О разрешимости линейных эллиптических краевых задач на неограниченных цилиндрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 3

С. Г. Крыжевич, В. А. Вольперт

О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ЦИЛИНДРАХ*

§ 1. Постановка задач

В теории краевых задач важную роль играет вопрос о сохранении свойств дифференциальных операторов, в частности, операторов вида

п

Ьи = пхх + Ауи + Ао(х,у)их + Ак(х,у)пук + В(х,у)и,

к=1 (1-1)

(х,у) = (х,у1, ...,Уп) € О.,

при малых возмущениях. Часто свойства оператора Ь определяются областью его задания. Так, если О —область задания оператора Ь — ограничена, то любой оператор (1.1), соответствующий задаче Дирихле с нулевыми граничными условиями, фредгольмов и его индекс равен нулю. Более того, он обратим, если ноль не является его собственным числом [1]—[3].

Однако, для операторов, заданных на некомпактных областях, эти утверждения могут быть неверны. Для эллиптических операторов, заданных на неограниченных цилиндрах, достаточные условия фредгольмовости были получены в статьях [4] и [5]. Настоящая работа является продолжением статьи [5]. Устанавливается, что приведенные в рамках этой работы условия являются также и необходимыми и полученные результаты применяются к исследованию нелинейных задач.

Рассмотрим О' —ограниченную область в Мп с гладкой границей. Определим О = М х О'. Обозначим переменную вдоль оси цилиндра О через х, а переменные в перпендикулярном сечении через у = (у\, ...,уп)Т. Фиксировав числа 5 € (0,1) и т € М, рассмотрим пространства

и = {и € С2+5 (О ^ Мт) : и\дп = 0} , X = С5(О ^ Мт)

и линейный эллиптический оператор Ь : и ^ X вида (1.1). Предполагаем, что Ак(х,у) (к = 0,...,п) и В(х,у) суть С5-гладкие матрицы размера т х т. Пусть шах(||Ак^, \\BWas) = М < +ж.

Рассмотрим следующие задачи Дирихле:

Ьи = 0 (1.2)

Lu = f, f е X. (1.3)

* Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ и Национального центра научных исследований Франции, совместный проект «Jumelage» (№01-01-22001), а также Министерства образования России и Правительства Санкт-Петербурга, грант №PD-02-1.168, МАС, грант №03-01-06493 и научной программы министерства образования РФ «Университеты России», грант УР №01.04.045. © С. Г. Крыжевич, В. А. Вольперт, 2004

и

Будем говорить, что оператор Ь фредгольмов, если размерность а пространства ограниченных решений задачи (1.2) конечна, а задача (1.3) имеет конечное число в условий разрешимости. Эти условия могут быть заданы следующим образом:

V(/) = 0, ^ € X*, э = 1,...,в, причем функционалы линейно независимы. Тогда величина

ша Ь = а - в (1.4)

называется индексом оператора Ь. Будут рассмотрены следующие проблемы.

(1) При каких условиях на оператор Ь любая задача (1.3) с ограниченной правой частью имеет ограниченное решение?

(2) Когда Ь является фредгольмовым и чему в этом случае равен его индекс?

Условимся обозначать символом | • | евклидову норму в конечномерных пространствах и соответствующую матричную норму.

Остановимся на рассмотрении операторов Ь вида

Ьи = ихх + Ау и + А(х)их + В(х)и. (1.5)

Все результаты о фредгольмовости, приводимые ниже, могут также быть распространены на операторы (1.1) с коэффициентами, зависящими от у, получающиеся из (1.5) при помощи Св -малых возмущений коэффициентов, а также добавок, стремящихся к нулю при х ^ ±сю. Отметим также, что основное отличие результатов этой работы от полученных ранее состоит в том, что мы не предполагаем, что коэффициенты оператора Ь имеют пределы при х

§ 2. Сведение краевой задачи к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть Шк (к € М) собственные числа оператора Лапласа А на П'. Имеют место следующие утверждения.

(1) 0 > ш\ > ш2 > ..., более того, шк ^ -сс.

(2) Кратность рк каждого собственного числа Шк конечна.

(3) Соответствующие собственные функции

Ч>\к (У), к € М, г =1,...,рк образуют ортогональный базис пространства ^ М).

Умножая (1.3) на угк и интегрируя по П', получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

ик" + А(х)и\' + (В(х) + Шк Ет)и\ = /I (х), (2.1)

где

ик(х) = и(х,у)у1 (y)dy, Гк(х)=\ /(х,у)угк(y)dy,

а Ет — единичная матрица размера т х т. Рассмотрим также однородную систему

к + А(х)и\ + (В(х) + Ет)игк = 0,

(2.2)

отвечающую задаче (1.2). Обозначим Хк = гигк = и1к /Хк, т1к = (и\, угк)Т. Тогда

= Рк (х)тк + Рк (х),

(2.3)

где

0

Рк (х) = I В(х)

+ ХкЕт -А(х)

Соответственно, система (2.2) принимает вид

■к' = рк (х)ю\.

Ргк (х) = I Ц (х)

(2.4)

Рассмотрим два условия на оператор Ь.

Условие 1. Все системы (2.4) дихотомичны (см. [8], с. 75) на М. Условие 2. Все системы (2.4) дихотомичны на М+ и на М-.

Как показано в статье [5], справедливость этих условий достаточно проверить лишь для конечного числа систем (2.4).

§ 3. Дихотомичность системы о.д.у. равносильна фредгольмовости соответствующего оператора

Пусть т х т-матрица А(г), определенная при г € М, принадлежит классу гладкости С^+ё, где ^ > 0 — целое число, а 3 € [0,1). Рассмотрим оператор Ь : С^+1+ё ^ вида

(3.1)

Для операторов, действующих из Н1 в Ь2, результат, аналогичный приводимому ниже, был получен К.Пальмером [6].

Теорема 3.1. Оператор (3.1) фредгольмов тогда и только тогда, когда система

и = А(г)и

(3.2)

дихотомична как на луче (—ж, 0], так и на луче [0, то) (определение дихотомичности на луче дано в работе [5]) . При этом

Ь = ¿+ — ,

где ¿+ и —размерности соответствующих устойчивых пространств для системы (3.2).

Доказательство. Доказательство того, что из дихотомичности на полуосях следует фредгольмовость, проведено в статье [5].

Таким образом, надо проверить, что если оператор Ь фредгольмов, то система (3.2) дихотомична на обеих полуосях. Предположим, что это не так. Считая, что рассматриваемая система не дихотомична на [0, то), установим, что существует такая вектор-функция / € С, что система

и = А(г)и + / (г)

(3.3)

0

х к Ет

X

X

к

к

не имеет решений, ограниченных на правой полуоси. Как следует из доказательства теоремы 3.1 статьи [5], в этом случае найдется последовательность fj(t) функций класса гладкости , таких, что для любого N G N и любой нетривиальной линейной комбинации

g(t) = ft) + c2f2(t) + ... + cN fN (t) ф 0

соответствующая система

U = A(t)u + g(t)

не имеет решений, ограниченных на правой полуоси. Это противоречит фредгольмово-сти рассматриваемого оператора.

В статье [7] показано, что условие дихотомичности линейной однородной системы является необходимым для того, чтобы все соответствующие линейные неоднородные системы с ограниченными правыми частями имели ограниченные решения. Проверим, что это же условие необходимо и в случае, если неоднородность в системе (3.3) имеет класс гладкости .

Определение. Замена переменных вида

= S (t)v

(3.4)

называется ляпуновской, если матрицы S(t), S-1(t) и S (t) определены и ограничены.

Сформулируем следующее утверждение, справедливость которого следует из доказательства теоремы Перрона о приводимости линейной системы к треугольному виду [8].

Лемма 3.1. Пусть матрица коэффициентов A(t) системы (3.2) принадлежит классу гладкости Cß+S. Тогда существует ляпуновская замена переменных вида (3.4) с матрицей S (t) класса гладкости , приводящая систему (3.2) к нижнетре-

угольному виду

v = B(t)v, (3.5)

где B = S-1AS - S-1S.

Заметим, что система (3.3) заменой (3.4) приводится к виду

V = B(t)v + S-1(t)f (t) = B(t)v + g(t)

(36)

и, если вектор-функция f (t) является —гладкой, то же самое можно сказать

про неоднородность g в правой части системы (3.6). Отметим, что замены вида (3.4) переводят дихотомичные системы в дихотомичные.

Пусть функция p(t) непрерывна на луче [0, +œ). О. Перроном [9] были предложены следующие условия.

Условие A. Функции

exp ^ J p(s) ds^ и exp ^ J p(s) ds^ J exp J p(r) dr^ ds

ограничены при t > 0. Условие B. Функция

exp

p(s) ds

t

не ограничена, а функция

ехр ^ J р(в) ¿^ ехр ^ — J р(т) ¿т^ ¿в

ограничена при Ь > 0.

В рамках статьи [7] показано, что треугольная система (3.5) с ограниченными коэффициентами дихотомична тогда и только тогда, когда ее диагональные коэффициенты Ьц удовлетворяют одному из двух приведенных выше условий. Обозначим ]-й координатный вектор через в у и положим ду (Ь) = в у. Такие функция ду (Ь), разумеется, являются Сто-гладкими. Предположив, что система (2.4) не дихотомична, выберем в качестве ] наименьший индекс, такой, что функция Ь^ не удовлетворяет ни условию A, ни условию B. Рассмотрим систему

й = Б(Ь)й + . (3.7)

Покажем, что все ее решения неограничены.

Предположим, что это не так. Пусть й(Ь) = (й1(Ь),...,йт(Ь))т —ограниченное решение (3.7). Как легко видеть, вектор-функция (й1(Ь),...,йу-1(Ь))т является ограниченным решением линейной однородной системы, дихотомичной на правой полуоси. Значит, все ее компоненты экспоненциально убывают по норме с ростом времени.

Функция йу(Ь) при больших Ь удовлетворяет соотношению

— 1

щ = ъл(г)из + X +1 > + -. (3.8)

г=1

Следующее утверждение объединяет леммы II и IV статьи [7].

Лемма 3.2. Если две ограниченные в области Ь > Ьо > 0 функции ф(Ь) и р(Ь), первая из которых дифференцируема, а вторая — ограничена, связаны соотношением

ф'(Ь) — р(Ь)ф(Ь) < —А2,

где А = 0 — вещественная постоянная, то для функции р(Ь) выполнено условие А или условие В.

Положив ф(Ь) = —йу(Ь) и р(Ь) = Ьуу(Ь), получаем, что функция Ьуу(Ь) удовлетворяет либо условию A, либо условию B, что противоречит нашим предположениям. Теорема доказана.

§ 4. Необходимые и достаточные условия фредгольмовости эллиптических операторов

Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют установить справедливость утверждений, обратных к тем, что были доказаны в статье [5].

Теорема 4.1. Для того, чтобы оператор Ь вида (1.5) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 1.

Теорема 4.2. Для того, чтобы оператор Ь вида (1.5) был фредгольмов, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял условию 22. При этом индекс Ь может быть найден по формуле

Ь = ^ рк((]+ —

к=1

где и —размерности пространств М^'+ (Ь) и М %,' (Ь), являющихся для систем (2.4) устойчивыми при Ь > 0 и при Ь < 0 соответственно, а рк — кратность собственного числа и к.

Доказательство теоремы 4.2. Достаточность условия 2 была показана в статье [5]. Там же была получена формула для вычисления индекса. Проверим необходимость.

Предполагая противное, возьмем такое значение к, что система (2.4) не дихо-томична на одной из полуосей (допустим, на правой). Тогда в силу теоремы 3.1 найдется последовательность {Гз(ж)} (3 = таких С1+5-гладких вектор-

функций, что для любой их нетривиальной линейной комбинации Г (ж) все решения системы

и' = Рк (ж)и + Г (ж) (4.1)

не являются ограниченными на правой полуоси.

Систему (4.1) можно переписать в виде

у' = X кт + /1(ж),

В(х) „ \ Л, л , ^ (4.2)

+ X кЕт у - А(ж)т + /2(ж),

где /1,/2 € С1+5 (М ^ Мт).

Заменой ц = т + /1(ж)/Хк приведем систему (4.2) к виду

у' = X кц,

кЕт)у-А(х)Я + д(х), ^

где

9(х) = АН+-*(*)/!(*) + ш =. ь){х) е Сб{ш мт)

X к

Ограниченное решение системы (4.1) существует тогда и только тогда, когда таковое найдется для системы (4.3). В частности, это означает, что д = 0, тогда и только тогда, когда Г = 0. Пусть д3 (3 € М) —функции, соответствующие Г3. Тогда все функции д3 линейно независимы.

Пусть у к (у) —некоторая собственная функция оператора Лапласа, соответствующая собственному числу и к. Положим

Нз (ж,у) = дз (ж)Ук (у).

Все Н3 линейно независимы. Для любой нетривиальной линейной комбинации / € X функций Н3, все решения соответствующей неоднородной краевой задачи (1.3) не ограничены в цилиндре П, так как (к, г)-й коэффициент п1к ряда Фурье для каждого решения не ограничен.

Пусть оператор Ь фредгольмов. Тогда существует конечный набор линейно независимых функционалов Ф1 € X*, (I = 1,...,в), таких, что из выполнения набора условий Ф1 (/) = 0 следует разрешимость задачи (1.3).

Обозначим через {уг : г = 1,...,в} некоторый набор функций из пространства X, биортогональных к функционалам Ф1, то есть таких, что Ф1 (уг) = 0, если I = г, и

X

к

к

Ф1 (vi) = 1 для всех l. Тогда уравнение

Lu = f - ^i(f )vi - ... - фр(f )vp

разрешимо для любого f.

Последнее утверждение означает, что среди рассмотренных выше функций hj не может быть более в линейно независимых. Полученное противоречие показывает, что оператор L не фредгольмов. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.1. Поскольку обратимость оператора L влечет фред-гольмовость, в силу приведенной выше теоремы 4.2 оператор L удовлетворяет условию 2, то есть каждая из систем (2.4) дихотомична как на R+, так и на R-.

Фиксируем некоторое к и рассмотрим соответствующие пространства M'S'+(0) = M + и MU'-(0) = M-. Если M + П M- = {0}, то, как легко видеть, у системы (2.4) есть нетривиальное ограниченное решение. Следовательно, такое решение есть и у задачи (1.2) и, стало быть, Ker L = {0}.

Пусть &(t) —такая фундаментальная матрица системы (4.1), что Ф(0) = E. Если M = M + + M- = R", то, как было показано при доказательстве теоремы 3.1 статьи [5], если

/ Ф^)П+ (t)F(t) dt - Ф^)П- (t)F(t) dt / M,

J 0 J-ж

то соответствующие системы (4.1) и (4.3) не имеют ограниченных решений и оператор L необратим.

Итак, M + П M- = {0} и M + ф M- = R". Тогда, как следует из результатов статьи [10], система (2.4) дихотомична на всей вещественной оси. Теорема доказана.

Summary

S. G. Kryzhevich, V. A. Volpert. On Solvability of Linear Elliptic Problems in Unbounded Cylinders.

The second order differential operators, defined on the space of the smooth functions, vanishing on the border of an unbounded cylinder are considered. The conditions, necessary and sufficient for linear operators to be invertible or Fredholm are presented.

Литература

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М., Изд. иностр. лит., 1962, 205 с.

2. Ландис E. M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. М. Наука, 1971, 281 с.

3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 3. Псевдодифференциальные операторы. М., Мир, 1987, 694 с.

4. Collet J.F., Volpert V. A. Computation of the Index of Linear Elliptic Operators in Unbounded Cylinders. J. Func. Anal. 1999. Vol. 164. P. 34-59.

5. Вольперт В. А., Крыжевич С. Г. Об условиях Фредгольма и разрешимости эллиптических краевых задач в неограниченных цилиндрах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1. C. 22-32.

6. Palmer K. J. Exponential Dichotomies and Transversal Homoclinic Points. J. Diff. Eqns. 1984. Vol. 55. P. 225-256.

7. Мамзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политех. ин-та, сб. 51, 1954. С. 20-50.

8. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд. С.-Петербургского университета, 1992. 240 с.

9. Персидский К. П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Известия КГУ. 1936. Т. 8, №3. С. 453-462.

10. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 883-891.

Статья поступила в редакцию 25 ноября 2003 г.