CC BY
12
ном случае наиболее точный метод, позволяющий оценить достоверность сообщаемой информации, - метод расчета стандартного отклонения от среднего.
УДК 512.56, 512.571, 515.12
В. А. Молчанов
О НЕСТАНДАРТНОЙ ХАРАКТЕРИЗАЦНИ РЕШЕТКИ РАВНОМЕРНЫХ СХОДИМОСТЕЙ
В работе рассматривается решетка равномерных сходимостей на алгебраической системе. С помощью методов нестандартного анализа показано, что решетка равномерных сходимостей на произвольном множестве изоморфна решетке эквивалентностей специального вида. Главный результат работы показывает, что решетка равномерных сходимостей на алгебраической системе, удовлетворяющей мальцевским условиям, изоморфно вкладывается в решетку перестановочных эквивалентностей и, следовательно, является модулярной решеткой.
В работе используются методы нестандартного анализа [1], общепринятая алгебраическая и топологическая терминология [2, 3,4], отдельные результаты нестандартной топологии из [5,6].
Как обычно [1], для простоты рассуждений основные множества X рассматриваемых пространств сходимости считаются подмножествами множества индивидов S, над которым строится теоретико-множественная суперструктура V(S) [1]. Для таких множеств X определено нестандартное расширение *X, и любой фильтр F над X полностью определяется своей монадой = Р|{*A : A G F}. Монады ультрафильтров над множеством X разбивают расширение *X на классы эквивалентности . Подмножество M С *X называется насыщенным, если (M) С M, и монадой, если M = дF для некоторого фильтра F над X.
При нестандартном подходе к топологии [5] произвольная сходимость [3] на множестве X определяется соответствием р С X х *X, для которого все значения р(а) = {x G *X : (a, x) G р} (a G X) являются насыщенными подмножествами *X и удовлетворяют условию a G р(а). Такие соответствия называются (нестандартными) сходимостямиа на них распространяется топологическая терминология. Если сходимость па X - предтопология [3], то все р(а) (a G X) являются монадами, и
X
каждого а € X значение р(а) является монадой окрестностного фильтра точки а.
Согласно [4], равномерная структура на множестве X определяется как фильтр и над множеством X2, для которого выполняются усло-
-1
вия: (Р1) Ах £ Щ (Р2) 6 € и мечет 6 € II; (Р3) 6 € и влечет П о П С 6 для некоторого п € и. При нестандартном подходе фильтр и определяется монадой-эквивалентностью £ = д и на расширении *Х. Такая эквивалентность £ также называется равномерностью (точнее, монадой-равномерностью) па множестве X и на нее распространяется известная топологическая терминология. Так, равномерность £ определяет на множестве X раномерную сходимость д по формуле д = £ о Ах. Известно [5], что такая сходимость д является регулярной топологией. Для равномеризации произвольных сходимостей па множестве X понятие равномерности естественно обобщается следующим образом.
Равномертностью на множестве X называется эквивалентность £ па расширении *X, насыщенная в *X2. Упорядоченная пара (X, £) называется равномерным пространством сходимости. В этом случае равномерность £ также определяет на множестве X равномерную сходимость д по формуле д = £ о Ах. Мы не будем останавливаться на стандартной интерпретации этого определения равномерности, а отметим лишь, что ее легко получить с помощью [6, лемма 1.2] в форме свойств (Р1) (Р3). Обозначим символом Я^) множество всех равномерностей на множестве X.
Лемма. Для любого непустого множества X множество Я^) с отношением теоретико-множественного включения является полной решет,кой, в которой для любых £1, £2 € Я(^) операции Л и V определяются по формулам: £1 Л £2 = £1 П £2, £1 V £2 = Р|{£ € Я(^) : £1, £2 С £}.
Следуя определению [4], отображение ] равномерного пространства (X, £х) в равномерное пространство (У,£у) называется равномерно непрерывным, если /2(£х) С £у.
В работе рассматриваются алгебраические системы произвольной сигнатуры О = ^п (О_р,п + ОР,п) , где Орп и ОР,п (п = 0,1, 2,...) - множества символов п-местных операций и п-местных предикатов соответственно. Без нарушения общности можно считать, что О С 8. Задание на основном множестве А € V(8) алгебраической структуры сигнатуры О равносильно определению такого отображения % множества О в универсум V(8), что для любого / € О_р,п образ х(/) есть п-местная операция па множестве А и для любого Р € ОР,п образ %(Р) - п-местное
А.
зы х(/) и х(Р) будем, то возможности, обозначать просто символами / и Р.
Множество А с определенной на нем алгебраической структурой сигнатуры О называется алгебраической О-системой и обозначается символом А = (А, О). Пусть алгебраическая структура О-системы А = (А, О) определяется отображением х : О ^ V(8). В силу произвольности множества индивидов 8 стандартного универсума V(8) можно считать, что А С 8 и отображение х являются элементом V(8). Тогда при нестандартном расширении этого универсума (с помощью отображения*) множество А расширяется до множества *А и отображение х _ Д° отображения *х :* О V(8) так, что для каждого Р € Ор,п образ *х(Р) яв~ ляется п-местпым отношением на множестве *А и для каждого / € Ор,п образ *х(/) является отображением множеств *(Ап) в *А, т.е. п-местной алгебраической операцией па множестве *А. Значит, ограничение отображения *х(/) на множестве О задает на *А алгебраическую структуру
О. О
ся обозначать символом *А = (*А, О). По принципу переноса [1] алгебраические системы А и *А элементарно эквивалентны.
А
О-системы А задана некоторая равномерность Тогда согласованность этой топологической структуры с алгебраической структурой системы А означает, что для каждого / € Ор,п равномерно непрерывна алгебраическая операция х(/) и для каждого Р € Ор,п отношение х(Р) замкнуто в пространстве Ап. В этом случае алгебраическая система А называ-
О
А=(А, О,£).
Для алгебраической О-системы А = (А, О) обозначим символом Л(А)
А,
.
теоретико-множественного включения Л(А) является полной решеткой, в которой для любых € Я(А) операции Л и V определяются по
формулам: £1 Л 6 = & П £2, £1 V £2 = П{£ € Д(А) : £1,6 С £}.
Напомним [2], что алгебраическая О-система А = (А, О) удовлетво-
О
р(х, у, г), что для любых а, Ь € А выполняются равенства: р(а, а, Ь) = Ь, р(а, Ь, Ь) = а. Например, если сигнатура алгебраической О-системы А = (А, О) содержит сигнатуру группы Одг = {•,-1}, то такая система А удовлетворяет Мальцевским условиям с термом р(х, у, г) = х • у-1 • г.
О = (А, О)
натуру квазигруппы Очдг = {/, •, \}, то такая система А удовлетворяет
Мальцевским условиям с термом p(x, y, z) = (x/(y\y)) • (y\z).
Символом EqA обозначим решетку всех эквивалентностей на множестве A. Эквивалентности £ EqA называются перестановочными, если выполняется равенство ^ о = £2 ◦
Теорема. Если алгебраическая П-система А = (A, П) удовлетворяет, Мальцевким условиям,, то решетка ее равномерных сходимостей R(A) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка R(A) моду-лярна.
Следствие 1. Если, алгебраическая П-система А = (A, П) удовлетворяет Мальцевким условиям,, то решетка ее равномерных топологий RT(Л) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка RT(А) модулярна.
Следствие 2. Если, алгебраическая П-система А = (A, П) удовлетворяет Мальцевким условиям,, то решетка ее бикомпактных топологий BCT(Л) изоморфна подрешетке решетки Eq*A, состоящей из перестановочных эквивалентностей. В частности, такая решетка BCT(А) модулярна.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Альбеверио С., Фепстад И., Хеэг-Кроп Р., Липдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, М,: Мир, 1990,
2. Кон П. Универсальная алгебра, М,: Мир, 1968,
3. Fischer Н. R. Limesraume // Math. Ann. 1959. Vol. 137. P. 269-303.
4. Энгелькинг P. Общая топология. M,: Мир, 1986.
5. Молчанов В. А. О применении повторных нестандартных расширений в топологии // Сиб. мат. жури, 1989. Т. 30, JVS 3. С. 64-71.
6. Молчанов В. А. Нестандартные сходимости в пространствах отображений // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 6. С. 141-153.
УДК 517.51
К. Б. Мосина
ПРИНЦИП ДИНИ^ЛИПШИЦА ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА—ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ
Рассмотрим задачу Штурма Лиуии.i.ш:
U" + [Л - q] U = 0,
U'(0) - hU(0) = 0, (1)
U'(n) + HU (п) = 0,
