Ряд Коши обобщенного импульсного уравнения с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.929

© Д. В. Дюгуров, В. И. Родионов

РЯД КОШИ ОБОБЩЕННОГО ИМПУЛЬСНОГО УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Введение. Для некоторых частных отклонений F(■) решение импульсных уравнений

x(t) - x(F(t)) Q(t) = f (t) x(t) - f x(F(■)) dQ = f (t) (1)

J a

допускает явное представление, использующее операции специальной функциональной алгебры. Здесь a, t € K = [a, b] , F : K ^ K и x, f : K ^ R — непрерывные функции, функция Q : K ^ R имеет ограниченное изменение (Q € BV = BV(K)), а первое уравнение понимается как равенство обобщенных функций. Анализ такого представления приводит к необходимости более общей постановки исходных уравнений (1) в F-интегральном виде [1]

о о Г t

(Vx)(t) = f (t) x(t) - (dQ * x) = f (t), (2)

a

где оператор V : x(t) ^ x(t) — ^(dQ * x) тесно связан с умножением « * », действующим в алгебре формальных степенных рядов, порожденной отклонением F .

1. F-умножение рядов и F-интеграл Римана—Стилтьеса. Зафиксируем отрезок K = [a, b] и I € N. Через C = C(Kl) обозначим алгебру (над полем R) непрерывных функций x : Kl ^ R. Пусть, далее, F : K ^ K — фиксированная непрерывная функция. Через C[A] = C(K l)[A] обозначим линейное пространство, состоящее из формальных степенных рядов (по степеням А € R) вида ^к Akxk = ^fc=o Акxk с функциональными коэффициентами ¿к € C . Для любых x € C и к применяем обозначение

x[k] = x[k] (ti,... ,ti)= x(F[k] (ti),..., F[k] (ti)),

где F[k](£) = F(F(... F(£)...)) — суперпозиция функции F (вычисленная k раз). Естественно считать F[0]({) = { , поэтому x[o] = x . Очевидно, (x[k])[m] = x[k+m] для любых k, m = 0,1,... .

F-произведением рядов ^k Akxk и ^m Amym из пространства C[A] называется ряд из C[A] , определенный правой частью формулы k Akxk *£]m Amym = I]n An I]k+m=n xk V1^ . Бинарная операция « * » называется F-умножением. Пространство C[A] , наделенное операцией F-умножения, образует над полем R ассоциативную алгебру с единицей (будем обозначать ее в дальнейшем Cf [A]=Cf(Kl)[A] ).

Определение 1. Зафиксируем индекс i = 1,...,l, сегмент E С K и ряды u,v € Cf(Kl)[A] . Если для всех k,m = 0,1,... существуют интегралы Римана-Стилть-

еса fE(uk ■ djvim1) , то ряд fE(u * djv) = £]n An Sk+m=n /E(uk ' djvim1) называется левым

F-интегралом, а ряд Je(diu * v) = ^n An ^k+m=n /e(d»uk ■ v]^) — правым F-интегралом.

Каждый из F-интегралов линеен по каждому из аргументов и удовлетворяет свойству аддитивности (если, конечно, все F-интегралы существуют). Если ряды u,v € Cf(Kl)[A] таковы, что коэффициенты uk ряда u имеют ограниченное изменение по переменной ti, то для любого сегмента E С K F-интегралы JE(u * div) и Je(diu * v) существуют.

2. Ряд Коши F-интегрального уравнения. Пусть в F-интегральном уравнении (2) f = 1, то есть fn(t) = ¿no , а коэффициенты ряда Q непрерывны и имеют ограниченное изменение, причем Qo = const. Через X(t) обозначим решение этого уравнения. Другими словами, X(t) — /a(dQ * X) = 1. Справедливо равенство Xo = fo = 1, а ряд X(t) обратим в алгебре Cf(K)[A] , то есть существует ряд Y(t) такой, что X(t) * Y(t) = 1 = Y(t) * X(t) .

Определение 2. Ряд Коши C (t,T )= C (Q; t,T) F-интегрального уравнения (2) — это ряд из алгебры Cf(K2)[A] , определенный равенством C(t,T) = X(t) * Y(т) .

Очевидно, C(s,s) = 1, в алгебре Cf(K3)[A] справедливо C(t,s) * C(s,t) = C(t,T) , а ряды C(t, т) и C(т, t) взаимно обратны в алгебре Cf(K2)[A] . Следующие два свойства менее тривиальны: C(а,т) = Y(т) , а если a = F(a) , то C(t,a) = X(t) . Ряд Коши удовлетворяет тождеству C(t, т) — /Т (dQ(s) * C(s, т)) =1.

3. Представление решений F-интегральных уравнений. В предыдущих пунктах

мы имели дело с такими ядрами Q уравнения (2), что Qk € CBV = CBV(K) , то есть все Qk суть непрерывные функции ограниченной вариации. Через CBF = CBF(K) обозначим подпространство в CBV, состоящее из тех x : K ^ R, что x[k] = x(F[k](-)) € CBV для всех k . Для любой непрерывной кусочно монотонной функции F : K ^ K справедливо равенство CBF = CBV . Если в уравнении (2) все Qk € CBF , то C(t, т) — (C(t, s) * dQ(s)) = 1.

Теорема 1 (см. [1]). Если в уравнении (2) a = F (a) , возмущение f таково, что fk € C при всех k = 0,1,..., а ядро Q таково, что Qk € CBF, k € N, Qo = const, то единственное решение уравнения (2) представимо в виде x(t) = f (t) — (dsC(t, s) * f (s)) .

4. Решения импульсных уравнений. В данном пункте мы допускаем разрывы у эле-

1 о о

ментов Qk € BV oc ядра Q и записываем уравнение (2) в виде (Vx)(t) = f (t) (оно задано в

обобщенных прерывистых функциях [2], определенных на интервале K = (a, b)). Пространство D = D(K), состоящее из финитных функций пространства CBV1oc(K) , называется пространством основных функций. В нем определено понятие сходящейся последовательности: говорим, что последовательность функций {рп} , рп € D, сходится к функции р € D (и пишем

pn —> р ), если у всех функций pn и р есть общий носитель [a, в] С K и Var (pn — р) ^ 0 .

[а,в] n

Если G = G[a,e] —это пространство прерывистых функций, то пространство r = r[a, в] такое, что BV С Г С G , состоит из функций x , представимых в виде x = xc + xc , где xc € C , а xc € H = H[a,e] — функция скачков. Если x € Г1ос =Г1ос (K) , то в D определены линейные непрерывные функционалы

(x, р) = / p(t) x(t) dt (ic, p) = / p о dx,

J к Jk

где второй функционал задан через присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса и называется присоединенной обобщенной производной [2] функции x . Напомним, что присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса определяется формулой u о dv = ucdvc — ucdvc . Присоединенный интеграл существует или нет одновременно с интегралом Римана-Стилтьеса, линеен по каждому из аргументов и удовлетворяет свойству аддитивности.

Теорема 2. Если уравнение (2) записано в терминах присоединенных обобщенных производных, a = F(a) , возмущение f таково, что fk € Г1ос при всех k = 0,1,..., а ядро Q таково, что Qk € CBF1oc , k € N, Qo = const, то единственное непродолжаемое решение уравнения (2) представимо в виде x(t) = f c(t) — (dsC(Qc; t, s) * f c(s)) , где C(Qc; t,s) —

это ряд Коши, порожденный уравнением вида (2) с ядром ^k AkQk •

Список литературы

1. Родионов В. И. Полугрупповые интегральные уравнения: Монография. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та. 1995. 124 с.

2. Родионов В. И. Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2005. Вып. 1 (31). С. 3-78.

Дюгуров Денис Владимирович Родионов Виталий Иванович

Удмуртский государственный ун-т, Удмуртский государственный ун-т,

Россия, Ижевск Россия, Ижевск

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]