О пространстве регулярно дифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

© В.И. Родионов

[email protected]

О ПРОСТРАНСТВЕ РЕГУЛЯРНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Ключевые слова: предел по множеству, односторонняя производная, прерывистая функция, липшицева функция, кусочно гладкая функция, кусочно линейная функция, сплайн.

Abstract. The concept of regular differentiable function are defined. Any piecewise smooth function are regular differentiable function. At the time a modulus of any continuously differentiable function are regular differentiable function. Any regular differentiable function are Lipschitzian. The space of regular differentiable functions are the closure of the space of piecewise linear functions with respect to Lipschitz norm (or Holder norm). Any regular differentiable function have one-sided derivatives: the left-side derivative are continuous from the left and the right-side derivative are continuous from the right. The concept of regular derivative are generated by one-sided derivatives. Statements about regular derivatives of arithmetic operations, superposition and total variation of regular differentiable functions are proved.

1. Регулярно дифференцируемые функции, заданные на отрезке

На протяжении всей работы будем применять следующие обозначения. Если I - это отрезок, интервал или полуинтервал, то через I* будем обозначать множество {(т, s) € I2 : т ф s} , представляющее собой квадрат без г'главнойб диагонали. Всякая функция x : [a,b] ^ R порождает функцию двух пере-

■\т ( \ ' x(s) —x(r) г 1Л2

меннЫх X(т, s) = v у , определенную на множестве |a,6J* .

Так как X(t,s)= X(s,t), то иногда мы будем работать с

функцией Х(т, s) , определенной лишь на связном множестве А = {(т, s) : а ^ т < s ^ b} .

Определение 1.1. Функцию х : [a,b] ^ R будем называть регулярно дифференцируемой (или регулярно гладкой), если для любого t € (а, b] существует конечный двойной предел

lim X(t,s) (1.1)

(t,s) G( a,t\%

(t,s) t,t)

и для любого t € [а, b) существует конечный двойной предел

lim Х(т, s). (1.2)

(t,s) е[t,b %

(T,s) t,t)

Заметим, что пределы (1.1) и (1.2) - это пределы по множествам (а, t]* и [t, b)* соответственно, а точка (t, t) - точка при-

косновения этих множеств.

Линейное пространство регулярно дифференцируемых функа, b а, b

импликации очевидны:

х € RD[a,b] х|ae € RD[а,в V[a, в ^ [а, b],

х1[а,с]€RD[а,С> х1 [c,q€RD[c,b х1 [а,ь]€RDМ-

Пример 1.1. Всякая непрерывно дифференцируемая функция х : [а, b] ^ R является регулярно дифференцируемой, т.е. С^[а, b] С RD[а, b] . Действительно, в силу дифференцируемости х для всех t € (а, b] и (т, s) € (а,^*, (т, s) ^ (t, t) существует точка £ , лежащая между т и s (поэтому £ ^ t), что

lim X(t,s)= lim = цт x'(£) = x'(t).

(t,s) €( a,t] % (t,S €( a,t] % a,t]

(t,s) t,t) (t,s) -^( t,t) £^t

Последнее равенство справедливо в силу непрерывности х'. Существование предела (1.2) доказывается аналогично.

Пример 1.2. Напомним, что функция ж : [a, b] ^ R называется кусочно гладкой, если существует конечное разбиение a = то < ti < ... < тп = b такое, что для всех к = 1,... , n сужение функции ж та отрезок [т*—, т&] есть непрерывно дифференцируемая функция. Поскольку C^[Tfc_i , т&] С RD[т&_1, т^] к

a, b С a, b

но гладкая недифференцируемая функция ж = |t|, t € [—1,1], принадлежит RD[—1,1] , что следует из существования пределов

Um Л'(т,»)= lim 1±±1 = /-1 "Р" _

(т,а) 6(-1 ,t] I (т,а) 6(-1 ,t] I S Т I 1 ПРИ t € (0, 11

(T,s) ^(М) (T,s) ^(M) ^

lim A'(r,S)= lim 4^={_1 “P" ‘е[_1'0) .

(т,^е[м)1 (t,sе[м)| I 1 при t € [0, 1)

(T,s) ^(М) (T,s) ^(M) ^

Как показано ниже в примере 4.1, функция ж : [0,1] ^ R такая, что ж(0) = 0 и ж(£) = |í3sin j| при í ф О, есть регулярно дифференцируемая функция. Очевидно, она не является кусочно гладкой.

Пример 1.3. Дифференцируемая функция с разрывной производной ж : [—1,1] —^ R, что ж(0) = 0 и ж(t) = t1 cos \ t

тельпо, две последовательности

(тп^п) = (^¡+I5¥>2^f) ^ (°>°)> (т«’ s'n) = (0. ш) ^ (°>°)

принадлежат множеству [ОД)* и порождают разные пределы

lim X{Tn,sn) = l, lim Х{т'п, s'n) = Q,

(t„,s„) ^(0,0) v П (тП ,s'n) -(0,0) n nJ

t

Примеры 1.2 и 1.3 показывают, что понятия дифференцируемости и регулярной дифференцируемости существенно разнятся (ниже будет установлено равенство (2.1)). Известно, что всякая дифференцируемая функция х : [а, b] ^ R имеет в каждой точке t € [а, b] конечную производную х'{t), причем функция Ж •. [а, b] ^ R либо непрерывна в t, либо имеет там разрыв 2-го рода. Ниже мы вводим понятие регулярной производной для х а, b

ждой точке t € [а, b] регулярная производная функции х либо непрерывна, либо имеет разрыв 1-го рода, причем множество точек разрыва регулярной производной не более чем счетно.

Из определения 1.1 следует, что всякая функция х € RD[а, b] порождает функции Ах : (а, b] ^ R и Бх : [а, b) ^ R такие, что

Ах{ t) = lim X(t,s) и Бх( t) = lim X(r,s). (1.3)

(^s) G( a,t] J (t,S G[t,b ф

(T,s) — (M) (т^) — (M)

Точка (т, s) в пределах (1.3) может приближаться к точке (t, t) по различным подмножествам множеств (а, t]* и [t, b)* . В частности, полагая т = t в (а, t]* и [t, b)* , получаем формулы

Ах(t) = lim Xt s) и Бх(t) = lim Xt, s)

{s<t} {s>t}

s—— t s—— t

или в эквивалентной записи

Ax(t) = lim хЛ^ и Bx(t) = lim (1.4)

s——i - 0 s 1 s—1+0 s 1

Кроме того, существуют пределы (1.5)-(1.8) и справедливы равенства

Ax(i) = lim *(t+T+s)-x(t+T) ^ (L5)

{т<0, s<0} s

(т,^ — (О,0)

AM) = lim *(t+T+s)-x(t+T) (L6)

{^+s^0, s>0}

(^s) — (0,0)

BJt) = lim x(t+T+s)-x(t+T) ^ ?4

{t>0, s>0}

(T,s) — ( 0,0)

BM) = lim x(t+r+s)-x(t+r) (Lg)

{t+s>0, s<0} S

(V,s) — (0,0)

Действительно, заменив в первой формуле (1.3) т на í + т и s на í + s , получим, что

Ax(i) = lim x(t+s)-X(t+r) = lim x(t+r+s)-x(t+r) _

{t^0, s^O, t^s} S T {t^0, т-f-s^O, s^O} S

(t,s) —— ( 0 ,0) (t,s) —— ( 0,0)

(1.9)

В последнем равенстве мы заменили s на т + s . Множества,

по которым вычисляются пределы (1.5) и (1.6), принадлежат

множеству, по которому вычисляется предел (1.9), следовательно, пределы (1.5) и (1.6) существуют и, более того, они равны Лх(í) . Аналогично заменив во второй формуле (1.3) т на í + т и s на í + s , получим

BJt) = lim x(t+s)-X(t+r) = lim x(t+T+s)-X(t+T)

{t^0, s^0, t^s} S T {t^0, т-f-s^O, s^O} s

(t,s) —— ( 0,0) (t,s — (0 ,o)

откуда и следуют формулы (1.7) и (1.8).

Лемма 1.1. .Белы x € RD[a,b], то справедливы равенства

lim Лх(т) = lim Вх{т) = Лх(í) Ví € (а, b], (1.10)

т ——t—0 т ——t—О

lim Лх(т) = lim Вх(т) = Вх(í) Ví € Га, М. (1.11)

т— t т— t

Доказательство.В силу существенной значимости формул (1.10) и (1.11) в дальнейших построениях, приведем доказательство формул (1.10) в полном объеме, а доказательство

формул (1.11) легко осуществляется симметричным образом. Согласно (1.5)

Ve > 0 3£ > 0 : V(r, s) € Us => | _ Ax(t) \ < e,

где Us = {(t, s) € R : — 5 < т < 0, — 5 < s < 0} - это квадратная область. Зафиксируем т € (—5,0) . В соответствии с (1.4)

АМ + т)= lim = Hm x(t+T+s)-x(t+T)

{s<t + T} s -t-T {s<0} s

s—— i + т s——0

(заменили s на найдется s (зависящее от

т) такое, что (т, s) € Us и

\Ax(t + T) - ^+r+s)~x{t+r) | <£_

Следовательно, |Ax(t + т) — Ax(t)| < 2e для всех т € (—5,0), т.е. lim Ax(t + т) = Ax(t) или lim Ax(t) = Ax(t).

{т<0 } T^t-0

т—0

Для произвольного 5 > 0 через Vs обозначим треугольник Vs = {(t, s) € R : —5<t<0, 0<s< —т} . Согласно (1.6)

Ve > 0 3£ > 0 : V(r, s) € Vs => | iii+I+fbMi+ll _ Ax^ | <

Зафиксируем т € (—5,0) . В соответствии с (1.4)

ВМ + т)= lim = Hm <s)-f+r)_

{s>t + T} s-t-T {t>s>t + T} s-t-T

s——t ~Ъ т s—— t ~Ъ т

Перешли от {s > t + т } к подмножеству {t>s>t + T}. Таким образом, заменив s на t + т + s , получаем, что

ВМ + Т)= lim x(t+r+s)-x(t+r)

{t+s<0, s>0} S

s—

и поэтому найдется такое s (зависящее от т), что (т, s) € Vs и

IBx(t + T) - x(t+T+s)-x(t+T) I <е_

Следовательно, |Bx(t + т) — Ax(t)| < 2e для всех т € (—5,0) , т.е. lim Bx(t + т) = Ax(t) или lim Bx(t) = Ax(t).

{т<0} t—t—0

т—

Доказательство формул (1.11) опирается на (1.7) и (1.8).

Следствие 1.1. Если x € RD[а, b], то функция Ax : (а, b] ^ R непрерывна слева, а функция Bx : [а, b) ^ R непрерывна справа.

Следствие 1.2. Пусть x € RD [а, b] . Функция Ax непрерывна в точке t € (а, b) тогда и только тогда, когда в

Bx Ax t Bx t

Ax

точке t € (а, b), то lim Ax(т) = Ax(t) = lim Ax(т) и остается

t —t—0 t ——t~t~0

лишь сослаться на формулы (1.10), (1.11).

Ax Bx x € а, b

A t Bx а , t а , B t Bx t , t € а, b ,

IXt), t € (а,^ , \A^b), t = b ,

(1.12)

а, b

Ax(t — 0) = Ax(t — 0) = Ax(t) = Bx(t — 0) = Bx(t — 0) Vt € (а, b],

(1.13)

Лх(£ + 0) = Лх(£ + 0) = Вх(£) = Вх(£ + 0) = Вх(£ + 0) ^ € [а, Ь).

(1.14)

Таким образом, функции Ах и Вх имеют односторонние пределы, поэтому Лх,Вх € С [а, Ь] , т.е. Лх и Вх - прерывистые функции (о пространствах С[а,Ь], Сь[а,Ь], Од[а,Ь] и С0[а,Ь]

Ax — Bx

цией, следовательно, она имеет не более чем счетное множество точек разрыва. Кроме того, согласно (1.13) справедливо

lim (Ax(т) — Bx(т)) = Ax(t — 0) — Bx(t — 0) = 0 Vt € (а, b],

T— tAx — Bx € а, b Ax — Bx

а, b

не более чем счетно. Тем самым Ax(■) = Bx(■) всюду на (а, b), за исключением разве что конечного или счетного множества точек.

2. Регулярные производные

Ax

впадает с левой производной х_ функции x € RD[а, b] , а функция Bx - с правой производной х^ этой функции. Другими сло-

x € а, b

производными х_ : (а, b] ^ R и х^ : [а, b) ^ R и выполнены равенства х_(■) = Ax(■) и х'+ (■) = Bx(■) . Следовательно, х_(■) = х' (■) всюду на (а, b), за исключением разве что конечного или счетного множества точек, и тем самым всякая регулярно дифференцируемая функция х : [а, b] ^ R почти всюду на [а, b] имеет конечную двустороннюю производную х', причем множество точек, где производная х' не определена, не более

х € а, b

односторонние производные х_ и х' , обладающие следующими свойствами: х_ непрерывна слева, х' непрерывна справа, обе имеют не более чем, счетное множество точек разрыва, а в точках непрерывности они совпадают.

х € а, b х € а, b

венет,во

RDM nBD[а,Щ = С(1)М], (2.1)

где через ВБ[а,Ь] обозначено пространство функций с ограниченной на [а, Ь] производной.

Пусть х € ЫБ [а, Ь] П ВБ [а, Ь] . Так как х € ЫБ[а, Ь] , то х имеет односторонние производные х_ и х^ , причем х_ непрерывна

х х

х

прерывна всюду на [а, Ь] (это следует из равенств х'(£) = х_(£) для всех £ € (а,Ь] и х'(£) = х'+(£) для всех £ € [а,Ь)). Таким образом, х € С^1 ^[а, Ь] . Обратное включение справедливо в силу примера 1.1 и очевидного включения С(1)[а,Ь] с ВБ[а,Ь]. х € а, Ь

ных

{х'+(а), Ь = а

(1 — А)х_(¿) + Ах'+(£), Ь € (а, Ь) , (£, А) € [а, Ь] х [О , 1],

х_( Ь), £ = Ь

(2.2)

причем если х € С^1 ^[а, Ь], то х( •, А) = х' (•) для любо го А € [0,1] (на самом деле это утверждение справедливо при всех А € М). Другими словами, если х € С^1 ^[а,Ь], то х(^А) ПРИ любом А совпадает с классической производной х'(•) и это наблюдение приводит нас к следующему определению.

Определение 2.1. Произвольное сечение х( •,А)

А € ,

х € а, Ь

Замечание 2.1. Регулярной производной функции х € а, Ь

пуклой оболочки функций х_(¿) и х'+(£) (при £ € (а,Ь)), однако мы считаем такой подход избыточным для тех целей и задач, которые решаются в настоящей работе. Следует также отметить, что к семейству регулярных производных можно было бы относиться как к многозначной функции, однако и такой подход избыточен в дальнейших построениях.

Лемма 2.2. Если х € 1Ш[а, Ь] , (£, А € [а, Ь] х [0,1] , то х(£, А) = ( 1 — А)АЖ( £) + АВх( £), (2.3)

т.е. х{•, А) есть выпуклая комбинация функций Лх{•) и Вх(•) . Если ^ = 1 — А и г = а,тов соответствии с (1.12)

^Лх(а) + АВх(а) = ^Вх(а) + АВх(а) = Вх(а) = х'+(а) = ха, А) и аналогично для £ = Ь . Если же £ € (а, Ь) , то Мх(£) + АВх(£) = ^Лх(£) + АВх(£) = ^х_(£) + Ах'+(£) = х(£, Ах € а, Ь

А € [0,1] функция х(•, А) непрерывна справа в точке а; непрерывна слева в точке Ь; непрерывна в любой точке £ € (а, Ь), где непрерывна хотя бы одна односторонняя производная х_( •) или х' (•), и при этом выполнены равенет,ва х(£, А = х_(£) = = х'+(£) = х'(£); наконец, в каждой точке разрыва € (а, Ь) (их количество не более чем, счетно) величина х(£&, А) есть выпуклая комбинация чисел х_(£&) и х'+(£^) .

Доказательство. Если ^ = 1 — А и £ = Ь, то согласно (2.3) и (1.13)

х(Ь — 0, А) = ^Лх(Ь — 0) + АВх(Ь — 0)) = Лх(Ь) = х_ (Ь) = х(Ь, А)

и аналогично для £ = а (используя (1.14)). Пусть £ € (а, Ь), и допустим, что функция х_ непрерывна в точке £. Так как х_( •) = Лх( •) , то в соответствии со следствием 1.2 функции Лх и Вх также непрерывны в точке £ и Лх(£) = Вх(£) . Следовательно, все выражения, входящие в (1.13) и (1.14), равны между собой и поэтому

х(£ — 0, А) = ^Лх(£ — 0) + АВх(£ — 0)) = ^Лх(£) + АВх(£)) = х(£, А).

Аналогично х(£ + 0, А) = х(£, А) • Кроме того, справедливы равенства х(£, А) = Лх(£) = Вх(£), поэтому х(£, А) = х_(£) = х'+(£) =

= х'(£) . Наконец, поскольку Лх,Вх € С[а,Ь], то множество точек разрыва этих функций (а вместе с ними и функций х(■, А) , х_(•) , х' (•)) не более чем счетно, и нам остается лишь сослаться на лемму 2.2, согласно которой величина х(^, А) есть выпуклая комбинация чисел х_(£&) и х^^).

Пример 2.1. Семейство регулярных производных для недифференцируемой функции из примера 1.2 имеет вид

а совокупность графиков всех этих функций образует на плоскости переменных (£, х) связное множество {(£,х) : —1 ^ £ < О, х = — 1} и {(£, х) ^ = 0, — 1 ^ х ^ 1}и{( £, х) : 0 < £ ^ 1,х = 1}.

3. Полнота пространства регулярно дифференцируемых функций

а, Ь

а, Ь

ческие эндоморфизмы Р:С^^ и С^:С^С такие, что

1тР = Сь, КегР = С0, 1тд = 0Е, КегС^ = С0, (3.1)

А € ,

Р : х(£) ^ хь(£)

ха + 0), £ = а х(£ — 0), £ € (а, Ь]

: х(£) ^ хД(£)

х(£ + 0), £ € [а, Ь) хь — 0), £ = Ь

обладают следующими свойствами:

Р2 = р, рд = р, др = д, д2 = д,

(3.2)

где Оь = Оь [а, Ь] - это подалгебра в О , состоящая из тех функций х, что х(а + 0) = ха и х(£ — 0) = х(£) Для всех £ € (а, Ь], а Од = Од [а, Ь] - это подалгебра в О, состоящая из тех функций х, что х(£ + 0) = х(£) Для всех £ € [а, Ь) и хЬ — 0) = хЬ) • Функции из Оь называются непрерывными слева, а функции из Од - непрерывными справа прерывистыми функциями. На-

а, Ь

ких функций х : [а, Ь] ^ К, что при любом е > 0 множество {£ € [а, Ь] : |х(£)I ^ е} конечно. Известно также, что алгебры Оь и Од изоморфны между собой и обе изоморфны фактор-алгебре в / в0 (считаем функции х, у € О эквивалентными и пишем

х ~ у, если х — у € в0 ; отметим также, что Р х ~ х для всех

х€

Кроме того, алгебры Оь и Од замкнуты в О по норме

||х|| = яир |х(£)I Ух € О, (3.3)

4€[ а,Ь]

а поскольку О - банахова алгебра относительно этой нормы, то и алгебры и Од банаховы. Алгебра О0 также замкну-

та в О по норме (3.3), причем О = ФО0 и О = Од ®О0 ,

х€

представима в виде х = хь + х или х = хд + х ; где хь € Оь , хд € д х €

и непрерывны по норме (3.3), что следует из неравенств

|| Р х|| ^ ||х|| и || (^ х|| ^ ||х|| Ух € О . (3.4)

х€

| х| | х| .

Действительно, в силу (3.2) и (3.3) || Р х|| = || Р (^х|| ^ || (^ х|| и аналогично || (^х|| ^ || Рх|| .

Для любого А € [0,1] через Ол = Ол [а,Ь] обозначим подпро-

х

х — А х А х.

Очевидно, О0 = Оь и в1 = Од • Легко проверить, что Сл явля-

АА

Любопытно выглядит пространство С ^ , в котором всякая функция обладает тем свойством, что ее значение в любой внутренней точке £ € (а, Ь) есть полусумма левого и правого пределов.

Лемма 3.1. Любые два пространства из семейства {вл }ле[о,1] изоморфны между собой. Пространство Сл банахово по норме (3.3). Если х € Ол , то ||х|| = || Р х|| = || (^х|| .

Доказательство. Включение Р(Сл) — С0 (= йь) справедливо

л

у € С3, г = ^у и х = ^у + Аг, где А € [0,1] и ^ = 1 — А. Согласно (3.2)

(^х = ^ду + Ад,г = ^ду + Щ2у = ^у + А у = Яу = г,

рх = ^ру + Ар,г = ^ру + Ар(5у = ^ру + Ару = ру = у.

Равенство Ру = у справедливо в силу включения у € С0 (см. (3.6) при А = 0). Таким образом, х = ^у + Аг = ^Рх + АС^х,

х € л х у л

х € л х х €

х € х € х

ку х € вл , то х = ^ Р х+А х = 0 . Таким образом, пространства Сл и в0 изоморфны, каково бы ни было А € [0,1] .

Пусть последовательность {хп} , хп € Ол , фундаментальна,

т.е.

Уе > О ЗЖ : Уп, т > N ||хп — хт|| < е.

{ хп}

{ хп}

надлежат банахову пространству С1 , причем в силу (3.4)

|| Р хп — Р хт| ^ |хп —хт| <е И ЦС^ хп— хт| ^ |хп — хт|| < е. Следовательно, существуют пределы у = Нт Р хп и г = Нт хп ,

пп

причем у € С3 иг € С1 , а значит, Р у = у и г = г . Поскольку

проекторы Рид непрерывны, то в соответствии с (3.2) д хп = дрхп = скрхп) ^ ду и рхп = рдхп = р(дхп)

Р г.

Тем самым д у = г и Р г = у . Пусть х = ^у + Аг . В силу включения хп € вл справедливо хп = ^ Р хп + А д хп ^ ^у + Аг = х, причем Рх = ^ру + Ар,г = ^у + Ау = уи дх=^ду+Ад^= = + Аг = г, следовательно, х = ^у + Аг = ^ Р х + А д х,

х € л

л

л

Поскольку А, ^ ^ 0, то в соответствии с (3.5) для любого х € л

||х|| ^ ^|| Р х|| + А|| д х|| = || Р х|| = ||д х|| ^ ||х|.

х€

Замечание 3.1. При доказательстве третьего утверждения леммы 3.1 мы впервые реально использовали условие А € [0,1] (воспользовались неравенством ^ ^0). Другими словами, несмотря на то что все предыдущие выкладки справедливы при всех А € К, мы придаем равенству ||х|| = ||Рх|| (для

А € , х € л

А € ,

х € а, Ь

ствии с (1.12)—(1.14)

Р(Ах) =

Ах(а + 0), £ = а Ах(£ — 0), £ € (а,Ь]

Бх(а), £ = а Ах(£), £ € (а,Ь]

Бх

Бх(£ + 0), £ € [а,Ь) _ |Б^£), £ € [а, Ь)

Бх(Ь — 0), £ = Ь \А^Ь), £ = Ь

Ах € Бх €

Ах(£ + 0), £ € [а,Ь) [Бх(£), £ € [а,Ь)

Ах,

Бх

Ах

Ах

Бх

Р(Б ) = /Б^а + 0), £ = а =/б^а), £ = а =а

\Бх(£ — 0), £ € (а,Ь] \А^£), £ € (а, Ь х'

Если А € [0, 1], ^ = 1 — А и у = х', А > т0 у = Мх + АБх и

Р у = ^ Р(Ах) + А Р(Бх) = ^Ах + ААх = Aх,

Яу= ^я(А^ + Ад(Бх)= ^Бх + АБх= Бх,

следовательно, у = х( ■, А = ^Ах + АБх = ^Ру + АС^у, поэтому у € вл • Таким образом,, х{-,А) € вл[а, Ь] при любом А € ,

х',А) принадлежит соответствующему банахову пространству Ол , причем для любых А, А € [0,1] имеет место равенство ||х ',Ах) || = ||х ',А) ||-

А € ,

Фл : 1Ш[а, Ь] ^ К х Ол [а, Ь],

фл : х ^ (ха, х ■, а))

лх

ха = 0 и х(£, А) = 0 для всех £ € [а, Ь] , поэтому х', А) всюду непрерывна и совпадает с классической производной х'(•) . Тем самым х(£) = 0 и, следовательно, КегФл = {0} . Доказательству л

Теорема 3.1. Пусть у € в [а, Ь], с € К . Если х(£) = = с + / у(()д,(, то х € 1Ш[а, Ь] .

а

Доказательство. Функция уь = Ру непрерывна слева во всех точках £ € (а, Ь] и у — уь € О0 [а,Ь] . В силу последнего включения для любых т, з € [а, Ь] справедливо равенство /[у({) — у Л О] = 0, поэтому для любых £ € (а,Ь] и

т, в € (а, £] имеет место цепочка

в 5 5

J у(£) ^ — у Л ^(в — т) = ! [у(0 — у Л £)]ЙС = / [у^ ^ — у Л £)]

т т т

Так как уь непрерывна слева, то для любого е > О существует 5 > 0, что при всех С € (£ — 5,£] выполнено |уь(С) — уь(£)| < е, поэтому для всех т, в € (£ — 5, £] справедлива оценка

|ж(в) - ж(т) - уь(¿)(в - т) I =

5

J у(£)^£ - у Л ¿)(в - т)

< ф - т|

и, следовательно,

Ііт я(я)_*(т) = у (¿) = - 0) Ше(а,ц. (3.7)

(т,а) Є(а,4] | 5 '

(т,^ 4,4)

Аналогично

Іііп х(э)~х(т) _ ^ \/іє[а,6), (3.8)

(т,*) Є[4,Ь) I 5 т

(т,^ 4,4) что и требовалось доказать.

Согласно теореме 3.1 пара (с, у) Є М х СЛ [а, 5] порождает

і

регулярно дифференцируемую функцию ж(і) = С + / у(£)^£ , где

а

і Є [а, 5 • Равенство ж(а) = с очевидно. Поскольку ж Є ІШ[а, 5], то определено сечение Ж•, Л) ■ Если ^ = 1 - Л и і Є (а, 5) , то

Ж(і, Л) = ^Аж(і) + ЛВЖ(і) = ^Аж(і) + ЛДт(і) =

= ^у(і - 0) + Лу(і + 0) = у(і).

Предпоследнее равенство справедливо в силу (3.7) и (3.8), а последнее - в силу включения у Є СЛ [а, 5] . В силу этих же обстоятельств имеет место цепочка равенств

Ж(а, Л) = ^Аж(а) + ЛВЖ(а) = Вж(а) = у(а + 0) = у(а)

и аналогично X(b, А) = y(b) . Таким образом, Xt А = y(t) Для всех t € [a, b] , поэтому Im^ = R x GЛ[a, b] и, следовательно,

RD[a,b] w R xGЛ[a,b] VA € [О, 1]. (3.9)

Теорема 3.2. Пространство RD[a,b] банахово относительно нормы

||x|| = |x(a)| + sup |Xt,AI Vx € RD[a,b], (3.10)

t€ [a,b]

которая не зависит от А € [0,1] .

Доказательство немедленно следует из изоморфизма (3.9) и полноты пространств R и 0Л [a, b] по соответствующим нормам. А

Следствие 3.1. Если X € RD [a,b], то справедливо тождество

t

Xt) = Xa) + JXs, Ads Vt, A € [a, b] x [0, 1]. (3.11)

a

x € a, b x

x € a, b

диаграмма

BD С

/ g / g

C(1) Lip ^ AC ^ CBV g ,

g / g /

RD BV

где стрелки обозначают отношение включения пространств. Действительно, согласно (3.11) для любых т, s € [a, b]

IXs) — Хт) I ^

Xt, A)dt

^ sup |Xt, AI • |s — т |,

t€ fa.bl

s

откуда и следует включение RD С Lip. Это включение строгое, так как, например, функция из примера 1.3 липшицева, но не является регулярно дифференцируемой.

4. Регулярная производная сложной функции

Лемма 4.1. Пусть ж,у Є RD[а,Щ , u = x + у; v = xy и w = x/y (для такой у , что y(t) ф 0 при всех t Є [а, Щ ). Тогда

u, v,w Є RD [а, 6] м справедливы формулы

u(t, А) = x(t, А) + y(t, A, v(t, А) = x(t)y(t, А) + y(t)x(t, А,

w(t, Л) - --ущ------.

Доказательство. Включение u Є RD [а, 6] очевидно. В силу непрерывности функций x и у при всех t Є (а, Щ справедливы цепочки равенств

A(i) = lim . + lim у(г)(Ф)-х(т)) =

(r,s) Є( а,£] | (т,з) Є( а,£] |

(r,s) M) (r,s) i,i)

= x(i)Ay(i) + у(£)Аж(i).

Aw(i) = lim - lim =

^ . ,1 S — T У S , . , ,9 y s Ул s — t )

(r,s) G( a,t] J V V ' (t,s) G( M] J ■'v '

(T,s) ^(M) (r,s) ^(M)

_ Ax(t) y(t)-Ay(t)x(t)

~ y2(t) ■

Использовали очевидные тождества

Ф) - ^(т) = Ф)(у(в) - у(А) + уН(Ф) - ж(т)),

?/>M — X(S)~X(T) х(т)(у(з)-у(т))

W{S) W{T) - y(s) y(s)y(r) ■

Аналогичные формулы имеют место и для величин B^(t) и Bw(t) (при t € [a,b)); а формулы для регулярных производных выводятся путем несложных естественных преобразований.

Теорема 4.1. Пусть Х € 1Ш[а, Ъ\ . Если а = ттж(•),

[а,Ь]

в = тахХ •); / € КО [а, в], У = /(Х ')Ь т 0 У € ИТ) [а, Ъ] и спра-

а,Ь

ведливы формулы

|В/( ХЬ))Ах( Ь) при Ах( Ь) < 0

Ау{Ь) = 0 при Ах( Ь) = 0 , Ь € (а, Ъ],

1А/ (ХЬ))Ах( Ь) при Ах(Ь) > 0

ГА/ (ХЬ))Вх(Ь) при Вх( ь) < о

Ву{Ь) = 0 при Вх{Ь) = 0 , т а, Ъ

1В/ (ХЬ))Вх( Ь) при Вх{Ь) > о

Дока з а т е л ь с Т В О. Зафиксируем Ь € (а, Ъ] и про-

извольное е > 0. Поскольку х € 1Ш[а,Ъ], то определена функция Ах : (а, Ъ] ^ ^ ч существует ¿1 > О такое, что для всех т, в € (Ь — ¿1, Ь]

|Хв) — Хт) — Ах{Ь)(в — т)| ^ ф — т| (4.1)

т, в € а, Ъ

ха — Хт) = J Ах( £)^£. (4.2)

Т

1. Предположим, что Ах(¿) > 0. Поскольку функция Ах(•) непрерывна слева, то существует ¿2 > 0 такое, что Ах(£) > О для всех £ € (Ь — ¿2,Ь] • В частности, в силу (4.2) для любых т, в € (Ь — ¿2, Ь] ; ТаКИХ, ЧТО т < в , СПраВвДЛИВО ХА < Хв) ; т-в-х строго монотонно возрастает на полуинтервале (Ь — ¿2, ¿] • Пусть ¿з = т} . Функция х строго монотонно возрастает на (Ь — ¿з, Ь , причем для всех т, в € (Ь — ¿з, Ь] справедлива оценка (4.1). Пусть г = Х^) ■ Покажем, что г ф а. Действительно, если бы это было не так, то выполнялось бы равенство

Xt) = min ж(£) ; т-е- Xt) ^ X£) Л113 всех С £ [a,b] • В частно-?€[ а,Ь]

сти, это было бы верно для всех { £ (t — ¿3, t], что противоречит

X

Таким образом, z = X(t) £ (а, в] •

Так как f £ RD[а, в ; то определена функция Af : (а, в] ^ R и существует р > 0 такое, что для всех u, v £ (z — р, z]

|f (v) — f (u) — Af (z)(v — u) 1 < e|v — u|.

Другими словами, включение u, v £ (X(t) — P, Xt)] влечет оценку If (v) — f (u) — Af (z(t))(v — u)I < Ф — u|. (4.3)

Найдется ö £ (0, ¿3] такое, что ж(т) £ (Xt) — P, Xt)] ; как только т £ (t — ö,t] • Действительно, если Xt — Ö3) ^ Xt) — Pi TO Ö = Ö3 . ЕСЛИ же Xt — Ö3) < X(t) — р, ТО в силу непрерыв-

X ö £ , ö Xt — ö Xt — р

X

t — ö, t

Итак, если т, s £ (t — ö, t] , то x(t),Xs) £ (Xt) — P, Xt)L причем если т < s, то ж(т) < Xs) • В силу (4.3) и (4.1) имеем оценки |M—pN | ^ eN и |N—qK | ^ eK , в которых используются следующие обозначения: M = y(s) — у(т) = f (x(s)) — f (Xt)) , N = x(s) — Xt) ; K = s — т , p = Af (Xt)), q = A^ t) . Заметим, что N>0, K>0,q>0. Проделав несложные преобразования, получим двустороннюю оценку

pqK — e(|p — e| + q)K ^ M ^ pqK + e(|p + e| + q)K,

-e(|p - e| + <?) < ^4^ - Af(x(t))Ax(t) ^e(\p + e\ + q).

Тем самым предел

Ay(t)= lim (4-4)

(t,s) G( a,t] *

(T,s M)

существует и Ay(t) = Af (X^)A^t).

2. Если Ах(¿) < 0, то, повторив во многом выкладки предыдущего пункта, получим двустороннюю оценку

-е(\р + е\-д)^ _ В}{х{1))Ах(1) <е(\р-е\- д),

в которой р = В/(Х^)) и д = Ах(¿) < 0. Заметим еще, что здесь справедливо неравенство ХЬ) Ф в > а в аналоге формулы

(4.3) вместо величины А/(Х^)) стоит величина В/(Х^)) • Таким образом, предел (4.4) существует и в данном случае, причем Ау(Ь) = В/(ХЬ))Ах(Ь) •

3. Пусть, наконец, Ах(Ь) = 0. Оценка (4.1) принимает здесь вид |Хв) —ХАI ^ е|в—т| . Поскольку / липшицева (как элемент пространства 1Ш[а,в] К то существует константа Л ^ 0, что 1/(А — /(АI ^ Л|^ — и| для всех и, V € [а, в] • Таким образом,

|у(в) — у(А N 1ДДА) — ДДА)1 ^ Л|Х(в) — ДА1 < еЛ |в — т |,

поэтому предел (4.4) существует и Ау(Ь) = 0 .

Доказательство существования предела

Ву( Ь) = Нт

(т,.) 6[М) ? (Т,з) 4,4)

У(э)-У(т)

при Ь € [а, Ъ) осуществляется симметричным образом.

Замечание 4.1. Аналог теоремы 4.1 хорошо изве-

Х€ а, Ъ / € а, в

У € а, Ъ Х€ а, Ъ / € а, в У € а, Ъ

Что касается абсолютно непрерывных функций, то для них аналогичное утверждение, вообще говоря, не верно. Точнее, спра-

Х

а, Ъ / € а, в У € а, Ъ Х € а, Ъ

/ € а, в У € а, Ъ

/ Х | Х| /

Х€ а, Ъ

| Х| € а, Ъ

утверждать, что модуль всякой непрерывно дифференцируемой функции есть функция регулярно дифференцируемая. Например, функция у(і) = | бііі ¿| , І Є [а, Ь], регулярно дифференцируема (она является кусочно гладкой). Более содержательным является следующий пример. Если у : [0,1] ^ К такова, что у(0) = 0 И у(£) = |І38ІІ1^| при Ї Ф 0, то множество точек, где регулярная производная терпит разрыв, есть счетное множество. Легко проверить, что

0 , ¿ = 0 (-1)п(і38іп|)', ¿€(¿1,^), п= 1,2,...

£(2А-1) , і=±, п = 2,3,

Если х € Ш)[а, 5], то ж € СВУ[а, 5] и тем самым определена функция полной вариации у : [а, Ъ] ^ К такая, что у(а) = 0 и

у(£) = Уаг ХС) ПРИ всех ^ € (а, Ъ] • Известно, что у - непрерыв-

М

ная функция. Покажем, что у € 1Ш[а,Ъ] . Действительно, если £ € (а, Ъ], то существует Ах(¿), что

\/е > 0 35 > 0 : \/т, 8 € (£ — ¿]* => |£(£Ъ£М _ Д^) | <

Без ограничения общности можно считать, что т < в. Зафиксируем произвольное разбиение т = £о<£1<...<£п = в отрезка [т, в • При всех к = 1,... , п справедливы оценки

I х{£к) — х{£к — 1 ) Л уЛ I ^ тт I |х(^)— х{£к — 1 ) I | А /-А\ I I ^

I а-а-1-----МЩ<е и I ------\АхЩ<е,

поэтому

-е((к - 6—) < 1ХЫ - Х(£к-1)1 - |Ах( ^ К Ск - 6—) < е(€к - 6—),

п

—ф — т) < ^ |ж(&) — ж(&_і) I — 1Ах( ¿) |( в — т) < ф — т).

Й=1

В силу произвольности разбиения т = £о < £1 < ... < £п = в имеем

-ф - т) < Уаг ф) - ф(г)Кв - т) < ф - т),

?е М

-ф - т) < у(в) - у(т) - |Ах( г) к в - т) ^ ф - т),

\Щ^- -14,(011 «в, т.е. Ау(г) = |Ах(г)| . Аналогично Бу(г) = |Бх(г)| при г € [а,Ъ).

у € а, Ъ

Пример 4.2. Если х(г) = |г| , г € [-1, 1] , то легко проверить, что у(г) = 1 + г. При этом Ах(г) = -1 при г ^ о и Ах(г) = 1 при г > 0, а Ау(г) = 1.

5. Эквивалентные нормы в пространстве 1Ш[а, Ь]

Очевидно, что пространство

{х:[а, Ъ] ^ М| шр |Х(т, в) | <

(т,з) €Д

а, Ъ

а, Ъ

через А обозначено множество {(т, в) € М2 : а ^ т < в ^ Ъ} , а Х(т, в) = ЖМ~^(Т) - это функция двух переменных (г, в) € [а, &]* т, в €

1|ж|1ыР = |х(а)| + яир |Х(т,в)| Ух €Ыр[а,Ъ]

(т,з) €Д

а, Ъ

вестпо специалистам, изучающим гельдеровы пространства, тем не менее мы приводим его доказательство в полном объеме и в терминах, принятых в настоящей работе.

а, Ъ

носительно нормы || ■ ||ы .

Доказательство. Предположим, что последовательность (xn}~=1 , xn € Lip[a, b], фундаментальна, т.е. для любого £ > 0 существует N такое, что для всех n, m > N выполнены неравенства |xn(a — xm(a I < £ и

I x„(s)-æm(s)-æn(r)+æm(r) I

SUp I----------—----------I < £.

(t,s) еД

В частности, для функций Xn(r,s) = Eniflzïnill ; заданных на А , справедливо неравенство sup |Хп(т, s) — Xm(т, s)| < £ . Это

(t,s) еД

означает, что последовательность (Хп(т, s) }^_х равномерно (на множестве А ) сходится в себе и, следовательно, равномерно сходится к некоторой функции Х(т, s), заданной на А. Другими словами, существует Х(т, s) такая, что

lim sup !ХП(т, s) — Х(т, s) l= 0.

n (T,s) ед

||

ждения: во-первых, sup |Хт,^1 < той, во-вторых, имеет ме-

(t,s) ед

сто поточечная сходимость НтХ^т, s) = Хт, s) .

n

Числовая последовательность (xn(a) }^_х фундаментальна,

x

ции x(t) = X + X(t, a)(t - а) для t € [а, b] и X(r, s) = для (т, s) € А . Так как для всех t € [a, b]

xn(t) = xn(a) + Хп(t, a)(t — a) ^ x + Х^ a)(t — a) = x(t),

n

xn t x t т, s €

n

X(r, s) = ^4=^ = lim = iimxra(r, s) = X(r, s),

s T n s T n

поэтому

II*» - S|lt,p = M») - 1(0)1+ SUP |în!ffcîÜbin!li±£M| =

(t,s) ед

= |жп(а—xai + sup Mt, s)—x(t, s) I ^ о

(t,s) ед n

и sup |X(t, s) I = sup |X(t, s) I < œ , т.е. построенная предель-

(t,s) (г>5)

пая функция Ж действительно является липшицевой. □

Кроме нормы (3.10), которую можно записать в виде

iix||rd = |xa| + ух•, aHq vx е rd[а, ь,

в RD[a, b] определены нормы ЦжН = тах{|ж(а)|, УХ^,АllG}> l|x||2 = тах{||ж||с, УХ•, AllG}>

x(s)—ж(т)

5 —Г >

и все они эквивалентны. Более того, как мы выясним ниже, для всех x е RD [а, b] справедливо равенство ||x||rd = ||х||ы • Эквивалентность норм || • ||RD и || • ||i следует из неравенств ЦхЦ, ^ ||x||RD ^2 ||х^ . Так как |ж(а)| ^ ||ж||0 , то |х| ^ ||жН2 • В случае, если ||ж||с ^ УХ•, AHg ’ имеем ||ж^ = НХ•, AHg ^ INIi • Если же ||ж||0 ^ ||Х•, А ||G , то ||ж^ = 11жН0 • В этом случае для всех t е [a, b] справедливо равенство (3.11), поэтому

xt) | ^ |xa | + (ь—а ух•, a) Hg ^ (1+ь—a inl vt е [a, ь,

следовательно, ||ж||2 = ||ж||с ^ (1 + b — аУжН и окончательно llxlli ^ ||ж||2 ^ (1 + b — а УжН Vx е RD [а, b].

Неравенство ||х^ ^ ||ж^ очевидно. Если ||x||BV ^ УХ•, А Но >

то ||ж||3 = УХ•îA Hg ^ INL • Пусть ||x||BV ^ УХ•, А Но 1 т0ГДа ||ж||3 = ||x||BV и в соответствии с (3.11) для любого е > 0 существует разбиение a = то < т. < ... < тп = b такое, что

n n

Varx < е+ У] |ХтО — Хтк-1)| = е + V

м tri

Tk

Xs

Ads

= max{||x||BV, НХ^,AHq}, l|x||Lip = |Xa|+ sup

^ е + —Tk_i) sup xt, a)i ^ е+(ь—a sup |xt, a)i-

fc=1 ie [Tfc— >rk [a,b]

Так как е > 0 произвольно, то Varx ^ (b — а) УХ•, А) Hg и

[«,4

iixiiBv = ixa i+^аг x ^ ixa | + (ь—а ух•, iu ^ +ь—a iixii,

М

поэтому |x| ^ ||х||3 ^ (1 + b — аЦх^ для всех x € RD[a, b] .

Лемма 5.1. Если x € RD [a, b], то ||x||rd = ||х||ы .

Другими словами,

I ■ Г-i \м I x(s)_ж(т) I и и I I м I I x(s)_ж(т) I

sup |Xt, A)I = sup I S_T I и ||x||RD = |ж(а)| + sup | v 's_r ■ ' \ .

i€ [a.,b] (r>s) (r>s)

Доказательство. Если a ^ t < s ^ Ь,тов соответствии с (3.11)

|x s — x t | =

X(t, A)dt

^ sup |X(t, A)| • (s — t),

i€ fa.bl

поэтому

l(x) = sup sup |X(t,A)|.

(t,s) £A t€[a,b]

Докажем противоположное неравенство. Зафиксируем е > 0. Для любого t € (a, b] найдутся т, s € (a, t] такие, что т ^ s и |— ^(¿)| < е, поэтому |Ar(i)| < £ + ¿(х) . Аналогично |Дг(t) | < е + ¿(х) Для любого t € [a, b) . Таким образом, для всех (t, А) € [a, b] х [0,1] справедливо

|Xt, А)| = |(1 - А)АЖ(t) + АВЖ(t)| < е + ¿(х),

е > t € a, b

оценка |X(t, А) | ^ ^х), что и требовалось.

Замечание 5.1. Аналогичным образом можно показать, что для произвольной функции х € BD[a, b] справедливо

imLd = ixai + sup \х'(ь)\ = ixai + sup Ix{sIzxt{t) i = yx|iLip.

t€ [a,b] (r>5)

В частности, для произвольной x Є С^1 ^[а, b] справедливо

Таким образом, полные пространства (каждое по своей норме) a, b a, b a, b a, b

норме || ■ ||Li , которая на самом деле является для них общей.

6. Аппроксимация регулярно дифференцируемых функций ломаными

Функция х : [a, b] ^ R называется ломаной функцией (или кусочно линейной функцией), если существует конечное разбиение a = то < тх < ... < тп = b и числа с\, С2,... , cn такие, что для всех k = 1,... , n и для всех т, s € [тк_1, т^] справедливо равенство x(s) — х(т) = ck(s — т) . Множество всех ломаных, опре-

a, b

Очевидно также, что всякая ломаная является регулярно дифференцируемой функцией (поэтому она липшицева, непрерывна и имеет ограниченное изменение). В частности, для всякой ломаной функции справедливо равенство

Х€ a, b

тогда, когда существует последовательность ломаных функций {xn : [a, b] ^ R}£Li такая, что ||xn — x||Li ^ 0 .

Р П

Х€ a, b е >

Х€ a, b t € a, b

существует ¿t > 0 такое, что t — ¿t ^ a, t + ¿t ^ b,

sup |Х(т, s) — Х(тф;)| ^ е то всем (т, s), (т;, s;) € (t — ¿t,t]*,

x\\ m = \Ф)\ + max Іж/(^)І = Іж(а)І + SUP |^4зT^l = \\x 0 *Є[“>Ч (t,s) єД

Lip *

Эта норма эквивалентна общеупотребительной норме

x

RD

Ха| + max{|ci|, |с2|,... , |cn|}.

sup |Х(т, s) — X^s^ | ^ е то всем (т, s), (т^ s^ € [t,t + £t)*.

Другими словами, колебание функции Х(т, s) на каждом из множеств (t — ¿t, t]* и [t, t + ¿t)* то превосходит е . Аналогично существуют ¿а > О И ¿ь > 0 такие, что колебание функции Х(т, s) на множествах [a, a + ¿a)* и (b — ¿ь, b]* также то превосходит е . Семейство квадратов

[a,a + ¿a)2, j(t — ¿t,t]2, [t,t4^t)2j , (b — ¿ь,b]2

I J t€(a,b)

образует бесконечную систему множеств, покрывающую глав-

a, b

жеством в R2 . Следовательно, из этого семейства можно выделить конечное подпокрытие

[a, a4^a)2, (si — ¿^ ,si]2, [sbs^sj2, (s2 — ¿s2,s2]2, ^^^¿s2)2,

• • • , (sm ¿sm , sm] , sm "Ь ¿sm ) , (b ¿^ b] ,

порождающее конечное разбиение a = то < п < ... < тп = b такое, что

т0 = a, п € (si — ¿sj, a4^a), ^^ = ^, т3 € (s2 — ¿s2 ), ...

... , т2 fc_l € (sfc — ¿sk ,sfc_l+ ¿sk- ), т2 fc = sfc, ...

. . . , т2m = sm, т2т+1 € (b ¿b^ sm "Ь ¿sm), т2m+2 = b

(Здесь n = 2m + 2, а точки вида т2&_1 произвольны.) Семейство квадратов {[т&_1, т&]2 }fcni покрывает главную диагональ квадрата [a, b]2 , и та каждом множестве [т*—, т&]* колебание функции Х(т, s) не превосходит е , поэтому справедлива оценка |Х(т, s) — Хт/, sO | ^ е, как только (т, s), (т/,s^ € [тк— ,т^* .

Произвольные ТОЧКИ ({fc, nfc) € [т^— , т&]* (по одной точке из каждого множества [т*—, т&]*) порождают ломаную функцию у : [a,b] ^ R что y(a) = x(a) и y(s) — у(т) = XCfc, %) (s — т) ДЛЯ всех k = 1, ... ,П И ДОЯ всех т, s € [тк_1 , т^]. Поскольку

х(з) — х(т) = Х(т, з)(з — т) для всех (т, з) ^ [а, Ь]* ^ т0 Для разности г = у — х при всех (т, з) € [т*—, тк* справедливо ¿(а) = 0 ,

ф) — ¿(т) = (Х6, Пк) — Хт, «))(« — т) и 1Ф) — XXI ^ Ф — т|.

(6.1)

Поскольку х,у € 1Ш[а, Ь] , то г € 1Ш[а, Ь] и определены функции Аг : (а, Ь] — Ми Бг : [а, Ь) — М. Для любо го £ € (а, Ь] существует 5 > 0 такое, что

|^4“Г^ - А*(£)| < е \/(т,«) € (¿-¿,£]2. (6.2)

Для любого £ € (а, Ь] существует к такое, что £ € (тк—, тк], следовательно, для любых (т, з) € (£ — 5, ¿]* П(т&_! , т&]* справедливы оценки (6.1) и (6.2). Таким образом, для любого £ € (а, Ь]

\А^)\<е+\^Л\^2е.

Аналогично можно показать, что |Бг(¿) | < 2е для всех £ € [а, Ь), поэтому |г(£, А)| < 2е для всех (£, А) € [а, Ь] х [О, 1] и ||,г||ЯЕ) < 2е .

Обратное утверждение теоремы следует из полноты пространства 1Ш[а, Ь] то норме || ■ ||яо .

а, Ь

замыканием по норме || ■ ||ы пространства ломаных, опреде-а, Ь

а, Ь

замыканием пространства КС^ [а, Ь] по норме || ■ ||ы .

х € а, Ь

ет последовательность ломаных (хп : [а, Ь] — М}^х такая, что ||хп — х||ву —— О и ||хп — х||г, —— 0 (т.е. последовательность

П П

(хга(£)}^1 сходится к функции х(£) равномерно на [а,Ь]^.

Утверждение следует из очевидных неравенств ||х||ву ^ ||х||3 и ||х||с ^ ||х||2 • Следует также отметить, что вторая часть следствия согласуется с известным утверждением об аппроксимации любой непрерывной функции ломаными функциями в топологии равномерной сходимости.

7. Пространство сплайнов

Функция х € С[a, b] называется сплайном, порядка m, если существует конечное разбиение a = то < п < ... < тп = b и числа ci, с2,... , с„ такие, что для всех k = 1,... , n и для всех т, s € [тк_1, тк] справедливо Xm (s) — Xm (X = cfc(s — т) . Множе-

m a, b

линейным пространством. Легко показать, что производная от сплайна порядка m (при m > 0) есть сплайн порядка m — 1, а сплайнами нулевого порядка являются ломаные функции.

m a, b m a, b

стоящее из тех функций х , что Xm € RD [a, b] .В эт ом пространстве определена норма ||х||(т) = тах{||х|| (m) , l|Xm ||Lip} , относительно которой пространство a, b

странство RD^m [a, b] является замыканием по норме ||-||(m) про-

m a, b

тельство этих утверждений оставляем читателю.

Список литературы

1. Родионов В.II. Квазиинтегральные уравнения в пространстве прерывистых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 1997. Вып. 2(10). С. 3-51.

2. Родионов В.И. Абстрактные дифференциальные уравнения в пространстве прерывистых функций // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Вып. 2(25). С. 87-90.

3. Honig Ch.S. Volterra-Stieltjes integral equations. Mathematics Studies 16. Amsterdam: North-Holland, 1975. 152 p.

4. Tvrdy M. Regulated functions and the Perron-Stieltjes integral // Casopis pest. mat. 1989. Vol. 114. P. 187-209.