О разрешимости вырожденных линейных эволюционных уравнений с эффектами памяти Текст научной статьи по специальности «Математика»



Серия «Математика»

2014. Т. 10. С. 106—124

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 517.95

О разрешимости вырожденных линейных эволюционных уравнений с эффектами памяти *

В. Е. Федоров

Челябинский государственный университет

Л. В. Борель

Челябинский государственный университет

Аннотация. Методами теории вырожденных полугрупп операторов вырожденное линейное эволюционное уравнение с памятью в банаховом пространстве сведено к системе двух уравнений, одно из которых разрешено относительно производной, а другое имеет при производной нильпотентный оператор. Задача с заданной историей для разрешенного относительно производной уравнения с памятью редуцирована к задаче Коши для стационарной системы уравнений в более широком пространстве. Это позволило получить методами классической теории полугрупп операторов условия существования единственного решения задачи, в том числе решения повышенной гладкости. В итоге была исследована однозначная разрешимость задачи с заданной историей для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью при некоторых ограничениях на ядро интегрального оператора памяти. Кроме того, была исследована аналогичная задача с условием типа обобщенного условия Шоуолтера - Сидорова на историю системы. Полученные результаты использованы при исследовании начально-краевой задачи для линеаризованной интегро-дифференциальной системы уравнений Осколкова, описывающей динамику жидкости Кельвина - Фойгта высокого порядка.

Ключевые слова: уравнение с памятью, вырожденное эволюционное уравнение, полугруппа операторов, начально-краевая задача, жидкость Кельвина - Фойгта.

Рассмотрим задачу с заданной историей для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью

1. Введение

и(г) = и-(г), г < о,

(1.1)

* Работа выполнена при частичной поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020).

с линейными операторами Ь,М, К(в), в > 0, действующими из банахова пространства И в банахово пространство V. Предполагается, что кег Ь = {0} и выполняется условие (Ь, ^-ограниченности оператора М [18]. К таким задачам могут быть редуцированы начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику процессов с эффектами памяти, например, термомеханическое поведение полимеров [14], вязкоупругих жидкостей [3], и других процессов [13; 16].

Отметим близкие по предмету исследования работы. В [15] М. В. Фа-лалеевым исследована разрешимость в смысле обобщенных и классических решений вырожденных эволюционных уравнений с памятью первого порядка в банаховых пространствах методами теории фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов. В работах [6-9] М. В. Фалалеев и С. С. Орлов исследовали интегро-дифференциальные уравнения высокого порядка с эффектами памяти и вырожденным оператором при старшей производной в случаях интегральных ядер специального вида. При этом предполагается выполненным условие фредгольмовости оператора при старшей производной, либо спектральной ограниченности пучка операторов из уравнения. В статьях [5; 12] с использованием теоремы о сжимающем отображении доказана однозначная разрешимость задачи (1.1) для уравнения (1.2) в смысле классического решения при условиях порождения парой операторов Ь, М аналитической полугруппы. Отметим также близкие по предмету исследования работы, в которых вырожденные эволюционные уравнения с запаздыванием на конечном промежутке исследуются методами теории полугрупп операторов [10] и с помощью теоремы о неподвижной точке [11].

В данной работе получены условия однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2) при некотором ограничении на образы 1шК(в) или при условии кег Р С кег К(в) для в > 0, где Р — единица разрешающей полугруппы уравнения ^Ьи(¿) = М-и(£) [18]. Во втором случае рассмотрена не только задача с заданной историей, но и задача с условием типа обобщенного условия Шоуолтера - Сидорова [17; 4]

Существенную роль в проведенных исследованиях играют методы классической теории полугрупп операторов и теории вырожденных полугрупп. Общие результаты использованы при исследовании начально-краевой задачи для линеаризованной интегро-дифференциальной системы уравнений в частных производных, моделирующей в линейном

ь

—ж

Р(и(г) - п—(г)) = о, г < о.

(1.3)

приближении динамику вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта высокого порядка [3].

2. Вырожденное эволюционное уравнение с памятью

Для банаховых пространств И, V через С(И; V) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из И в V. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве И, действующих в V, обозначим через С1 (И; V). Если V = И, то сответствующие обозначения сократятся до С (И) и С1 (И) соответственно.

Через Бм обозначается область определения оператора М €С1 (И; V). Снабженное нормой графика || • \\ом = II ' 11и + \\М ■ У«» это множество является банаховым пространством в силу замкнутости оператора М.

Обозначим также М+ = {х € М : х > 0}, М+ = {0} и М+, М_ = {х € М : х < 0}, М_ = {0} иМ_.

Рассмотрим задачу для уравнения с памятью

где и- е С(М_;Н) ограниченная функция, /С € ¿1(М+; £(11; 53)), / е С([0,Т); V), Т < Существенным будет предпопложение о вырожденности оператора Ь, т. е. кег Ь = {0}. Уравнения такого вида с вырожденным оператором под знаком производной будем называть вырожденными эволюционными уравнениями. Уравнения с интегральным по временной переменной слагаемым, как в (2.2), будем называть уравнениями с эффектами памяти. Интегральный оператор описывает в данном случае влияние истории системы на ее динамику в настоящий момент времени. История системы к начальному моменту времени г = 0 задается условием (2.1).

Решением задачи (2.1), (2.2) на промежутке [0,Т) будем называть функцию и € С([0,Т); Бм) П С((—ж,Т);И), для которой выполняется равенство (2.1), Ьи € С:([0,Т);И) и при каждом г € [0,Т) справедливо равенство (2.2).

Следуя [18, с. 89], оператор М будем называть (Ь, ^-ограниченным, если множество рь(М) = {ц € С : (цЬ — М)—1 € С(8;И)} ограничено в С. При условии (Ь, ^-ограниченности оператора М обозначим 7 = {ц € С : \ц\ = г > а}. Рассмотрим интегралы

(2.1)

ь

г € [0,Т), (2.2)

—ж

Нетрудо проверить, что опеpатоpы Р и Q являются пpоектоpами. Положим И0 = кег Р, V0 = кег Q, И1 = шР, V1 = imQ. Обозначим чеpез Ьк (Мк) сужение опеpатоpа Ь (М) на Ик = П Ик), к = 0,1.

Теорема 1. [18, с. 90, 91]. Пусть опеpатоp М (Ь, a)-огpаничен. Тогда (Г) ЬР = QЬ, МРи = QMu при всех и е Ом; (и) М1 е ¿(И1; V1), Мо еС/(И0; V0), Ьк е£(Ик; Vk), к = 0,1; (Ш) существуют опеpатоpы М0-1 е ¿(V0;И0), Ь-1 е ¿{V1;И1).

Обозначим М0 = {0}и М, Н = М0-1Ь0. При р е М0 опеpатоp М называется (Ь,р)-ограниченным, если он (Ь, ст)-ограничен, Нр = О, Нр+1 = О.

В случае (Ь,р)-ограниченного оператора М предположим, что при всех в > 0 ш£(в) С V1. Подействуем на уравнение (2.2) оператором М0"1 (I — Q) и получим в силу теоремы 1 уравнение

в

—Низа) = гии) + Ш), £ е [0,Т), (2.3)

аЬ

где -ш(Ь) = (I — Р)и(Ь), Н(Ь) = М—1(1 — Q)f(Ь). Под его решением в данной ситуации естественно понимать функцию — е С([0,Т);И0), для которой Н— е С 1([0,Т);И0) и при всех Ь е [0,Т) выполняется равенство (2.3). Рассуждая, как в [18, с. 121], нетрудно доказать следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть оператор Н е ¿(И0) нильпотентен степени р е N0, Т < НкН е Ск([0,Т);И0), к = 0,1,...,р. Тогда существует единственное решение уравнения (2.3), при этом оно имеет вид

р ак

= (2.4)

к=0

Из леммы следует, что при рассмотрении задачи (2.1), (2.2) возникает необходимое условие согласования

р

ак

к=0

= (I — Р )и-(0)

4=0

с заданной функцией истории и-.

Если же на уравнение (2.2) подействовать оператором Ь-^, то будет получено уравнение

г

= Ь^1ММ1)+ У Ь^КУ-зХь+ы^ск + Ь^/ф, Ь е [0,Т),

где у(г) = Ри(г). Поскольку функция — уже известна, последнее уравнение можно переписать в виде

г

= т-1**-'* ■ Г т-1*

йг

t

-v(t) = L^Mivit) + J L~[lQK,{t-s)v{s)ds +g{t), te[0,T), (2.5)

где g(t) = f L- QK(t — s)w(s)ds + L— Qf (t). Таким образом, исходная

—oo

задача (2.1), (2.2) сведена к задаче

у(г) = Ри-(г), ¿ем_, (2.6)

для уравнения (2.5) с ограниченным оператором Ь- 1Ы\ согласно теореме 1. Рассмотрим такую задачу более подробно.

3. Невырожденное уравнение с памятью

Пусть И — банахово пространство, Cfc'°(R+;il) — банахово пространство k раз дифференцируемых, непрерывных и ограниченных на положительной полуоси вместе с k первыми производными функций u = u(t), удовлетворяющих условию и®(0) = 0, I = 0,1,... , к. Для краткости обозначим C°>°(R+;il) = С°(М+;И).

При заданном операторе A G L(U) рассмотрим задачу

u(t)=u-(t), te IL, (3.1)

t

d

—u{t) = Au(t) + / K{t - s)u(s)ds + f(t), t G [0, T), (3.2)

— X

с известными функциями и_ G C(R_;il)nLi(R_;il), К. G WtfR+i £(il)), f G C([0,T);U), T < +œ. Решением задачи (3.1), (3.2) на промежутке [0,T) будем называть функцию u G C 1 ([0,T);U) П C((—œ,T);U), для которой справедливо условие (3.1) и при каждом t G [0,T) выполняется равенство (3.2).

Введем в рассмотрение функцию

s t

v(t,s) = J u(t — t)dr = J u(t)dr.

t—s

В силу того, что и- G (М_; IX), она ограничена по в на при фиксированном г > 0. Имеем

д

J JC(t - s)u(s)ds = J /С(т)u(t — т)dr = J IC(s)-^v(t, s)ds =

t

О РАЗРЕШИМОСТИ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 111 0 г \

У и-(т)вт + 1 и(т)вт 1 11+1 К(в) — ! К (в)у(Ь,в)йв =

0

— J к'(в)ь(г,в)ав.

0

Вычислим частную производную в

ду [ д д

—- = — / тги^ — т)йт = -и(£) — — = -и(£) — 8).

дЬ J дТ дв

0

Таким образом, задача (3.1), (3.2) сведена к задаче Коши

0

и(0) = и-(0), у(0,в) = ^ и-(т)вт, в > 0,

для системы уравнений

и

и(Ь) = Аи(Ь) — J К'(в)у(Ь, в)вв + f (Ь), 0

ду д

которую можно записать в виде задачи Коши для стационарного неоднородного уравнения

-(0) = -0, - (Ь) = В-ш(Ь) + д(Ь) (3.3)

в пространстве 2И = И х С°(М+;Я). Здесь

»=(")• -(о)' *=('*)'

при_этом Ах : С°(М+;Н) ->■ И, А2 : С°(М+;Н) ->■ С°(М+;Н), 3 : И ->■

С°(М+;11) действуют по правилам

Ахг = — J К'(в)г(в)вв, (А2*)(в) = —г'(в), (Зг)(в) = г, в > 0.

0

Очевидно, что 3 € £(11; С0(М+;И)), ||^||/:(я-с0(1+-я)) = 1- При условии /С е И^11(М+; £(И)) имеем А\ е £(С°(М+;Н);Н), при этом выполняется неравенство \\Аг ||£(со(1+;Я);Я) < \\Ц\ш1(ж+;/:(й))-

Полугруппа операторов {и(Ь) е ¿(И) : Ь > 0} называется сжимающей, если \\и(Ь)У£(и) < 1 для всех Ь > 0.

.

Лемма 2. Оператор А2 G C/(C°(M+;il))7 (A2z)(s) = -z'(s), с областью определения Da2 = C1,0(R+;il) порождает сжимающую (Со)-непрерывную полугруппу операторов.

Доказательство. При /л > 0 и z2 £ C°(R+;il) уравнение (/// — A2)z\ = 22 относительно z\ £ C1,0(R+;il) является дифференциальным уравнением ¡iz\ + z[ = z2. Его решение будем искать методом вариации посто-

s

янной в виде zi(s) = C(s)e-^s. Тогда zi(s) = C\e-^s + f ем(т-s)z2(r)dr.

0

Поскольку z1(0) = 0, то C1 = 0. Таким образом,

s

[(ц.1 - A2)-1z2](s) = J e^-s)z2(T)dT, 0

s

|Ы - A2)-1z2||со(1+;Я) < sup I e^-*) \Ыт)\\^т < i|N|c0(S+.

1

ц'

По теореме Хилле - Иосиды оператор А2 является генератором сжимающей (Со)-непрерывной полугруппы операторов. □

|Ы ~ А2)~1\\с{с0{Ж+т <

Теорема 2. Пусть оператор А порождает (С0)-непрерывную полугруппу операторов в пространстве И, К € С(И)). Тогда определенный в (3-4) оператор В порождает (Со)-непрерывную полугруппу операторов в пространстве И х С°(М+;И).

Доказательство. Нетрудно заметить, что оператор

А 0 \ ^о,

= (о ^ eCl(UxC°(R+;U))

Bo

02

порождает (Со)-непрерывную полугруппу операторов в пространстве И х С0 ; IX), поскольку операторы А и А2 являются генераторами (Со)-непрерывных полугрупп на пространствах И и С°(М+;И) соответ-

0А1

ственно. Оператор В1 = ^ ^ ^ непрерывен на пространстве И х

С°(М+;И) в силу того, что как замечено выше, 3 € £(11; С°(М+;И)), А\ е £(С°(М+;11);11). Поэтому по теореме 2.1 [1] о возмущении генератора полугруппы оператор Во + В\ е £¿(11 х С°(М+;11)) является генератором (Со)-непрерывной полугруппы на пространстве И х С°(М+;И). □

При получении условий существования решения класса

СП([0,Т);И) П С((-ж,Т);И)

задачи (3.1), (3.2) понадобится описание множества Dsn, которое получено в следующей лемме.

Лемма 3. Пусть A е L(U), K е ^1(М+; L(U)), n е N. Тогда для определенного в (3.4) оператора В Db« = U х Da; ■

Доказательство. Используя очевидное равенство A2J = 0, по индукции нетрудно доказать, что при всех k е N степень Bk оператора B имеет вид

i к—1Л\ т~\ \тп Am.

Вк =

Dk Yh Fk,mA2m

m=0

к—2

JDk — 1 A2 + J S Gk,mAm I

\ m=0 /

где Б0_ = /, Бк е £(И), € £(С°(М+;Н);Н), ш = 0,1,..., Л-1, € £(С°(М+;Н)), ш = 0,1,..., к — 2, к € N. В случае к = 1 нижний предел суммирования в последней сумме больше верхнего, по умолчанию это означает отсутствие суммы. Из полученного представления оператора Вк следует утверждение леммы. □

Теорема 3. Пусть А е £(Н), пеМ, «_е С™-1'0^-^) П ¿1(М_;И), К е С(И)), f е Сп—^[0,Т);И) при Т < Тогда существует

единственное решение задачи (3.1), (3.2) на промежутке [0,Т), при этом оно принадлежит классу Сп([0,Т);И) П С((-ж,Т);И).

Доказательство. Задача (3.1), (3.2) приведена к виду (3.3) в пространстве 2И = И х С°(М+;И). В силу условий теоремы на «_ и /

■ = (^(0,-)У е = И х , д = е Сп~*([0,Т); Бвп).

В частности, функции о

и(0,в) = I и-(т)йт, №(0, •)](э) = -и-П-1)(-в), П е N 8 > 0, — 8

принадлежат С°(М+;Н). Поэтому по теореме 5.6 [2] и согласно теореме 2

существует единственное решение ■ е С 1([0, Т); ЗД)ПС([0, Т); Бв) зада-

г

чи (3.3) на промежутке [0,Т), ■(£) = егвш0 + / е(г—8)вд(в)йв, где {егв е

о

С(Ш) : í > 0} — полугруппа операторов, порождаемая оператором В. Понятно, что в условиях данной теоремы существует

п— 1 ^

(г) = егвВп■ + Вкд(п—1—к) (г) + е(—)вВпд(з)йв. к=о {

Решением исходной задачи (3.1), (3.2) является первая компонента вектор-функции w(t). □

4. Условия разрешимости вырожденного уравнения

Теперь есть возможность закончить исследование разрешимости задачи с заданной историей для вырожденного эволюционного уравнения с эффектами памяти.

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, и- € С(М_;11) ограниченная функция, Ри_ е С°(М_;И)П£1(М_;И)7 /С € £(Н;ЯЗ)), 1шК(в) С V1 при в > 0, Т < / е С([0, Т); V), НкМ0-1(1 - д)/ е Ск([0,Т);И), к = 0,1,...,р,

Р dk

dtk k=0

= (I - P)u-(0).

i=0

Тогда существует единственное решение задачи (2.1), (2.2) на промежутке [0,Т).

Доказательство. В силу леммы 1 функция — непрерывна, а согласно теореме вложения Соболева то же самое можно сказать про оператор-функцию /С. Используя ограниченность функции (I — Р)и,- на и принадлежность /С € Ь1(М+; £(Н; 53)), нетрудно показать равномерную сходимость по £ на произвольном отрезке [¿0^1] С К+ интеграла

J ь-1дк(г - в)-(в)йв = J ь-1дк(в)-(г - в)йв,

-ж 0

а значит, и непрерывность функции д из уравнения (2.5). По теореме 3 задача (2.5), (2.6) однозначно рарешима. Учитывая рассуждения из §1 и лемму 1, получим требуемое. □

Вместо условия шК(в) С V1 рассмотрим теперь ограничение

И0 С кег К(в), в > 0. (4.1)

Пусть по определению С"га([0, Т); 53) = С([0,Т);53), С-га>°(М+;И) = С°(М+;Н) при п е N.

Теорема 5. Пусть р € N0, оператор М (Ь,р)-ограничен, функция и- е С(М_;Я) ограничена, Ри- € С°(М_;11) П ¿1(М_;11)7 оператор-функция К е ¿1(М+; £(И; V)), дК е ^1(М+; ДИ; V)), И0 С кег К(в) при

в >0, ЯкМ0"1(/ - 0)К € Ск(М+;£(И)) П С*-1,0(М+; £(И)), оператор-функции — 0)К, ограничены на М+7 к = 0,1 ,...,р, / е

С ([0, Т); V), Нк М-1 (I - Я)! € С к([0, Т); И), к = 0,1,...,р,

о

р

- Р)и_(0) = - ^

р Г

(I - Р)и- (0) = - ^ / (НкМ-1(1 - 0)К)(кХ-8)Ри- (в)йв

- I./ /\ ' ' -.4 Г ' . -Ч / 1..Ч —

Р йк

. (4.2)

г=о

-Е^мг^-д)/

к=о

Тогда существует единственное решение задачи (2.1), (2.2) на промежутке [0,Т).

Доказательство. Действуя, как в §1, из уравнения с памятью получим систему уравнений

г

й (

-Ни]{1)=и]{1)+ / Мо-^-^да-зМ^ + Мо-1^-^)/^), (4-3)

г

й (

—= Ь^МгУ^) + / Ь^К^-зМз^з + Ь^/У). (4.4)

Учитывая, что задача (2.6) для уравнения (4.4) по теореме 3 однозначно разрешима, перепишем уравнение (4.3) в виде

й

-Ни,(г)=и,(г)+д(г), (4.5)

г

где д(г) = / М-1(1 - 0)К(г - в)ь(в)йв + М-1(1 - Я)!(г) — задан-

—те

ная функция. Тем самым, исходная задача (2.1), (2.2) сведена к задаче = (/ — £ е М_, для уравнения (4.5), условия разрешимости

которого сформулированы в лемме 1.

Покажем существование к-й производной у функции Нкд. Обозначим при к € N0 Ок(г) = НкМ0—1 (I-Я)К(г), тогда, поскольку ск°(0) = 0 при I = 0,1,...,к - 1, то

йП С / \ йП

к = 0,1,...,р, п = 0,1,...,к, при условии дифференцируемости соответствующего несобственного интеграла, докажем ее. Действительно, так как Ри— € Ь1(М+;И), то для любого е > 0 существует такое

г

достаточно большое A > 0, что при всех A' > A, t > 0

-А'

-А'

I ct\t - s)v(s)ds < sup \\G(n)(г)Wm J WPu-(s)\\uds<£.

(n),

< sup \ G

т >0

U

Отсюда следует равномерная сходимость по i 6 R+ соответствующих интегралов, а значит, и их дифференцируемость.

Необходимость условия согласования данных (4.2) следует из вида решения уравнения (4.5), приведенного в лемме 1. □

При выполнении ограничения (4.1) можно рассматривать модифицированное условие заданной истории системы — условие типа Шоуолте-ра - Сидорова

P(u(t) -u-(t)) = 0, te М_, (4.6)

когда задана лишь история проекции состояния системы на подпространство U1. Для задачи (2.2), (4.6) будет справедлив результат, аналогичный теореме 5, лишь условие согласования (4.2) в этом случае становится лишним. Рассмотрим другой вариант теоремы об однозначной разрешимости задачи (2.2), (4.6), в котором ослабим требования на функции HkM—1(I — Q)K, добившись большей гладкости функции v.

Теорема 6. Пусть р £ No, оператор М (L,p)-о граничен, функция и- G С(R_;И) ограничена, Ри- G Cp_2'°(R_;il) nLi(R_;il), оператор-функция К, G Li(M+;£(H;S3)), QIC G £(И; 93)), 11° С ker K{s),

s > 0, оператор-функции НкМ^'1(1 — Q)K, £ Cfc(R+;£(il)) ограничены на R+ вместе со своими производными до порядка к включительно, к = 0,1,...,p, Qf е Cp-2([0,T);V), HkM0-1(I — Q)f e Ck([0,T);U), к = 0,1,... ,p. Тогда существует единственное решение задачи (2.1), (2.2) на промежутке [0,T).

Доказательство. Отличие от доказательства предыдущей теоремы состоит лишь в том, что теперь решение v уравнения (4.4) принадлежит классу Cp-1([0,T); V) П C 1([0,T); V) по теореме 3, при этом

-¡n n 1 р

j^Hkg{t) = + / - s)v{s)ds+

l=0 J

dn

+—HkM^(I-Q)f(t), k = 0,l,...,p, n = 0,l,...,k,

и выполнение условия согласования (4.2) не требуется. □

5. Линеаризованная система уравнений движения жидкостей Кельвина — Фойгта высокого порядка

Рассмотрим начально-краевую задачу

y(x,t) = y-(x,t), z(x,t) = Z-(x,t), (i,i)eiixR_, (5.1)

y{x, t) = 0, z(x, t) = 0, (x, i) б Ш x R_|_, (5.2)

для линеаризованной системы уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта порядка 2,3,... (система (0.55) в [3])

(1 - хД)ш(ж, t) = vДу(х, t) - (y • V)y(x, t) - (y • V)y(x, t)+

+Az(x, t) - r{x, t) + g{x, t), (x, t) e Q x M+, (5.3)

t

*<x,t) = ay{x,m,t)+ j ОМ) 6 «xl+, ,5.4,

V ■ у = 0, V-z = 0, (x,t)eüx 1+. (5.5)

Здесь Q с Rn — ограниченная область с гладкой границей дQ, x,v,a, ß G R, заданы функции y-, z-, y, K. Функция y = (y1,y2, • • • , yn) соответствует стационарному решению системы, параметр x характеризует упругие свойства жидкости, v - ее вязкие свойства. Вектор-функции y = (yi,У2,...,Уп) (вектор скорости жидкости), z = (zi,z2,---,zn) (свертка по временной переменной скорости и некоторой весовой функции) и r = (r1 ,r2,..., rn) (градиент давления) неизвестны.

Обозначим L2 = (L2(Q))n, H1 = (H 1(Q))n, H2 = (H2(Q))n. Замыкание линеала L = {w G (C^°(Q))n : V- w = 0} по норме пространства L2 обозначим через HCT, а по норме H1 — через H*. Кроме того, будем использовать обозначение H2 = H* П H2. Имеем представление L2 = H ф H, где H — ортогональное дополнение к HCT. Обозначим через П : L2 — H ортопроектор вдоль HCT, Е = I — П.

Обозначим через А = Е diag^,..., Д} оператор A G Cl(Ha) с областью определения H2. Известно, что этот оператор имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр ст(А), сгущающийся только на —те. Пусть y G H1, тогда формулой Dw = vДw — (y • V)w — (w • V)y задан оператор D G L(H2; L2).

Учитывая уравнения (5.5) и тот факт, что градиент давления r ищется как функция от t со значениями в подпространстве градиентных функций H, положим

U = H2 х H х H2, V = L2 х H2 = H x H x H2. (5.6)

Здесь также используется тот факт, что при фиксированном £ все слагаемые в уравнении (5.4) являются элементами И2. Тогда операторы, задающие систему (5.1)—(5.5) в виде уравнения (2.2), имеют вид

I - xA 0 0 L =| -хПД 0 0 I ,M = 0 0 I

и лежат в L(U; V).

ZD 0 A \ /000

ПО -I ПД , K(s) =00 0 al 0 ßI \00 K(s)

(5.7)

Теорема 7. Пусть пространства И и V определены в (5.6), а операторы Ь и М заданы формулами (5.7), и,х = 0, х-1 ^ а(А). Тогда оператор М (Ь, 0)-ограничен, при этом

0

0

P = хПД(1 - xA)"1 ZD 0 ПД(1 - xA)

(5.8)

0

0

Доказательство. Обозначим Xß = X + ß(ß~ß) • Так как> | 1™ Хм = X Ф

0, а спектр оператора A дискретен, то при достаточно больших существует оператор (I — %MA)-1 = x-1(x-1I — A)-1 £ £(ЫСТ). В силу свойств резольвенты lim (I — x^A)-1 = (I — xA)-1 в £(ЫСТ).

Для любого v £ имеем

||(/ - x>A)-iv\\k = Е (1[1A_fc)^)l ^ Е К"» = СМша,

k=i

k=i

1+Л2

поэтому (I — x^A)~l £ С(Ho-jH2). Оценим константу = sup (-1_х

при достаточно больших Если % > 0, то в силу отрицательности спектра о'(Л) C^ не превосходит максимума значений функции h^(x) = (1 + x2)(1 — X^x)-2 в точке 0 и на —те: C^ < max{1,%-2} < C(е) = max{1, (х — е)-2} при некотором малом е > 0. В случае же % < 0 имеем

С, < С(е) = %2+l1~dx)2 + e, d= infJAfc - х"1! > Ixü1 - X"1!-

d2x4

ken

В этом случае взят максимум значений функции Н(х) = (1 + х2)(1 — Х%)-2 в точках х-1 ± Л с поправкой на то, что хц = X. Таким образом, обратный оператор

Dß = (I- XßA - ß-^D)-1 = (I - x^A)-1 (i - ±ED(I - хИ)"1)

существует и непрерывно действует из Н в Щ. при достаточно большом \ц\, в том числе при условии \ц\ > С(е)||Х^||£(И2щ). При таких ц € С

ßL - M

ß(I - xA) - ED 0 -А -/ХПД - nD I -ПД -al 0 (ß - ß)I

(ßL - M)-1 =

(

ß-1Dи

i3\ /i

V

_«_ n

ß(p-ß) t1

DßA p(p-ß)

ß(ß-ß)

D

ß ß(ß-ß)

/

Отсюда видно, что при достаточно больших \ц\ оператор (цЬ - М)—1 : V ^ И непрерывен, что означает (Ь, ^-ограниченность оператора М. При V € и достаточно больших \ц\

" хк (1 + \2к)\^,^к }\2

< -2Е

[(1 - x\k )2 - ¿1(1 - x^k )2

-1 — (Т „ Л\-1 „ ГШ -тпг2

< се2\м\2

k=1

поэтому lim (I - xuA)-1 = (I - xA)-1 в L(HCT; H2). Кроме того,

Иш

1

I

<

С(Жа)

< lim ^(\\ЪР(1-хАГЧс<ы+бУ _Q

Н-оо^

\ß\

к

Поэтому lim Dß = (I - xA)-1 в L(H; H2). Далее, для v G H2 и достаточно больших \ß\

||(I - x»A)-1(I - xA)v - v\H <

k=1

(1 - x^k )2

\ß\2\ß - вr

\\ßDß(I - xA) - ßI - (I - xA) ED||£(h2) <

<\ß\ || (I - x^A) (I - xA) - I

\C(HI)

+

0

0

+ ||(I - xßA)-lZD(I - xßA)-l(I - xA) - (I - хА)-1Щ\тг) +

-lv n\k

+E

k=2

£P) ü-^ArHl-,.4)

< C I

L(H|) ^ -

+ ||(I - xMA)-1ED(I - x^A)-1(I - xA) - (I - x^A)-1SD^(H2) +

С(Щ)

11

+ ||(I - xßA)~LED - (I - xA)-^Dllmi) + 'D)\\c(n)+S\k(

И

" [\\{i-xATlm\\mi)+b]k

k=2

Последнее выражение стремится к нулю при ^ те, следовательно, lim I

lim ß(Dß(I - xA) - I) = (I - xA)-1£D в пространстве L(H2). Таким

образом, обозначив А2i = /^ПА^Д/ - xA) - I) + -

получим существование предела

Р = lim iiRL (M) = lim

( D^I-xA) 0 \ 21 О II- -^-

V ^ЗД - 0 У

в пространстве £(И). Аналогичным образом вычисляется предел ( = Иш цЬ^(М) в пространстве £(Ш). Из существования этих пределов

следует (Ь, 0)-секториальность оператора М, а значит, и его сильная (Ь, 0)-секториальность справа и слева в силу гильбертовости И и V. Поэтому проектор удовлетворяет равенству Р = Р (это следует из теоремы 3.4.2, замечания 3.5.3 и теоремы 2.5.2 из [18]). Вычислив предел, получим оператор (5.8). Поскольку кег Ь = кег Р, то оператор М (Ь, 0)-ограничен. □

Из вида проектора Р следует, что И0 = {0}хИ х {0}, И1 = {(у, г, г) Е И2 х!х хН2 : г = хПА(1 -+ПД(/-%А)-1г}. Это означает, в частности, что равенства (5.1) образуют условие Шоуолтер - Сидорова и выполняются условия теоремы 6.

Теорема 8. Пусть г/,% ф 0, х"1 ^ а(А), е С°(М_;Н2) П

¿1(М_;Н2), К е Ил11(М+;М)7_з € С(К+;М). Тогда существует единственное решение у, г € С1(М+;Н2) ПС(М;Н2)7 г € С(М; БГл-) задачи (5.1)-(5.5).

Доказательство. По теореме 6 при р = 0 получим требуемое. Заметим лишь, что кег Р = 11° С кег /С(й) при всех в > 0. □

Список литературы

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М. : Мир, 1972. - 740 с.

2. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. -М. : Мир, 1977. - 504 с.

3. Осколков А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина - Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

4. Сидоров Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т. 25, № 4. -С. 569-578.

5. Стахеева О. А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью / О. А. Стахеева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Вып. 11, № 20 (158). - C. 70-76.

6. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2012. -Т. 5, № 2. - С. 90-102.

7. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 10. - С. 68-79.

8. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. - 2010. - Вып. 6, № 35 (211). - C. 104-109.

9. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, № 1. - С. 118-134.

10. Федоров В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т.53, № 2. - С. 418-429.

11. Федоров В. Е. Линейные уравнения соболевского типа с интегральным оператором запаздывания / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Изв. вузов. Математика. - 2014. - № 1. - С. 71-81.

12. Федоров В. Е. О разрешимости линейных уравнений соболевского типа с эффектом памяти / В. Е. Федоров, О. А. Стахеева // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ. - Новосибирск : Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. - С. 245-261.

13. Giorgi C. Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory / C. Giorgi, A. Marzocchi // Nonlinear Differ. Equ. Appl. - 1998. -Vol. 5. - P. 333-354.

14. Gurtin M. E. A general theory of heat conduction with finite wave speeds / M. E. Gurtin, A. C. Pipkin // Arch. Rational Mech. Anal. - 1968. - Vol. 31. -P. 113-126.

15. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 2002. —

548 p.

16. Robust exponential attractors for a family of nonconserved phase-field systems with memory / S. Gatti, M. Grasselli, V. Pata, M. Squassina // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2005. - Vol. 12, N 5. - P. 1019-1029.

17. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differentialequations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. -1975. - Vol. 6, N 1. - P. 25-42.

18. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. - Utrecht ; Boston : VSP, 2003. -216+vii p.

Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, Челябинский государственный университет, 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, тел.: (351)7997235 (e-mail: [email protected])

Борель Лидия Викторовна, аспирант, Челябинский государственный университет, 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, тел.: (351)7997235 (e-mail: [email protected])

V. E. Fedorov, L. V. Borel

On Solvability of Degenerate Linear Evolution Equations with Memory Effects

Abstract. By the methods of the operators semigroups theory a degenerate linear evolution equation with memory in a Banach space is reduced to a system of two equations. One of them is resolved with respect to the derivative, another has a nilpotent operator at the derivative. A problem with a given history for the first of the equations with memory is brought to the Cauchy problem for stationary equations system in a wider space. It allowed to obtain conditions of the unique solution existence for the problem, including solutions with a greater smoothness, by the methods of the classical operators semigroups theory. Thus unique solvability of the problem with a given history for a degenerate linear evolution equation with memory was researched with using some restrictions for the kernel of the memory integral operator. Besides, an analogous problem with generalized Showalter - Sidorov type condition on the history of the system was studied. General results were used for investigation of an initial boundary value problem for the linearized Oskolkov integro-differential system of equations, descibing the dynamics of the high order Kelvin - Voight fluid.

Keywords: equation with memory, degenerate evolution equation, operator semigroup, initial boundary value problem, Kelvin -Voight fluid.

References

1. Falaleev M. V. Integro-differentsial'nye uravneniya s fredgol'movym operatorom pri starshey proizvodnoy v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya (in Russian) [Integra-Differential Equations with Fredholm Operator at Highest Derivative in Banach Spaces and Their Applications]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika [News of Irkutsk State University, Ser. Mathematics], 2012, vol. 5, no. 2, pp. 90-102.

2. Falaleev M. V., Orlov S. S. Degenerate Integro-Differential Operators in Banach Spaces and Their Applications. Russian Math. (Iz. VUZ), 2011, vol. 55, no. 10, pp. 59-69.

3. Falaleev M. V., Orlov S. S. Vyrozhdennye integro-differentsial'nye uravneniya spetsial'nogo vida v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya (in Russian) [Degenerate Integra-Differential Equations of Special Form in Banach Spaces and Their Applications]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie [Herald of South Ural State University, Ser. Mathematical Modeling and Programming], 2010, issue 6, no. 35 (211), pp. 104-109.

4. Falaleev M. V., Orlov S. S. Integro-differentsial'nye uravneniya s vyrozhdeniem v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya v matematicheskoy teorii uprugosti (in Russian) [Integro-Differential Equations with Degeneration in Banach Spaces and Their Applications in Mathematical Elasticity Theory]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika [News of Irkutsk State University], 2011, vol. 4, no. 1, pp. 118-134.

5. Fedorov V. E., Omelchenko O. A. Inhomogeneous Degenerate Sobolev Type Equations with Delay. Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 2, pp. 418-429.

6. Fedorov V. E., Omelchenko O. A. Linear Equations of the Sobolev Type with Integral Delay Operator. Russian Math. (Iz. VUZ), 2014, vol. 58, no. 1, pp. 60-69.

7. Fedorov V. E., Stakheeva O. A. O razreshimosti lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa s effektom pamyati (in Russian) [On Solvability of Linear Sobolev Type Equations with Memory Effect]. Neklassicheskie uravneniya matematicheskoy fiziki [Nonclassical Mathematical Physics Equations], Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics of SB RAS, 2010, pp. 245-261.

8. Gatti S., Grasselli M., Pata V., Squassina M. Robust exponential attractors for a family of nonconserved phase-field systems with memory. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2005, vol. 12, no. 5, pp. 1019-1029.

9. Giorgi C., Marzocchi A. Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 1998, vol. 5, pp. 333-354.

10. Gurtin M. E., Pipkin A. C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds. Arch. Rational Mech. Anal., 1968, vol. 31, pp. 113-126.

11. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1966.

12. Mizokhata S. Teoriya uravneniy s chastnymi proizvodnymi (in Russian) [Theory of Partial Differential Equations], Moscow, Mir, 1977, 504 p.

13. Oskolkov A. P. Nachal'no-kraevye zadachi dlya uravneniy dvizheniya zhidkostey Kelvina - Voighta i zhidkostey Oldroyda (in Russian) [Initial Boundary Value Problems for Motion Equations of Kelvin-Voight and Oldroyd Fluids]. Trudy Mat. Instituta AN SSSR [Proceedings of Steklov Mathematics Institute of USSR Academy of Sciences], 1988, vol. 179, pp. 126-164.

14. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differentialequations of mixed type. SIAM J. Math. Anal., 1975, vol. 6, no. 1, pp. 25-42.

15. Sidorov N. A. A Class of Degenerate Differential Equations with Convergence. Mathematical Notes, 1984, vol. 35, no. 4, p. 300-305.

16. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications, Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2002, 548 p.

17. Stakheeva O. A. Local'naya razreshimost' odnogo klassa lineynykh uravneniy s pamyat'yu (in Russian) [Local Solvability of a Class of Linear Equations with Memory]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika [Herald of Chelyabinsk State University. Ser. Mathematics, Mechanics, Informatics], 2009, issue 11, no. 20 (158), pp. 70-76.

18. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators, Utrecht-Boston, VSP, 2003, 216+vii p.

Fedorov Vladimir Evgenyevich, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Professor, Chelyabinsk State University, 129, Kashirin Brothers st., Chelyabinsk, 454001, tel.: (351)7997235 (e-mail: [email protected])

Borel Lidiya Viktorovna, Postgraduate, Chelyabinsk State University, 129, Kashirin Brothers st., Chelyabinsk, 454001, tel.: (351)7997235 (e-mail: [email protected])