Колебания и акустическое излучение тонкостенных конструкций при неоднородном аэроакустическом возбуждении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том X Ь

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

20 09

№ 3

УДК 534.1 + 534.2

КОЛЕБАНИЯ И АКУСТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ АЭРОАКУСТИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Б. М. ЕФИМЦОВ, А. Я. ЗВЕРЕВ

Изучаются одномерные и двумерные колебания ограниченных тонкостенных конструкций, подверженных воздействию неоднородного по пространству конвектирующего поля случайных пульсаций давления. Получены выражения для спектральной плотности обобщенных сил при синусоидальных формах колебаний упругой системы. Выведены соотношения для оценки колебательной энергии и мощности акустического излучения тонкостенных конструкций в зависимости от характерных параметров возбуждающего поля. Установлены общие закономерности в колебаниях и акустическом излучении ограниченных и неограниченных упругих систем.

Ключевые слова: колебания, акустическое излучение, тонкостенные конструкции, аэроакустическое возбуждение, неоднородное поле.

В работе [1] исследовано поведение неограниченных тонкостенных упругих конструкций, колеблющихся под действием неоднородного по пространству случайного поля пульсаций давления с произвольными масштабами корреляции и неоднородности. Были обнаружены эффекты усиления колебаний, которые проявляются при определенных соотношениях между пространственными масштабами корреляции, масштабами неоднородности, длинами волн конвектирующе-го поля пульсаций давления и длинами упругих волн в конструкции. Цель настоящей работы — показать, что именно этими эффектами волновой природы, в основном, определяются закономерности в колебаниях и акустическом излучении ограниченных тонкостенных упругих конструкций, обусловленные влиянием пространственно-временной структуры поля внешних сил.

1. Допустим, что ограниченная система из вязкоупругого материала колеблется под действием неоднородного по пространству случайного поля внешних сил q (х, t) с произвольными

масштабами корреляции (Л,, Л2) и неоднородности (Ъ), которое можно описать спектром пространственных корреляций в виде [1]:

Ф. (, х1, Х2, х2, ю) = Фо ()ехр

где к. — конвективное волновое число.

0 ' 0

х, х, х х, | х, х,

А

А

л,

— 1к. (х1 х[)

Хо Хо

Л 2

(1)

В рамках допущений, изложенных в работе [1], случайное по пространству и времени поле нормальных перемещений данной системы w (х, t) описывается уравнением

Ы (х, t)+ Мд2w (х, t)|дt2 = . (х, t)

(2)

с соответствующими краевыми и другими условиями, необходимыми для существования и единственности решения. Здесь I, М — линейные операторы, описывающие соответственно вязко-

упругие и инерционные свойства системы. Задача состоит в определении колебательной энергии рассматриваемой системы и звуковой мощности, излучаемой ею.

При рассмотрении ограниченных систем с распределенными параметрами используются интегральные канонические разложения по времени и дискретные по пространственным координатам заданных и искомых функций:

да

ч (*, *)=£{ еа(®к(* (3)

а -да

w

(х * )=Е{ )

егю^ю,

(4)

где ^ означает суммирование по одному индексу (т или п) при рассмотрении одномерных и

а

по двум индексам (т, п) при рассмотрении двумерных упругих систем. В этом случае каноническими функциями координат будет полная ортогональная система собственных функций wа (х)

на срединной поверхности пластины, удовлетворяющих уравнению (2) с нулевой правой частью и соответствующим краевым условиям.

Выражение для взаимной спектральной плотности нормальных скоростей в этом случае будет иметь следующий вид:

ф( ?ю) = ю2

1

„'[¿а-Мю2Мю2

Здесь ¿а — образ оператора I, определяемый соотношением

?[Wa(X) ехР )] = LWа (х) ;

М>а(х)ехР(ю*) ^а(х) '

Wa(x К^^ю).

(5)

(6)

Ф^ю) — взаимная спектральная плотность обобщенных сил, определяющая степень согласованности поля нормальных внешних сил с формой собственных колебаний:

Ф

(ч)

(ю) = —-— | | Фч (х, х', ю)а(х)а- (х')с1х£',

УаУа' (х)(х

^а = | ^ (х)¿х.

(7)

где va — квадрат нормы собственной функции; (х) — конечное измеримое пространство, ограниченное площадью срединной поверхности упругой системы (S).

Для нахождения спектральной плотности колебательной энергии системы необходимо проинтегрировать выражение для спектральной плотности скорости по поверхности упругой системы. При этом вследствие ортогональности собственных функций члены, определяющие вклад взаимной корреляции между различными формами колебаний, исключаются из общего выражения для спектральной плотности колебательной энергии:

Е (ю) = М ю2 ^

УдФдЧ )(ю)

а ¿а -Ю2М

2

(8)

а

2. Из выражения (8) непосредственно следует, что эффекты влияния пространственных масштабов корреляции и неоднородности, а также фазовой скорости поля пульсаций давления проявляются в колебаниях упругих систем только через спектральную плотность обобщенных сил, а точнее через ее безразмерную величину

а ( ) Фо (ш) ■

ф

(9)

Мультипликативность спектра пространственных корреляций (1) поля внешних сил позво-

) через произведение двух безразмерных функций ф(9) • ф()

ляет выразить ф9 через произведение двух безразмерных функций ф^ • , определяющих

степень согласованности пульсаций давления с формами собственных колебаний пластины (оболочки) в двух ортогональных направлениях — wm (л^ ) и (хг ):

ф'

т)(®} = ут2 | ф1 (x1, х', (х1 )»т (хО^Л

(10)

(А

ф

( 9)

(®) = У-2 | ф2 (х2, х2, ш)п (х2)п (х2 )ёх2ёх2.

( 2

Здесь ^1,12 — протяженность упругой системы в соответствующем направлении. В общем случае неоднородного конвектирующего поля при синусоидальных формах собственных колебаний конструкции выражение для ф^ имеет следующий вид:

ф(9) =

тт

/1 (х0) + 212 + /1 (^ - х0)]/(\ ;

(11)

71 (х)= 2 0 , 2 ехР [-(а + с)х]

а + кг

Ьс +к+5 Ьс+ +к sл

а2 + кт у

ехр [-(а + с )х ]

Ь+ Ь~

Ь5"- к+с~ Ь5+- к~с+

Ьс + к+5 Ьс + к 5

-Ь5+к+с -Ь5+к с

а2 + кт

ехр [-(а + с)х]

а2 + к2т

ехр [-(а + с )х ]

?+- к+с+

ёс + к 5 ё - -ехр[-2ах] ё ё _ё+ ё

ё?" - к-с" +ехр[-2ах] " к + к~~

ё" ё+ ё"

а

(

ехр [-(а + с)х]

-Ьс++ к 5+ -Ьс + к 5

ехр [-(а + с)х]

Ь+

с1с+ + к+5 +

Ь+ + Ь-

+ к 5

-ехр[-2ах]

12 = (-1)m exp[-(а + с)( -х0)

-bs - k+с bs - k с

bs - k с bs - k с

(-l)m exp[-(а + с]

-b.? - k+с bs - k с

bs++ k+с+ bs + k с

exp

-(а + с )

b+ + b~

bs+ - k+с+ bs - k с

bs + ^^ bs + k с

kL k-

b+ + b~

(-l)m exp [-(а + с)( - x0)"

(-l)m exp [-(а + сYi ]

-be - k s be - k+s

Ьс +k s Ьс+ +k+s+

bo + k s bo - k+s

Ьс - k s Ьс+ - k+s+

exp

-(а + с )x0

b - A b~ b+

Ьс +k s Ьс+ +k+s+

-Ьс + k s -Ьс++ k+s+

b~ b+

k = km ± kq ;

а = с = 1Л1; b = а + с; J = а - с; b± = b2 + (k±) ; d± = d2 +(k±) ;

s±= sin(k± x); с± = cos(k±x); s = sin(2kmx); с? = cos(2kmx); s = sin(kqf1); с? = cos(kqlx).

Соотношения (8) — (11) позволяют оценить колебания упругой системы при произвольных масштабах неоднородности и корреляции поля пульсаций давления. Однако для более ясного понимания физической природы эффектов усиления колебаний ограниченных упругих систем в поле пульсаций давления спектральную плотность обобщенных сил более удобно представить в виде разложения по волновым числам. Если возбуждающее поле в направлении Х1 неоднородно, то

Л) = j j F1 (( , k'm, km ) F2 (( , k'm, m) dkmdk'm .

(12)

При однородном возбуждении, которое имеет место в направлении х2, соответствующее выражение упрощается:

фП° = j F1 ((, knЛ2)F2 ((, n)d~kn.

(13)

Здесь кт = к^кт ; к'т = к[/кт; кп = к2/кп ; Е1 — волновой спектр действующего на пластину поля пульсаций давления, определяемый выражениями (4), (5) работы [1];

Р2 (к у,к', у) = р (к^)Р* (к' ); у = т, п; Ру ( ) = V-7■11^^ (кух)е 1кхйх — нормированная форма

колебаний пластины в волновом пространстве.

Для синусоидальных форм колебаний функция р упругой системы имеет следующий вид:

Р2 (( , к'т, т) = 4

1 -(-

(-1)т ехр[гкт%т) 1 -(-1)т ехр(-Я^пт)

Р2 ((, п)

(т )2 (1 - кт)(- к~т)

1 -(-1)п 008 (кп%п)

(щ£2 )2 (1 - к2 )

(14)

(15)

На рисунке в качестве примера представлена зависимость функции Яе

Р2

(кт, к'т , т)

от

безразмерных волновых чисел кт, к'т при т = 4. Она характеризуется экстремумами в окрестности кт = ±т =±1 и рядом побочных экстремумов.

Интеграл (12) при т > 1 и кт А-1 тп (при А-1 много меньшем протяженности упругой системы) практически определяется поведением функции р в окрестности основных максимумов

функции Р2, ширина которых зависит от величины (тп) 1. Условие малости обобщенного масштаба по сравнению с протяженностью ограниченной упругой системы соответствует аналитическому условию, при котором р можно считать медленно меняющейся функцией аргументов кт, кт по сравнению с Р2. Таким образом, функция ф^), а соответственно и колебания ог-

раниченной упругой системы будут определяться поведением Р1 в окрестности

Кт

= 1.

Зависимость функции Яе \р2 (кт, к'т, тот безразмерных волновых чисел

кт, к'т при т = 4

Функция К в каждом из основных экстремумов функции К принимает следующие значения:

К

1 \к —к'

2П

1 + (кт А )2 (( + Р)

К

1 к —-¡Р = Р

■АА,ш Ь

4П

1 + (кт— )

1 + ^ ¿1

А1 —

1 + (кт А )2 (( + 1)

1 - 2 (кт А )2 (( + Р)2

1 + (ктА )2 (( + Р)2

1+— (л/Рв)

(16)

1+— (1 ^л/вт)

1 + (кт^1 )2 (( - 1)

Рт = (/кт )2; Р = +1, - 1 Принимая во внимание,

ехр

(-2/рктх°);

(17)

что

Я*2 ((, кт , т)ёк'т - (2п/1

о о

0 те

К2 (кт, ^т, т)ктёк'т --(яД )2, из соотношения (12) можно получить следующую асим-

-те 0

птотическую оценку [5] для безразмерной спектральной плотности обобщенных сил при условии

V1Х «1; Щ11 «1:

ф(9)« ^ ™ 2

А,,

1 + (кт А )2 (( +1)

А1

А.

- 2 (кт А )2 (( + 1)

1 + (кт А )2 (( +1)

1 + (ктА1 )2 (( -1) А1

1+А1

¿1

1 + (кт А )2 (( +1)

А1

1 - 2(кт А1 )2 (( - 1)

1 + (ктА1 )2 (( -1)2

5 (2ктх°)

1+— (1+7вт)

1 + (кт А )2 (( -1)

А

-1

1 (1 -л/вт)

1 + (кт— )2 (2ктх0 )

С05

1 + (кт А )

(18)

Из выражения (18) следует, что при малых масштабах неоднородности и корреляции по сравнению с протяженностью ограниченной упругой системы при ее колебаниях проявляются эффекты усиления, характерные для колебаний неограниченных систем [1]. Они соответствуют условиям

ктА1 ~ е при Рт « 1,

Рт « 1 при ктА1 » I кдА1 ~ е при Рт » 1

В дополнение к этим эффектам при малых масштабах неоднородности по сравнению с длиной изгибной полуволны проявляется зависимость от координаты максимальной интенсивности поля внешних сил.

Эти эффекты и определяют колебания ограниченных тонкостенных конструкций в неоднородном конвергирующем поле внешних сил с малыми по сравнению с их протяженностью масштабами корреляции и неоднородности.

3. При широкополосной случайной нагрузке по мере увеличения частоты вместо оценки вклада в колебательную энергию упругой системы каждой моды можно перейти к статистическим оценкам. Колебательная энергия системы в полосе частот Дю определяется интегрированием выражения (8) по частоте. Так как высоким частотам соответствуют области волнового пространства с большой плотностью волновых чисел, возможна замена дискретных волновых чисел непрерывными и интегрирование по всему диапазону изменения волновых чисел [2]. Применение статистического подхода приводит к следующему интегральному выражению для колебательной энергии в полосе Дю :

E(Дю) «M J ю2Ф0 (со)«(ka) J

(q) v ;

а та

-dka d ю.

Дю

о |La -ю2M

(20)

Здесь п (ка ) — плотность собственных колебаний упругой системы в волновом пространстве.

При отсутствии в спектре возбуждающего поля выраженных дискретных составляющих из выражения (20) можно получить соотношение для спектральной плотности колебательной энергии.

В случае одномерных колебаний свободно опертой однородной плоской пластины, учитывая, что п (кт ) = ^ / п, получим

E (ю)

фо(ю) i2_ M ю2 8п

а «Й)

km =а / Дю

(21)

где а — волновое число свободных изгибных колебаний пластины, а величина в угловых скобках есть средняя в полосе частот спектральная плотность обобщенных сил. Когда расстояние от края пластины до точки максимума интенсивности поля существенно превышает длину изгибной

входящая в выражение (18), быстро осциллиру-

полуволны (ах0 »l), функция cos(kmx° )

km=а

ет в пределах частотной полосы и ее средняя величина стремится к нулю. Вследствие этого имеем для спектральной плотности колебательной энергии выражение, которое полностью соответствует выражению, полученному ранее для неограниченной пластины:

E (ю)«Ф° (ю)

L J_

Mю2 4п

аХ

■(аХ)2 (# +1)

1+ Я

L

2 (аХ)2 ((р +1) 1 + (аХ)2 ((в +1)

аХ

(аХ)2 ((р-1)

1 - 2 (аХ)2 (#-1) 1 + (аХ)2 ((в-1)

(22)

В двумерном случае спектральную плотность колебательной энергии свободно опертой по контуру пластины с размерами S = ly х I ^ можно получить, интегрируя выражение (20) в полярной системе координат km =yfk cos S, kn =*Jk sin S. При малой диссипации в конструкции и малых (или умеренно больших) пространственных масштабах корреляции и неоднородности из (20)

можно получить следующее асимптотическое соотношение для колебательной энергии ограниченной пластины:

Е (о):

5

2

-Фо (ю)(з(ж).

(23)

32ю2М п

Здесь 3( ж) — осредненная в волновом пространстве спектральная плотность обобщенных

сил:

2п

(-)=

!')

кт =^жео§&, кп

й д.

(24)

При А,^1; Л2/12 ^ 1 из выражения (11) для обобщенных сил можно получить асимптотические зависимости для двух различных случаев расположения максимума неоднородности относительно края пластины. В случае х° » А или 11 - х° » А зависимость для ф9 совпадает с выражением (18). В случае х° = 0 или х° = ^ соответствующее выражение имеет вид:

фМ« ^

фт е2

1 + (кт А )2 (рт2 + 1)

% (1+в?)

(ктк )2

1 + (ктк )

"(ктА )2 (2 - 1)2

% (1 -рт2)

(тА )2

1 + (кт%1 )2

(25)

В направлении Х2 (при однородном возбуждении) искомое соотношение имеет следующий

вид:

ф

(.9)

Л2

1

'2 1 + к2 Л 2'

Вычисляя интеграл (24) и усредняя его в частотной полосе Лю, получим:

16 Ь1

<3(® ))'

ж25 А

в (в);

(26)

в (в)=

Ох (в) при х0 » А1 и £ 1 - х° » А1, О0 (в) при х° = 0 или х° = 1Х.

(27)

Здесь (в) — функция, определенная ранее для случая возбуждения неограниченной пластины неоднородным случайным полем пульсаций давления [1].

2 (

в (в)=в2?

1

V с1)

( г ^

1 - с2 - 2с1 ^

V

и

АВ

( г ^

1 - с2 + 2с1 —

1

\

I

А2 В2

2 /

(в-1+с!)

А3 В3 с0 В4

; (28)

А С5 (с4 - Сз ) ; А (2в)12 С1 (С4 + сз ) . .

А = ---^/2 А2 = ~ ; Аз =

0/2

0/2

>(с5+2в)

ДО

с А с,

4^6

сАс,

4^6

в1/2 (1 + вс22) с2с,

в =

рс5 + 4р2 с2

В2 =-

Р1 - С5

1 с5 (р2 + 4Р2с2) 2 Р12

- 4р2с12

Вз =

■Р(Со2 + С22 )

В4 =-

Р2С1Р

12

Сп =

Р2Со [1 + в( + С22)) + рСо2) (Р22 + 4Со2)

(к^ )-1; Сз =р(1 - С12)-1;

^ =

С4 = ^2 + 4Р2С12;

() 1; С1 =(А)1;

с5 = Рс2-Сз; С6 = 4С5 +4Р2с12; с7 =с1 (2Р-Сз)с4; с8 = с1 (2Р+сЗ)/с6 ; \ =^с4-Сз; 12 =^с4 + Сз; Р1 =Р(1+Со-С12); Р2 =((С0 + С12); Р=

В результате соотношение для спектральной плотности колебательной энергии единицы ширины ограниченной пластины (пологой оболочки) запишется в виде, аналогичном полученному ранее при рассмотрении колебаний неограниченных упругих систем [1]:

Е (ю) = Фо (ю)

А

2цИ ю

-П (ю)О (р).

(29)

Здесь П = п(ю)/поо (ю) — отношение плотности собственных частот рассматриваемой упругой системы к плотности собственных частот плоской пластины с теми же размерами (^1,12 ) .

Полученный результат свидетельствует о том, что эффекты взаимодействия упругих систем с неоднородными случайными полями, выявленные при рассмотрении идеализированной модели -неограниченной пластины, будут проявляться и в колебаниях реальных тонкостенных ограниченных конструкций. При этом особенности динамического поведения реальной упругой системы, отличающие ее от поведения свободно опертой плоской пластины, учитываются посредством плотности собственных частот п (ю) и волнового числа свободных изгибных колебаний ж,

входящего в безразмерный параметр р = ж) . Таким образом можно учесть влияние подкрепления, кривизны или условий закрепления реальных конструкций на их колебания в случайном поле пристеночных пульсаций давления.

В случае колебаний в воздухе конструкций с умеренной диссипацией спектральную плотность мощности акустического излучения можно представить в виде:

Ф» (ю) = юпгЕ(ю),

(зо)

где Пг — коэффициент потерь на излучение, характеризующий степень взаимодействия колеблющейся упруго-инерционной системы с полем ее акустического излучения [з]. Так как в настоящее время отсутствует общепринятая теория для определения диссипации энергии в конструкции, коэффициенты п и пг, характеризующие суммарные потери энергии и потери на излучение при колебаниях упругой системы, определяются, как правило, экспериментально по результатам виброакустических испытаний тестовых панелей. Также из эксперимента может быть определена и плотность собственных частот реальной конструкции.

Воспользовавшись соотношениями (29) и (зо), можно получить выражение для спектральной плотности акустической мощности, излучаемой ограниченной упругой системой при ее резонансном возбуждении неоднородным полем случайных пульсаций давления:

Ф»- (ю) = Фо (ю)^^°(в).

(з1)

Когда масштаб неоднородности существенно больше масштаба корреляции и больше протяженности конструкции, выражение (31) переходит в известное соотношение, описывающее излучение упругих систем при однородном аэроакустическом возбуждении [4]:

Ф^ (ю) = Ф0 (ю)5^—Р(в). (32)

2М ю п

Так как Фw (ю) прямо пропорциональна функции О (в), все выводы о влиянии параметров

возбуждающего поля на колебания тонкостенных конструкций распространяются и на акустическое излучение.

4. Таким образом, в настоящей работе получены интегральные и асимптотические выражения для оценки колебаний и акустического излучения ограниченных упругих систем при их возбуждении неоднородным по пространству полем случайных пульсаций давления. Получены аналитические выражения для спектральной плотности обобщенных сил, которые можно непосредственно использовать при оценке колебаний ограниченных конструкций.

Показано, что колебания неограниченных и ограниченных упругих систем при малых масштабах корреляции и неоднородности описываются аналогичными зависимостями. Установлено, что колебания и акустическое излучение ограниченных тонкостенных конструкций при неоднородном аэроакустическом возбуждении определяются эффектами, характерными для поведения неограниченных упругих систем.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 06-02-16243).

ЛИТЕРАТУРА

1. ЕфимцовБ. М., Зверев А. Я. Основные закономерности в колебаниях упругих систем при неоднородном аэроакустическом возбуждении // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 2.

2. Bolotin V. V. Broadband random vibration elastic systems // Solid structures. 1966. V. 2, N 1.

3. Lyon R. H., Maidanik G. Statistical methods in vibration analysis // AIAA J. 1962. V. 29, N 1.

4. Ефимцов Б. М. Колебания и акустическое излучение пластин в турбулентном пограничном слое // Труды ЦАГИ. 1971, вып. 1371.

5. ФедорюкМ. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука,1987.

Рукопись поступила 4/IV 2008 г.