, §19.1] легко получить справедливость следующего утверждения.

Лемма 3.1. Существует оператор С Є С(X ^ и), переводящий вектор-функцию / Є X в ограниченное решение С/ задачи (1.4), то есть ЬС/ = / для любого / Є X.

Положим V = СХ. Тогда справедливость (3.3) очевидна, следовательно для любого вектора и € и существует единственное представление вида

и = V + V, V = СЬи € V, V € Ш. (3.4)

Обозначим Н = ||С|| < +то. Не умаляя общности, будем считать, что Н > 1. Фиксируем вектор п = (П1,... ,Па)Т € Ка. Положим и(0)(г,п) = О(0) и определим последовательные приближения

и(т+1)(г, п) = Тпи(т')(г) := [Лп](г) + С[Ои(т')(-, п)](г). (3.5)

Лемма 3.2. Существует такое число е > 0, что если \п\ < е, все функции и(г) определены и выполнены следующее условия.

1. Для любых г € О, п € 2, г > 1

\и(г)(г, п)\ < (НН + а\п\)(1 - 2НН2)-1. (3.6)

2. Для всех г € О, п € 2, г > 0

\и(г+1)(г, п) - и(г)(г, п)\ < (НН + а\п\)(2НН2Г. (3.7)

3. Определим v(r) = и(г) — Лп. Тогда для любых г, п1,2, выбранных, как выше, и г € N

^(г)(г,п\) — Vм(г, п2)\ < 2аНЬ2\п1 — п2\. (3.8)

Доказательство. Выберем константы Н и е так, чтобы неравенство (Н Н + ае)(1 — 2НН)-1 < а/2 имело место. Здесь параметр а > 0 взят из условия теоремы. Тогда ясно, что неравенство (3.6) справедливо для г = 0 и г = 1, а (3.7) и (3.8) имеют место для г = 0.

Пусть для некоторого г эти утверждения справедливы. Покажем, что приближение и(г+1) определено корректно, а оценки (3.6) - (3.8) верны. В силу индукционного предположения и выбора Н и е имеем оценку ||и(г)|| < а/2. Следовательно, для фиксированного значения п

||и(г+1) — и(г) II = ||Тпи(г) — Тяи(г-1) II <

< НЦОи^ — Си(г-1)|| < 2НН2||и(г) — и(г-1)||.

Это означает, что |и(г+1) — и(г)| < (2НН2)г(НН1 + а\п\), то есть, оценка (3.7) справедлива.

Суммируя все эти неравенства от 1 до г, можно установить справедливость (3.6). Проверим (3.8). Имеем

^(г+1)(г,п1) — v(r+1)(z,п2)\< С О [кп1 + v{-r)(-,т)) — О (Лп2 + Vм(-,пз))

< НН2 (а\т — п2 \ + 1Ь(г)(-,п1) — V(r)(•,п2)^ <

< аНН2(1 + 2НН2)\п1 — п2 \.

Поскольку 2НН-2 < 1, это и означает справедливость (3.8). Лемма доказана. 36

<

с0

Из оценок (3.7) следует, что последовательность u(r) сходится равномерно. Обозначим ее предел через u*. Переходя к пределу в (3.5), получаем u*(z,n) = ^n](z) + L[Gu*(-,n)](z). Следовательно, u*(-,n) —решение задачи

Lu = -G(u*(-,n)). (3.9)

С другой стороны, легко видеть, что любое решение (3.9) является также решением (1.8). Тогда, обозначая R(n) := u*(-,rf) — Лц, получаем справедливость утверждения пункта 4 доказываемой теоремы. Взяв D = 2аН и перейдя в (3.8) к пределу, мы проверим утверждения пунктов 2 и 3.

Покажем справедливость утверждения пункта 5 доказываемой теоремы. Пусть ui € Ba является ограниченным решением задачи (1.2). Положим в соответствии с (3.4) ui = vi + w, где vi € V, w € W. Пусть вектор n € К“ таков, что w = Л^. Рассмотрим V2 = R(n) и определим u2 = v2 + w. Тогда в силу уже доказанных пунктов 1-4 получаем, что Lui = —G(ui), i = 1, 2 и L(ui — u2) = G(u2) — G(ui). Поскольку ui — u2 = vi — v2 € V, последнее соотношение перепишем в виде ui — u2 = L(G(u2) — G(ui)), откуда следует, что

||ui — u2\\ci < 2Hh2\\ui — u2\\ci. (3.10)

Отметим, что константа H зависит только от выбора оператора L, а h-2 — только от нелинейности д. Таким образом, если h-2 достаточно мала, то из (3.10) следует, что ui = u2, что и доказывает пункт 5. Теорема доказана.

Легко видеть, что если условие 3 не выполняется, то утверждение теоремы 3.2 несправедливо. В этом случае в силу теоремы 4.1 статьи [7] можно подобрать такую нелинейность f, не зависящую от u, что все решения задачи (1.8) будут неограниченными. Положим Z = (u, ux, uyi,..., uyn).

Теорема 3.3. Пусть в условиях теоремы 3.2 нелинейность д дифференцируема по своим аргументам, начиная с третьего, причем

д'и 1с=0 = д'иx 1с=0 = д'иy11с=0 = ... д'иy1 1с=0 = 0

а частные производные д'и, д'и^ и д'ук (k = 1,...,n) равномерно непрерывны по своим аргументам при ||u||ci < о. Тогда функция R, существующая в силу теоремы 3.2, может быть выбрана Ci —гладкой, причем DR(0) = 0.

Доказательство. Сформулированные выше условия на нелинейность д означают, что функционал G дифференцируем в смысле Фреше в окрестности начала координат, причем DG(0) = 0. Тогда требуемый результат является следствием теоремы о неявной функции [11, с. 614]. Теорема доказана.

Замечание 3.2. Аналогично можно показать, что если нелинейность является Ck — гладкой по u и ее частным производным, то и многообразие ограниченных решений также может быть выбрано Ck —гладким.

Предположим теперь, что /3 > 0. Рассмотрим пространство Y С X, dimY = в, такое, что X = LU ® Y. Выберем в Y базис v = {vi,... ,vp}. Для произвольного i = (li,..., лв) € Кв положим лv = nivi + ... + лвve. Рассмотрим оператор

L : U х Кв ^ X

вида L(u, л) = Lu + ¡iv. Очевидно, что оператор L фредгольмов, причем a(L) = a(L) и e(L) = 0. Применяя метод последовательных приближений к задаче L(u,i) = G(u), можно установить справедливость следующего результата.

Теорема 3.4. Пусть Ь удовлетворяет условию 2, ||0(0)|| < Н1 и для некоторого а > 0 второе неравенство (3.1) справедливо для любых и\^ € Ба. Существуют положительные константы Н и Б и такая окрестность 0 € 2 С Ка, что если Н < Н (г = 1, 2), то найдутся подпространство V С и и непрерывные отображения К : 2 ^ V, л : 2 ^ , для которых справедливы следующие утверждения.

1. V ф ж = и.

2. ||Д(0)|| < БН1, \л(0)\ < БН1.

3. Отображения К и л удовлетворяют условиям Липшица

ИК(^1) — К(^2)| < БН2 \£1 — £2^ \л(£0 — Л(£2)\ < БН2 \£1 — £2 \.

для любых £1,2 € 2.

4. Для любого £ € 2 функция и*(-, £) = Л£ + К(£) удовлетворяет условию Ьи*(-, £) = О(и*(-, £)) + л(£)v.

Теорема 3.5. Пусть в условиях теоремы 3.3 нелинейность д имеет порядок гладкости Ск по своим аргументам, начиная с третьего, причем выполнено (3.10). Тогда функции К и л, существующие в силу теоремы 3.4, могут быть выбраны Ск — гладкими, причем БК(0) = 0, Бл(0) = 0.

Это утверждение, как и теорема 3.3, является следствием теоремы о неявной функции.

Summary

S. G. Kryzhevich, V. A. Volpert. On solvability of nonlinear elliptic problems in unbounded cylinders.

Nonlinear boundary value problems of an elliptic type are considered. Theorems on the existence of bounded solutions and on the structure of the set of solutions are proved.

Литература

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М. Изд. иностр. лит., 1962, 205 с.

2. Ландис E. M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М. Наука, 1971, 281 с.

3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 3. —Псевдодифференциальные операторы. М., Мир, 1987, 694 с.

4. Smale S. An infinite dimensional version of Sard’s theorem. Amer. J. Math. 1965. Vol. 87. P. 861-866.

5. Collet J.F., Volpert V. A. Computation of the Index of Linear Elliptic Operators in Unbounded Cylinders. J. Func. Anal. 1999. Vol. 164. P. 34-59.

6. Вольперт В. А., Крыжевич С. Г. Об условиях Фредгольма и разрешимости эллиптических краевых задач в неограниченных цилиндрах // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1. C. 22-32.

7. Крыжевич С. Г., Вольперт В. А. О разрешимости линейных эллиптических краевых задач на неограниченных цилиндрах // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3. C. 3037.

8. Palmer K. J. Exponential Dichotomies and Transversal Homoclinic Points. J. Diff. Eqns. 1984. Vol. 55. P. 225-256.

9. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 883-891.

10. Perron O. Über Stabilitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen. Math. Z. 1929. Vol. 29. P. 129-160.

11. Канторович А. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М. Физматгиз, 1959. 684 с.

Статья поступила в редакцию 25 ноября 2003 г.