Об обобщенных импульсных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5 + 517.9

© Д. С. Пешков, В. И. Родионов

rodionov@uni.udm.ru

ОБ ОБОБЩЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Ключевые слова: прерывистая функция, обобщенная функция, присоединенный интеграл, импульсное уравнение.

Abstract. The theorem about continuous dependence of initial point and parameters for solutions of linear impulse system in adjoint Riemann-Stieltjes distributions form are proved.

1°. Пусть K = [a, b] . Банахово пространство n-мерных векторов z с элементами Zi € G = G[a, b] обозначаем Gn = Gn[a, b]

и применяем норму ||zУ = max | Zi |, где | x | = sup |x(t)| — норма

i teK

в пространстве прерывистых функций G (то есть в пространстве таких функций x : K ^ C, что для всех t € K существуют пределы x(t — 0) и x(t + 0)). Через BV = BV[a, b] обозначаем пространство функций ограниченной вариации, через CBV = CBV[a, b] — его подпространство, состоящее из непрерывных функций, а через C = C[a,b] — пространство непрерывных функций (очевидно, C С G ). Пространство Г = Г[а, b] такое, что BV С Г С G , состоит из функций x , представимых в виде x = y + h , где y € C , а h € H = H[a, b] — функция скачков.

Если матрицы A,B,C таковы, что Aik,Cij € G , Bki € CBV и определено произведение ABC, то матричный интеграл — это в [в \

матрица J A ■ dB ■ C = I ^ J Aik ■ dBki ■ CiA соответствующего

a k,i a ij

строения. В традиционной («привычной») записи элементы матричного интеграла — это суммы интегралов Римана-Стилтьеса

в

J {AikCj dBki. Если A = E — единичная матрица (или

k,l а

вв C = E ), то пишем J dB ■ C (соответственно J A ■ dB ).

аа

2 0. Квадратная матрица Q порядка n , состоящая из непрерывных функций ограниченной вариации (то есть Qj Є CBV), вектор-столбец f Є Gn и точка а Є K порождают уравнение

x(t) — f dQ ■ x = f (t), t Є K , (1)

и последовательность матриц { Ст(Ь,т), (Ь, т) € К2}^_0 таких, что С0(Ь, т) = Е , а прочие элементы определяются рекурсивно:

Ст(Ь,т) = / Ст-1(Ь,в) ■ dQ(s) . Согласно [1] функциональный ряд

Т

С(Ь, т) = Сд(Ь, т) = С(Q; Ь,т) = ^ Ст(Ь, т) равномерно сходится в

т

квадрате (Ь, т) € К2 , а его сумма называется матрицей Коши уравнения (1). Функция С: К2 ^ Спхп непрерывна, каждое из сечений Сгу(^,т) , С^(Ь, ■) принадлежит СБУ и справедливо

С(Ь, т) — / dQ(s) ■ С^, т) = Е, С(Ь, т) — / С(Ь, s) ■ dQ(s) = Е,

ТТ

С(Ь, s) С(.в,т) = С(Ь,т) , где Ь,,в,т € К . Единственное решение уравнения (1) имеет вид х(Ь) = f (Ь) — / dsC(Ь, s) ■ f (s) .

а

Пусть квадратные матрицы Q и Я порядка п таковы, что Qij, Ягу € СБУ(К) . Если С(^(Ь, т) — матрица Коши уравнения

(1), а Си(Ь, т) — матрица Коши уравнения х(Ь) — / dЯ ■ х = f (Ь),

а

то при всех Ь,т € К справедливо тождество

Ск(Ь,т) — Сд(Ь,т) = / С<з(Ь,,в) ■ с! [ Я(,в) — Q(s)] ■ Ся(,в,т).

Т

Прямое произведение [а,Ь]2хСБУпхп[а, Ь] хСп[а, Ь] обозначим через О = О [а, Ь] . Всякий элемент и = (Ь, а, Q, f) € О порождает в Сп вектор х(и) = х(Ь,а^^) = f (Ь) — / dsCQ(Ь,s) ■ f ^),

причем при фиксированных значениях параметров а,Q, f функция х = х(Ь, а,Q, f) , Ь € [а, Ь] , является единственным решением уравнения (1). Соответствие и ^ х(и) порождает оператор Ф : (О, д) ^ (Сп, | ■ |с«), действующий в полных метрических пространствах с метриками |х1 — х2|с« = тах |х1 — х2| и

г

д(и1,и2) = тах {|Ь1 — Ь2|, 1а1 — а21, тах|Q1j — Q2j|вv, ||f1 — Я|}.

Т е о р е м а 1. Пусть х = х(Ь, а, Q, f), Ь € К, — единственное решение уравнения (1). Оператор Ф: (О, д) ^ (Сп, | ■ |с«) такой, что (Ь, а, Q, f) ^ х(Ь, а, Q, f), непрерывен.

3°. Пусть К = (а,Ь) — интервал (возможно, неограниченный). Пространство В = В (К) , состоящее из финитных функций пространства СБУ1ос(К) , называется пространством основных функций. В нем определено понятие сходящейся последовательности: говорим, что последовательность {рп} , рп € В , сходит-

ся к р € В (и пишем рп р), если у всех функций рп и

р есть общий носитель [а, в] С К и Уаг (рп — р) ^ 0. Ес-

[а,в] п

ли х € Г1ос = Г1ос(К) , то определены линейные непрерывные

функционалы (х, р) = / р(Ь) х(Ь) !Ь (X ,р)=§ р о !х , где вто-

к к

рой функционал задан через присоединенный интеграл Римана-

Стилтьеса и называется присоединенной обобщенной производ-

в в в

ной. Напомним [2], что [ хо!у = / хс(1ус — [ х с(1у с , где функции

а а а

хс,ус € С = С(К) , х с,ус € И1ос = Н1ос(К) являются компонентами разложения функций х,у € Г1ос в суммы х = хс + х с и у = ус + у с . Пусть X С Г1ос — произвольное подмножество в пространстве прерывистых функций. Оператор У : X ^ Г1ос и произвольная функция х € X порождают в В линейный непрерыв-°

ный функционал (Ух, р) = / ро!Ух , а У и произвольная правая

к

1ос ° ° часть f € Г порождают импульсное уравнение (Ух, р) = (f,р) .

Т е о р е м а 2. 1. Пусть а € К, Q — квадратная матрица порядка п с элементами Qij € БУ1ос , Х = { х € Г^ : для любых

в

в € К существует интеграл [ сЩ ■ х } . Для оператора V : X ^

а

Ь

Г|ос , где (Ух)(Ь) = х(Ь) — / dQ ■ х , и для любого столбца f € Г^

а

°°

семейство всех решений уравнения (Ух, р) = (!', р) представимо в виде

Ь

х(Ь) = С^с; Ь, а) Н(Ь) + / С(Qc; Ь, в) ■ dfс(в), Н € Нос П X.

а

Ь

2. Совокупность х(Ь) = С^с; Ь, а) [с + / С^с; а, в) ■ df с(в)] ,

а

с € Сп, является семейством, всех непрерывных решений урав-

ь

нения, а функция х(Ь) = С^с; Ь, а) [f (а) + / С(Qc; а, в) ■ df (в)]

а

является единственным непрерывным решением начальной за° ° п дачи (Ух, р) = (f, р) , х(а) = f (а), в которой f € Сп .

3. Пусть х = x(Ь,а,Q, f), Ь € [а,Ь] , — единственное непре-

°°

рывное решение задачи (Ух, р) = (f,р), х(а) = f (а), Ь € [а,Ь] , где а € [а, Ь] , f € Сп [а,Ь] . Оператор Ф: (О, д) ^ (Сп, |-|с«) такой, что (Ь, а, Q, f) ^ х(Ь, а, Q, f), непрерывен.

* * *

1. Пешков Д.С., Родионов В.И. О линейных импульсных системах // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. 2006. № 1. С. 95-106.

2. Родионов В.И. Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Изв. Ин-та матем. и ин-форм. УдГУ. 2005. Вып. 1 (31). С. 3-78.