CC BY
20
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 16-23.
УДК 517.95
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ ГРАВИТАЦИОННО-ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ВОЛН В ПРИБЛИЖЕНИИ БУССИНЕСКА
Л. В. Борель", В. Е. Федоров6
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "lidiya904@mail.ru; 6kar@csu.ru
В статье рассматривается начально-краевая задача для системы гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска — интегро-дифференциальной системы уравнений в частных производных. Существование единственного решения такой задачи установлено с использованием методов теории вырожденных эволюционных уравнений в банаховых пространствах.
Ключевые слова: система гравитационно-гироскопических волн, система внутренних волн, приближение Буссинеска, начально-краевая задача, вырожденное эволюционное уравнение, уравнение с памятью.
Введение
Рассмотрим начально-краевую задачу
vn (х, *) = 0, (ж,*) е д П х [0,Т), (1)
v(x, 0) = v0(x), х е П, (2)
для системы уравнений
г
^(х,*) = Кх,*),ш] - г(х,*) + N У ^3(ж,з)е3^, (х,*) е П X [0,Т), (3)
0
V- г>(х,*) = 0, (х,*) е П X [0,Т), (4)
описывающей в приближении Буссинеска малые колебания равномерно вращающейся относительно вертикальной оси Ох3 в поле силы тяжести идеальной несжимаемой жидкости. Она называется также системой гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска [1, с. 186]. Здесь П С К3 — ограниченная область с границей дП класса Свектор v = (^1 — скорость частиц жидкости, г — градиент динамического давления Р, т. е. г = (г1,г2.г3) = (РХ1, РХ2, РХ3), е3 = (0, 0,1), ш — удвоенная угловая скорость, [■, ш] — векторное произведение на вектор ш = ше3 = (0, 0,ш) е К3, v3e3 = (0,0,v3), п = (пьп2,п3) — вектор внешней нормали к границе области дП, (■, -)^з — скалярное произведение в К3, vn = (и,п)^з, N2 — частота Вяйселя — Брента, V ■ V — дивергенция вектор-функции V. Неизвестными являются вектор-функции v и г.
Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ №14.250.31.0020).
Система уравнений является неразрешимой относительно производной по времени (иначе говоря, вырожденной эволюционной системой), так как не содержит производных по £ от некоторых неизвестных функций — от функций г1, г2, г3. При этом она содержит интегральный оператор Вольтерра, другими словами, является системой уравнений с памятью. Исследованию вырожденных эволюционных систем с памятью посвящён ряд работ М. В. Фалалеева и С. С. Орлова [2-5], а также работ авторов данной статьи и О. А. Стахеевой [6-9]. В перечисленных работах рассматриваются начальные задачи или задачи с заданной предысторией для дифференциальных уравнений в абстрактных банаховых пространствах с операторными коэффициентами, с вырожденным оператором при старшей производной. Полученные для таких задач теоремы об однозначной разрешимости используются при рассмотрении начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных с интегральным оператором памяти, не разрешимых относительно производной по времени. Отметим также работы, посвящённые однозначной разрешимости вырожденных эволюционных уравнений с другими интегральными операторами — уравнений с запаздыванием [10-12], нагруженных уравнений [13; 14], уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто [15-17].
Основная идея данной работы — редуцировать задачу (1)-(4) к задаче для вырожденного эволюционного уравнения с памятью в банаховом пространстве и с помощью абстрактных результатов, полученных ранее в [8], получить теорему об однозначной разрешимости задачи (1)-(4). Первый параграф содержит необходимые сведения из работы [8], а во втором осуществлена указанная редукция и доказана соответствующая теорема.
1. Вырожденное эволюционное уравнение с памятью
Для банаховых пространств Я, V через £(Я; V) обозначим банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Я в V. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Я, действующих в V, будем обозначать через С /(Я; V). Если V = Я, то соответствующие обозначения сократятся до £(Я) и С /(Я).
Через Вм обозначается область определения оператора М € С /(Я; V). Снабжённое нормой графика || • ||дм = || • ||я + ||М • это множество является банаховым пространством в силу замкнутости оператора М.
Обозначим также К+ = {х € К : х > 0}, Ж+ = {0} и К+, = {х € К : х < 0},
= {0} и К_.
Пусть Ь € £(Я; V), М € С/(Я; V). Обозначим рь(М) = {ц € С : (цЬ - М)-1 € Я)}. Следуя [18, с. 89], оператор М будем называть (Ь, а)-ограниченным, если множество аь(М) = С \ рь(М) ограничено в С. При условии (Ь, а)-ограниченности оператора М обозначим 7 = {ц € С : |ц| = г > а}, где а > 0 таково, что аь(М) С Вг(0) = {ц € С : |ц| < а}. Рассмотрим интегралы
Нетрудно убедиться, что Р и Q являются проекторами. Положим Я0 = кег Р, V0 = кег Q, Я1 = 1шР, V1 = imQ. Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Як (Бик = Вм ПЯк), к = 0,1.
Теорема 1. [18, с. 90, 91]. Пусть опеpаmоp M (L, а)-oгpаничен. Тогда
(i) Ml G ¿(U1; V1), Mo G CZ(U°; V0), Lk G L(Uk; Vk), k = 0,1;
(ii) существуют oпеpаmopы M—1 G L(V°; U°), L-1 G L(V1; U1) .
Обозначим N° = {0} U N, H = M0"1L°. При p G N° оператор M называется ^,р)-ограниченным, если он (L, а)-ограничен, Hp = O, Hp+1 = O.
Обозначим также R(R+; U) — множество функций h : R+ ^ U, для которых несобственный интеграл Римана || h(t) ^U-dt сходится, C° (R_; U) — банахово пространство непрерывных и ограниченных на R_ функций, удовлетворяющих равенству u(0) = 0 с нормой |М|Со(к+.я) = sup ||u(t)||U.
+ t<°
Пусть K : R+ ^ L(U; V). Для уравнения с интегральным оператором памяти
t
d f
—Lu(t) = Mu(t)+ / K(t - s)u(s)ds + f (t), t G [0,T), (5)
dt J
_<x
при выполнении ограничения U° С ker K(s), s > 0, имеет смысл рассматривать модифицированное условие заданной истории системы (5)
P(u(t) - u_(t)) = 0, t < 0, (6)
когда задана лишь история проекции состояния системы на подпространство U1. Решением задачи (5), (6) на промежутке [0,T) будем называть функцию u G C([0,T); DM) П C((-ro,T); U), для которой выполняется (6), Lu G C 1([0,T); V) и при каждом t G [0,T) справедливо равенство (5).
Теорема 2. [8]. Пусть р € N0, оператор М (Ь,р)-ограничен, и_ € С(К_; Я), Ри_ € Со(!_; Я) П^(К_; Я), К € С (К+; С(Я; V)) П^(1+; С(Я; V)), QK/ € С(Я; V)),
Я0 С кег К(в) при 5 > 0, НкМ^ (I - Q)K € Ск(К+; С(Я)), НкМ0_1(/ - Q)K(1) (0) = 0, / = 0,1,..., к - 1, НкМ0_1(/ - Q)K(ra) € ; С(Я)), п = 0,1,..., к, к = 0,1,... ,р, / € С ([0,Т); V), Нк М0_1(/ - Q)/ € Ск ([0,Т); Я), к = 0,1,...,р. Тогда существует единственное решение задачи (5), (6) на промежутке [0,Т).
Замечание 1. Очевидно, что уравнение (5) можно переписать в виде
г
д С
—Ьи(£) = Ми(£)+ / - з)и(з)дз + #(£), £ € [0,Т), (7)
где
g(t) = f (t)+ / K(t - s)u_(s)ds,
и рассматривать для уравнения (7) уже просто задачу Коши и(0) = и0 или задачу Р(и(0) - и0) = 0.
2. Система гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска
Обозначим С = {V € (С0ю(П))3 : V • V = 0}. Замыкание линеала С по норме пространства = (Ь2(^))3 обозначим через . Пусть Нп — ортогональное дополнение к , П : Ь2 ^ Нп — ортопроектор вдоль .
о
Следуя подходу, применённому в работе [19] к системе уравнений Соболева, которая от данной системы отличается лишь отсутствием интегрального слагаемого, используем обобщённую постановку начально-краевой задачи (1)-(4), заменив уравнение несжимаемости (4) и граничное условие (1) на уравнение
Ш(-,г) = 0, г е [0,т). (8)
После замены ад(г,ж) = — 1>о(ж), считая, что г>о е , получим начально-
краевую задачу
ад(ж,г) = 0, (ж,г) е п х 1-, (9)
г
адг(ж, г) = [ад (ж, г), Щ] — г (ж, г) + N2 J адз(ж, +
о
+ [^о(ж),щ] + N2г^оз(ж)вз, (ж,г) е П х [0,Т), (10)
Пад(-,г) = 0, г е [0,т). (11)
При этом считается, что предыстория, определяемая условием (9), тождественно нулевая, поскольку она никак не влияет на состояние системы при г > 0.
Формулой С : г ^ [г, Щ], Щ = (0, 0, щ), зададим линейный непрерывный оператор С : Ь2 ^ Ь2, (Сст = СС|нст. Обозначим £ = I — П, Рз е £(Ь2) — проектор вектор-функций на ось Ожз, т. е. Рзг = (г, е3)кз = (0, 0, гз), если г = (21, г2, г3). Положим
и = V = х , (12)
тогда векторы имеют вид и = (ад, г) е И, / = (#, Л.) = (£/, П/) е V. При этом использовано то, что в силу (11) ад(-,г) = 0 е , а градиент давления г(-,г) = УР(-,г) еУЯ1 (П) = для всех г е [0,т).
Систему (10), (11) можно задать в виде (5) с помощью операторов
*=(о о) .м=(пк -I) ■ (ж о) е^^ о»
где
( N2, г е [0,т), к(г) = < N2(1 — (г — т)), г е [т,т + 1), [ 0, г > т +1,
и функции /(г) = [г>о(ж),Щ + ^г^з(ж)вз.
Лемма [20]. Пусть заданы пространства (12) и операторы (13). Тогда оператор М (*, 0)-ограничен, при этом проекторы имеют вид
р = ( ^ о) а = (1 о Р о) , а ^о о
Из вида проектора Р и операторов К (г) следует, что (9) для данной задачи имеет вид условия (6), и Ио С кег К(г) при всех г > 0. При этом по построению функции к(г), не влияющему на задачу (9)—(11) при конечном Т > 0, получаем интегрируемость по Риману оператор-функций К и К! (там, где эта производная существует — везде, кроме точек г = Т и г = Т + 1) на положительной полуоси 1+. Из теоремы 2 следует разрешимость задачи (9)-(11), а значит, и задачи (2), (3), (8).
Теорема 3. Пусть г>о е Н, Т > 0 конечно. Тогда существует единственное решение задачи (2), (3), (8).
Замечание 2. В случае щ = 0 получается система внутренних волн в приближении Буссинеска [1, с. 186], для которой теорема 3 также верна.
Список литературы
1. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998. — 438+xviii с.
2. Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». — 2011. — № 4 (221), вып. 7. — C. 100-110.
3. Фалалеев, М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2011. — Т. 4, № 1. — С. 118-134.
4. Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 10. — С. 68-79.
5. Фалалеев, М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 90-102.
6. Стахеева, О. А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью / О. А. Стахеева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — C. 70-76.
7. Федоров, В. Е. О разрешимости линейных уравнений соболевского типа с эффектом памяти / В. Е. Федоров, О. А. Стахеева // Неклассические уравнения математической физики : сб. науч. работ. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. — С. 245-261.
8. Федоров, В. Е. О разрешимости линейных эволюционных уравнений с эффектами памяти / В. Е. Федоров, Л. В. Борель // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2014. — Т. 10. — С. 106-124.
9. Федоров, В. Е. О локальном существовании решений уравнений с памятью, не разрешимых относительно производной по времени / В. Е. Федоров, О. А. Стахеева // Мат. заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 3. — С. 414-426.
10. Fedorov, V. E. On solvability of some classes of Sobolev type equations with delay / V. E. Fedorov, E. A. Omelchenko // Functional Differential Equations. — 2011. — Vol. 18, no. 3-4. — P. 187-199.
11. Федоров, В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, № 2. — С. 418-429.
12. Федоров, В. Е. Линейные уравнения соболевского типа с интегральным оператором запаздывания / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Изв. вузов. Математика. — 2014. — № 1. — С. 71-81.
13. Федоров, В. Е. Разрешимость нагруженных линейных эволюционных уравнений с вырожденным оператором при производной / В. Е. Федоров, Л. В. Борель // Алгебра и анализ. — 2014. — T. 26, № 3. — С. 190-205.
14. Борель, Л. В. О разрешимости вырожденных нагруженных систем уравнений / Л. В. Борель // Мат. заметки СВФУ. — 2015. — Т. 22, № 4 (88). — С. 3-11.
15. Федоров, В. Е. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских // Изв. вузов. Математика. 2015. — № 1. — С. 71-83.
16. Федоров, В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2015. — Т. 12. — С. 12-22.
17. Федоров, В. Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. - 2015. - Т. 51, № 10. - С. 1367-1375.
18. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston : VSP, 2003. — 216+vii p.
19. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18, вып. 1. — С. 3-50.
20. Федоров, В. Е. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа [Электронный ресурс] / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Сиб. электрон. мат. изв. — 2011. — Т. 8 : Труды второй международной молодёжной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Ч. I. — С. 363-378. — URL: http://semr.math.nsc.ru/v8/c182-410.pdf.
Поступила в 'редакцию 02.05.2016 После переработки 10.06.2016
Сведения об авторах Борель Лидия Викторовна, ассистент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: lidiya904@mail.ru. Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: kar@csu.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 2. P. 16-23.
ON UNIQUE SOLVABILITY OF THE SYSTEM OF GRAVITATIONAL-GYROSCOPIC WAVES IN THE BOUSSINESQ APPROXIMATION
L.V. Borel", V.E. Fedorovb
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "lidiya904@mail.ru; bkar@csu.ru
Initial boundary value problem is studied for the system of gravitational-gyroscopic waves in the Boussinesq approximation, i. e. for the integro-differential system of equations with partial derivatives. The existence of a unique solution is proved for the problem by the methods of the theory of degenerate evolution equations in Banach spaces.
Keywords: system of gravitational-gyroscopic waves, system of internal waves, Boussinesq approximation, initial boundary value problem, degenerate evolution equation, equation with memory.
References
1. Demidenko G.A., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-Order Derivative. New York, Basel, Marcel Dekker, 2003. 490 p.
2. Falaleev M.V., Orlov S.S. Vyrozhdennye integro-differentsial'nye uravneniya spetsial'nogo vida v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya [Degenerate integro-differential equations of a special form in Banach spaces and their applications]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematicheskoye modelirovaniye i programmirovaniye" [Bulletin of South Ural State University. Mathematical modelling and programming], 2011, iss. 7, no. 4 (221), pp. 100-110. (In Russ.).
22
B. Bope^b, B. E. OegopoB
3. Falaleev M.V., Orlov S.S. Integro-differentsial'nye uravneniya s vyrozhdeniyem v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya v matematicheskoy teorii uprugosti [Integro-differential equations with degeneration in Banach spaces and their applications in the mathematical elasticity theory]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika" [News of Irkutsk State University. Mathematics], 2011, vol. 4, no. 1, pp. 118-134. (In Russ.).
4. Falaleev M.V., Orlov S.S. Degenerate Integro-Differential Operators in Banach Spaces and Their Applications. Russian Mathematics, 2011, vol. 55, no. 10, pp. 59-69.
5. Falaleev M.V. Integro-differentsial'nye uravneniya s fredgol'movym operatorom pri starshey proizvodnoy v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniya [Integro-differential equations with a Fredholm operator at the highest derivative in Banach spaces and their applications]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika" [News of Irkutsk State University. Mathematics], 2012, vol. 5, no. 2, pp. 90-102. (In Russ.).
6. Stakheeva O.A. Lokal'naya razreshimost' odnogo klassa lineynykh uravneniy s pamyat'yu [Local solvability of a class of linear equations with memory]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University],
2009, no. 20 (158), iss. 11, pp. 70-76. (In Russ.).
7. Fedorov V.E., Stakheeva O.A. O razreshimosti lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa s effektom pamyati [On solvability of linear Sobolev type equation with memory effect]. Neklassicheskiye uravneniya matematicheskoy fiziki [Nonclassical equations of mathematical physics]. Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics of SB RAS Publ.,
2010. Pp. 245-261. (In Russ.).
8. Fedorov V.E., Borel L.V. O razreshimosti lineynykh evolyutsionnykh uravneniy s effektami pamyati [On solvability of linear evolution equations with memory effects]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika" [News of Irkutsk State University. Mathematics], 2014, vol. 10, pp. 106-124. (In Russ.).
9. Fedorov V.E., Stakheeva O.A. On the local existence of solutions of equation with memory not solvable with respect to the time derivative. Mathematical Notes, 2015, vol. 98, iss. 3, pp. 472-483.
10. Fedorov V.E., Omel'chenko E.A. On solvability of some classes of Sobolev type equations with delay. Functional Differential Equations, 2011, vol. 18, no. 3-4, pp. 187199.
11. Fedorov V.E., Omel'chenko E.A. Inhomogeneous linear Sobolev type equations with delay. Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 2, pp. 335-344.
12. Fedorov V.E., Omel'chenko E.A. Linear equations of the Sobolev type with integral delay operator. Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 1, pp. 60-69.
13. Fedorov V.E., Borel L.V. Solvability of loaded linear evolution equations with a degenerate operator at the derivative. St. Petersburg Mathematical Journal, 2015, vol. 26, no. 3, pp. 487-497.
14. Borel L.V. O razreshimosti vyrozhdennykh nagruzhennykh system uravneniy [On solvability of degenerate loaded systems of equations]. Matematicheskiye zametki Severo-Vostochnogo federal'nogo universiteta [Mathematical notes of North-Eastern Federal University], 2015, vol. 22, no. 4 (88), pp. 3-11. (In Russ.).
15. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M. Resolving operators of degenerate evolution equations with fractional derivative with respect to time. Russian Mathematics, 2015, vol. 59, no. 1, pp. 60-70.
16. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M. Resheniya nachal'no-krayevykh zadach dlya nekotorykh vyrozdennykh system uravneniy drobnogo poryadka po vremeni [Solutions of initial-boundary value problems for some degenerate time-fractional order systems of equations]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika" [News of Irkutsk State University. Mathematics], 2015, vol. 12, pp. 12-22. (In Russ.).
17. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., Plekhanova M.V. Equations in Banach spaces with a degenerate operator under a fractional derivative. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 10, pp. 1360-1368.
18. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003. 216+vii p.
19. Sobolev S.L. Ob odnoy novoy zadache matematicheskoy fiziki [On a new problem of mathematical physics]. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya, 1954, vol. 18, iss. 1, pp. 3-50. (In Russ.).
20. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Nelineynaya evolyutsionnaya obratnaya zadacha dlya nekotorykh uravneniy sobolevskogo tipa [Nonlinear evolution inverse problem for some Sobolev type equations]. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2011, vol. 8. Proceedings of the Second International School-Conference, p. I. Pp. 363-378. Available at: http://semr.math.nsc.ru/v8/c182-410.pdf. (In Russ.).
Accepted article received 02.05.2016 Corrections received 10.06.2016
