Принцип Дини-Липшица для интерполяционного процесса Лагранжа-Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Мальцевским условиям с термом p(x,y,z) = (x/(y\y)) • (y\z).

Символом EqA обозначим решетку всех эквивалентностей на множестве A. Эквивалентности £i,£2 £ EqA называются перестановочными, если выполняется равенство Е\ ◦ е2 = е2 ◦ £\.

Теорема. Если алгебраическая Q-система А = (A, Q) удовлетворяет Мальцевким условиям,, то решетка ее равномерных сходимостей R(A) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка R(A) моду-лярна.

Следствие 1. Если, алгебраическая Q-система А = (A, Q) удовлетворяет Мальцевким условиям,, то решетка ее равномерных топологий RT(А) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка RT(Л) модулярна.

Следствие 2. Если, алгебраическая Q-система А = (A, Q) удовлетворяет Мальцевким условиям,, то решетка ее бикомпактных топологий BCT(А) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка BCT(Л) модулярна.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Альбеверио С., Фепстад И., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, М,: Мир, 1990,

2. Кон П. Универсальная алгебра, М,: Мир, 1968,

3. Fischer Н. R. Limesraume // Math. Ann. 1959. Vol. 137. P. 269-303.

4. Энгелькинг P. Общая топология. M,: Мир, 1986.

5. Молчанов В. А. О применении повторных нестандартных расширений в топологии // Сиб. мат. жури, 1989. Т. 30, JVS 3. С. 64-71.

6. Молчанов В. А. Нестандартные сходимости в пространствах отображений // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 6. С. 141-153.

УДК 517.51

К. Б. Мосина

ПРИНЦИП ДИНИ^ЛИПШИЦА ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА—ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ

Рассмотрим задачу Штурма Лиуиилля:

U" + [Л - q]U = 0,

U'(0) - hU(0) = 0, (1)

U'(n) + HU (n) = 0,

где Ни Н - произвольные действительные числа (причем допускается возможность Н, Н = го), а потенцпал д ограниченной вариации на отрезке [0, п] исчезает в нуле и не обязательно непрерывен. Введем оператор Лагранжа^Штурма^Лиувилля:

мп(ж)

ип(хк,п)(х хк,и)

/ (хк,п ),

(2)

к=1

где ип(х) - собственные функции задачи Штурма^Лиувилля (1), Хк,п -пули ип(х).

Лемма 1. Существует, константа С, зависящая только от Н,Н в краевых условиях и потенциала д ограниченной вариации задачи Штурма—Лиувилля, такая, что для всех х € [0,п] и п € N фундаментальные полиномы Лагранжа^Штурма^Лиувилля удовлетворяют неравенству

1Сп(х)1 =

Мп(х)

ип(хк,п)(х хк,п)

< С.

(3)

Доказательство. Если х = хк,п, то |1к^п(хк,п)| = 1- Поэтому считаем, что х = хк,п. Пусть сначала 0 < |х — хк,п| < п, тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и асимптотическим формулам для ип(х) и ^п(хк,п) (см. [1, теорема 1, с. 73-76]

1&)| <

ип(хк,п)(х хк,п) + ип(хк,п)(х хк,п) /2 ип(хк,п)(х хк,п)

0(п2)

<

< 1 + 1 |Х — Хк,п| =1 + _ ^ _г

2 |ип(хк,п)|

п + 0(п 1) п

• - < С1.

Осталось рассмотреть случай |х — Хк,п| > -.В силу асимптотических формул для ип(х) и ип(хк,п) (см. [1, теорема п, с. 73-76]

1&)| < п

Мп(х)

ип(хк,п)

< С2.

Выбирая С = тах(С1,С2) , получим (3). Лемма 1 доказана.

Обозначим через С0[0,п] пространство непрерывных исчезающих в концах отрезка функций , С0[0,п] = {/ : / € С[0,п],/(0) = /(п) = 0}.

Лемма 2. Если гладкость функции, / € С0[0,п] допускает выбор последовательности V(п)7 удовлетворяющей требованиям

( \ V V (п)

V(п) = о(1) „11т п) = ТО

п

[ V (п) г(п) = ехр '

—(/• п) I

м такой, что к2 < к1 (тогда в отрезок [х — е(п),х + е(п)] бу-

хк,п

[х — е(п),х + е(п)] будет попадать не более К(п) = о( ,1^)) узлов

хк,п, то это означает возможность равномерной на отрезке [0,п]

/

Лагранжа - Штурма - Лиувилля. Где к1, к2 - номера наименьшего и наибольшего из узлов, попадающих в отрезок [х — е(п),х + е(п)] :

хкх —1,п < х £(п) < xkl,n, хк2,п < х + £(п) < хк2+1,п-

Доказательство. Действительно, в силу равномерной непрерывно/

ций (см. [1, теорема 1, с. 73-76]) и леммы 1 имеем:

< ^ - (/•? у

1 к2

1 (хк+1,п) — / (хк,п))1к,п(х)

к=кт

В силу предложения 9 (см. [2, с. 86-99]) имеем:

0 < 11т |/(х) — ¿ПП/,х)| < 11т |/(х) — ¿ПП/,х) —

п^то п^то

1 к2

— 2 (хк+1,п) — /(хк,п))1к,п(х)

к=кх

СК , „ 2пЛ

+ "2К-(/, V>= а

Лемма 2 доказана. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функция / € С0[0,п] принадлежит, классу Дини-

Липшица, т.е. выполняется соотношение Нтп^то — (/, п) 1пп = 0, то

/

на [0.п].

Доказательство. Взяв в соотношении

( \ \ V(п) 1 г(п) = ехр ' у —

—(/• пИ

= V(п) = —( / П ) 1п —, пп

воспользуемся соответственно асимптотическими формулами для нулей собственных функций (см. [1, теорема 1, с. 73-76]) и леммой [3]. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Турашвили К. Б. Асимптотические формулы для собственных функций и собственных значений задачи Штурма—Лиувилля//Математика. Механика: сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 14.

2. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отчетов Уиттекера—Котельникова— Шеннона для непрерывных функций на отрезке //Мат. сб. 2009. Т. 200, №11. С. 61108.

УДК 519.7

В. Е. Новиков

НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В АЛГЕБРЕ КОНТЕКСТОВ

Предметов работы является дальнейшее исследование алгебры контекстов. Работа представляет собой естественное продолжение предыдущих исследований автора [1]. Основной результат работы определяет критерий нейтральности элемента относительно операций алгебры контекстов.

Восстановим необходимые определения. Будем говорить, что задан формальный полиатрибутный контекст К = (О, (М^),р), если заданы О - непустое конечное множество объектов, (М^) - семейство непустых конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < % < п, р С О х М1 х ... х Мп - некоторое (п + 1)-арное отношение. Под словом контекст далее будем понимать полиатрибутный контекст. Допустим (д,т1,т2,... , тп). Это значит, что объект д по атрибуту 1 имеет значение т1? по атрибуту 2 - значение т2) по системе атрибутов (1, 2) -

значение (т1 ,т2) и т. д. Мы полагаем, что всякий объект по каждо-

р

О

точно одно значение, то такой контекст называется однозначным.

Концептом в контексте К = (О, (М^, р) по системе атрибутов % называем стабильное множество X С О объектов, которые имеют по системе атрибутов общее множество значений У С М^, % С п. Ста-

О

значения по системе атрибутов

В [2] показано, что множество концептов однозначного контекста образует решётку, там же представлены основные характеристики этой