Природа эффектов усиления колебаний тонкостенных конструкций в конвектирующем поле случайных пульсаций давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVII 1986

№ 2

УДК 534.121.1

ПРИРОДА ЭФФЕКТОВ УСИЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В КОНВЕКТИРУЮЩЕМ ПОЛЕ СЛУЧАЙНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ

Б. М. Ефимцов

На основе теоретического анализа изучаются основные закономерности в колебаниях тонких пластин и оболочек, связанные с влиянием пространственно-временной структуры действующего на них конвектирую-щего поля случайных пульсаций давления. Выявляется природа обнаруженных при этом эффектов усиления колебаний.

В работах [1—4] было показано существенное влияние пространственно-временной структуры конвектирующего поля случайных пульсаций давления на вызываемые ими колебания пластин. При этом были выявлены закономерности, отражающие влияние пространственных масштабов корреляции спектральных составляющих и фазовой скорости поля внешних сил. В данной работе ставится задача — изучить основные эффекты усиления колебаний тонкостенных конструкций при таком виде динамического нагружения, выявить их физическую природу.

1. Рассмотрим тонкостенную континуальную упругоинерционную систему из однородного материала, деформирование которого подчиняется соотношениям линейной теории вязкоупругости. Упругие и диссипативные свойства системы в этом случае в соответствии с [5] можно описать с помощью линейного оператора /, который для стационарных случайных колебаний вводится при помощи соотношения

I [ W (х, ш) ехр (гш г)] = ехр (гсо t) L [U7 (х, со) ]. (1)

Здесь L = Lr+iLi — образ Фурье вязкоупругого оператора, вещественная часть которого характеризует упругие силы при колебаниях системы, а мнимая часть Li=T]((o)Lr — вязкие силы.

Будем считать, что рассеяние энергии, связанное с акустическим излучением упругой системы, либо мало по сравнению с ее рассеянием в самой системе, либо включено в общее рассеяние ее при колебаниях, описываемое функцией г| (со). Примем допущения, что колебания системы не оказывают влияния на поле нормальных внешних сил, которое описывается центрированной стационарной во времени и однородной по

пространственным координатам случайной функцией q(x, t) с известными в рамках корреляционной теории вероятностными характеристиками.

Отнесем систему ортогональных координат х = {хи хг} к срединной поверхности упругой системы. Тогда в рамках принятых допущений колебания упругой системы можно описать уравнением

lw(x, t)+Md2w(x, t)fdP = q (х, t), (2)

где w (x, t) — случайное по пространству и времени поле нормальных перемещений системы при колебаниях; М — инерционный оператор, который при рассмотрении колебаний однородных тонких пластин и оболочек принимается равным поверхностной массе рh, где h — толщина, р — плотность материала пластины (оболочки).

Уравнение (2) дополняется соответствующими краевыми и другими условиями, необходимыми для существования и единственности решения.

Использование интегральных канонических разложений [5] заданной q (х, t) и искомой w(x, t) функций и последующие выкладки приводят к выражению для спектральной плотности нормальных перемещений, скоростей и ускорений в произвольной точке неограниченной континуальной упругоинерционной системы:

I 1 л Ф„ (k, ш) dk

(“) — Ф№(Ш)= J | I ш) _ М «>2)2 • (3)

— ОО

Здесь Ф9 {к, to) — частотно-волновой спектр поля внешних сил, L (к, ш) — образ оператора /, определяемый соотношением

/[exp (ikx + iot)] _ L [exp (I kx) ]

' ’ exp (I kx + Ш) ' exp (г kx) ‘ ' ^

Использование интегральных канонических разложений по времени и дискретных по пространственным координатам в виде рядов по собственным функциям краевой задачи wa (х) приводит к следующим выражениям для ограниченных систем с распределенными параметрами:

II V1 (“) (х)

К(Х, «>) = — Ш) = —Ф~(*, (5)

Здесь Z.a — образ оператора I, определяемый соотношением

I [т>л (jc) exp (jW)] L wa (х)

La =-------------------—----------; (fa)

wa (x) exp (/*» t) wa (X)

ф[ч) (») — спектральная плотность обобщенных сил, определяющая степень согласованности поля нормальных внешних сил с формой собственных колебаний,

ф!9) (ш) = -^2 J* j Ф9 (х, х', (в) wa (.*) Wa. (*') dx dx',

*(х) (х’)

(7)

j wl (х) dx,

(.X)

где Фд (х, х, ш) — спектр пространственных корреляций поля внешних сил, ><х—квадрат нормы собственной функции, (х) ■—конечное изме-

римое пространство, ограниченное площадью срединной поверхности упругой системы (5).

Заметим, что выражение (5) является приближенным, поскольку оно не учитывает взаимную корреляцию между формами собственных колебаний. В ряде случаев, в частности в приложении к задачам об акустическом излучении, представляет интерес осредненная по всей поверхности упругой системы спектральная плотность нормальных скоростей. Если проинтегрировать общее (учитывающее взаимную корреляцию между различными формами колебаний) выражение для спектральной плотности скорости по (х), то, учитывая ортогональность собственных функций, члены, определяющие вклад взаимной корреляции между различными формами колебаний, исключаются из общего выражения для осредненной по поверхности упругой системы спектральной плотности нормальных скоростей:

со2 Ча ф(а?) (<о) 1 ^ Ф(а9) (<»)

Ф<да> (Ш) — ~ЗГ ■“ | /,а _ ш2 Л*|2 = м2 [(Ш(1/(й)2 — 1]2 + ^2 (а>а/о>)‘ •

Здесь использовано соотношение = Ие

2. Для описания конвектирующего поля пульсаций давления воспользуемся полученным в работе [6] мультипликативным представлением спектра пространственных корреляций и соответствующим ему выражением для частотно-волнового спектра

фЛ*1, К, «>) = фвН--------------------^----------------- • (9)

9 4 *Ч1 + (*1Л| + *вЛ1)!Ч[1+(*,л1)»]

Здесь Фд(оо)—спектральная плотность поля внешних сил Л1 — продольный, Лг — поперечный пространственные масштабы корреляции спектральных составляющих, 6д = со/£/ф— конвективное волновое число, иф —■ фазовая скорость.

Для наглядного объяснения наиболее важных эффектов в колебаниях континуальных упругоинерционных систем, связанных с особенностями структуры поля внешних сил, представляется целесообразным вначале рассмотреть одномерные колебания неограниченной пластины. В этом случае /,(&, со) =/)й4[1+ гг|(со)], где И — цилиндрическая жесткость пластины. Когда поле внешних сил не обладает конвективными свойствами, т. е. Фд(6, со) =Ф,г(со)Ля^[1+ (£Л)2]-1, то из (3) следует

оо

И - ^ / Л (к, *Л) /=■, (к) &, (10)

—оо

= н- (АхЛ)2]-1, Р2 = [(А‘ —1)г + *8Ч*]-1,

Д> = ч. = (р/кв2/0)1/4.

Функция /Г1/ях = Фд(^, со)/Ф? (со) описывает распределение интенсивности одномерного поля внешних сил по волновым числам к на заданной частоте, а Р2/(р/г)2 — отклик рассматриваемой упругой си--стемы на единичную нагрузку той же частоты с волновым числом к, (некий аналог передаточной функции). Функция имеет максимум ~хЛв окрестности &=0, а — максимумы ~у\~2 в окрестности \к\ = 1. В соответствии с определением частотно-волнового спектра площадь под кривой Л (А иЛ) не зависит от иЛ, несмотря на то, что зависимость У7! от /г целиком определяется величиной хЛ.

Рис. 1. Распределение интенсивности поля внешних сил по волновым числам при разных значениях безразмерного конвективного волнового числа р1 2 =&9/>с и пространственного масштаба корреляции хЛ:

' - ■ /- 5,0; 2 - 1,0; 5-0,2; 4- 0,5: 5-0,1; 6-0,02

По мере уменьшения хЛ максимум функции размывается (рис. 1,а). При этом все меньшая доля интенсивности пульсаций давления будет приходиться на область |/а|<С1 и большая на область |А|^1, так что при хЛ, меньшем определенной величины, зависящей от г), интеграл (10) будет определяться значением Л в окрестности \к| = 1 и интегралом от функции .Рг. В этом случае зависимость Ф~ (<») от Л практически определяется зависимостью /ч от хЛ в окрестности |£|=1, т. е. Ф” (ш)~хЛ [1 + ( хА)2]-1. Уже из этого следует один из эффектов усиления колебаний, который проявляется при хЛ~1. Впервые он был обнаружен в работе [2]. Этот эффект имеет волновую природу, поскольку он непосредственно связан с распределением интенсивности поля внешних сил по волновым числам (максимумом ее в окрестности |&) =х).

Из точного выражения для интеграла (10) при хЛ<С(2г1)_1 следует простое наглядное соотношение

Ф-м (ю)« Ф. (ш) -------—-------- , (11)

т ' 9 2т) (рЛ)» [1 + (*Л)3]

которое позволяет утверждать, что зависимость колебаний от пространственного масштаба корреляции в этом случае определяется эффектом усиления, соответствующим хЛ«*1.

] Выражение (11) получается и непосредственно на основе асимптотических оценок интеграла (10) при условии, что /ч можно считать медленно меняющейся функцией переменной /г по сравнению с функцией ^2. Аналитически это условие выражается соотношением

х.Л<(2г1)1.

Спектральная плотность нормальных ускорений неограниченной пластины в одномерном конвектирукащем поле внешних сил при хЛ<с(2т])-1 может быть представлена в виде выражения

Ф® ^ Фд ^ 4т) (рЛ) [ 1 + (хЛ)2 (Р1/2 + 1)2 + 1+ (хЛ)2(Р,/2_1)2] ’ ^

" .г1/"

которое при р -*0 приводится к выражению (11) и практически

не отличается сгг него при [3|/2<^1.

Таким образом, при р1/2 <С1 конвективные свойства поля пульсаций давления практически не обнаруживаются в колебаниях пластины, а влияние Л будет определяться эффектом усиления при xA«l. В окрестности 1 при иЛЭ>1 функция (12) имеет максимум, который отражает обнаруженный Рибнером эффект аэродинамического совпадения. Максимум обнаруживается и при р»1, когда (хЛ)2р~1 или, что то же самое, kqA^ 1.

Этот эффект усиления имеет ту же природу, ЧТО И xA«sl. В этом можно убедиться, если воспользоваться аналогичным (10) интегральным представлением для колебаний пластины в конвектирующем поле внешних сил. В этом случае распределение интенсивности пульсаций давления по волновым числам будет определяться функцией Fi = =хА[Ц-(хЛ)3(Р1/2 + Л)3]-1 (рис. 1,6 и в), которая отличается от Л в выражении (10) только положением максимума на шкале k (при k = = — р1'2, а не при & = 0).

Таким образом, колебания пластины в конвектирующем поле пульсаций давления в общем случае определяются тремя эффектами усиления, соответствующими хЛя*1, Р«*1, &дЛя*1. Все эти эффекты имеют волновую природу и непосредственно связаны с максимумом интенсивности поля внешних сил в окрестности волнового числа k = x.

Покажем, что именно этими эффектами волновой природы в основном определяются закономерности в колебаниях ограниченных пластин и оболочек, обусловленные влиянием пространственных масштабов корреляции и фазовой скорости поля внешних сил. Из выражения (5) непосредственно ' следует, что эффекты пространственных масштабов корреляции и фазовой скорости поля пульсаций давления могут проявиться в колебаниях ограниченных тонкостенных конструкций только через спектральную плотность обобщенных сил, а точнее через безразмерную величину

Мультипликативность спектра пространственных корреляций [6] поля внешних сил позволяет выразить ^ через произведение двух безразмерных функций определяющих степень согласованности

пульсаций давления с формами собственных колебаний пластины (оболочки) в двух ортогональных направлениях —wm(xi) и wn{x2). Для определенности будем считать соответствующей направлению конвекции. Форму собственных колебаний можно представить в виде интегрального разложения по волновым числам. При этом

f F, (kJt kj Л,.) F2 (kj. j) dkj. (13)

—00

Здесь j — m, n-,m=z 1, 2, . . .; я== 1,2, ...; i = 1, 2; Fx(kn, knA2) = = knA2 [1 -f (kn Л2)2 Ъ\]-х —^для неконвектирующего, Fj (km, km A,) = = km Aj [ 1 + (km At)2 -f km)2)~1 — для конвектирующего поля внеш-

них сил; $m=^(kq/km)2, km = k\km, kn •= klkn, где km, k„ — характерные волновые числа; F2 (k}, j) — некий аналог передаточной функции :в волновом пространстве.

Для синусоидальных форм колебаний упругой системы функция

^ (kj, j) = 8 (-у)-2 (1 - Л?)-* [1 -(- 1)/ COS (kjT.j)\,

ления соответствующих

а~к1кГ

и в— (

которая при />1 характеризуется Рис. 2. Нормированное представление основными максимумами ~1 В окре-:инусоидальнои формы собственных - ^ г

колебаний в волновом пространстве при стности |й^| = 1 и побочными макси-разных значениях индекса у (количест- мумами (рис. 2).

ва полуволн) Интеграл (13) при/>1 и

<С/’я (при Аг', много меньшем протяженности упругой системы в соответствующем направлении) практически определяется поведением функции в окрестности основного максимума функции /*2, ширина которого определяется величиной (/я)-1. Условие малости пространственного масштаба корреляции по сравнению с протяженностью ограниченной упругой системы по существу соответствует аналитическому условию, при котором Р1 (к,, £уЛг) можно считать медленно меняющейся функцией аргумента по сравнению с (кр у).

Таким образом, функция сру?>, а соответственно и колебания ограниченной упругой системы будут определяться поведением (А,, &,Лг) в окрестности к}= 1, т. е.

кт

{ [1 Н- кт Л, (^2+ I)2]-1-!- [1 +ктА, (р*/* — I)2]-1) , (14)

■ЬпЛ2[\+(кпЛ2)*

-1

(15)

Из (14) и (15) хорошо видно, что в этом случае могут проявляться эффекты усиления колебаний, соответствующие ^пАг^!, ктЛ4=«1

(при рт<1), Р™~1 (при 6тЛ 1»1), кчА 1^1 (при р»1), которые по существу и определяют колебания ограниченных пластин (пологих оболочек) в конвектирующем поле внешних сил с малыми по сравнению с их протяженностью пространственными масштабами корреляции.

Эти эффекты усиления колебаний иллюстрируются на рис. 3, где представлены зависимости безразмерной спектральной плотности обобщенных сил от параметров kn.hu ктАи рт. Можно показать, что при пфО эффект усиления йпЛг5» 1 проявляется и в колебаниях замкнутой круговой цилиндрической оболочки, для которой й„ = п//?— собственное волновое число в окружном направлении (Я—радиус оболочки).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимцов Б. М. Колебания и акустическое излучение пластин в турбулентном пограничном слое.— Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1371.

2. Е ф и м ц о в Б М. Об одном из эффектов усиления колебаний пластин в конвектирующем поле случайных сил. — VIII Всесоюзная акустическая конвекция.—М.: 1973, РШу-9.

3. Ефимцов Б. М. Колебания пластин при различных видах случайного нагружения. — Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1655.

4. Ефимцов Б. М., Корнеев В. А. Пластина с ребрами жесткости в конвектирующем поле случайных пульсаций давления. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2133.

5. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. — М.:

Наука, 1979.

6. Е ф и м ц о в Б. М. Характеристики поля пристеночных турбу-

! лентных пульсаций давления при больших числах Рейнольдса. — Акуст. журнал, 1982, т. 28, № 4.

Рукопись поступила 25/1Х 1984 г.